Рассмотрим две системы, равномерно движущиеся одна относительно другой. Пусть при $t=0$ начала этих систем совпадают и пусть источник света, находящийся в начале системы $x y z$, посылает в этот момент импульс света. Наблюдатель, находящийся в этой системе, обнаружит при этом, конечно, сферическую волну света, распространяющуюся со скоростью $c$. Уравнение фронта этой волны имеет вид
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2} t^{2} .
\]

Но опыт показывает, что скорость света одинакова во всех системах. Следовательно, наблюдатель, находяцийся в системе, движущейся относительно источника света, также будет видеть сферическую световую волну, распространяющуюся из начала системы $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$; уравнение фронта этой волны будет иметь вид
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=c^{2} t^{\prime 2},
\]

где $t^{\prime}$ – время в системе $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Таким образом, мы допускаем возможность изменения масштаба времени при переходе от одной системы к другой. Более подробно это можно высказать следующим образом: преобразование, посредством которого уравнение (6.6) получается из уравнения (6.5), может быть таким, что интервал времени между двумя событиями будет зависеть от системы отсчета, в которой находится наблюдатель. Из уравнений (6.5) и (6.6) следует, что искомое преобразование должно удовлетворять условию
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2} t^{2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime^{2}}-c^{2} t^{\prime 2} .
\]

Это равенство напоминает условие ортогональности преобразования [см. формулу (4.13)], и для того, чтобы подчеркнуть это сходство, мы будем писать не $x y z$, а $x_{1} x_{2} x_{3}$. Тогда равенство (6.7) примет следующий вид:
\[
\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}-c^{2} t^{2}=\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{\prime 2}-c^{2} t^{\prime 2} .
\]

Сравнение равенства (6.7′) и (4.13) указывает на целесообразность формального введения четвертой координаты $x_{4}$, равной мнимой величине ict. Тогда мы получим еще большее сходство с пространственным ортогональным преобразованием, так как равенство (6.7′) примет вид
\[
\sum_{\mu=1}^{4} x_{\mu}^{2}=\sum_{\mu=1}^{4} x_{\mu}^{\prime 2} .
\]

Это равенство показывает, что искомое преобразование можно мыслить как вращение в четырехмерном пространстве, три измерения которого являются измерениями обычного пространства, а четвертое является ‘мнимым и пропорционально времени $t$. Это пространство известно, как пространство Минковского. Следовательно, преобразование Лоренца является ортогональным преобразованием пространства Минковского. Поэтому весь математический аппарат главы 4, относящийся к ортогональным преобразованиям пространства, можно применить и к преобразованию Лоренца.

Допустим, что мы переходим от одной системы координат к другой, покоящейся относительно первой, но повернутой относительно нее. Ясно, что преобразование, описывающее этот переход, также является преобразованием Лоренца. Чисто лоренцовым мы будем называть такое преобразование Лоренца, которое не содержит пространственного вращения, а связывает две равномерно движущиеся друг относительно друга системы, оси которых параллельны. Ясно без специального доказательства*), что любое преобразование Лоренца есть произведение пространственного вращения на чисто лоренцово преобразование. Поэтому достаточно рассмотреть только чисто лоренцово преобразование, причем относительную скорость рассматриваемых систем можно, не уменьшая общности, считать направленной вдоль оси $x_{3}$ (так как этого всегда можно добиться с помощью соответствующего поворота координатных осей). Рассмотрим матрицу этого преобразования и обозначим ее элементы через $\left.a_{\mu
u}{ }^{* *}\right)$. Тогда будем иметь:
\[
x_{\mu}^{\prime}=\sum_{v=1}^{4} a_{\mu v} x_{v} .
\]

Элементы $a_{\mu
u}$ должны, конечно, удовлетворять таким же условиям ортогональности, какие мы имели для пространственных поворотов [см. уравнение (4.37)]. ІІоэтому можно написать:
\[
\sum_{v} a_{\mu
u} a_{\lambda v}=\delta_{\mu \lambda} .
\]
*) См. R. В ecker, Theorie der Elektrizität, т. II, 6-е изд., Лейпциг, 1933, cтp. 287.
**) Греческие буквы $\mu, v, \lambda$ и т. д. мы будем применять для обозначения индексов, пробегающих значения от 1 до 4 , а латинские буквы $i, j, k$ и т. д. для индексов, изменяющихся от 1 до 3 . Такие обозначения стали сейчас общегіринятыми.

Однако в отличие от обычного ортогонального преобразования пространства теперь не все эти элементы являются вещественными. Действительно, так как координаты $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$ должны быть вещественными, то элементы $a_{i 4}(i=1,2,3)$ должны, очевидно, быть мнимыми. Кроме того, так как $x_{4}^{\prime}$ должно быть мнимым, то ясно, что элементы $a_{4 i}$ должны также иметь мнимые значения, тогда как элемент $a_{44}$, очевидно, должен быть вещественным.

