11. Іолигонирование и центрпрование векторов. Положим, что нам дано несколько векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$, которые изображаютея ориентированными отревками $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}^{n}, \ldots, A_{n} B_{n}$ (фиг.2). Из произвольной точки $P$ проведем ориентированный отрезок $P P_{1}$, әквиполлентный $A_{1} B_{1}$. Из конца $P_{1}$ этого отрезка проведем ориентированный отрезок $P_{1} P_{2}$, эквнполлентный $A_{2} B_{2}$; из конца $P_{2}$ этого отрезка проведем отрезок $P_{2} P_{3}$, эквиполлентный $A_{3} B_{3}$, и т.д. Это приведет нас в результате к отрезку $P_{n-1} P_{n}$, эківиполлентному $A_{n} B_{n}$. Это построение называется полигонированием отрезков $\boldsymbol{A}_{1} B_{1}, \boldsymbol{A}_{2} B_{2}, \ldots, \boldsymbol{A}_{n} B_{n}$ в порядке их задания. Так как, однако, полигон, который мы таким образом получаем, не меняется, если мы любой отрезок $A_{i} B_{i}$ замевяем эквиполлентным отрезком $A_{i}^{\prime} B_{i}^{\prime}$, то все построение определяется, по существу, не столько ориентированними отрезками $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \ldots, A_{n} B_{n}$, сколько самыми векторами $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$; поэтому процесс этот называется проще полигонированием векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$. Если компоненты вектора $\boldsymbol{v}_{i}$ обозначим через $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, координаты точки $P$ через $x, y, z$, а координаты точки $P_{i}$-через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, то ясно, что
\[
\left.\begin{array}{lll}
x_{1}=x+X_{1}, & y_{1}=y+Y_{1}, & z_{1}=z+Z_{1}, \\
x_{2}=x_{1}+X_{2}, & y_{2}=y_{1}+Y_{2}, & z_{2}=z_{1}+Z_{2}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \dot{X}_{n}, & y_{n}=y_{n-1}+\dot{Y}_{n}, & z_{n}=z_{n-1}+Z_{n}
\end{array}\right\}
\]

Отсюда
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{n}=x+X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}=x+\sum_{1}^{n} X_{i}, \\
y_{n}=y+Y_{1}+Y_{2}+\ldots+Y_{n}=y+\sum_{1}^{n} Y_{i} \\
z_{n}=z+Z_{1}+Z_{2}+\ldots+Z_{n}=z+\sum_{1}^{n} Z_{i} .
\end{array}\right\}
\]

Здесь суммирование распространяется на значения индекса $i$ от 1 до $n$, как вто и указано при знаке $\sum_{\text {i }}$.

Если все ориентированные отрезки $A_{1} B_{1}, \ldots, A_{n} B_{n}$ заменить әквиполлентными, исходя не от последовательно получаемых точек $P_{1}^{\prime}, P_{2}, \ldots, P_{n}^{\prime}$, а от общей начальнон точки $P$ (фиг. 3), т. е. если при общей точке $P$, как начале, построим ориентированные отрезки $P P_{1}, P P_{2}, \ldots, P P_{n}$, изображающие ваданные векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$, то этот процесс называется центрированием данных векторов. Если векторы при центрировании расцола-
Фиг. 3.
гаются в одной плоскости, то они называются компланар. ними; иначе говоря, компланарными назннаются векторы, параллельные одной плоскости. Еєли векторы при центрировании располагаются на одной прямой, та они называются коллинеарными; пначе говоря, коллинеарными называются векторы, параллельные одной и то же прямой, независимо от того, обращены ли они в одну и ту же или в различные стороны. Нулевой вектор, не имеющий определенного направления, можно считать коллинеарным с любым другим вектором и компланарным с любыми двумя векторами.
12. Сумма векторов 1). Положим, что нам даны векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$. Если мы их полигонируем, исходя один раз от точки $P$, другой раз от точки $P^{\prime}$ (как на нашем чертеже), то самые простые соображения обнаруживают, что ориентированные отрезки $P P_{n}$ и $P^{\prime} P_{n}^{\prime}$, идущие в том и другом случае от
1) Учение о сложении векторов авторы в отличие от нашего стандарта излагают по идеям Грасмана; вдесь оно приведено в соответствии с союзным стандартом. См. прнложение II. (Ред.)

