47. Движение точки называется центральжым, если прямая действия ускорения во всякий иомент (конечно, когда это имеет смысл, т. е. когда оно отлично от нуля) проходит через постоянную точку $O$, называемую чентром движения.

Иначе, это определение выражает, что радиус-вектор $\overline{OP}$ и ускорение $a$ коллинеарны, так что момент ускорения относительно точки $O[\widehat{OP}a]$ равен вулю.

И, обратно, если оказывдется, что векторное произведение $[\overline{OP}\mathit{a}]=0$, то движение является центральным. Мы знаем, в самом деле, из теории векторов, что момент вектора $\mathit{a}$, приложенного в точке $p$, относительно точки $O$, равен нулю, либо когда сам вектор $\mathit{a}$ равен нулю, либо когда он проходит через точку О. Таким образом, векторная характеристика центрального двшжения ваключается в том, что во все время движения
$$[\overline{OI}a]=0.$$
48. Из соотношения (54) нешосредственно следует, что вектор сєкториальной скорости всякого иентрального движения относительно центра движения $O$ является постоянным.

В самом деле, припомним, что секториальная скорость движения относительно центра $O$ отличается только множителем $\frac{1}{2}$ от векторного произведения $[\overline{OP}$ ]. С другой стороны, дифференцируя это произведение по времени, получим:
$$\frac{d}{dt}[\overline{OP}v]=\dot{[\dot{OP}}v]+[\overline{OP}\dot{v}].$$

Так как, далее (I, рубр. 65 и II, pyбр. 13)
$$\dot{\overline{O}}=\dot{P}=\dot{\mathit{v}}\text{, }$$

To
$$\dot{[\dot{OP}}\mathit{v}]=\left[\begin{array}{ll}\mathit{v}& \mathit{v}\end{array}\right]=0,$$

стиг звания чдена Парижской академии наук. Сочинение, в котором содержится ппавило, носящее его имя, было в первый раз опубликовано в Париже в 1696 г. и носіт название , Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes“ („Анализ бесконечно малых для иселедования кривых линий“).

a потому
$$\frac{d}{di}[\overline{OP}\mathit{v}]=\overline{[OP}\dot{\mathit{v}}]=[\overline{OP}a]$$

эта проивводная обращается, следовательно, для центрального движения в нуль. Отсюда следует, что
$$\left[{\overline{OP}}^i\right]=c,$$

где $\mathit{c}$-вектор постоянный по величине и положению, — двойной вектор секториальной скорости центрального движения.

Можно прибавить, что уразнение (56) так же, как $u$ (54), яоляется характерным для чентральных движений.

В самом деле, мы уже показали, что уравнение (56) представляет собой следствие определяющего центральное движение соотношения (54). Обратно, если имеет место соотношение (56), то, диференцируя его и учитывая тождество (55), получим соотношение (54).

Рассмотрим еще, в частности, длину момента $[\overline{OFv}]$. Эту длину можно выразить произведением $\mathit{g}$ (величины или напряжения скорости) на расстояние точки $O$ от прямой действия вектора $v$. Вследствие этого постоянство проивведения [ $\overline{OP}v]$ приводит к следующему предложению.

Во всяком чентральном движении произведение непряжения скорости на расстояние касательной к траектории от центра остается постоянным во все вреля движениа.
49. Очень важно отметить, что всякое центральное движение представляет собой движение плоское.

Это вытекает непосредственно из соотношения (56). В самом деле, рассмотрим сначала общий случай, когда постоянный вектор $c$ отличен от нуля. Из соотношения (56) в этом случае сле дует, что вектор $\overline{OP}$ остается перпендикулярным к $c$. Двпжущаяся точка $P$ остается в плоскости, проходящей через центр движения $O$ перпендикулярно к $c$.
50. Остается, таким образом, исследовать частный случай; когда вектор $\mathit{c}$ обращается в нуль. Мы можем при этом, конечно, исключить тривиальное предположөние, что и вектор $\overline{OP}$ тождественно обращается в нуль; точка оставалась бы тогда нөподвижной в точке $O$. Мы обратимся поэтому к интервалу, в течение которого $\overline{OP}$ остается отличным от нуля. Если, положим, $\overline{OP}=p\mathit{u}$, где $\mathit{u}$ есть версор вектора $\overline{OP}$, а р выражает расстояние $OP$, то соотношение (56) в рассматриваемом случае, т. е. при $c=0$, устанавливает, что скорость $\mathit{v}$ (если не обращается в нуль) параллельна вектору $\overline{OP}$. Мы можем поэтому положить:
$$\mathit{v}=\overline{\sigma P}=\sigma \rho \mathit{u},$$

