Для того чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны. Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором $\boldsymbol{\eta}$ с составляющими $\eta_{i}(i=1,2,3)$. Следовательно, каждая точка $x$, $b, z$ будет характеризоваться тремя относящимися к ней обобщенными координатами. Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление $P$ и плотность $\mu$ будем считать мало отличающим ися от их равновесных значений $P_{0}$ и $\mu_{0}$.

Если бы рассматриваемая система была дискретной, то нам нужно было бы найти ее кинетическую энергию $T$ и потенциальную энергию $V$, а затем образовать разность $T-V=L$. Но в данном случае $L$ равно $\iiint \mathfrak{R} d x d y d z$, и поэтому $T$ равно интегралу $\iiint \mathfrak{E} d x d y d z$, а $V$ – интегралу $\iiint \mathfrak{B} d x d y d z$, где $\mathfrak{I}$ и $\mathfrak{B}$-кинетическая и потенциальная энергии единицы объема. Поэтому наша задача сводится к вычислению разности
\[
\mathfrak{R}=\mathfrak{T}-\mathfrak{B} .
\]
13 г. Голдстейн

Что касается удельной кинегической энергии $\mathfrak{I}$, то она находится без труда. Учитывая, что мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, будем иметь:
\[
\mathfrak{I}=\frac{\mu_{0}}{2} \dot{\eta}^{2}=\frac{\mu_{0}}{2}\left(\dot{\eta}_{1}^{2}+\dot{\eta}_{2}^{2}+\dot{\eta}_{3}^{2}\right) .
\]

Удельную потенциальную энергию $\mathfrak{B}$ найти несколько труднее. Потенциальная энергия газа является мерой той работы, которую он может произвести при расширении. Рассмотрим теперь массу газа $M$ с равновесным объемом
\[
V_{0}=\frac{M}{\mu_{0}},
\]

который мы будем считать достаточно малым. Тогда $\mathfrak{B}$ можно будет считать постоянным, и потенциальная энергия этой массы газа будет равна $\mathfrak{B} V_{0}$. Пусть затем этот объем изменяется от $V_{0}$ до $V_{0}+d V$. Тогда над этим газом будет совершена работа $\left.-P d V^{*}\right)$. Следовательно, потенциальная энергия газа, соответствующая объему $V_{0}+\Delta V$, равна
\[
\mathfrak{B} V_{0}=-\int_{V_{0}}^{V_{0}+\Delta V} P d V .
\]

Заметим, что, несмотря на малость $\Delta V$, этот интеграл нельзя считать равным – $P_{0} \Delta V$, ибо, как мы в
Рнс. 72. Кривая зависимости давледальнейшем увидим, этот член не оказывает влияния на уравнения движения. Поэтому давление $P(V)$ будем считать не постоянным, а изменяющимся по линейному закону на участке от $V_{0}$ до $V_{0}+\Delta V$ (рис. 72 ). Тогда будем иметь
\[
\int_{V}^{V_{0}+\Delta V} P d V=P_{0} \Delta V+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{0}(\Delta V)^{2} .
\]

Для того чтобы вычислить производную $\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{0}$, обратимся к термодинамике. Согласно закону Бойля связь между давлением газа и его объемом выражается равенством
\[
P V=C
\]
*) Выделим на поверхности газа элемент $d A$. Действующая на него внешняя сила равна $P d A$ и направлена внутрь объема $V_{0}$. Но так как при расширении газа этот элемент движется в направлении наружной нормали и перемещается на величину $d x$, то внешние силы совершают при этом работу $-P d A d x=-P d V$.

(этим соотношением пользовался Ньютон). Однако в данном случае этим соотношением пользоваться нельзя, так как оно предполагает изотермическое изменение состояния газа, в то время как звуковые колебания всегда совершаются так быстро, что температура газа не успевает выравняться. Поэтому сжатие и расширение газа происходят здесь адиабатически, т. е. по закону
\[
P V^{\gamma}=C,
\]

где $\gamma$-константа, равная отношению удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постояаном объеме*). Следовательно, искомая производная равна
\[
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{0}=-\frac{\gamma P_{0}}{V_{0}} .
\]

Изменение объема газа целесообразно выразить через соответствующее изменение его плотности. Так как $V=M / \mu$, то
\[
\Delta V=-\frac{M}{\mu \mu_{0}} \Delta \mu \approx-V_{0} \sigma,
\]

где $\sigma$ – относительное изменение плотности, определяемое формулой
\[
\mu=\mu_{0}(1+\sigma) .
\]

Объединяя теперь равенства (11.27a), (11.28), (11.31) и (11.32), получаем следующее выражение для $\mathfrak{B}$ :
\[
\mathfrak{B}=P_{0} \dot{\sigma}+\frac{\gamma P_{0}}{2} \sigma^{2} .
\]