начальной точки $P$ или $P^{\prime}$ к последней конечной точке $P_{n}$ или $P_{n}^{\prime}$, эквиполлентны между собой, а потому могут быть рассматриваемы как изображения одного и того же вектора $\boldsymbol{\eta}$; этот вектор называют суммой или результирущей векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$ и обоаначают это, как в случае алгебрапческой суммы:
\[
\overline{P P}_{n}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\ldots+\boldsymbol{v}_{n} .
\]

Векторы $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \ldots, \boldsymbol{v}_{n}$ называются по отношению к вектору v слагаемыми или слагающини.

Таким образом, чтобъ сложить жесколько векторов (т. е. построить их сумму), нужно их полигонировать; исходя от люоой начальной точки $P$, и замкнуть получающийся полигон ориентированным отрезком, идущим от начальной точки полигона $P$ к конечной его точке $P_{n}$; ориентированний отрезок $\overline{P P}_{n}$ изобразит вектор, представляючий собою сумму заданных векторов (в порядке их задания).
13. Суми векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Чтобы проще всего доказать это предложение, заметим, что компоненты вектора $\boldsymbol{v}$, при обозначениях рубр. 11; внразятся [см. (9)] тремя разностями:
\[
x_{n}-x, y_{n}-y, z_{n}-z .
\]

Если поэтому обозначим координаты суммы $v$ через $X, Y, Z$, то в силу соотношений (10):
\[
\dot{X}=\sum_{i}^{n} X_{i}, \quad Y=\sum_{i}^{n} Y_{i}, \quad Z=\sum_{i}^{n} Z_{i} .
\]

Эти же равенства непосредственно устанавливают формулированное выше предложение; это вряд ли нуждается в дальней. шем пояснении.
14. Соотношения (11) допускают обобщение столь же простое, как и важное. Если дано какое-либо ориентированное направление, то любую из координатных осей можно направить по этому направлению, и тогда соответствующее равенство (11) приводит к следующему более общему выводу: колпонента сумиы нескольких векторов по любому жаправлению равна сумме компонент слагаемых векторов по тому же направлению.

Отсюда вытекает еще слөдующий вывод: проекиия суммы нескольких векторов на любое направление совпадает с суммой проекций слагаемых векторов на по же направление.

Это. свойство остается в силе и в случае проектирования вектора на заданную. плоскость. Чтобы это обнаружить, достаточно принять эту плоскость за одну из координатных плоскостек, скажем, за плоскость $x y$. Тогда компоненты вектөра $\boldsymbol{v}_{i}$ будут иметь значения $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, а компоненты результирующего вектора (оуммы) $-Y, \bar{Y}$, где $X$ и $Y$ попрежнему определяютоя пөрвыми двумя равенствами (11); а эти равенства и обнаруживают, что проекция результируючего вектора (суммь) совпадает с результирующей (или суммой) проекиий слагаемых векторов.
15. В случае двух векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$ их результирующая
\[
\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1}
\]

