45. Две системы приложенних векторов $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ называются эквиєалентными, если они иметот один и тот же главный вектор и один и тот же главный момент по отношению к какой-либо точке $P$, а вследствие этого, в силу соэтношений (30), и по отношению к любой точке. Таким образом, например, несколько векторов, приложенных к одной и той же точке, обравуют в силу теоремы Вариньона (рубр. 38) систему, эквивалентную одному вектору, именно, главному вектору этой системы, приложенному в той же точке. Таким же образом всякие два вектора, расположенные на той же прямой (имеющие общую прямую ден̈ствия), также эквивалентны.

Из самого определения экзивллентности двух систем непосредственно вытекает, что две системы приложенных векторов, әквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Кроме того, если системы $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots, \Sigma_{n}$ соответственно эквивалентны системам $\Sigma_{1}^{\prime}$, $\Sigma_{2}^{\prime}, \ldots, \Sigma_{n}$, то система $\Sigma$, составленная из систем $\Sigma_{i}$ $(i=1,2,3, \ldots, n)$, эквивалентна системе $\Sigma^{\prime}$, составленной из систем $\Sigma_{i}$.

Если даны две системы приложенных векторов и нужно установить, эквивалентны ли они, то достаточно отнести их к общей системе координат; условия, необходимые и достаточ ные для эквивалентности систеи, выражаются формулами:
\[
\begin{array}{l}
X=X^{\prime}, \quad Y=Y^{\prime}, \quad Z=Z^{\prime} \\
M_{x}=M_{x}^{\prime}, \quad M_{y}=M_{y}^{\prime}, \quad M_{z}=M_{z}^{\prime} ; \\
\end{array}
\]

значение букв, конечно, понятно.
46. Ив самого определения эквивалентности также совершенно эсно, что система $\Sigma$ эквивалентна одному вектору в том и только в том случае, если существует такой центр приведения, по отношепию к которому главный момент равен нулю, а әто, в свою очередь, имеет место в том и только в том случае, если наименьший момент или, что то же, инвариантный трехчлен $T$ равен нулю. Если условие это выполнено и главный вектор системы отличен от нуля, то система эквивалентна главному вектору $R$, приложенному в любой точке центральной оси системы (прямой денствия этого вектора).

Если $\boldsymbol{R}=0$, то главный момент $\boldsymbol{M}$ (рубр. 39) не зависит от центра приведения; если поәтому $M>0$, то система ни в коем случае не эквивалентна одному вектору; если же и $\boldsymbol{M}=0$, то система эквивалентна нулевому вектору; в этом последнем случае говорят, что система эквивалентна нулю, пли, что она уравновешена, что она находится в равновесии.

Относительно уравновешенной системы нужно иметь в виду, что ее момент относительно любой прямой также равен вулю (рубр. 38).

Важно еще заметить, что две снстемы эквивалентны, если одна из них получается из другой путем присоединения уравновешенной системы; в самом деле, совершенно ясно, что такое преобравование системы не изменяет ни ее главного вектора, ни главного момента.

Самым простым примером уравновешенной системы служат два вектора, обращенные в противоположные стороны на одной и той же пияме действия, или, как обыкновенно говорят, прямо противоположные векторы. Совершенно ясно, что уравновешенная система остается таковой, если к ней присоединить два прямо противоположные вектора.
47. Элементарные операқии. По отношению к заданной системе приложенных векторов следующие два приема носят название элементарных операций.
1) Сложение или разложение векторов, приложенных $x$ одной и той жс точке (т. е. замена какого угодно числа векторов системы, приложенных в одной и тсй же точке $P$, их суммой, приложенной в той же точке $P$; или обратно-замена какого угодно вектора, приложенного в накоторой точке $P$, несколькими другими, прилож нными в той же точке и имеющими этот вектир своею суммой).
2) Присоединение или устранение двух прямо противоположних векторов.

