1. Если в движущехся твердом теле некоторая прямая в какой-либо из своих точек перпендикулярна к траєктории әтой точки, то она и во всякой другой евоей точке направлена по нормали к траектории последней (следствие рубр. 2).
2. Сложение нескольки равномерных враңений вокруг параллельных осей. Угловые скорости $\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \ldots, \bar{\omega}_{n}$ этих вращений следует представить векторами, приложенными каждый в проивольной точке соответствующей оси вращения.

Тогда скорость $v$ произвольной точкн $P$ тела в составленном движении представляет собою не что иное, как главный момент относительно точки $P$ этой системы векторов. Показать, что составленное движение, если сумма угловых скоростей $\bar{\omega}=\bar{\omega}_{1}+\bar{\omega}_{2}+\ldots+\bar{\omega}_{n}$ отлична от нуля, представляет собою также вращение с угловой скоростью е $^{2}$ (ср. рубр. 27, в которой рассмотрен случай двух составляющих вращений).
3. Если из точек движущейся твердой прямой провести векторы соответствующих скоростей, то конды әтих векторов также будут лежать на прямой н составлять на ней ряд точек, подобный ряду исходных топек.
4. Чтобы доказать формулы Пуассона, проф. Бискончини 1) замечает, что так как производные $\frac{d \boldsymbol{i}}{d t}, \frac{d \boldsymbol{j}}{d t}, \frac{d \boldsymbol{k}}{d t}$ обращаютея в нуль или соответственно перпендикулярны к версорам $i, j, k$, можно положить:
\[
\frac{d \boldsymbol{i}}{d t}=\left[\bar{\omega}_{1} j\right], \quad \frac{d j}{d t}=\left[\bar{\omega}_{:} j\right], \frac{d \boldsymbol{k}}{d t}=\left[\bar{\omega}_{3} \boldsymbol{k}\right],
\]

прнчем векторы $\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}$ этим однэзначно определяются при добавочном условии, что каждый из них должен бысь перпендикулярен к соответствующему версору $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$. Но эти равенетва останутся в спле, если вместо $\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}$ поставим векторы $\bar{\omega}_{1}+\sigma_{1} \boldsymbol{i}, \bar{\omega}_{2}+\sigma_{2} j, \bar{\omega}_{3}+\sigma_{3} k$, каковы бы ни были скаляры $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$. Основываясь на том, что версоры $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ перпендикулярны между собой и каждый из них перпендикулярен к своей производной, можно показать, что три скаляра $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ могут быть выбраны таким образом, чго
\[
\vec{\omega}_{1}+\sigma_{1} i=\bar{\omega}_{2}+\sigma_{2} j=\bar{\omega}_{3}+\sigma_{3} k .
\]

Общее значение этих трех векторов представляет собою угловую скорость $\bar{\omega}_{*}$
1) Bisconcinı, Bol. dell’Unione Mat. Italiana, Anno IV, 1925, pp. 5-7.

5. Пропзводные трех основных вереоров $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ не могут быть параллельны между ссбой, если они не обпащаются все три в нуль. В самом деле, если бы такой папаллелизм имел место, т. е. если бы существовали такие три скаляра $\tau_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ и вереор $\boldsymbol{u}$, что
\[
\frac{d i}{d t}=\sigma_{1} u, \quad \frac{d j}{d t}=\sigma_{2} u, \quad \frac{d \boldsymbol{k}}{d t}=\sigma_{1} u,
\]

то производная всякого другого вектора, неразиыно связанного с твердой системой, также выпажалаеь бы через ои. Н это осталоеь бы в спле, если бы вместо $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ мы взяли какой угодно дпугой триэдр, конечно, также связанный с твердым телом. Но в таком случае мы могли бы этот вектор $и$ принять за версор $\boldsymbol{k}$. Учитывая выражения производных $\frac{d i}{d t}, \frac{d j}{d t}, \frac{d \boldsymbol{k}}{d t}$, которыө мы таким образом получим, мы найдем, даференцируя соотношения:
\[
k i=0, \quad k j=0, \quad k^{2}=1,
\]

