Так как $L=I \boldsymbol{\omega}$, то $I$ можно рассматривать как частное от деления $\boldsymbol{L}$ на $\boldsymbol{\omega}$ :
\[
\boldsymbol{I}=\frac{\boldsymbol{L}}{\boldsymbol{\omega}} .
\]

Однако известно, что отношение двух величин часто не является величиной того класса, к которому принадлежат рассматриваемые величины, а может принадлежать к более сложному классу. Так, например, частное от деления двух целых чисел, вообще говоря, не является целым числом, а является числом рациональным. Точно так же частное от деления двух векторов нельзя, как известно, определить таким образом, чтобы оно принадлежало к классу векторов. Не удивительно поэтому,
*) В главе 4 такая система обозначалась штрихами. Так как в дальнейшем составляющие по неподвижным осям будут встречаться у нас редко, то для простоты обозначений мы будем штрихи опускать.

что $I$ является величиной нового типа, а именно тензором второго ранга.

В трехмерном пространстве тензор $\mathrm{T} N$-го ранга мы будем определять как величину, имеющую $3^{N}$ составляющих $T_{i j k}$… (всего $N$ индексов), которая при ортогональном преобразовании координат преобразуется матрицей А согласно следующей схеме *):
\[
T_{i j k}^{\prime} \ldots=\sum_{l, m, n} a_{i l} a_{j m} a_{k n} \ldots T_{l m n} \ldots
\]

При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству
\[
T_{i}^{\prime}=\sum_{j} a_{i j} T_{l}
\]

Сравнение этого равенства с уравнениями преобразования векторов [см. (4.14)] показывает, что тензор первого ранга эквивалентен вектору.

Наконец, девять составляющих тензора второго ранга преобразуются по схеме
\[
T_{i l}^{\prime}=\sum_{k, l} a_{i k} a_{j l} T_{k l} .
\]

Преобразование матрицы оператора $I$ является подобным преобразованием с помощью матрицы А. Поэтому можно написать
\[
I^{\prime}=\mathrm{AIA}^{-1},
\]

или, так как матрица А ортогональна:
\[
I^{\prime}=\mathrm{A} I \tilde{\mathrm{A}} .
\]

Тогда $i j$-й элемент преобразованной матрицы определится с помощью равенства
\[
I_{i j}^{\prime}=\sum_{k, l} a_{i k} I_{k l} \tilde{a}_{l j}=\sum_{k, l} a_{i k} a_{j l} I_{k l},
\]

совпадающего по форме с (5.10). Отсюда следует, что оператор $I$ есть тензор второго ранга.

Строго говоря, следует различать тензор $\boldsymbol{I}$ и квадратную матрицу, образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является выполнение определенных правил его преобразования при ортогональном преобразовании координат. C другой стороны, матрица никак не ограничивается видом
*) Мы не будем делать различия между ковариантными и контрвариантными тензорами, так как это не имеет значения в случае декартовой системы координат.

преобразований, которым она может быть подвергнута, и может рассматриваться совершенно независимо от ее свойств при данных преобразованиях. Тем не менее, неправильно было бы всегда подчеркивать это различие, так как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорному равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и наоборот. Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается тензорами второго ранга. Так, например, мы-знаем, что составляющие вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют матрицу, состоящую из одного столбца, и поэтому действия над векторами можно трактовать как действия над соответствующими матрицами.

Другое полезное представление оператора I можно получить с помощью диадного исчисления. Диадным произведением мы будем называть совокупность двух векторов, заданных в определенном порядке. Мы будем обозначать его символом $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ и вектор $\boldsymbol{A}$ называть левым множителем, а вектор $\boldsymbol{B}$-правым. Скалярное произведение $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ на вектор $\boldsymbol{C}$ можно получить двумя путями:
\[
\boldsymbol{A B} \cdot \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C})
\]

или
\[
\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) .
\]

В общем случае эти произведения не равны друг другу, следовательно, скалярное умножение диад некоммутативно. Следует заметить, что в обоих случаях скалярного умножения мы получаем вектор, отличающийся как направлением, так и величиной от вектора $\boldsymbol{C}$. Кроме того, можно ввести произведение
\[
\boldsymbol{A B}: \boldsymbol{C D}=(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C})(\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{D}) .
\]

Более удобно, однако, записать его в виде
\[
\boldsymbol{A B}: \boldsymbol{C D} \equiv \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{A B} \cdot \boldsymbol{D} .
\]

Под диадой мы будем понимать сумму*)
\[
\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{C D}+\ldots
\]
*) Если точно придерживаться терминологии Гиббса, которой следует Голдстейн в оригинале этой книги, то диадное произведение $\boldsymbol{A B}$ следует называть диадой, вектор $\boldsymbol{A}$ – предыдущим (антецедентом – antecedent), вектор $\boldsymbol{B}$ – последующим (консеквентом – consequent), произведение $\boldsymbol{A B} \cdot \boldsymbol{C}-$ постфактором (postfactor), произведение $\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{A B}$ – префактором (prefactor), а сумму диадных произведений $\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{C D}+\ldots$ – диадиком (dyadic). В тексте, однако, исцользованы обозначения, принятые в русской литературе (см., например, Д. И. Кут и л и н, Теория конечных деформаций, Гостехиздат, 1947, или А. Нада и, Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, 1954). (Прим. перев.)

В сущности любое диадное произведение $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ можно представить в виде диады, выразив для этого векторы $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ через их составляющие вдоль ортов $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$. В этом случае диадное произведение $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ принимает вид
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{A B}= & A_{x} B_{x} \boldsymbol{i}+A_{x} B_{y} \boldsymbol{i} \boldsymbol{j}+A_{x} B_{z} \boldsymbol{i} \boldsymbol{k}+A_{y} B_{x} \boldsymbol{j}+ \\
& \quad+A_{y} B_{y} \boldsymbol{j} \boldsymbol{j}+A_{y} B_{z} \boldsymbol{j}+A_{z} B_{x} k \boldsymbol{i}+A_{z} B_{y} \boldsymbol{k} \boldsymbol{j}+A_{z} B_{z} k \boldsymbol{k} .
\end{aligned}
\]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отношении действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор $\boldsymbol{I}$ можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 :
\[
1=i \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}
\]

обозначение которой, конечно, вполне оправдано, так как матрица оператора (5.13) совпадает с единичной матрицей. Кроме того, непосредственное умножение показывает, что
\[
1 \cdot \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \cdot 1=\boldsymbol{A} .
\]

Пользуясь этой диадой, можно записать $I$ в виде
\[
\boldsymbol{I}=\sum_{i} m_{i}\left(r_{i}^{2} 1-\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{r}_{i}\right),
\]

что подтверждается равенством
\[
\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}=\sum_{i} m_{i}\left[r_{i}^{2} \boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{r}_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}\right)\right]=\boldsymbol{L},
\]

совпадающим с (5.3).