К числу элементарных операций можно еще отнести перенесение вектора вдоль линии его действия, т. е. замену какого угодно приложенного вектора $\overline{A B}$ (фиг. 19) равным ему вектором $\overline{C D}$, расположенным на топ же прямой. В самом деле, эта последняя операция сводится к последовательному применению следующи двух элементарных операций: присоединяем к рассматриваемой системе два прямо противоположные вектора $\overline{C D}$ и $\overline{D C}$, затем устраняем в полученной после этого системе векторы $\overline{A B}$ и $\overline{D C}$, также прямо противоположны.

Из сказанного следует, что последовательное пропзводство над системой векторов какого угодно числа элементарных операций всегда приводвт к системе, эквивалентной данной. Мы покажем ниже (рубр. 51), что и обратно, если две системы эквивалентны, то одну пз них можно цолучить из другой путем выполнения ряда элементарных операций. Вследствие әтого две эквивалентные систель назнвают также приводимыи одна $x$ другой. Речь идет здесь, таким образом, о приведении одной системы к другой внподняемом с помощью одних только әлементарных операций.

Из этого следует, что за определение двух әквивалентных систем можно было бы принять их взаимную приводимость, как это, действительно, и делал Пуансо ${ }^{1}$ ).
48. Ірнводимость всякой системы к трех приложенным вөкторам. Пусть $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ будут три точки пространства, не расположенные на одной прямой. Рассмотрим сначала один приложенный вектор $\overline{A B}$, начало которого не ґежит в плоскөсти $P_{1} P_{2} P_{3}$.

Мы знаем (рубр. 15), что вектор $\overline{A E}$ можно разложить на три вектора, центрированные в точке $A$ и имеющие прямыми действия $A P_{1}, A P_{2}, A P_{3}$ (фиг. 20). Перенесем каждый из них на прямой действия так, чтобы они имели точками приложения соответственно $P_{1}, P_{2}, P_{3}$. Вектор $\overline{A B}$, таким образом, приведен одними элементарными операциями к трем векторам, приложенным в предназначенных точ$\operatorname{\kappa ax} P_{1}, P_{2}, P_{3}$.

Легко видеть, что такое приведение вектора $\overline{A B}$ всегда возможно также и в том случае, когда начало его $A$ лежит в плоскости $P_{1} P_{2} P_{3}$. В самом деле, если вектор $\overline{A B}$ не лежит весь в плоскости $P_{1} P_{2} P_{3}$, то достаточно перенести его по линии действпя: начало $A$ выйдет тогда из плоскости $P_{1} P_{2} P_{3}$, и мы окажемся в условиях уже рассмотренного случая. Остается случай, когда прямая $A B$ лежит в плоскости $P_{1} P_{2} P_{3}$. Но тогда из трех прямых $A P_{1}, A P_{2}, A P_{3}$, по крайней мере, две, скажем, $A P_{1}$ и $A P_{2}$, не совпадают; наш вектор можно тогда разложить на два (рубр. 1б) по прямым $A P_{1}$ и $A P_{2}$ (один из них может оказаться равным нулю), которые, следовательно, можно будет перенести в точки $P_{1}$ и $P_{2}$; приведение, таким образом, выполнено, три єектора будут прилодены в точках $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, но один из них (а может случиться, что и два) будет нулевым.

Установив это, уже легко доказать более общее предложение, что всякая сиетема приложенных векторов может быть приведена к трем векторам, приложенным к трем произвольно выбрачным точкам, не лежащим на одной прямой. Для этого, очевидно,
1) I. Пуансо (Louis Poinsot) родилея в Париже в 1777 г., умер также в Париже в 1859 г. Отличалоя редкой наглядностью и излществом методов в нсследовании многих глубоких вопросов, пользовалея иеклочительно прямыми геометрическими ередствами. Классическим является его сочинение „Eléments de statique\”, Paris – Maillet Bochelier, 10-е издание которого появилост B $1861 \mathrm{r}$.

будет достаточно произвести требуемое приведение для каждого вектора системы в отдельности, а затем заменить векторы, приложенные в каждой точке, пх суммой.
49. Приведение любой спстехы к двуи прлложеиным векторам. Точнее мы здесь докажем, что любая сдстема приложенных векторов может быть приведена (при помощи одних әлементарных операций) к двум векторам, один из которых приложен в произвольно выбранной точке.