выражается диагональю $O A_{2}$ параллелограма $O A_{1} A_{2} A_{1}{ }^{\prime}$, который получается, если мы центрируем данные векторы в точке $O$ и полученные два отрезка дополним до параллелограма (фиг. 4); в самом деле, ориентированный отрезок $O A_{2}$ можно рассматривать, как замнкающий полигон $O A_{1} A_{2}$ (или $O A_{1}^{\prime} A_{2}$ ), стороны которого изображают векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ (или $\boldsymbol{v}_{2}$ и $\boldsymbol{v}_{1}$ ). Самый этот параллелограм или любой другой с әквиполлентными сторонами, построенный при другом начале центрирования, навывается параллелограмом даннъх двух векторов.
Фиг. 4.
Фиг. 5.
Точно так же для трех некомпланарных (т. е. не параллельных одной и той же плоскости, см. рубр. 11) векторов $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ результирующий вектор
\[
\begin{aligned}
v_{1}+v_{2}+v_{3} & =v_{2}+\boldsymbol{v}_{3}+v_{1}=v_{3}+v_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}_{3}+\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1}= \\
& =v_{1}+v_{3}+v_{2}=v_{2}+v_{1}+v_{3}
\end{aligned}
\]

выражается диагональю параллелепипеда, построенного на данных трех векторах (т. е. имеющего эти три вектора своими ребрами, фиг. 5).
16. Разложение вектора на слагающие векторы. Совершенно ясно, что любой вектор $\boldsymbol{v}$ можно себе представить разложенным бесчислениым иножеством различных способов на сумму произвольного числа (слагающих пли слагаемых) векторов. В самом деле, если вектор $v$ изображен ориентированным отрезком $A B$, и $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{n-1}$ суть произвольно выбранные $n$-1 точек, то
\[
\overline{A B}=\overline{A A_{1}}+\overline{A_{1} A_{2}}+\overline{A_{2} A_{3}}+\ldots+\overline{A_{n-1} B} .
\]

Но некоторые из этих многообразных разлозений находят себе применение особенно часто; на них мы остановимся подробно.

Прежде всего. предшоложнм, что нам даны три некомпланарные (т. е. не параллельные одной и той же плоскости) направления $r_{1}, r_{2}, r_{3}$. \”Јерез произвольную точку $A$ проведем отрезок $A B$, представляющий вектор $v$, и три прямые, имеющи
направление $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ (фиг. 6). Далее, через точку. $B$ проведем плоскости, параллельные плоскостям $r_{2} r_{3}, r_{3} r_{1}, r_{1} r_{2}$ которые пересекут прямые $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ в точках $B_{1}, B_{2}, B_{3}$. Теперь три пары плоскосте ой определят параллелепипед, в котором отрезок $A B$ служит диагональю; ребра же его $A B_{1}, A B_{2}, A B_{3}$ определяют слагающие векторы таким образом, что
\[
v=\overline{A B}_{1}+\overline{A B}_{2}+\overline{A B}_{3} .
\]

Таким образом каждый вектор может быть однозначно разложен на три слагающие вектора по данным трем некомпланарным направлениям; однозначность разложения непосредственно вытекает из построения. Эти три слагающие часто называют также слагаюшими вектора $\boldsymbol{v}$ по заданным Фиг. 6. трем направлениям.

Совершенно ясно, что одна из этих трех слагающих обращается в нуль в том, и только в том, случае, если вектор $v$ компланарен с двумя из заданных трех направлений; две слагающие исчезают, когда вектор $\boldsymbol{v}$ коллинеарен с одним из әтих трех направлений (т. е. параллелен прямым, имеюцим әто направление).

Теперь в качестве второго, весьиа часто встречающегося, разложения приведем следующее. Положнм, что нам даны направления прямой и плоскости ${ }^{1}$ ), по которым нужно пропзвести равложение вектора.
Через начальную точку $A$ дан-
Фиг. 7. ного вектора проводим прямую $r$ заданного направления и плоскость $\pi$, также заданного направления (фгг. 7). Теперь через конечную точку $B$ нашего вектора проводим плоскость, параллельную $\pi$, до пересечения с прямой $r$ в точке $B^{\prime}$ и прямую, параллельнув $r$, до пересечения с плоскость $\pi$ в точке $B^{\prime \prime}$. Четырехугольник $A B^{\prime} B B^{\prime \prime}$
1) Когда говорят о направленпи прямой, то разумеют геометрический признак, принядлежащий всем параллельным между собою прямым и отлиqающий их от других (им не параллельных) прлмых. В оригинале настоящего сочинения авторы выражают его словом direzione. По аналогип, авторы сиетөматически говорят и о направлөнии нли расположении плоскости, тащже разумея под этим геометрическнй призвак, принадлежащи совокупности параллельных плоскостей и отличающй их от тругих (вм не параллельных) плоскостей. Авторы пользуются для выражения әтого понятия термином giacitura (собствевно „расположение“, giacere – лежать). В настоящем переводе понятие это передается либо термвном, направление плоскости“, лнбо, где это уместнее, термином двумерпое направленне“. (Ред.)