где — есть скаляр, который, вообще, как и $\rho$, представляет собоп функцию времени. Так как вектор $\mathfrak{y}$ представляет собою производную $\overline{OP}$, то последнее равенство можно нацисать в виде:
$$\dot{\rho }\mathit{u}+\rho \mathit{u}=\rho \mathit{u}\mathit{u}.$$

С другой стороны, вектор $\mathit{i}$ должен быть либо перпендикулярен к $\mathit{u}$ (рубр. 61), либо равен нулю. Первое предположение, однако, исключается; в самом деле, умножая обе части последнего равенства скалярно на $\dot{u}$, мы получили бы ${\dot{u}}^2=0$ и, следовательно, $p=0$. Поэтому нужно принять, что $\dot{u}=0$, т. е. что $\mathit{u}$ есть постоянный версор; равенство $\overrightarrow{OP}=\rho \mathit{u}$ обнаруживает, что движение является прямолинейны (частный случай плоского движения) ${}^1$ ).
51. Так как центральные движения принадлежат к плоским, то делесообразно их формально характеризовать, оставаясь в плоскости движения и принимая ее за плоскость Oxy. Тогда $z,\dot{z},\ddot{z}$ обращается в нуль, а вектор $[\overline{OP}a]$ имеет две компоненты (по осям $x$ и $y$ ), равные нулю, каково бы ни было движение в плоскости $x,y$; третья же компонента (по оси $z$ ) имеет значение $x\ddot{y}-y\ddot{x}$. Отсюда следует, что для нашего центрального движения, в силу соотношения (54), имеет место диферендиальное уравневие :
$$x\ddot{y}-\ddot{y}=0;$$

оно характеризует центральное движение. Но, так как мы имеем тиждественно
$$\ddot{x}-y\ddot{x}=\frac{d}{dt}(x\dot{y}-y\dot{x}),$$

то это условие (54′) можно заменить эквивалентным ему:
$$\dot{x}\dot{y}\dot{y}=\text{ const. }$$

которое выражает (рубр. 20) постоянство секториальной скорости и непосредственно проистекает (проекция на ось $z$ ) из соотношения (56).
52. Радиальное и трансверсальное (поперечное) ускорения в плоском движении. Чтобы легче исследовать одну важную категорию центральних движений, выведем, прежде всего, для лююого плоского движения, отнесенного к полярным координатам
1) Может быть проще будет следующее доказательство әтого случая. Так как ускорение $a$ нацравлено по прямой $\overline{OP}$, то пи $[\overline{OP}abla]=0$ и $[av]=0$. С другой стороны, по общей формуле рубр. 26:
$$a=\ddot{s}t+v^2\sigma n,$$

гдө $\sigma$ — кривизна траектории в соответствующөй точке. Умножая обе части этого равенства векторно на $v$ и принимая во внимание, что [ $tv]$ всегда равно нулю, получим $v^2\sigma [nv]=0$. Но произведенне двух взапхно перпендикулярных векторов $\mathit{\eta }$ и $\mathit{n}$ при $\mathit{v}eq0$ не может обратиться в нуль; поэтому на всем протяжении траектории $\sigma =0$, т. е. движение прямолинейное. (Ред.)

(рубр. 19), внражения радиального п трансверсального ускорений, т. е. компоненты ускорения $a_{\rho }$ п $a_{\theta }$ по ориентированному направлению $\overline{OP}$ и по перпендикулярному к $\overline{OP}$ нащравлению, ориентированному относптельно $OP$ так, как ось $y$ ориентирована относительно оси $x$.

Так как направляющие косивусы этих направлений соответственно суть
$$\cos \theta =\frac{x}{\rho },\sin \theta =\frac{y}{\rho },-\sin \theta =-\frac{y}{\rho },\cos \theta =\frac{x}{\rho },$$

то мы будем иметь, прежде всего:
$$a_{\rho }=\frac{x\ddot{x}+\ddot{y}}{\rho },a_{\theta }=\frac{x\ddot{y}-y\ddot{x}}{\rho }.$$

Чтобы выразить $a_{\rho }$ в функции от $\rho$ и их производных, будем исходить из основного соотношения:
$$x^2+y^2=p^2\text{. }$$

Продпференцировав его два раза по времени, получим:
$$\ddot{x}+\ddot{y}+{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=\ddot{p}+\dot{\rho }\cdot$$

