47. Движение точки называется центральжым, если прямая действия ускорения во всякий иомент (конечно, когда это имеет смысл, т. е. когда оно отлично от нуля) проходит через постоянную точку $O$, называемую чентром движения.

Иначе, это определение выражает, что радиус-вектор $\overline{O P}$ и ускорение $a$ коллинеарны, так что момент ускорения относительно точки $O[\widehat{O P} a]$ равен вулю.

И, обратно, если оказывдется, что векторное произведение $[\overline{O P} \boldsymbol{a}]=0$, то движение является центральным. Мы знаем, в самом деле, из теории векторов, что момент вектора $\boldsymbol{a}$, приложенного в точке $p$, относительно точки $O$, равен нулю, либо когда сам вектор $\boldsymbol{a}$ равен нулю, либо когда он проходит через точку О. Таким образом, векторная характеристика центрального двшжения ваключается в том, что во все время движения
\[
[\overline{O I} a]=0 .
\]
48. Из соотношения (54) нешосредственно следует, что вектор сєкториальной скорости всякого иентрального движения относительно центра движения $O$ является постоянным.

В самом деле, припомним, что секториальная скорость движения относительно центра $O$ отличается только множителем $\frac{1}{2}$ от векторного произведения $[\overline{O P}$ ]. С другой стороны, дифференцируя это произведение по времени, получим:
\[
\left.\frac{d}{d t}[\overline{O P} v]=\dot{[\dot{O P}} v\right]+[\overline{O P} \dot{v}] .
\]

Так как, далее (I, рубр. 65 и II, pyбр. 13)
\[
\dot{\bar{O}}=\dot{P}=\dot{\boldsymbol{v}} \text {, }
\]

To
\[
\dot{[\dot{O P}} \boldsymbol{v}]=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{v} & \boldsymbol{v}
\end{array}\right]=0,
\]

стиг звания чдена Парижской академии наук. Сочинение, в котором содержится ппавило, носящее его имя, было в первый раз опубликовано в Париже в 1696 г. и носіт название , Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes“ („Анализ бесконечно малых для иселедования кривых линий“).

a потому
\[
\left.\frac{d}{d i}[\overline{O P} \boldsymbol{v}]=\overline{[O P} \dot{\boldsymbol{v}}\right]=[\overline{O P} a]
\]

эта проивводная обращается, следовательно, для центрального движения в нуль. Отсюда следует, что
\[
\left[\overline{O P}^{i}\right]=c,
\]

где $\boldsymbol{c}$-вектор постоянный по величине и положению, – двойной вектор секториальной скорости центрального движения.

Можно прибавить, что уразнение (56) так же, как $u$ (54), яоляется характерным для чентральных движений.

В самом деле, мы уже показали, что уравнение (56) представляет собой следствие определяющего центральное движение соотношения (54). Обратно, если имеет место соотношение (56), то, диференцируя его и учитывая тождество (55), получим соотношение (54).

Рассмотрим еще, в частности, длину момента $[\overline{O F v}]$. Эту длину можно выразить произведением $\boldsymbol{g}$ (величины или напряжения скорости) на расстояние точки $O$ от прямой действия вектора $v$. Вследствие этого постоянство проивведения [ $\overline{O P} v]$ приводит к следующему предложению.

Во всяком чентральном движении произведение непряжения скорости на расстояние касательной к траектории от центра остается постоянным во все вреля движениа.
49. Очень важно отметить, что всякое центральное движение представляет собой движение плоское.

Это вытекает непосредственно из соотношения (56). В самом деле, рассмотрим сначала общий случай, когда постоянный вектор $c$ отличен от нуля. Из соотношения (56) в этом случае сле дует, что вектор $\overline{O P}$ остается перпендикулярным к $c$. Двпжущаяся точка $P$ остается в плоскости, проходящей через центр движения $O$ перпендикулярно к $c$.
50. Остается, таким образом, исследовать частный случай; когда вектор $\boldsymbol{c}$ обращается в нуль. Мы можем при этом, конечно, исключить тривиальное предположөние, что и вектор $\overline{O P}$ тождественно обращается в нуль; точка оставалась бы тогда нөподвижной в точке $O$. Мы обратимся поэтому к интервалу, в течение которого $\overline{O P}$ остается отличным от нуля. Если, положим, $\overline{O P}=p \boldsymbol{u}$, где $\boldsymbol{u}$ есть версор вектора $\overline{O P}$, а р выражает расстояние $O P$, то соотношение (56) в рассматриваемом случае, т. е. при $c=0$, устанавливает, что скорость $\boldsymbol{v}$ (если не обращается в нуль) параллельна вектору $\overline{O P}$. Мы можем поэтому положить:
\[
\boldsymbol{v}=\overline{\sigma P}=\sigma \rho \boldsymbol{u},
\]