В направлениях, перпендикулярных к движению, преобразование, очевидно, ничего не меняет, и поэтому можно написать:
\[
x_{1}^{\prime}=x_{1}, \quad x_{2}^{\prime}=x_{2} .
\]

Вследствие этого при рассматриваемом преобразовании будут изменяться только координаты $x_{3}$ и $x_{4}$. Кроме того, ясно, что ни координата $x_{3}^{\prime}$, ни координата $x_{4}^{\prime}$ не будут зависеть от координат $x_{1}$ и $x_{2}$, в чем можно убедиться с помощью следующих общих соображений. Ни одна из точек плоскости $x_{1} x_{2}$ не является привилегированной, и поэтому нет физических соображений, заставляющих какую-либо одну из них обязательно считать началом координат. Поэтому начало координат можно перенести в любую точку плоскости $x_{1} x_{2}$, не изменяя при этом величин $x_{3}^{\prime}$ и $x_{4}^{\prime}$. Но так как такой перенос изменит значения величин $x_{1}$ и $x_{2}$, то эти координаты не могут входить в уравнения, определяющие $x_{3}^{\prime}$ и $x_{4}^{\prime}$. На основании всего сказанного мы приходим к выводу, что матрицу чисто лоренцова преобразования можно записать в виде
\[
\left\|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right\| .
\]

Поэтому мы будем иметь следующие три условия ортогональности, связывающих четыре элемента матрицы:
\[
\left.\begin{array}{r}
a_{33}^{2}+a_{34}^{2}=1, \\
a_{43}^{2}+a_{44}^{2}=1, \\
a_{33} a_{43}+a_{34} a_{44}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Для того чтобы однозначно определить эти элементы, необходимо иметь четвертое условие. Оно может быть получено из того факта, что начало координат системы $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}\left(x_{3}^{\prime}=0\right.$ ) движется вдоль оси $x_{3}$ таким образом, что в момент $t$ его координата $x_{3}$ равна
\[
x_{3}=v t=-i \beta x_{4}
\]

где
\[
\beta=\frac{0}{c} .
\]

Учитывая это, мы можем написать следующее равенство, определяющее начало системы $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$ :

Отсюда получаем
\[
x_{3}^{\prime}=x_{4}\left(a_{34}-i \beta a_{33}\right)=0 \text {. }
\]
\[
a_{34}=i \beta a_{33},
\]

и поэтому первое из условий ортогональности
(6.11) можно
будет записать в виде
\[
a_{33}^{2}\left(1-\beta^{2}\right)=1 \text {. }
\]

Следовательно,
\[
a_{33}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

и поэтому
\[
a_{34}=\frac{i \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Заметим, что число $a_{33}$ является вещественным, а число $a_{34}-$ мнимым, что согласуется с требованием вещественности преобразованных пространственных координат.

Два остальных элемента матрицы могут быть найдены посредством решения второго и третьего уравнений (6.11) относительно $a_{43}$ и $a_{44}$. Последнее из этих уравнений дает
\[
a_{43}=-a_{44} \frac{a_{34}}{a_{33}}=-i \beta a_{44} .
\]

Подставив этот результат во второе уравнение (6.11), найдем
\[
a_{44}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

и следовательно,
\[
a_{43}=\frac{-i \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Таким образом, матрица преобразования Лоренца имеет вид *)
\[
\left.\| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} & \frac{i \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \\
0 & 0 & \frac{-i \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\end{array} \right\rvert\, .
\]
*) Радикал, фигурирующий в коэффициентах $a_{44}$ и $a_{33}$, мы берем со знаком плюс. Это сделано для того, чтобы при $\beta \rightarrow 0$ матрица (6.15) переходила в единичную матрицу. Нас интересует только получение собственных преобразований Лоренца с детерминантом +1 .

Заметим, что в ее составе содержится матрица, имеющая вид
\[
\left\|\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right\|,
\]
т. е. являющаяся матрицей поворота в плоскости $x_{3} x_{4}$. Однако угол этого поворота является мнимым, так как здесь
\[
\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

и, следовательно, больше единицы.
Формулы преобразования Лоренца можно записать также в виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \\
y^{\prime}=y, \\
z^{\prime}=\frac{z-v t}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \\
t^{\prime}=\frac{t-\frac{v z}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\end{array}\right\}
\]

Что касается обратного преобразования, т. е. перехода от $x_{\mu}^{\prime}$ к $x_{\mu}$, то оно может быть получено посредством простого транспонирования матрицы (6.15). Из вида этой матрицы следует, что формулы обратного преобразования будут отличаться от формулы (6.17) только знаком скорости v. Этот результат следовало ожидать, исходя из чисто физических соображений, ибо скорость, с которой система $x_{1} x_{2} x_{3}$ движется относительно си-

Если исходить из обычных представлений, то наиболее парадоксальной должна казаться та формула (6.17), которая описывает связь между $t$ и $t^{\prime}$. Действительно, согласно этой формуле два события, происшедшие одновременно в двух различных точках пространства, в системе $x_{1} x_{2} x_{3}$ будут казаться наблюдателю, находящемуся в системе $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$, неодновременными, что объясняется присутствием члена $v z / c^{2}$ в последней формуле (6.17). В задачи нашей книги не входит рассмотрение физического существа этого, а также других кажущихся парадоксов преобразования Лоренца *), однако два известных следствия этого преобразования мы считаем нужным отметить: это уменьшение длины (эффект Лоренца – Фицджеральда) и увеличение масштаба времени.
*) См. P. Bergm an n, An Introduction to the Theory of Relativity, 1942, Нью-Иорк (имеется русский перевод: Бергман П., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947) и цитированную на стр. 212 книгу Р. Беккера.