Теперь нам нужно выразить $\sigma$ через $\boldsymbol{\eta}$. Рассмотрим для этого некоторый фиксированный объем пространства. Масса газа, выходящего из этого объема при небольшом нарушении равновесия, равна
\[
\mu_{0} \int \boldsymbol{\eta} \cdot d \boldsymbol{A},
\]

где $\boldsymbol{d} \boldsymbol{A}$ – элемент поверхности, ограничивающей этот объем. Но так как эта масса должна равняться объемному интегралу $\int\left(\mu-\mu_{0}\right) d V$, то должно выполняться равенство
\[
-\mu_{0} \int \sigma d V=\mu_{0} \int \boldsymbol{\eta} \cdot d \boldsymbol{A},
\]

которое можно записать также в виде
\[
-\int \sigma d V=\int
abla \cdot \boldsymbol{\eta} d V .
\]
*) Вывод этой формулы см., например, в книге: M. W. Z emansky, Heat and Thermodynamics, McGraw – Hill, rл. VI.

Так как последнее равенство должно быть справедливо для любого объема, то мы приходим к соотношению *)
\[
\sigma=-
abla \cdot \boldsymbol{\eta} .
\]

Таким образом, мы окончательно получаем:
\[
\mathfrak{B}=-P_{0}
abla \cdot \eta+\frac{\gamma P_{0}}{2}(
abla \cdot \eta)^{2} .
\]

Из равенства (11.35) видно, что первое слагаемое выражения (11.34) не влияет на величину полной потенциальной энергии. Для доказательства́ возьмем поверхность, охватывающую весь рассматриваемый газ. Тогда правая часть равенства (11.35) обратится в нуль, так как газ не выходит за пределы этой поверхности. Но отсюда следует, что интеграл $\int \sigma d V$, взятый по всему объему газа, также будет равен нулю и, следовательно, не войдет в $L$. Следует, однако, заметить, что это обстоятельство не является еще достаточным для того, чтобы опустить первое слагаемое формулы (11.37), так как если судить априори, то это слагаемое, возможно, оказывает влияние на уравнения движения. (Напомним, что равенство нулю ковариантного гамильтониана не означает, что он не оказывает влияния на уравнения лвижения.) Поэтому мы не будем пока отбрасывать этого слагаемого.
Удельный лагранжиан $\mathcal{R}$ можно записать теперь в виде
\[
\Omega=\frac{1}{2}\left[\mu_{0} \dot{\eta}^{2}-2 P_{0}
abla \cdot \boldsymbol{\eta}-\gamma P_{0}(
abla \cdot \boldsymbol{\eta})^{2}\right]
\]

откуда видно, что
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathbb{Q}}{\partial \dot{\eta}_{i}}=\mu_{0} \dot{\eta}_{i}, \\
\frac{\partial(
abla \cdot \eta)}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{i}}{\partial x_{k}}\right)}=\delta_{i k}, \\
\frac{\partial(
abla \cdot \eta)^{2}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{i}}{\partial x_{k}}\right)}=2(
abla \cdot \eta) \cdot \delta_{i k}
\end{array}\right\}
\]

Из равенств (11.39) следует, что член $2 P_{0}
abla \cdot \boldsymbol{\eta}$ не влияет на уравнения движения. Поэтому мы его теперь опустим и будем писать $\mathcal{R}$ в виде
\[
\mathfrak{\Omega}=\frac{1}{2}\left[\mu_{0} \dot{\boldsymbol{\eta}}^{2}-\gamma P_{0}(
abla \cdot \boldsymbol{\eta})^{2}\right]
\]
*) Равенство (11.36) можно записать в виде
\[
\dot{\mu}=-
abla \cdot \mu \dot{\eta}
\]

что представляет обычное уравнение неразрывности газового потока.

ГІлучающиеся отсюда уравнения движения имеют вид
\[
\mu_{0} \frac{\partial^{2} \eta_{i}}{\partial t^{2}}-\gamma P_{0} \frac{\partial(
abla \cdot \eta)}{\partial x_{i}}=0 \quad(i=1,2,3),
\]

что эквивалентно векторному уравнению
\[
\mu_{0} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{\eta}}{\partial t^{2}}-\gamma P_{0}
abla
abla \cdot \boldsymbol{\eta}=0 .
\]

Физический смысл полученного уравнения становится более ясным после умножения обеих частей его на оператор $
abla$. Учитывая, что
\[

abla \cdot \boldsymbol{\eta}=-\sigma \quad \text { и } \quad
abla \cdot
abla=
abla^{2},
\]

получаем:
\[

abla^{2} \sigma-\frac{\mu_{0}}{\gamma P_{0}} \frac{\partial^{2} \sigma}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Легко видеть, что это есть обычное уравнение трехмерной волны, распространяющейся со скоростью
\[
v=\sqrt{-\frac{\gamma P_{0}}{\mu_{0}}} .
\]

Таким образом, мы получили известное выражение для скорости звука в газе.

Этим заканчивается решение задачи о составлении уравнений Лагранжа для звуковых колебаний в газе.