Мы знаем, что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа Гамильтона (см. § 2.1). Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого принципа имеет определенное преимущество, так как он применим и к системам, выходящим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью обычного принципа Гамильтона
\[
\delta I \equiv \delta \int_{t_{\mathrm{t}}}^{t_{2}} L d t=0,
\]

если воспользоваться равенством (7.8) и выразить в нем $L$ через гамильтониан $H$. Проделав это, мы вместо равенства (7.27) получим
\[
\delta I \equiv \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(q, p, t)\right) d t=0,
\]

или
\[
\delta \sum_{i} \int_{q_{1}}^{q_{2}} p_{i} d q_{i}-\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} H d t=0 .
\]

Равенство (7.28) иногда называют модифицированным принципом Гамильтона. Мы будем пользоваться им главным образом в связи с каноническими преобразованиями (см. гл. 8), сейчас же мы покажем, что этот принцип приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона.

Фигурирующая в равенстве (7.28) $\delta$-вариация была рассмотрена нами в $§ 2.1$. Термин «вариация интеграла» мы там понимали в смысле изменения интеграла при изменении траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. При этом начальная и конечная точки такой траектории оставались неизменными (см. рис. 9). Кроме того, на вариацию интеграла накладывалось еще одно условие, состоящее в том, что при варьировании траектории изображающей точки время $t$ не варьировалось. В частности, моменты времени, соответствующие начальной и конечной точкам траектории, оставались при всех вариациях неизменными, и поэтому полное время движения являлось для всех траекторий одним и тем же. Таковы условия, накладываемые на вариацию интеграла, стоящего в правой части равенства (7.28).

Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можно свести к вычислению дифференциалов, для чего достагочно рассмотрегь однопараметрическое семейство возможных траекторий в пространстве конфигураций. Координаты $q_{i}$ становятся тогда функциями времени $t$ и параметра $\alpha$, указывающего, какая траектория применяется при вычислении интеграла $l$ : Поэтому этот интеграл можно рассматривать как функцию $\alpha$, а вариации входящих в него величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно записать следующим образом:
\[
\delta \rightarrow d \alpha \frac{\partial}{\partial \alpha} .
\]

Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин $q$ и $p$ будем считать теперь ңезависимыми, так как в методе Гамильтона координаты $q$ и импульсы $p$ рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы.

Записывая равенство (7.28) с помощью параметра $\alpha$, мы будем иметь
\[
\delta I=\frac{\partial I}{\partial \alpha} d \alpha=d \alpha \frac{\partial}{\partial \alpha} \int_{i_{i}}^{t_{2}}\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(q, p, t)\right] d t=0,
\]

или
\[
d \alpha \int_{i_{1}}^{t_{2}} \sum_{i}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha} \dot{q}_{i}+p_{i} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \alpha}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha}\right) d t=0
\]
(так как $t_{1}$ и $t_{2}$ не зависят от $\alpha$ ). Кроме того, так как варьирование производится при постоянном $t$, то в члене $\frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \alpha}$ можно изменить порядок дифференцирования по $t$ и по $\alpha$ и заменить
этот член на $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial q_{l}}{\partial \alpha}\right)$. Тогда получим
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} p_{i} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \alpha} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} p_{i} \frac{d}{d t} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha} d t=\left.p_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{p}_{i} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha} d t,
\]

причем первое слагаемое правой части этого равенства будет равно нулю, так как все варьируемые траектории проходят через одни и те же конечные точки, и поэтому при $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$ производная $\frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}$ обращается в нуль. Учитывая это и полагая
\[
d \alpha \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}=\delta q_{i} \quad \text { и } \quad d \alpha \frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha}=\delta p_{i}
\]
[см. (7.29)], мы можем равенство (7.30) записать в виде
\[
\int_{t_{i}}^{t_{2}} \sum_{i}\left[\delta p_{i}\left(\dot{q}_{i}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right)-\delta q_{i}\left(\dot{p}_{i}+\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)\right] d t=0 .
\]

Но так как вариации $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$ являются независимыми, то этот интеграл может обращаться в нуль только тогда, когда равны нулю коэффициенты при вариациях $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$. Таким образом, мы получаем равенства
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}},
\]

совпадающие с уравнениями Гамильтона.
Требование независимости вариаций $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$ играло в этом доказательстве весьма существенную роль. Это обстоятельство подчеркивает основное различие между методами Лагранжа и Гамильтона. В методе Лагранжа поведение системы описывается ее обобщенными координатами $q_{i}$ и обобщенными скоростями $\dot{q}_{i}$. Но переменная $\dot{q}_{i}$ тесно связана там с переменной $q_{i}$, так как она равна производной от $q_{i}$ по $t$. Поэтому при выводе уравнений Лагранжа мы должны были выражать вариации $\delta \dot{q}_{i}$ через независимые вариации $\delta q_{i}$. Это делалось с помощью интегрирования по частям, в результате чего появлялись члены $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)$, приводившие к уравнениям движения второго порядка. Из модифицированного же принципа Гамильтона мы получили уравнения первого порядка, и это удалось сделать только потому, что в отличие от $\delta \dot{q}_{i}$ мы считали $\delta p_{i}$ не зависящими от $\delta q_{i}$. Это значит, что обобщенные импульсы мы считаем такими же независимыми переменными, как обобщенные коордннаты, и считаем, что $p_{i}$ связаны с $q_{i}$ и $t$ только уравнениями дбижения, а не каким-либо заранее заданным соотношением. Таким образом, ни систему переменных $q_{i}$, ни систему перемен.

ных $p_{i}$ мы не рассматриваем как основную, а считаем эти переменные одинаково независимыми. Только увеличивая таким способом число независимых переменных с $n$ до $2 n$, мы можем получить уравнения движения первого порядка. В связи с этим следует заметить, что термины «координаты» и «импульсы» являются неудачными, так как они вызывают представление о пространственных координатах и таких величинах, как количество движения или кинетический момент. Теперь, однако, им следует придать более широкий смысл и считать, что разделение переменных на координаты и импульсы есть разделение переменных, описывающих движение, на две независимые группы, связанные друг с другом посредством уравнений Гамильтона почти симметричным образом.