1. Нервичные и шоизводные величины. При изучении механики мы постепенно пришли к различного рода величинам, частью скалярным, частью векториальным. К геометрическь величинам – прямолиненным отрезкам и дугам кривых, поверлностям, объемам – мы присоединили кинематические величины: времена, скорости (разного рода), ускорения; наконец, в последних двух главах мы сюда присоединили еще величины, которые мы можем назвать динажическими: силь (в, в частности, удары), массы, живые силь и рао́оты, мощности, импульсы и количества движения. В связи с этим необходимо изложить некоторые соображения, совершенно элементсрного характера, но основюго значепия об измерении этих различных велпчин; при этом все әти величины мы будем рассматривать как скаляры, т. е. мы будем обращать внимание даже при векториальных величинах только на абсолютные их значения.

Прежде всего, к какому бы типу ни прннадлежали перечисленные выше величины, для измерения любой из них мы можем выбрать совершенно произвольно единицу меры, т. е. то значение соответствующей величины, которому мы, условно, припишем значение единицы; после этого число, измеряющее всякое другое значение той же величины, будет уже вполне определено; но такой совершенно произвольный выбор каждой едшницы меры, не зависящий от различных других единиц, теоретически вполне дозволенный, не удобен на практике, так как он не учитывает зависимостей, связывающих различные типы величин; он приводит к тому, что в формулу приходится вводить козфициенты пропорциональности, бесполезно усложняющие вычисления. Именно чтобы избежать этих неудобств, мы в геометриі, установив единицу длины (метр) за единицу плоскости и объема, принимаем соответственно квадрат со стороной, равной единице, и куб с ребром, равным единице: квадратный метр, кубический метр ${ }^{1}$ ).
1) Чтобы убедиться в этом нанболее тривиальном случае, наснолько свраведливо предыдущее соображение, предположим, что за едіницу плоиқ, ии

С этой точки зрения единица длины называется основной или первичой, поскольку она выбрана совершенно произвольно п условно; напротив, единицы плэщади и объема называются вторичными или произвоными, поскольку они определены уже при помощи единицы длины и притом на основе определенных соотношений, существующих между поверхностями и объемами, с одной стороны, и прямолинейными отрезками -с другой (пропорциональность прямоугольников и параллелепипедов с даншым основанием, соответствующим высотам). По той же причине іл самые длины называются перөинъыи величинами, поверхности и объемы – производными величинани.

Совершенно аналогичное различие можно установить, как мы сейчас увидим, в области кинематических и динамических величин; нелишним будет, однако, отметить, что даже и в случае геометрических величин такого рода различие в конечном счете носит чисто условный характер, поскольку оно зависит от частного выбора единиц площади и объема.
2. Кұнематические единицы. Для измерения времени, как хорошо известно (II, рубр. 3), единица устанавливается непосредственно на основе астрономических наблюдений (год, сутки, час, минута, секунда – по надобности). Таким образом в кинематике к длинам в качестве перзичных величин прпсоединяются промежутки времени. Это, так сказать, обусловливается тем обстоятельством, что между этими двумя видами величин не имеет места никакая натуральная зависимость, которая позволила бы на основе естественных критериев вывести единицу времени из единицы длины.

Напротив того, когда единицы времени и длины уже установлены, то всякая скорость представляется производной величиной по самому своему определению: она определяется отношением (или пределом отңошения) некоторой длины к некоторому промежутку времени. Поскольку единицы длины и времени установлены, мера скорости нөпосредственно определяется, можно сказать, сама собой, именно, за единицу скорости естественно принять скорость равномерно движущегося тела, которое проходит единицу пути (т. е. единицу длины) в единицу времени.

Совершенно так же обстоит дело с ускорениями, которые шредставляют собой отношение или пределы отношений скорости ко времени. Естественной единицей ускорения, в соответствии с предыдущими соображениями, является ускорение равномерноускоренного движения, в котором скорость возрастает на единицу в единицу времени.

Таким образом в кинематике мы пмеем две основные единицы: единицу олинъ и времени. Если, например, за единицу длины $\qquad$
принят квадрат, сторона которого содержит $k$ единиц длины (а не одну), тогда площадь прямоугольннта со сторонами $a$ – $b$ выоажаетея формулой $\frac{a b}{k^{2}}$ вместо обычног произведения $a b$.

