1. Если в движущехся твердом теле некоторая прямая в какой-либо из своих точек перпендикулярна к траєктории әтой точки, то она и во всякой другой евоей точке направлена по нормали к траектории последней (следствие рубр. 2).
2. Сложение нескольки равномерных враңений вокруг параллельных осей. Угловые скорости ${\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,\dots ,{\overline{\omega }}_n$ этих вращений следует представить векторами, приложенными каждый в проивольной точке соответствующей оси вращения.

Тогда скорость $v$ произвольной точкн $P$ тела в составленном движении представляет собою не что иное, как главный момент относительно точки $P$ этой системы векторов. Показать, что составленное движение, если сумма угловых скоростей $\overline{\omega }={\overline{\omega }}_1+{\overline{\omega }}_2+\dots +{\overline{\omega }}_n$ отлична от нуля, представляет собою также вращение с угловой скоростью е ${}^2$ (ср. рубр. 27, в которой рассмотрен случай двух составляющих вращений).
3. Если из точек движущейся твердой прямой провести векторы соответствующих скоростей, то конды әтих векторов также будут лежать на прямой н составлять на ней ряд точек, подобный ряду исходных топек.
4. Чтобы доказать формулы Пуассона, проф. Бискончини 1) замечает, что так как производные $\frac{d\mathit{i}}{dt},\frac{d\mathit{j}}{dt},\frac{d\mathit{k}}{dt}$ обращаютея в нуль или соответственно перпендикулярны к версорам $i,j,k$, можно положить:
$$\frac{d\mathit{i}}{dt}=\left[{\overline{\omega }}_{1}j\right],\frac{dj}{dt}=\left[{\overline{\omega }}_{:}j\right],\frac{d\mathit{k}}{dt}=\left[{\overline{\omega }}_3\mathit{k}\right],$$

прнчем векторы ${\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,{\overline{\omega }}_3$ этим однэзначно определяются при добавочном условии, что каждый из них должен бысь перпендикулярен к соответствующему версору $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$. Но эти равенетва останутся в спле, если вместо ${\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,{\overline{\omega }}_3$ поставим векторы ${\overline{\omega }}_1+{\sigma }_1\mathit{i},{\overline{\omega }}_2+{\sigma }_{2}j,{\overline{\omega }}_3+{\sigma }_{3}k$, каковы бы ни были скаляры ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$. Основываясь на том, что версоры $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ перпендикулярны между собой и каждый из них перпендикулярен к своей производной, можно показать, что три скаляра ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$ могут быть выбраны таким образом, чго
$${\overrightarrow{\omega }}_1+{\sigma }_{1}i={\overline{\omega }}_2+{\sigma }_{2}j={\overline{\omega }}_3+{\sigma }_{3}k.$$

Общее значение этих трех векторов представляет собою угловую скорость ${\overline{\omega }}_{\ast }$
1) Bisconcinı, Bol. dell’Unione Mat. Italiana, Anno IV, 1925, pp. 5-7.

5. Пропзводные трех основных вереоров $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ не могут быть параллельны между ссбой, если они не обпащаются все три в нуль. В самом деле, если бы такой папаллелизм имел место, т. е. если бы существовали такие три скаляра ${\tau }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ и вереор $\mathit{u}$, что
$$\frac{di}{dt}={\sigma }_{1}u,\frac{dj}{dt}={\sigma }_{2}u,\frac{d\mathit{k}}{dt}={\sigma }_{1}u,$$

то производная всякого другого вектора, неразиыно связанного с твердой системой, также выпажалаеь бы через ои. Н это осталоеь бы в спле, если бы вместо $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ мы взяли какой угодно дпугой триэдр, конечно, также связанный с твердым телом. Но в таком случае мы могли бы этот вектор $и$ принять за версор $\mathit{k}$. Учитывая выражения производных $\frac{di}{dt},\frac{dj}{dt},\frac{d\mathit{k}}{dt}$, которыө мы таким образом получим, мы найдем, даференцируя соотношения:
$$ki=0,kj=0,k^2=1,$$

что ${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=0$, и придем, таким образом, $\kappa$ переносному движению.
Если исклютим этот случай, то мы будем в праве принять, что из производчқх основных версоров по крайней мере два, скажем, $\frac{di}{dt}$ и $\frac{dj}{dt}$, не параллельны и не равны нулю. Вместе с тем и вектор
$$\mathit{p}=\left[\frac{d\mathit{i}}{dt}\frac{d\mathit{j}}{dt}\right]$$

отличен от нуля. Но в таком случае негрудно показать, что
$$\frac{di}{dt}=m[pi],\frac{dj}{dt}=m^{\prime }[pj],$$

где $m$ и $m^{\prime }$ — два надлежащих скаляра. Тождество
$$\mathit{i}\frac{dj}{dt}+\mathit{j}\frac{di}{dt}=0$$

приволит к тому, что $m^{\prime }=m$. Если теперь положим
$$\overline{\omega }=mp,$$

Весь этот результат, естественно, останется в силе и для постудательного движения, если цоножить для этого случая $\overline{\omega }=0^1$ ).
6. Показать, что в движущемся твердом теле геометрическое место точек, скорости которых в определенный момент имеют одно и то же напряжение, представляет собою круглый цилиндр, осью которого служит ось движения (ср. упражнение 8 гл. I).

Аналогично әтому поқазать, что геометрическое место точек, скорости которых направлены в одну и ту же точку, представляет собою пространственную кривую третьего порядка. Направления әтих скоростей образуют конус второго порядка с вершиной в точке $P$.
7. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы в течение некоторого промежутка времени оставалось неизменным направление мгновенной оси вращения (рубр.21), заключаетел в том, чтобы в этот промежуток времени обращалось в нуль векторное пропзведение $\left[\frac{-d\overline{\omega }}{\omega t}\right]$.
1) Cp. A. Signorini, Esercizi di meccanica razionale (литографированное издание), Palermo, Capozzi, pp. 80-81, a тaкже C. Poli, Salla dimostrazione del teorema di Mozzi, Rend. Ist. Lombardo, Vol. LXI, 1928, pp. 389-390.

8. Напболее общее состояниө движения твердого тела в определенныи момент всегда может быть рассматриваемо, как составленное из двух впащений, из которых одно происходит вокруг произвольно выбранной в этом теле осй, только не параллельной мгновенной оси и не перпендикулярной к скорости какой-либо лежащей на ней точки (ер. рубр. 25 и упражнение 13 гл. I).
9. Пусть $Q{5}^{\circ }{\gamma }_6$ будет тпиәдр неподєижных осей, а $C$ — траектория точки $O$, движение которой по этой кривой определяется уравнением $s=t$ ( $s$-длина дуги кривой, отсчитываемая от определенной ее точки). Рассмотрим трижды ортогональный правосторонний триәдр $0xyz$, в котором осью $Ox$ служит касательная, обращенная в сторону движения, а оеью Оу — главная нормаль, обращенная к центру кривизны кривой, соответствующему точке $O$. Если через с и $\tau$ обозначим первую и вторую кривизны кривой $C$ в точке $O$, то всегда имеют место соотношения:
$$p=-\tau ,q=0,r=c$$
[нужно воспользоваться соотношением (23) и формулами Френе].
10. В движущейся твөрдой системе во всякий момент существует точка (называемая дентром ускорений), в которой ускорение равно нулю. Предполагается, однако, что в этот моиент векторное произведение $\left[\frac{d\overline{\omega }}{\omega }\frac{d}{dt}\right]$ ве обращаөтся в нуль.