Выберем произвольно еще дзе дополнительные точки $P_{1}$ и $P_{2}$, не расположенные на одной прякой с точкой $P$ (фиг. 21). Согласно доказанному, система может быть приведена к трем векторам $\boldsymbol{v}$, $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$ (между которыми могут оказаться и нулевые), соответственно приложенным к точклм $P, P_{1}, P_{2}$. Обозначим через $\pi_{1}$ плоскость, проходящую через точку $P$ и содержащую вектор $v_{1}$ (произвольную плоскость, проходящую через прямую $P P_{1}$, если $v_{1}=0$ ); аналогично, через $\pi_{2}$ обозначим плоскость, проходящую через точку $P$ и содержащтю вектор $\boldsymbol{v}_{2}$ (произвольную плоскость, проходящую через прямую $P P_{2}$, если $\boldsymbol{v}_{2}=0$ ).
Рассмотрим сначала наиболее общий слу-
Фиг. 21. чаӥ, когда плоскости $\pi_{1}$ и $\pi_{2}$ не совпа ают и прямая их пересечения $r$ не содержит тичек $P_{1}$ п $P_{2}$. На прямой $r$ выберем произвольно точку $A$, отличную от $P$. Как известно (рубр. 14 и 41), вектор $\boldsymbol{v}_{1}$, лежащий в плоскости $\pi_{1}$, әквивалентен двум векторам, приложенным в точке $P_{1}$ и лежащим на прямых $A P_{1}$ и $P P_{1}$; эти последние могут быть затем перенесены по прямым действия (рубр. 40) соответственно в точки $P$ в $A$. Выполнив такое же приведение по отношению к вектору $\boldsymbol{v}_{2}$, мы сможем заключить, что данная система приводится к трем векторам, приложенным в точке $P$, и двум, приложенным в точке $A$. Теперь достаточно сложить векторы, приложенные в точке $A$, а также векторы, приложенные в $P$, чтобы получить требуемое приведение системы к двум векторам, из которых один приложен к точке $P$.

То же самое рассуждение остается также в силе в исключительных случаях, когда плоскости $\pi_{1}$ и $\pi_{2}$ совпадают или когда прямая их пересечения проходит через одну из точек $P_{1}$ или $P_{2}$. Во всяком случае, если, скажем, точка $P_{1}$ лежит в обеих плоскостях, то достаточно совместить точку $A^{1}$ с $P_{1}$, и все рассуждение можно будет провести, как выше ${ }^{1}$ ).

б0. Пусть $\Sigma$ будет какая-либо уравновешенная сустема (рубр. 46), т. е. имеющая нулевой главный момент и нулевой главный вектор.
1) Вектор $\mathfrak{v}_{1}$ цри этом разлагать не придется, а вектор $\mathfrak{v}_{2}$ разложим по направлениям $A P_{2}\left(P_{1} P_{2}\right)$ и $P P_{2}$; затем первую слагающую перенесем в $P_{1}$, а вторую в $P$ (Peд.)

Если подвергнем ее приведению, указанному в предыдущей рубрике, то оба вектора, к которым приведение приводит, неизбежно окажутся прямо противоположными (в частности, они будут оба нулевыми, если один из них окажется нулевнм); в самом деле, для того чтобы их сумма была равна нулю, эти векторы должны быть противоположны, т. е. (рубр. 15) равны по абсолютной величине и обращены в противоположные стороны; но они должны также иметь общую прямую действия, так как в противном случае их главный момент не обращался бы в нуль: это становится очевидным, если за центр приведения возьмем точку $P$, лежащую на одной из прямых действия.

Но всякая спстема, составленная из двух прямо противоположных векторов, при шомощи второй элементарной операции (рубр. 47) приводится к одному нулевому вектору. Мы приходим, таким образом, к выводу, что всякая уравновешенная система приводится $\mathrm{k}$ ао́солютно нулевой системе, т. е. не содержащей никаких векторов или, что сводится $\kappa$ тому же, состоящей исключительно из нулевых векторов.
Фиг. 22.
51. Взаимная приводпмость двух эквивалентных сиетем. Теперь мы имеем уже возможность доказать (рубр. 47), что каждая система $\Sigma_{1}$ может быть приведена к люойй эквивалентной ей системе $\Sigma_{2}$.