где – есть скаляр, который, вообще, как и $\rho$, представляет собоп функцию времени. Так как вектор $\mathfrak{y}$ представляет собою производную $\overline{O P}$, то последнее равенство можно нацисать в виде:
\[
\dot{\rho} \boldsymbol{u}+\rho \boldsymbol{u}=\rho \boldsymbol{u} \boldsymbol{u} .
\]

С другой стороны, вектор $\boldsymbol{i}$ должен быть либо перпендикулярен к $\boldsymbol{u}$ (рубр. 61), либо равен нулю. Первое предположение, однако, исключается; в самом деле, умножая обе части последнего равенства скалярно на $\dot{u}$, мы получили бы $\dot{u}^{2}=0$ и, следовательно, $p=0$. Поэтому нужно принять, что $\dot{u}=0$, т. е. что $\boldsymbol{u}$ есть постоянный версор; равенство $\overrightarrow{O P}=\rho \boldsymbol{u}$ обнаруживает, что движение является прямолинейны (частный случай плоского движения) ${ }^{1}$ ).
51. Так как центральные движения принадлежат к плоским, то делесообразно их формально характеризовать, оставаясь в плоскости движения и принимая ее за плоскость Oxy. Тогда $z, \dot{z}, \ddot{z}$ обращается в нуль, а вектор $[\overline{O P} a]$ имеет две компоненты (по осям $x$ и $y$ ), равные нулю, каково бы ни было движение в плоскости $x, y$; третья же компонента (по оси $z$ ) имеет значение $x \ddot{y}-y \ddot{x}$. Отсюда следует, что для нашего центрального движения, в силу соотношения (54), имеет место диферендиальное уравневие :
\[
x \ddot{y}-\ddot{y}=0 ;
\]

оно характеризует центральное движение. Но, так как мы имеем тиждественно
\[
\ddot{x}-y \ddot{x}=\frac{d}{d t}(x \dot{y}-y \dot{x}),
\]

то это условие (54′) можно заменить эквивалентным ему:
\[
\dot{x} \dot{y} \dot{y}=\text { const. }
\]

которое выражает (рубр. 20) постоянство секториальной скорости и непосредственно проистекает (проекция на ось $z$ ) из соотношения (56).
52. Радиальное и трансверсальное (поперечное) ускорения в плоском движении. Чтобы легче исследовать одну важную категорию центральних движений, выведем, прежде всего, для лююого плоского движения, отнесенного к полярным координатам
1) Может быть проще будет следующее доказательство әтого случая. Так как ускорение $a$ нацравлено по прямой $\overline{O P}$, то пи $[\overline{O P}
abla]=0$ и $[a v]=0$. С другой стороны, по общей формуле рубр. 26:
\[
a=\ddot{s} t+v^{2} \sigma n,
\]

гдө $\sigma$ – кривизна траектории в соответствующөй точке. Умножая обе части этого равенства векторно на $v$ и принимая во внимание, что [ $t v]$ всегда равно нулю, получим $v^{2} \sigma[n v]=0$. Но произведенне двух взапхно перпендикулярных векторов $\boldsymbol{\eta}$ и $\boldsymbol{n}$ при $\boldsymbol{v}
eq 0$ не может обратиться в нуль; поэтому на всем протяжении траектории $\sigma=0$, т. е. движение прямолинейное. (Ред.)

(рубр. 19), внражения радиального п трансверсального ускорений, т. е. компоненты ускорения $a_{\rho}$ п $a_{\theta}$ по ориентированному направлению $\overline{O P}$ и по перпендикулярному к $\overline{O P}$ нащравлению, ориентированному относптельно $O P$ так, как ось $y$ ориентирована относительно оси $x$.

Так как направляющие косивусы этих направлений соответственно суть
\[
\cos \theta=\frac{x}{\rho}, \sin \theta=\frac{y}{\rho},-\sin \theta=-\frac{y}{\rho}, \cos \theta=\frac{x}{\rho},
\]

то мы будем иметь, прежде всего:
\[
a_{\rho}=\frac{x \ddot{x}+\ddot{y}}{\rho}, \quad a_{\theta}=\frac{x \ddot{y}-y \ddot{x}}{\rho} .
\]

Чтобы выразить $a_{\rho}$ в функции от $\rho$ и их производных, будем исходить из основного соотношения:
\[
x^{2}+y^{2}=p^{2} \text {. }
\]