принять метр, а за единицу времени – секунду, то все остальные единицы указанными выше соображениями вполне определены. Хорошо известно, что в геометрии каждой из упомянутых двух производных единиц дается особое назвапие (квадратный и кубический метр); меры, таким образом, указываются без напоминания произведения длин, от которых они происходят, по краинней мере в явной форме.

Напротив того, в кинематике не представляется нужным давать особое наименование единицам скорости и ускорения, так как более наглядной и выразительной является непосредственная формулировка: скорость в столько-то метров в секунду.
3. Небесполезно будет вновь отметить, что уже площади и объемы, равно как скорости и ускорения, являются производными величинами только в силу напит- соглашении. IIо существу ничто не препятствует тому, чтобы рассматривать и эти велитины как независимые от других; для этого было бы достаточно исходить из их специфического характера и установияь единицы меры путем непосредственного сопоставления. Это можно было бы сделать следующим образом.

Для определенности рассмотрим скорости и займемся наиболее простым случаем (от которого можно перейти к общему путем предельного перехода) прямолинейных и равномерных движений. Представим себе, тто мы имеем прямое наглядное представление о скоростях кат об основных физических единицах, что мы в состоянии судить о скорости по характеру наблюдаемого движения и отсюда установить критерий измерения. Положим, что нам даны два равномерные движения:
\[
\begin{array}{l}
s=a t+b, \\
s_{1}=h t+k,
\end{array}
\]

скорости которых мы сопоставляем, сравнивая пути, пройденные в одно и то же время. Мера одной скорости по отношению ко второй, привятой за единицу, таким образом, выразится отношением
\[
\frac{a \cdot\left(t_{2}-t_{1}\right)}{h\left(t_{2}-t_{1}\right)}=\frac{a}{h}
\]

расстояний, пройденных в один п тот же промежуток времени от $t_{1}$ до $t_{2}$. Мера скорости $\frac{a}{h}$, к которой мы, таким образом, приходим, отличается от обычвон (отномение пути к времени) постоянным численным множителем $\frac{1}{h}$, зависяцим от выбора единицы. Этот совершенно очевидный вывод обусловливается тем, что введение коәфициента пропорциональности эквивалентно произвольному выбору единицы меры. На практике оказалось нацболее целесообразным просто положить $h=1$ и этам представить скорость (таким же образом и ускорение) как величину производную по самому свовму определению.
4. Динамические өдиницы. Техническая систена едини. В дпнамике мы припли к понятию о силе на основе непосредственных предетавлений о наиболее простой физической силевесе; между тем, все остальные динамические величины были последовательно введени при помощи силы, а также геометрических и кинематических величин. Если поэтому примем единицу силы за первичню, то все остальные вдиницы динамических величин можно будет рассматривать как производные; в частности, совершенно ясно, что этшм путем по основным единицам могут быть определены единицы массы, работы ит.д. Таким образом в механике все единицы оказываются определенными, когда условно установлены три основные единииы, именно единицы длинъ, врелени и сили. Спстему единиц, построенную на этом основании, т. е. основанную на әтих трех первичных единицах, принято называть технической или практической. Заметим, что и тут остается еще широкий простор для выбора трех основных единиц. Как уже было указано выше (VII, рубр. 13), на практике в качестве единицы силь обыкновенно принимается килограмм-вес, т. е. сила тяжести, которая действует на 1 дм $^{3}$ дестиллированной воды при $4^{\circ} \mathrm{C}$ и 760 жи атмосферного давления; правильнее сказать, әто есть вес килограмма-эталона, который предетавляет собой цилиндр, сделанный из платины и хранящийся в Международной палате мер и весов в г. Севре во Франции (Bureau international des poids et mesures). И тогда для массы, которая, как мы видели (VII, рубр. 14), выражается отношением веса к ускорению:
\[
m=-\frac{p}{g},
\]

за единицу нужно будет принять (если угодно, внвести ее из ранее установленных единиц) массу такого тела, для которого это отношение сводится к единице, т. е. массу тела, вес которого приблизительно составляет 9,8 к. Эта единица не имеет особого наименования, но зато особое напменование присваивается практитеской единице работы, это есть килограммометр, т. е. работа, которую внполняет сила веса в 1 кг при смещении точки ее приложения в направлении и в сторону действия самой этой силы на $1 \mu$.