С этой целью рассмотрим систему $\Sigma_{2}{ }^{\prime}$, составленную из приложенных векторов, прямо противоположных отдельным векторам системы $\Sigma_{2}$. Присоединяя к системе $\Sigma_{1}$ все векторы $\overline{A B}$ системы $\Sigma_{2}$ и соответствующие векторы $\overline{B A}$ системы $\Sigma_{2}^{\prime}$, мы убедимся, что система $\Sigma_{1}$ приводится $к$ сложной системе, составленной из систем $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \Sigma_{2}^{\prime}$.

С другой стороны, каков бы ни был центр приведения, главный момент и главный вектор системы $\Sigma_{2}^{\prime}$, очевидно, равны и противоположны главному моменту и главному вектору системы $\Sigma_{2}$, а следовательно, и системы $\Sigma_{1}$. Вследствие этого векторы системы, составленной из систем $\Sigma_{1}$ и $\Sigma_{2}{ }^{\prime}$, уравновешены; поэтому система $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}^{\prime}$ может быть, как показано в рубр. 44, приведена к абсолютно нулевой системе. Отсюда следует, что система $\Sigma_{1}$, $\Sigma_{2}, \Sigma_{2}^{\prime}$ может быть приведена к одной системе $\Sigma_{2}$.

Таким обравом, пользуясь исключительно элементарными операциями, можно перейти от системы $\Sigma_{1}$ к сложной системе $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \Sigma_{2}^{\prime}$ и от нее к системе $\Sigma_{2}$.
52. Пары. Парой называется всяқая система, составленная из двух противоположжых приложенных векторов, т.е. параллельных, обращенных в противоположные стороны и равных по абсолютной величине (фиг. 22). Расстояние $b$ между параллельными прямыми действия называетея плечом пары. Иногда бывает полезно вводить еще понятие о стороне обращения пары, понимая под этим сторону вращения, которую одинаково определяют оба вектора в своей плоскости относительно произвольной точки $O$, лежащей между их прямыми действия.

Так как главний вектор веякой пары Г равен нулю, то главные моменты той же пары всегда выражаются зквкполлентными векторами, қак бы мы ни выбирали центр приведения (рубр. 39).

Пусть $\overline{A B}$ и $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ будут два вектора пары Г. Взяв за центр приведения точку приложения одного из двух векторов, например точку $A^{\prime}$, мы сейчас же увидим, что момент $M$ пары Г совпадает с моментом второго вектора $\overline{A B}$; он имеет поэтому длину, равную произведению из плеча пары $ь$ на обиую длину обоих векторов; он перпендикулярен к плоскости пары и имеет относительно $A B$ правостороннее направление (рубр. 33).

Последнее обстоятельство относится к вектору $M$, приложенному в точке $A^{\prime}$. По соображениям непрерывности вместо $A^{\prime}$ можно, очевидно, взять любую другую точку, расположенную относительно прямой $A B$ с той же сторонн, что и $A^{\prime}$ – в частности, любую точку $P$, лежащую внутри полосы, содержащейся между параллелями $A B$ и $\boldsymbol{A}^{\prime} B^{\prime}$. Вследствие этого сторопу обращения момента $M$ можно характеризовать, сохраняя симметрию относительно обоих векторов, если воспользоваться стороной обращения пары, которую они образуют. Это приведет к следующему предложению. Для наблюдателя, стоящего ногами в точке $O$ (произвольно выбранной в полосе, ограниченной прямыми действия обоих векторов) и обращенного голосой в сторону момента $M$, обрацение пары представляется правосторонним.
53. Из того факта, что главный вектор пары всегда равен нулю, следует, что двє пары эквивалентны в том и только в том случае, если для какого-либо центра приведения (а «ледовательно, и для любого центра) их моменты совпадают.

