Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния. Таким образом, мы исходили из «дифференциального принципа», каким является принцип Даламбера. Однако уравнения Лагранжа можно получить и из другого принципа, в котором рассматривается движение системь за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как «интегральные принципы».

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы «движение системы за конечный промежуток времени». В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обобщенных координат $q_{1}, \ldots, q_{n}$, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в $n$-мерном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое $n$-мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую. Мы будем называть эту кривую «траекторией движения системы». Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций). Время $t$ можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений $t$. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трехмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы; каждая точка траектории в пространстве конфигураций изображает всю эту систему в некоторый момент времени.

Теперь мы можем сформулировать интегральный принцип Гамильтона для консервативных систем (в более широком смысле, т. е. допускающих обобщенные потенциалы): истинное движение системы в промежутке от $t_{1}$ до $t_{2}$ таково, что интеграл
\[
I=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t
\]
(где $L=T-V$ ) имеет при этом экстремум.

Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент $t_{1}$ до ее положения в момент $t_{2}$ истинным будет то движение, при котором интеграл (2.1) имеєт экстремум: максимум или минимум (рис. 9).
Таким образом, согласно принРис. 9. Траектория изображающей точки в пространстве конфнгураций. ципу Гамильтона истинное движение таково, что вариация интеграла $I$ при фиксированных значениях $t_{1}$ и $t_{2}$ равна нулю:
\[
\delta I=\delta \int_{t_{1}}^{t_{n}} L\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, t\right) d t=0 .
\]

Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает из уравнений Лагранжа (см., например, Whittaker, Analytical Dynamics, 4-е изд., стр. 245). Мы сейчас докажем обратное, а именно, что уравнения Лагранжа следуют из принципа Гамильтона. Эта теорема является более важной. Таким образом, мы покажем, что механику консервативных систем можно построить, исходя из принципа Гамнльтона как из основного постулата, заменяющего законы Ньютона. Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона имеет определенные преимущества: например, при этом мы получаем принцип, не зависящий от координат, применяемых при составлении лагранжиана. Более важно другое: что этот принцип указывает путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью классической механики явно немеханических систем (например, в теории поля).