Продпференцировав его два раза по времени, получим:
\[
\ddot{x}+\ddot{y}+\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=\ddot{p}+\dot{\rho} \cdot
\]

а так как [рубр. 19, формула (19)]

тo
\[
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2} & =\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\theta}^{2}, \\
x \ddot{x}+y \ddot{y} & =\ddot{p}-p^{2} \dot{\theta}^{2} ;
\end{aligned}
\]

отсюда мы и получаем для радиального ускорения выражение:
\[
a_{\rho}=\ddot{\rho}-\rho \dot{\theta^{2}} \text {. }
\]

Что касаетсл $a_{t}$, то припомним (рубр. 20), что
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=p^{2} \dot{\theta} .
\]

Замечая поэтому, что
\[
x \ddot{y}-y \ddot{x}=\frac{\dot{d}}{d t}(x \dot{y}-\dot{y} x) \text {, }
\]

находим:
\[
a_{\theta}=\frac{1}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\theta}\right),
\]

или в раскрытом виде:
\[
a_{\theta}=2 \rho^{2} \dot{\theta}+\rho \ddot{\theta} .
\]

Отметим, что в случае кругового движения вокруг точки $O$ ( $\rho=$ const.) соотношения (57) и (58) принимают вид:
\[
a_{p}=-\dot{\rho} \dot{\theta}, \quad a_{\theta}=p \ddot{\theta} .
\]

Это тангенциальное и нормальное ускорения рубр. 26 для кругового движения с тою разницей, что первое рассчитано в центробежном направлевии (от $O$ к $P$ ), а не в центростремительном (от $P$ к $O$ ); это и внражается знаком минус в цервом из равенств (58′), так как ускорение направлено к центру.
53. Формула Бине. Применим теперь формулы (57) и (58) к центральным движениям. По самому своему определению центральное движение характеризуєтся тем, что поворотное ускорение $a_{\text {н }}$ относительно некоторой определенной точки $O$ (центра движения) обращается в нуль; поэтому диференциальная характеристика этих движений в полярных координатах выражается так:
\[
2 p \ddot{\theta}+p \ddot{\theta}=0,
\]

а әто, как оно и естественно, устанавливает только, что $\rho^{2} \dot{\theta}$ (двойное значение секториальной скорости) имеет постоянное значение.
Полагая соответственно этому
\[
\mathrm{p}^{2 \dot{\theta}}=c,
\]

можно дать радиальному ускорению $a_{\rho}$ (которое в рассматриваемом случае центрального движения дает по абсолютному значению все скалярное ускорение точки) чисто геометрическое ьыражение, т. е. такое, которое вовсе не содержит производных от $\rho$ и $\theta$ по времени; дпя этого необходимо воспользоваться только уравнением траектории в полярных координатах $\rho=\rho(\theta)$. Вследствие этого уравнения можно считать, что радиус-вектор $\rho$ зависит от $t$ через посредетво $\theta$, т. е. р становится функцией от $t$ благодаря тому, что $ө$ есть функция от $t$. Таким образом мы получаем
\[
\dot{\rho}=\frac{d \rho}{d \theta} \dot{j} ;
\]

псключая же отсюда іे при посредстве соотнопения (59), находим:
\[
\dot{\rho}=\frac{c}{\rho^{2}} \frac{d \rho}{d \theta}=-c \frac{d \frac{1}{p}}{d \theta} .
\]

Рассматривая теперь опять вторую часть этого равенства как функцию от $t$, составленную через посредство $\theta$, будем его вновь диференцировать по $l$ и на основанни соотношения (59) положим затем $\dot{\theta}=\frac{c}{\rho^{2}}$; мы получим:
\[
\ddot{\rho}=-\frac{c^{2}}{\rho^{2}} \frac{d^{2} \frac{1}{\rho}}{d \theta^{2}} .
\]

Подставляя это выражение для $\rho$ в формулу (57) и снова исключая $\theta$ при помощи соотнопения (59), мы получим требуемое выражение радиального ускорения:
\[
a_{f}=-\frac{c^{2}}{\rho^{2}}\left\{\frac{1}{\rho}+\frac{d^{2} \frac{1}{\rho}}{d \theta^{2}}\right\} ;
\]