Теперь припомним (рубр. 46), что система с нулевнм главным вектором может быть эквивалентна одному (нулевому) вектору только в том случае, если ее момент равен нулю (т. е. если составляющие ее векторы равнн нулю или расположены на одной и той же прямой). Отсюда следует, что пара, момент которой отличен от нуля, никогда не может быть эквивалентной одному вектору.
54. Покажем теперь, что любой вектор $M$ можно всегда и притом бесчисленным множеством способов рассматривать как момент некоторой пары Г, при этом бесполезно указывать полюс, так кал (рубр. б2) момент пары не зависит от положения полюса.

Чтобы найти одну из таких пар, достаточно, например, взять плоскость $\pi$, перпендикулярную к вектору $M$, и на ней нанести две параллельные прямые $r$ и $r^{\prime}$ (фиг.23); если $b$ есть расстояние между этими прямыми, то построим пару $\Gamma$, приложив на прямых и $r^{\prime}$ два произвольных вектора $\overline{A B}$ п $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$, имеющих общую длину $\frac{M}{b}$ п обраценных таким образом, чтобы пара $\Gamma$ оказалась правосторонней по отношению к вектору $M$, приложенному в точке между параллелями $r$ и $r^{\prime}$.
55. Іриводимость любой системы к одному вектору и одной паре. Из изложенного вытекает, что любая система векторов эквивалентна другой системе, состоящей из одного вектора и одной пары.

В самом деле, возьмем за центр приведения произвольную точку $P$ и приложим в ней главный вектор $R$ заданной системь, далее построим любую пару $\Gamma$, имеющую своим моментом главный момент $M$ заданной системы.

Система, которая составлена из вектора $R$, приложенного в точке $P$, и из пары $\Gamma$, эквивалентна данной системе. В самом деле, главным вектором ее служит $R$, а главным моментом – момент пары $\Gamma$, т. е. $\boldsymbol{M}$ (ибо вектор $\boldsymbol{R}$, приложенный в центре приведения $P$, нө вносит никакой добавочной слагающей в состав главного момента системы).
56. В рубр. 46 было установлено, при каких условиях системи векторов эквивалентны одному вектору; тедерь мы к этому можем прибавить, что скстема векторов эквивалентна одной паре в том и только в том случае, когда ее главный вектор равен нулю; в частности и әта пара может оказаться нулевой. Присоединяя этот результат к предыдущим, мы можем сделать следующий вывод.

Систена, инвариантный трехилен которой отличен от нуля (в каковом случае ни $R$, ни $M$ не могут обратиться в нуль, ибо $T=M R$ ), всегда эквивалентна одному вектору и одной паре.

Система же, инвариантный трехчлен которой равен нуло, всегда приводится к более простой системе; эта последняя лио́о состоит из одного вектора, либо из одной пары, либо вовсе сводитея $\boldsymbol{n}$ нулю. Первый случай имеет место, когда главный вектор системы $R$ отличен от нуля (рубр. 46); второй – когда главный вектор $R$ равен нулю, а главный момент $\boldsymbol{M}$ отличен от нуля; третий – когда совместно обращаются в нуль и $R$ и $M$.
57. В качестве непосредственного приложения мы можем доказать, что следующие сйстемы эквивалентны одному вектору или одной паре (или же, в частвости, әквивалентны нулю):
1) Плоские системи (т. е. составленные из приложенных векторов, лежащих в одной и той же плоскости).
2) Параллельные системи (т. є. составленные из прмложенных векторов, цараллельных между собой).

Чтобы это доказать, достаточно обнаружить, что в этих слу-. чаах обращается в нуль инвариантный трехчлен.

Для плоской системы это обнаруживается, если мы выберем за центр приведения точку в ее плоскости. Моменты отдельных векторов в этом случае все перпендикулярны к той же плоскости, а потому к ней перпендикулярна и их сумма – главный момент системы (если он не обращается в нуль). Главный же вектор системы лежит в той же пяоскости (или обращается в нуль). Поәтому скалярное произведение $T=M R$ обрапается в нуль (рубр. 20).

В случае системн параллельных векторов, где бы ни был помещен центр приведения, главный момент $\boldsymbol{M}$, очевидно, перпендикулярен к общему напразлению векторов системы (или, в частности, обращается в нуль); главный же вектор, напротив, параллелен им; ноэтому и в этом случае $M R=0$.