Наконец, мощность измеряется на практике в лошадиъх силах. Лошадиная сила равна 75 килограммометрам в секунду і обовначается обыкновенно через $\mathrm{HD}$ от авглийского слова HorsePower. Иногда за единицу мощности принимается также единица, называемая понселе, которая составляет 100 килограммометров в секунду.
б. Абсолютные систеин единиц. В технической системе, которую мы кассматривали в предыдущећ рубрике, за первичную елиницу принимался вес, а масса определялась как величина пронзвольная на основе соотношения:
\[
m=\frac{p}{g} \text { или } m g=p,
\]

которое представляет собой не что иное, как частный случай основного уравнения динамикн:
\[
m a=F .
\]

Но, как мы хорошо знаем, сила веса носит локальный характер; поэтому, если мы желаем быть точными и пметь для весов строго определенную единицу, то необходимо указать место, которому этот вес соответствует. Если за такое место принять Париж, то 1 л дестиллированной воды (при $4^{\circ} \mathrm{C}$ и 760 мл давления) в Риме уже не весит точно 1 к, а несколько меньше, поскольк местние веса относятся между собой, как соответствующие ускорения силы тяжести; это значит: литр дестиллированной воды весит в Риме 9,8038-в Париже 9,80v6 ж2 (II, рубр. 27),

Этой поправкой, очевидно, можно иренебречь в промышленности; и с этой точки зрения в технике единица веса может быть принята без сколько-либо чувствительной практической погрешности за основную единицу механических и технических величин.

Но нначе обстоит дело с точка зрепия теоретической. Гаусс ${ }^{1}$ ) первый заметил, что с научной точки зрения будет предпочтительнее принять за первичную единицу массы вместо единицы силы. В самом деле, вследствие внутреннего, ингерентного характера массы при таком выборе не представляется вадобности локальной специфнкации этой единицы. Тело, которое дает единицу массы в Париже, теоретически остается единицей, куда бы мы его ни перенесли. В соответствии с этим принято называть аосолютной системой всякую систему мер, которая принимает за первичные величины длину, время и массу ${ }^{2}$ ).
1) Карл Фридрих Гаусе (Carl Fridrich Gauss) родился в Брауншвейге в 1777 г., умер в Гёттингене в 1855 г.; с 1807 г. до евоей смерти состоял профессором Гёттингенекого университета и директором астрономитеской обсерваторни при университете. Гаусс являетея создателем диференциальной геометрии на поверхностях и метода наименьших квадратов, а также основных теорий математической фнзики; әто был самый крупный аналитик, астроном и геодезист первой половины XIX в.; современники дали ему название ,princeps mathematicorum\” (первый из математиков). Его девнзом было pauca sed matura (немного, но зрело); и дейетвительно, его твопения отличаются совершенством обработки; но „немногое“ все же заполняет одиннадцать больпих томов.
2) Собственіо говоря, это название ,абсолютная снстема единиц\” икеет иной неточник. В XVIII в. ставили себе задачей установнть такую систему мер, которая не зависела бы от сохранности эталонов, т. е. которую можно было бы восстановить, если бы әталоны былп утрачены. Для осуществления әтого были сделаны различные предхожения, из которых в пору конвента французские фнзики остановнлись на той системе единиц, которая, действптельно, сохранилась по настоящее вреяя. Как известно, отправной единицей служил метр, длина которото должна была составлять одну десятимнллионную часть четверти земного меридиана, проходящего через Парижекую

За единицу массь можно принять, нацример, эталон, который мы прежде принимали за единицу веса, т. е. массу 1 дй дестиллированной воды. Эту единицу называют килограмимассой; обыкновенно ее просто называют килограммом, когда не представляется опасности смешать ее с килограмм-весом. Поскольку установлены в качестве единицы меры и времени метр и секунда, основное соотношение
\[
\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}
\]

обнаруживает, что единицей сплы целесообразнее всего принять в этих условиях ту силу, которая, действуя с постоянным напряжением на единицу массы, способна увеличить скорость материальной точки на один метр в секунду. Если мы желаем материализовать эту единицу силы при помощи веса, то ее нужно будет установить при помощи эталона по формуле $p=m g$, т. е. взять тело, масса которого $m=\frac{1}{g}$. Такой эталон, вес которого будет равен единице (в абсолютной мере), должен меняться от места к месту; с грубым приближением вес одной десятон литра воды может бығь приравнен этон единице; он приблизительно, таким образом, совпадает с весом одного гектограмма, но, конечно, это приближение допустимо только в условиях, не требующих выдержанной научной точности.
6. Система $C G S$ (сантиметр, грамм, секунда) представляет собой абсолютную систему, которая отличается от указанной выше только тем, что за единицу длины принимается не метр, а сантиметр, а за единицу массы – грамм.