а так как [рубр. 19, формула (19)]

тo
$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& ={\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\theta }}^2,\\ x\ddot{x}+y\ddot{y}& =\ddot{p}-p^2{\dot{\theta }}^2;\end{array}$$

отсюда мы и получаем для радиального ускорения выражение:
$$a_{\rho }=\ddot{\rho }-\rho \dot{{\theta }^2}\text{. }$$

Что касаетсл $a_t$, то припомним (рубр. 20), что
$$x\dot{y}-y\dot{x}=p^2\dot{\theta }.$$

Замечая поэтому, что
$$x\ddot{y}-y\ddot{x}=\frac{\dot{d}}{dt}(x\dot{y}-\dot{y}x)\text{, }$$

находим:
$$a_{\theta }=\frac{1}{\rho }\frac{d}{dt}\left({\rho }^2\dot{\theta }\right),$$

или в раскрытом виде:
$$a_{\theta }=2{\rho }^2\dot{\theta }+\rho \ddot{\theta }.$$

Отметим, что в случае кругового движения вокруг точки $O$ ( $\rho =$ const.) соотношения (57) и (58) принимают вид:
$$a_p=-\dot{\rho }\dot{\theta },a_{\theta }=p\ddot{\theta }.$$

Это тангенциальное и нормальное ускорения рубр. 26 для кругового движения с тою разницей, что первое рассчитано в центробежном направлевии (от $O$ к $P$ ), а не в центростремительном (от $P$ к $O$ ); это и внражается знаком минус в цервом из равенств (58′), так как ускорение направлено к центру.
53. Формула Бине. Применим теперь формулы (57) и (58) к центральным движениям. По самому своему определению центральное движение характеризуєтся тем, что поворотное ускорение $a_{\text{н }}$ относительно некоторой определенной точки $O$ (центра движения) обращается в нуль; поэтому диференциальная характеристика этих движений в полярных координатах выражается так:
$$2p\ddot{\theta }+p\ddot{\theta }=0,$$

а әто, как оно и естественно, устанавливает только, что ${\rho }^2\dot{\theta }$ (двойное значение секториальной скорости) имеет постоянное значение.
Полагая соответственно этому
$${\mathrm{p}}^{2\dot{\theta }}=c,$$

можно дать радиальному ускорению $a_{\rho }$ (которое в рассматриваемом случае центрального движения дает по абсолютному значению все скалярное ускорение точки) чисто геометрическое ьыражение, т. е. такое, которое вовсе не содержит производных от $\rho$ и $\theta$ по времени; дпя этого необходимо воспользоваться только уравнением траектории в полярных координатах $\rho =\rho (\theta )$. Вследствие этого уравнения можно считать, что радиус-вектор $\rho$ зависит от $t$ через посредетво $\theta$, т. е. р становится функцией от $t$ благодаря тому, что $ө$ есть функция от $t$. Таким образом мы получаем
$$\dot{\rho }=\frac{d\rho }{d\theta }\dot{j};$$

псключая же отсюда іे при посредстве соотнопения (59), находим:
$$\dot{\rho }=\frac{c}{{\rho }^2}\frac{d\rho }{d\theta }=-c\frac{d\frac{1}{p}}{d\theta }.$$

Рассматривая теперь опять вторую часть этого равенства как функцию от $t$, составленную через посредство $\theta$, будем его вновь диференцировать по $l$ и на основанни соотношения (59) положим затем $\dot{\theta }=\frac{c}{{\rho }^2}$; мы получим:
$$\ddot{\rho }=-\frac{c^2}{{\rho }^2}\frac{d^2\frac{1}{\rho }}{d{\theta }^2}.$$

Подставляя это выражение для $\rho$ в формулу (57) и снова исключая $\theta$ при помощи соотнопения (59), мы получим требуемое выражение радиального ускорения:
$$a_f=-\frac{c^2}{{\rho }^2}\{\frac{1}{\rho }+\frac{d^2\frac{1}{\rho }}{d{\theta }^2}\};$$