представляет собою параллелограм, имеющий диагональю отрезок $A B$, а сторонами $A B^{\prime}$ и $A B^{\prime \prime}$; вместе с тем
\[
\boldsymbol{v}=\overline{A B}=\overline{A B^{\prime}}+\overline{A B^{\prime \prime}} \text {. }
\]

Векторы $\overline{A B^{\prime}}$ и $\overline{A B^{\prime \prime}}$ называются слагающими вектора $\boldsymbol{v}$ по направлению прямой $r$ и направ̈лению плоскости $\pi$.
17. Іроизведение вектора на число. Если $v$ есть данный вектор, а $n$-данное целое положительное число, то сумма $n$ векторов, равных $v$, есть, по определению, вектор, имеющий то же направление и ту же сторону обращения, что и вектор $\boldsymbol{~ ; ~}$ длина же его равна nv. Этот вектор называется произведением вектора $\boldsymbol{v}$ на целое число $n$ и обозначается через $n \boldsymbol{v}$.

В обобщение этого называют произведением вектора на любое вещественное число а вектор, имеющий длину $|a| v$, то же направление, что и вектор $\boldsymbol{v}$, и обращенний в ту же сторону, что и $\boldsymbol{v}$, если а есть число положительное, и в противополож: ную сторону, если а есть число отрицательное. Это произведение обозначается символами аг или vа-безразлично. По самому определению произведение $a v$ обращается в нуль только в том случае, если обращается в нуль либо вектор $\boldsymbol{v}$, либо число $a$ (либо, конечно, $a$ и $v$ совчестно). Таким образом вектор $\boldsymbol{\sigma}$ всегда коллинеарен с вектором $\boldsymbol{0}$.

Обратно, если вектор $\boldsymbol{v}^{\prime}$ коллинеарен с вектором $\boldsymbol{v}$ и последний отличен от нуля, то всегда существует одно, и только одно, вещественное число $a$, при котором
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}=a \boldsymbol{\sigma}
\]

абсолютная величина этого числа равна отношению длин $\frac{v^{\prime}}{v}$; оно должно иметь знак + , если вектор $\boldsymbol{v}^{\prime}$ обращен в ту же сторову; что и $\boldsymbol{v}$, и знак -, если он обращен в противоположную сторону; если $\boldsymbol{v}^{\prime}=0$, то $a=0$. Предыдущее равенство выражает, таким образом, условие, необходимое и достаточное для того, чтобы вектор $\boldsymbol{v}^{\prime}$ был коллинеарен с $\boldsymbol{v}$. Так как, однако, это условие предполагает, что $\boldsymbol{v}
eq 0$, и ставит вектор $\boldsymbol{v}^{\prime}$ в несколько иное положение, чем ө, то ему придают болеө симметричную и более общую форму, исключающую всякие изъятия: для того чтобы два вектора $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}_{2}$ были коллинеарны, необходимо $\boldsymbol{u}$ достаточно, чтобъ существовали два числа $a_{1} u a_{2}$, из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля и при которых
\[
a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}=0 .
\]

Если, скажем, $a_{1}
eq 0$, то мы разрешим это уравнение относительно $\boldsymbol{v}_{1}$, и оно примет прежнюю форму (12).