Соответствующая единица сплы получила название динь. Таким образом дина есть сила, которая сообщает материальної точке, имеющей массу в один грами, ускорение сантиметр в секунду за секунду.

Чтобы установить численную зависимость между диной и весом грамма, припомним прежде всего, что ускорение силы тяжести $g$, выраженное в систеле CGS, составляет в Риме 980,38, а в Париже 980,96 . Мы можем принять его приблизительное значение равным 9,8 или, в круглых цифрах, 10.

С другой стороны, вес грамма в силу обычного соотношения $p=m g$ равеп $g$ раз взятому грамму масси; но произведение $m g$ представляет собой силу, и число, ее выражающее, укажет,
обсерваторию. одиако әталон, изготовленный на осюове сложпой геодезическй съемки, при повторном измерених длины земного мериднана не совпат с новым результатом измерения; обнаруженная разница оказалась, конечно, очень незначительной, но все же, несомненно, существовала. Вместе с тем совершенно выяснилось, что установить какие бы то ни было единицы меры, котопые можно было бы шризнать абсолютными вследствие нх неизменности, совершенно невозможно. Ввиду әтого под абсолютными единицами в настоящее время разумеют те, которыө определяются тщательно изготовленными и тщательно сохраняемыми эталонами, находящимися в Международной палате мер и весов в Севре. Название „аболютная система“ имеет в настоящее время только историческое значение. (‘’eд.)

сколько грамм-вес содержит дин (конечно, если $m$ и $g$ внражены в единицах системы $C G S$ ). Таким образом
\[
1 \imath(\text { вес })=g \text { дін }=980 \text { дин, }
\]
T. e,
\[
1 \text { дина }=\frac{1}{980} 2 \text { (веса); }
\]

отсюда следует
\[
1 \kappa(\mathrm{Bec})=10^{3} \cdot 980 \text { дин. }
\]

Таким образом, грубо говоря, 1 ж составляет $10^{6}$ дип; это кратное единицы силы получило специальное названне мегадижы. Точнее мегадина составляет $10^{6} / 10^{3} \mathrm{~g} \%$, т. е. приблизительно $1,02 \mathrm{~m}$.

Единицей работы в спстеме $C G S$ служит эрг, который соответствует работе, выполняемой силой (постоянной) в одну дику при смещении точки ее приложения на 1 см в направлении силы. Из соотношения (1) непорредственно вытекает, что зависимость между килограммометром (предыдущая рубрига) Iг әргом выражается равенством:
\[
1 \text { әр } \Gamma=\frac{1}{10^{5} \cdot 980} \kappa 2,
\]
т. е., полагая $10^{6}$ эргов $=1$ мегаэргу:
\[
1 \text { мегаәрі }=\frac{1}{98} \text { к.н; }
\]

таким образом один мегаэрг незначительно превыпает $1 / 100$ кгл. Электрики вместо эрга (или мегаэрга) в качестве единици работы пользуются әжоулем, который равен $10^{7}$ әргов (т. е. работе мегадины при смещении в 1 дм), поэтому
\[
1 \text { джоуль }=\frac{1}{9,8} \kappa 2 . .
\]

Наконец, единицей мощности в системе $C G S$ служит мощность силы, которая выполняет рабсту в 1 әрг в течение секунды; однако этой единице не присвоено особого названия: вместо нее электротехники пользуются единицей ватm, равпой мощности одного джоуля в секунду; жиловатт составляет $10^{3}$ ватт. Поэтому $1 \mathrm{HP}$, составляющая 75 кзл/сек, выводнтся из равенства (2).
\[
1 \text { киловатт }=\frac{10^{3}}{9,8 \cdot 75} \mathrm{HP},
\]

что приблизительно составляет $1,36 \mathrm{HP}$.
И аналогично этому находим:
\[
1 \text { киловатт }=\frac{1}{0,93} \text { понселе. }
\]