что $\sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma_{3}=0$, и придем, таким образом, $\kappa$ переносному движению.
Если исклютим этот случай, то мы будем в праве принять, что из производчқх основных версоров по крайней мере два, скажем, $\frac{d i}{d t}$ и $\frac{d j}{d t}$, не параллельны и не равны нулю. Вместе с тем и вектор
\[
\boldsymbol{p}=\left[\frac{d \boldsymbol{i}}{d t} \frac{d \boldsymbol{j}}{d t}\right]
\]

отличен от нуля. Но в таком случае негрудно показать, что
\[
\frac{d i}{d t}=m[p i], \quad \frac{d j}{d t}=m^{\prime}[p j],
\]

где $m$ и $m^{\prime}$ – два надлежащих скаляра. Тождество
\[
\boldsymbol{i} \frac{d j}{d t}+\boldsymbol{j} \frac{d i}{d t}=0
\]

приволит к тому, что $m^{\prime}=m$. Если теперь положим
\[
\bar{\omega}=m p,
\]

Весь этот результат, естественно, останется в силе и для постудательного движения, если цоножить для этого случая $\bar{\omega}=0^{1}$ ).
6. Показать, что в движущемся твердом теле геометрическое место точек, скорости которых в определенный момент имеют одно и то же напряжение, представляет собою круглый цилиндр, осью которого служит ось движения (ср. упражнение 8 гл. I).

Аналогично әтому поқазать, что геометрическое место точек, скорости которых направлены в одну и ту же точку, представляет собою пространственную кривую третьего порядка. Направления әтих скоростей образуют конус второго порядка с вершиной в точке $P$.
7. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы в течение некоторого промежутка времени оставалось неизменным направление мгновенной оси вращения (рубр.21), заключаетел в том, чтобы в этот промежуток времени обращалось в нуль векторное пропзведение $\left[\frac{-d \bar{\omega}}{\omega t}\right]$.
1) Cp. A. Signorini, Esercizi di meccanica razionale (литографированное издание), Palermo, Capozzi, pp. 80-81, a тaкже C. Poli, Salla dimostrazione del teorema di Mozzi, Rend. Ist. Lombardo, Vol. LXI, 1928, pp. 389-390.

8. Напболее общее состояниө движения твердого тела в определенныи момент всегда может быть рассматриваемо, как составленное из двух впащений, из которых одно происходит вокруг произвольно выбранной в этом теле осй, только не параллельной мгновенной оси и не перпендикулярной к скорости какой-либо лежащей на ней точки (ер. рубр. 25 и упражнение 13 гл. I).
9. Пусть $Q 5^{\circ} \gamma_{6}$ будет тпиәдр неподєижных осей, а $C$ – траектория точки $O$, движение которой по этой кривой определяется уравнением $s=t$ ( $s$-длина дуги кривой, отсчитываемая от определенной ее точки). Рассмотрим трижды ортогональный правосторонний триәдр $0 x y z$, в котором осью $O x$ служит касательная, обращенная в сторону движения, а оеью Оу – главная нормаль, обращенная к центру кривизны кривой, соответствующему точке $O$. Если через с и $\tau$ обозначим первую и вторую кривизны кривой $C$ в точке $O$, то всегда имеют место соотношения:
\[
p=-\tau, \quad q=0, \quad r=c
\]
[нужно воспользоваться соотношением (23) и формулами Френе].
10. В движущейся твөрдой системе во всякий момент существует точка (называемая дентром ускорений), в которой ускорение равно нулю. Предполагается, однако, что в этот моиент векторное произведение $\left[\frac{d \bar{\omega}}{\omega} \frac{d}{d t}\right]$ ве обращаөтся в нуль.