Остановимся еще на простейших частных случаях. Если в формуле (12) $a=-1$, то умножение приводит к вектору (-1) $v$, имеющему ту же длину и то же направление, что и $\boldsymbol{v}$, но обращенному в противоположную сторону; такой вектор называют противоположным вектору $\boldsymbol{v}$ и обозначают просто символом – $\boldsymbol{\eta}$.
В силу предыдущего определения для каждого вектора
\[
\boldsymbol{v}=v \text { vers } \boldsymbol{v} .
\]

Кроме того, если вектор $\boldsymbol{v}$ имеєт по отношению к какой-либо системе координат компонентн $X, Y, Z$, то вектор ау имеет компоненты $a X, a Y$, $a Z$.
Для проивведения вектора на число имеют место тождества:
\[
a \boldsymbol{v}+b \boldsymbol{v}=(a+b) \boldsymbol{v}, \quad a(b \boldsymbol{v})=a b \boldsymbol{v}, \quad a \boldsymbol{v}_{1}+a \boldsymbol{v}_{2}=a\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right) .
\]

Доказатөльство первых двух из этих тождеств непосредственно ясно; что касается третьего, то его, конечно, было бы нетрудно провести на основании определения предыдущей рубрики; но это можно сделать проще, если обнаружить, что векторы, занимающие обе части равенства, имеют одинаковые компоненты по любой оси 1 ).
18. Комбинируя определение произведения вектора на число с определением суммы любого числа векторов, мы видим, что любое линейное выражение вида $\sum_{i}^{n} a_{i} v_{i}$ предотавляет собою определенныи вектор; его компоненты имеют значения:
\[
\sum_{1}^{n} a_{i} X_{i}, \quad \sum_{i}^{n} a_{i} Y_{i}, \quad \sum_{i}^{n} a_{i} Z_{i} .
\]

Остановимся на случае $n=2$. Мы уже видели выше, что при надлежащих значениях числа $a_{1}$ и $a_{2}$ вектор
\[
v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}
\]

обращается в нуль, когда векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ коллинеарны. Если векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ не коллинеарнн, то они совместно определяют некоторое двумерное направлевие, а при центрировании – плоскость этого направления. Ясно, что в этой плоскости лежат также векторы $a_{1} \boldsymbol{v}_{1}$ и $a_{2} \boldsymbol{v}_{2}$, а также их сумма $\boldsymbol{v}(13)$. Итак, вектор, определяемый линейным выражением (13), компланарен с векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. Обратно, если вектор $\boldsymbol{v}$ компланарен с двумя неколлинеарными векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, то он разлагается на два слагающие вектора по направлениям $v_{1}$
1) Все-таки очень ноучительно уяснить себе и геометрический смысл третьего равенства. Векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ при полигонированин’приводят $\boldsymbol{x}$ треугольнику, третьей стороной которого служнт их сумма $v$ (фиг. 8). Составив пронзведения $a v_{1}$ и $a v_{2}$ и полигонируя их, мы получим треугольник, подобный первому; третья его сторона представит поэтому вектор $a v=a v_{1}+a v_{2}$.

и $v_{2}$; эти слагающие по формуле (13) выражаются произведениями $a_{1} v_{1}$ и $a_{2} v_{2}$ с надлежащими коәфициентами $a_{1}$ и $a_{2}$, а поэтому вектор v может быть представлен линейным выражением (13). Соотношение (13) представляет собою, таким образом, условие, необходимое и достаточное для того; чтобы вектор $v$ был компланарен с двумя неколлинеарными векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. В более общей форме, не имеющей нигаких изъятий, это предложение выражают еще так: для того чтобы три вентора $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}$ были колеланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали три числа $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, не ооращаюшеся совместно в нуль, при которых
\[
a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+a_{3} v_{3}=0 .
\]

Очень важным частным случаем вектора, компланарного с векторами $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, является их разность $\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}$, т. е. вектор,
Фиг. 9.
Фиг. 10.