Рассмотрим твердый стержень, находящийся в покое в системе $x y z$ и расположенный вдоль ее оси $z$. Пусть длина этого стержня будет равна $l=z_{2}-z_{1}$. Если движущийся наблюдатель пожелает измерить длину этого стержня, то он станет определять в системе $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ координаты его концов, т. е. величины $z_{1}^{\prime}$ и $z_{2}^{\prime}$ в момент $t^{\prime}$. Но согласно формулам обратного преобразования
\[
z_{1}=\frac{z_{1}^{\prime}+v t^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

и
\[
z_{2}=\frac{z_{2}^{\alpha}+v t^{\prime}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Следовательно, кажущаяся длина этого стержня будет равна
\[
z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}=l \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Таким образом, движущемуся наблюдателю стержень будет казаться укороченным в отношении $1: \sqrt{1-\beta^{2}}$. Этот результат составляет содержание известной гипотезы Лоренца – Фицджеральда о «сжатии». Заметим, что при выводе формулы (6.18) было бы неудобно пользоваться непосредственно уравнениями (6.17), так как, хотя движущийся наблюдатель измеряет координаты концов стержня в один и тот же момент $t^{\prime}$, однако в системе $x y z$ эти измерения нельзя считать производящимися одновременно, так как величины $z_{1}$ и $z_{2}$ различны.

Предположим теперь, что в системе $x y z$ находятся часы, расположенные в точке $z_{1}$ и показывающие время $t_{1}$. Наблюдатель, связанный с подвижной системой, зафиксирует ‘в этот момент время
\[
t_{1}^{\prime}=\frac{t_{1}-\frac{v z_{1}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

а в момент $t_{2}$
\[
t_{2}^{\prime}=\frac{t_{2}-\frac{v z_{1}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Поэтому кажущийся промежуток времени будет равен
\[
t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{t_{2}-t_{1}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Следовательно, когда стрелка неподвижных часов передвинется на один час, с точки зрения движущегося наблюдателя пройдет время $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ часов. Поэтому он скажет, что неподвижные часы отстают, т. е. что они теряют время. Таким образом, это явление можно характеризовать как «растяжение времени». Следует, однако, подчеркнуть, что наблюдатель, находящийся в системе $x y z$, тоже будет считать, что часы, связанные с системой $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, отстают от его часов. Точно такая же картина имеет место и для эффекта Лоренца в отношении сокращения длины: наблюдатель, находящийся в системе $x y z$, тоже будет наблюдать сжатие (6.18) предметов, неподвижных относительно системы $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Таким образом, ни одну из рассмотренных систем мы не можем считать неподвижной и противопоставлять ее другой системе – движение является относительным и все (равномерно движущиеся) системы совершенно эквивалентны.

Из преобразования Лоренца следует также, что невозможна относительная скорость больше $c$. В самом деле, если бы тело имело такую скорость относительно некоторой системы, то посредством соответствующего преобразования Лоренца можно было бы перейти к другой системе, в которой это тело неподвижно. Но при $\beta>1$ преобразование Лоренца не приводит к вещественным значениям координат. Следовательно, скорости, бо́льшие скорости света, не могут иметь места.

Может показаться, что скорость, бо́льшую скорости света $c$, можно получить с помощью двух последовательных преобразований Лоренца. Пусть, например, вторая система движется относительно первой со скоростью $v_{1}>c / 2$, а третья система движется относительно второй со скоростью $v_{2}$, также большей, чем $c / 2$ (в том же направлении). Можно подумать, что скорость третьей системы относительно первой будет тогда больше чем $c$. Однако это не так, ибо эта скорость не равна просто $v_{1}+v_{2}$. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти преобразование Лоренца, описывающее переход от первой системы к третьей. Перемножая для этого матрицы рассматриваемых преобразований, мы найдем полное преобразование и увидим, что оно соответствует скорости $v_{3}$, определяемой так называемыі законом Эйнштейна для сложения скоростей. Согласно этому закону
\[
v_{3}=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+\frac{v_{1} v_{2}}{c^{2}}},
\]

или
\[
\beta_{3}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1} \beta_{2}} .
\]

Отсюда видно, что если $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ меньше единицы, то $\beta_{3}$ также будет меньше единицы. Вывод формулы (6.20) мы предоставляем читателям провести самостоятельно в качестве упражнения.