Из предыдущей рубрики еще вытекает, что система, состоящая из любого числа каких угодно пар, эквивалентна одной паре, или, в частном случае, нулю, ибо главный вектор такий системы равен нулю.
58. Уравновешенные спстемы, составленные из двух или тр $\mathbf{x}$ векторов. Рассмотрим теперь уравновешенные системы (рубр. 46), составленные из двух или трех векторов (само собою разумеется, не нулевых).

Для уравновешенных систек, составленных только пз двух векторов, уже было показано (рубр. 50), что эти векторы должиы быть прямо противоположными.

Для уравновешенных систем, составленных из трех векторов, можно показать, что такие векторы непременно расположены в одной плоскости и что их прямые действия либо встречаются в одной точке, либо параллельны между собой.

Пусть $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right),\left(A_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right),\left(A_{3}, \boldsymbol{v}_{3}\right)$ будут эта три приложеннее векторы, $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ – их прямые действия. Если эти прямые совпадают, то требуемое свойство имеет место. Во всяком противном случае векторы можно перенести по прямой действия каждой из них таким образом, чтобы точки их приложения $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}$ не лежали на одной прлмой. Моменты векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ относительно прямой $A_{1} A_{2}$ (ориентированной в ту. или другую сторону – все равно) равны нулю (рубр. 37). Но сверх того должен быть равен нуло и главный момент системы (рубр. 46), поэтому момент вектора $\boldsymbol{v}_{3}$ относительно той же прямой равен нулю, а потому вектор $\boldsymbol{v}_{3}$ расположен в плоскости $A_{1} A_{2} A_{3}{ }^{1}$ ).

Совершенно таким же образом докажем, что в той же шлоскости должны лежать также и векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. Таким образом, первая часть нашего утверждения вполне доказана.
1) Еели центр приведения $P$ взят на прямой $A_{1} A_{2}$, то момент $M_{3}$ вектора $\boldsymbol{v}_{3}$ перпендикулярен к прямой $P A_{3}$, а таг как проекция этого момента на пу тмүю $A_{1} A_{2}$ также равиа нулю, то он перпендикулярен и к прямой $A_{1} A_{2}$; ов перпендикулярен позтому и к плоскости $A_{1} A_{2} A_{3}$; а так как вектор $v_{8}$ перпендикулярен к $M_{3}$, то он лежит в плоскости $A_{1} A_{2} A_{3}$. (Pед.)

Обращаясь ко второй части, предположим сначала, что прямые $r_{1}$ и $r_{2}$ встречаются в точке $O$ (фиг. 24). Перенесем два вектира $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ по прямым их действия так, чтобы оба они имели точкой приложения $O$; сложив шосле этого перенесения векторы, мы убедимся, что система $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$ эквивалентна одному вектору, приложенному в точке $O$. Этот вектор, заменяя собой систему $v_{1}, v_{2}$, от которой он произонел, должен составить вместе с $\boldsymbol{v}_{3}$ уравновешенную систему, а для этого необходимо, чтобы он лежал с $\boldsymbol{v}_{3}$ на одной прямой, т. е. чтобы прямая $r_{3}$ проходила через точку пересечения прялых $r_{1}$ и $r_{2}$.

Если, напротив, прямые $r_{1}$ и $r_{2}$ параллельны, то им должна быть параллельна и прямая $r_{3}$. В самом деле, если бы прямая $r_{3}$ пересекалась, скажем, с прямой $r_{1}$, то через точку их пересечения, согласно доказанкому, должна была бы проходить и прямая $r_{2}$, что противоречит предположєнию.
В. виде приложения вышеустановленного критерия укажем, что три вектора, приложенные в середине сторон треугольника (конечно, в его плоскости) и перпендикулярные к сторонам его в точках приложения, находятся в равновесии, если их длины пропорциональны соответствующим сторонам треугольника п если они все обращены либо внутрь треугольника, либо наружу.
$\Phi \pi r .24$.
$\Phi_{\text {IIT. }} 25$.