оно носит название формуль Бине ${}^1$ ), хотя оно было раньше известно еще Ньютону ${}^2$ ).
54. Кеплерово движение. Одним из наиболее интересных центральных движений является вращение планет вокруг солнда. Такого рода движение называют кеплеровым, так как законы его были впервые формулированы Кеплером ${}^3$ ).
Как известно, законы Кеплера заключаются в следующем:
1. Орбитами планет служат эльипсы, в одном из фокусов которых нахо. дится солнче.
2. Площади, описанные радиусомФиг. 43. вектором, идущил от солниа $n$ планете, пропорциональны временам, в которые они были пройдены.
3. Квадраты времен, в течение которых различные планеты пробегают свои орбить (времен их обращения), пропорциональны кубам гольиих осей этих оро́ит.
1) Яков Бине (Jacques Binet) родилея в Ренне в 1786 г., умер в Париже в 1856 г., был урецодавателем астрономии в Collège de France.
2) Йсак Ньютон (Isaас Newton) родился в деревне Лннкольнского графства в 1642 г. (год смерти Галилея), умер в предместьи Лондона в 1727 r. Здесь достаточно упомянуть о его сочинении \»Philosophiae naturalis principia mathematica (\»Математические начала философи естествознания\»), выпущенном в первый раз в Лондоне в 1687 r. В этом сочинении излояены в форме, быстро сделавшейся классической, основы теоретической механики и математической физики, а также некоторые великие их следствия. Чтобы получить возможность развернуть эти дисцицлины, Ньютон создал необходимые для этого математические спедства- по существу исчисление бесконечно-малых. Он разделяет с Кавальери и Лейбнидем завлуру открытия диферен диального и интегрального исчислений; удачная символика диференцналов сохранивпаяся по настоящее времн, принадлежит, впрочем, Лейбнипу Ньютона считают величайшим гением в области точного естествознания, из всех когда-либо существовавших. Эпиграф на его могиле в Вестминстерском аббатстве в Јондоне заканчиваегся словами: -Sibi gratulentur Mortales tale tantumque extitisse Humani Genəris Decus“ (\»Іусть поздравляют себя смертные с тем, что были в состоянии выставить столь великое украшениє рода человеческого“).
3) Иоанн Кеплер ( $J$. Kepler) родилея в деревне, в Вюртемберге, в 1571 г., умер в Ратисбоне в 1630 г. Он был сначала помощником, а потом прөемником датчанина Tихо-Браге (Tycho Brahe) в должности математика и астронома императорского двора в Праге. Из знаменитых трех его законов первые два были опубликованы в сочинении „Astronomia nova, sive etc.“ (Heidelbergue 1609), а третий — в сочинении \»Harmonices mundi“, Libri V (Linz 1619).

В силу второго закона движение каждой планеты является центральным (рубр. 48) и имеет солнце своим центром.

Вычислим значение компоненты $a_0$ ускорения по радиусувектору.

Поместим полюс в одном из двух фокусов әллипса и направим полярную ось по большой оси в сторону более близкой вершины; обозначим через а больпую полуось, через $b$ малую полуось, через е эксцентрисктет орбиты, наконец, через $p$ параметр ее. Тогда, как известно из аналитической геометрии:
$$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}},p=\frac{b^2}{a},\dots =\frac{p}{1+e\cos \theta }.$$

Отсюда последовательно находим:
$$\begin{array}{c}\frac{1}{\rho }=\frac{1}{p}+\frac{e}{p}\cos \theta \\ \frac{d^2\frac{1}{\rho }}{d{\theta }^2}=-\frac{e}{p}\cos \theta ,\frac{1}{\rho }+\frac{d^2\frac{1}{\rho }}{d{6}^2}=\frac{1}{p}.\end{array}$$

Соотношение (60) при этих условиях принимает вид:
$$a_{\mathrm{p}}=-\frac{c^2}{p}\frac{1}{{\rho }^2}.$$

Отсюда мы видим, что ускорение всегда направлено к солнцу и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от него.

Сверх того, из третьего закона Кеплега нетрудно вывести, что коәфициент пропорцпональности:
$$\frac{c^2}{p}=\frac{a{c}^2}{b^2}$$

ичеет одно и то же значение для всех планет. В самом деле, если обозначим через $T$ продолжительность полного обращения планет и вспомним, что с есть двойная секториальная скорость движения, то нам станет ясно, что площадь әллиптической орбиты планеты выражается также произведением $\frac{c}{2}T$. Поэтому
$$c=\frac{2\pi ab}{T}$$

возвышая обе части этого равенства в квадрат и деля их на $p=\frac{b^2}{a}$, получим:
$$\frac{c^2}{p}=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{T^2}$$

но по третьему закону Кеплера отношение $\frac{a^3}{T^2}$ пмеет одно п то же значение для всех планет; то же самое имеет, следовательно, место и для отношения $\frac{c^2}{p}$.