сложение которого с вектором $\boldsymbol{v}_{2}$ дает вектор $\boldsymbol{v}_{1}$; он изображается втөрой диагональю $A_{1}^{\prime} A_{1}$ параллелограма $O A_{1} A_{2} A_{1}^{\prime}$, построенного на векторах $v_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ (фиг. 9); точнее: чтобы построить разность $\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}$ векторов $\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{\text { и }} \boldsymbol{v}_{2}$, можно постугіть следующим образом: центрировать оба вектора при произвольной точке $O$ и построить вектор, идущий от конца вектора $\boldsymbol{v}_{2}$ (въитаемого) $n$ кониу вектора $\boldsymbol{v}_{1}$.

В тесной связи с этим стоит сөотношение между вектором и радиусами-векторами его концов. Часто бывает целесообразно определять положение любон точки пространства $A$ векторными средствами относительно некоторой фиксированной точки $O$ начала, играющего здесь ту же роль, что и начало координат в аналитической геометрии. Вектор $r$, идущий от начала $O$ к точке $A^{1}$ ), называется радиусом-вектором точкн $A$. При фикеированном начале положение точки вполне определяется ее радиусом-вектором. Любой вектер $A_{1} A_{2}$ всегда равен разностіт радиусов-векторов конца $\left(r_{2}\right)$ н начала $\left(r_{1}\right)$ отрезка $A_{1} A_{2}$, изображающего этот вектор (фиг. 10):
\[
v=\overline{A_{1} A_{2}}=\overline{O A_{2}}-\overline{O A_{1}}=r_{2}-r_{1} .
\]

В заключение заметим, что все правила буквенного исчисления с относительными числами (пмеющими знак + или -),
1) Полагаем, что такого рода сокращенное выражение, вместо которого, өледовало бы сказать „вектор, изображаемый ориентированным отрезком, ндущим от начала $O$ к точке $A^{4}$, – үже не может емутить читателя. (Pед.)

относящиеся к преобразованию суммы или разности алгебравческих многочленов, к умножению многочлена на число, к приведенио подобных членов, применяются без изменении к векториальным выражениям вида $\sum a_{i} v_{i}$. Это вытекает из предложений рубр. 13, а также из орределений и тождеств, установленных в рубр. 15.
19. Равложение векторов приводит к очень важному способу выражения вектора. Если $O$ есть начало осей координат, $X, Y$, $Z$-компоненты вектора $v$ относительно әтих осей, то мы можем разложить вектор $\boldsymbol{v}$ на слагающие по этим осям, причем $X$, $Y, Z$ будут численные значения этих слагающих (взятые с надлежащими зпаками). Если мы приложим вектор $v$ к началу $O$, то концом өго будет служить точка $Q$ с координатами $X, Y, Z$; если обозначим через $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ проекции точки $Q$ на три оси, то будем иметь (рубр. 13):
\[
\boldsymbol{v}=\overline{O Q}=\overline{O Q_{1}}+\overline{O Q_{2}}+\overline{O Q_{3}} .
\]

Тешерь обозначим через $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ три единичных вектора, которые имеют каждый направление п сгорону обращения соответствующей ориентированной оси $x, y, z$; эти три единичных вектора называются основными версорами установленного координатного триәдра. В силу соотношения (12):
\[
\overline{O Q_{1}}=X i, \quad \overline{O Q_{2}}=Y j, \overline{O Q_{3}}=Z_{k} .
\]

Отсвда получаем выражение:
\[
\boldsymbol{v}=\overline{O Q}=X \boldsymbol{i}+Y \boldsymbol{j}+Z \boldsymbol{k},
\]

играющее в векторном исчислении коренную роль, как векторнокоординатное задание данного вектора.

В тесной связи с этим находится соотношение, которым в дальнейшем придется пользоваться очень часто. Пусть $x, y, z$ будут координаты произвольной точки $P$. Эти же числа служат компонентами радиуса-вектора $\overline{O P}$ точки $P$. Поэтому
\[
\overline{O P}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
\]