оно носит название формуль Бине ${ }^{1}$ ), хотя оно было раньше известно еще Ньютону ${ }^{2}$ ).
54. Кеплерово движение. Одним из наиболее интересных центральных движений является вращение планет вокруг солнда. Такого рода движение называют кеплеровым, так как законы его были впервые формулированы Кеплером ${ }^{3}$ ).
Как известно, законы Кеплера заключаются в следующем:
1. Орбитами планет служат эльипсы, в одном из фокусов которых нахо. дится солнче.
2. Площади, описанные радиусомФиг. 43. вектором, идущил от солниа $n$ планете, пропорциональны временам, в которые они были пройдены.
3. Квадраты времен, в течение которых различные планеты пробегают свои орбить (времен их обращения), пропорциональны кубам гольиих осей этих оро́ит.
1) Яков Бине (Jacques Binet) родилея в Ренне в 1786 г., умер в Париже в 1856 г., был урецодавателем астрономии в Collège de France.
2) Йсак Ньютон (Isaас Newton) родился в деревне Лннкольнского графства в 1642 г. (год смерти Галилея), умер в предместьи Лондона в 1727 r. Здесь достаточно упомянуть о его сочинении \”Philosophiae naturalis principia mathematica (\”Математические начала философи естествознания\”), выпущенном в первый раз в Лондоне в 1687 r. В этом сочинении излояены в форме, быстро сделавшейся классической, основы теоретической механики и математической физики, а также некоторые великие их следствия. Чтобы получить возможность развернуть эти дисцицлины, Ньютон создал необходимые для этого математические спедства- по существу исчисление бесконечно-малых. Он разделяет с Кавальери и Лейбнидем завлуру открытия диферен диального и интегрального исчислений; удачная символика диференцналов сохранивпаяся по настоящее времн, принадлежит, впрочем, Лейбнипу Ньютона считают величайшим гением в области точного естествознания, из всех когда-либо существовавших. Эпиграф на его могиле в Вестминстерском аббатстве в Јондоне заканчиваегся словами: -Sibi gratulentur Mortales tale tantumque extitisse Humani Genəris Decus“ (\”Іусть поздравляют себя смертные с тем, что были в состоянии выставить столь великое украшениє рода человеческого“).
3) Иоанн Кеплер ( $J$. Kepler) родилея в деревне, в Вюртемберге, в 1571 г., умер в Ратисбоне в 1630 г. Он был сначала помощником, а потом прөемником датчанина Tихо-Браге (Tycho Brahe) в должности математика и астронома императорского двора в Праге. Из знаменитых трех его законов первые два были опубликованы в сочинении „Astronomia nova, sive etc.“ (Heidelbergue 1609), а третий – в сочинении \”Harmonices mundi“, Libri V (Linz 1619).

В силу второго закона движение каждой планеты является центральным (рубр. 48) и имеет солнце своим центром.

Вычислим значение компоненты $a_{0}$ ускорения по радиусувектору.

Поместим полюс в одном из двух фокусов әллипса и направим полярную ось по большой оси в сторону более близкой вершины; обозначим через а больпую полуось, через $b$ малую полуось, через е эксцентрисктет орбиты, наконец, через $p$ параметр ее. Тогда, как известно из аналитической геометрии:
\[
e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}, \quad p=\frac{b^{2}}{a}, \quad \ldots=\frac{p}{1+e \cos \theta} .
\]

Отсюда последовательно находим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\rho}=\frac{1}{p}+\frac{e}{p} \cos \theta \\
\frac{d^{2} \frac{1}{\rho}}{d \theta^{2}}=-\frac{e}{p} \cos \theta, \quad \frac{1}{\rho}+\frac{d^{2} \frac{1}{\rho}}{d 6^{2}}=\frac{1}{p} .
\end{array}
\]

Соотношение (60) при этих условиях принимает вид:
\[
a_{\mathrm{p}}=-\frac{c^{2}}{p} \frac{1}{\rho^{2}} .
\]

Отсюда мы видим, что ускорение всегда направлено к солнцу и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от него.

Сверх того, из третьего закона Кеплега нетрудно вывести, что коәфициент пропорцпональности:
\[
\frac{c^{2}}{p}=\frac{a c^{2}}{b^{2}}
\]

ичеет одно и то же значение для всех планет. В самом деле, если обозначим через $T$ продолжительность полного обращения планет и вспомним, что с есть двойная секториальная скорость движения, то нам станет ясно, что площадь әллиптической орбиты планеты выражается также произведением $\frac{c}{2} T$. Поэтому
\[
c=\frac{2 \pi a b}{T}
\]

возвышая обе части этого равенства в квадрат и деля их на $p=\frac{b^{2}}{a}$, получим:
\[
\frac{c^{2}}{p}=\frac{4 \pi^{2} a^{3}}{T^{2}}
\]

но по третьему закону Кеплера отношение $\frac{a^{3}}{T^{2}}$ пмеет одно п то же значение для всех планет; то же самое имеет, следовательно, место и для отношения $\frac{c^{2}}{p}$.