22. Равномерно переменное движение. К понятию об ускорении мы приходим, вычисляя, так сказать, быстроту, с которой от момента к моменту изкеняется скорость движущейся точки.

Подобно тому как мы это дєлали при определении скорости, обратимся к изучению внутреннего характера движения, считая заданной его траекторию, и наснем с того сравнительно простого случая (можно сказать, наиболее простого после равномерного движения), когда скалярная скорость $\dot{s}$ движущейся точки представляет собою линейную функцию времени, т. е. когда
\[
\dot{s}=a t+b,
\]

где $\ulcorner$ и $b$-постоянные; при этом $a
eq 0$, ибо при $a=0$ мы имели бы равномерное движение. Постоянная $b$ представляет собою скорость движения в момент $t=0$ : что касается постоянной $a$, то из соотношения (23) непосредственно вытөкает вывод, совершенно аналогичный тому, который мы получили в рубр. 8, именно: в течении движения изменение скорости $\Delta \dot{s}$ за люоой промежуток времени $\Delta$ находится $к$ продолжительности этого промежутка $\Delta t$ 8 постоянном отношении, равнол $a$, т. е.
\[
\frac{\ddot{s}}{\Delta t}=a \text {. }
\]

Эта постоянная $a$, которая, в частности, определяет изменение скорости в единицу времени, называется ускорением рассматриваемого движения; самое же это движение, с очевидным указанием характера изменения скорости с течением времени, называется равномерно переменныл.

Небесполезно будет прибавить, что понятие об ускорении было впервые установлено Галилеем ${ }^{1}$ ) именно как изменение скорости в единицу времени д.яя случая свободного падения тяжелых тел, которое, как мы узидим ниже, представляет собор равномерно изменяющееся движение.

Обращаясь к движению (23), отметим прежде всего, что ускорение $a$ представляет в этом случае вторую производную $\ddot{s}$ криволинейной абсциссы $s$ по времени. Таким образом в произвольный момент $t$ движение, согласно критерию рубр. 12,
1) Галилео Галилей (Galileo Galilei) родилея в Пизе в 1564. г., умер в Арчетри в 1642 г., может считаться продолжателем Архимеда в области статики и творцом динамики (ем. предиеловие Фаваро. (Favaro) к т. VII в так называемом ,национальном изданин\” сочинений Галилея]. Его кашитальное сочинение носит название „Беседы и математические доказательства, относя. щиеся к двум новым наукам, касающимся механики и местных движений“ (\”Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali“), Edizione Nazionale delle opere di Galileo, Vol. VIII *).
*) Имеется русский перевод (ГТТИ 1934). (Ред.;

будет ускоренным или замедленным, в зависимости от того, будет ли
\[
a(a t+b)>0 \text { или }<0 .
\]

Но эти неравенства мы можем писать в виде:
\[
a^{2}\left(t+\frac{b}{a}\right)>0 \text { или соответственно }<0 .
\]
0 тсюда мы заключаем, что движение будет замедленным, пока $t<-\frac{b}{a}$, т. е. до момента – $\frac{b}{a}$; в этот момент скорость обращается в нуль, происходит остановка, после чего движение уже навсегда становится ускоренным.

Можно, таким образом, сказать, что в равномерно переменном движении всегда имеются две фазы: первая фаза замедления, вторая – ускорения.

Чтобы, далее, еще ближе установить ход рассматриваемого движения, рассмотрим еще, бывает ли оно прогрессивным или регрессивным и при каких условиях оно имеет тот или другой характер. Так как это зависет (рубр. 12) от знака скорости
\[
\dot{s}=a\left(t+\frac{b}{a}\right),
\]

то мы и рассмотрим два случая, когда $a>0$ п когда $a<0$.
В первом случае $s$ имеет эоложительное значения при $t+\frac{b}{a}>0$ и отрицательное при $t+\frac{b}{a}<0$; это значит, движение будет ретроградным до момента $t=-\frac{b}{a}$, т. е. в фазе замедления; прогрессивным оно будет в ускоренной фазе. В случае $a<0$ дело будет обстоять обратно: движение будет прогрессивным в фазе замедления и регрессивным в фазе ускорения.

Интегрируя диференциальное уравнение (23), мы получим путевое уравнение движения:
\[
s=\frac{1}{2} a t^{2}+b t+c,
\]

тде постоянная интегрирования $c$ представляет собою криволинейную абсциссу движущейся точки в момент $t=0$.

Если отсчитывать время от момента остановки ( $-\frac{b}{a}$ ), т. е. если положить
\[
t_{1}=t+\frac{b}{a},
\]

то уравнение (23) примет внд:
\[
\dot{s}=a t_{1} .
\]

Мы получим абсциссу положения точки в момепт остановки, если в формуле (24) положим $t=-\frac{b}{a}$; это даст:
\[
\frac{2 a c-b^{2}}{2 a} \text {. }
\]

Приняв момент остановюи ва начало отсчета времени, т. е., выполнив преобразование (25), мы теперь и расстояния $s$ будем отсчитывать от положения точки в момент остановки, т. е. мы положим:
\[
s_{1}=s-\frac{2 a c-b^{2}}{2 \dot{a}} ;
\]

тогда формула (24) вначительно упростится. В самом деле, ввпду того, что вышеуказанное преобразование мы считаем внполпенным, уравнение (23′) сохранит свой вид, т. е.:
\[
\dot{s}_{1}=a t_{1} \text {. }
\]

Ивтегрируя это уравнение, будем иметь:
\[
s_{1}=\frac{1}{2} a t_{1}^{2}+c_{1} .
\]

Но так как теперь прп $t_{1}=0$ и $s_{1}$ должно обрацаться в нуль, то $c_{1}=0$; мы получим окончательно:
\[
s_{1}=\frac{1}{2} a t_{1}{ }^{2} .
\]

Iгредставим себе теперь, что некоторое движение этого рода можно рассматривать не в кавом-нибудь определенном промежутке времени, а на всем протяжении времени, т. е. от $t_{1}=-\infty$ до $t_{1}=+\infty$; так, это может иметь место, например, в случае прлмолинейной траектории. Тогда уравнение (24′) показывает, что при неограниченно возрастаощих значениях $t_{1}$, как положительных, так и отрицательных, $s_{1}$ стремится к бесконечности, и притом в обоих случаях к положительной бесконечности, если $a>0$, и к отрицательной, если $a<0^{1}$ ).

Сверх того, если рассмотрим два момента $-t_{1}$ и $t_{1}$ (из которых один предшествует моменту остановки, а другой на такой же промежуток времени следует за ним), то мы видим из уравнений $\left(23^{\prime}\right)$ и (24′), что в такие два момента движущаяся точка проходит через то же положение на траектории и с тем же напряжением скорости, обращенной, однако, в эти моменты в противоположные стороны.
1) Это значит, при двпжениях этого рода движуцаяся точка несөтея из бесконечности к моменту остановки, затем поворачнвае’ обратно и уноситея в бесконечность. См. ниже в тексте. (Ред.)

Возвращаясь теперь к общему случаю, т. е. к произвольному выбору начала времен и начала расстояний, мы можем дать изложенному следующее выражение.

Iри равномерно переменном движении, выражаемом путевым уравнением (24), точка продвигаетея с бесконечно большого расстояния со стороны положительных или отрицательных абсцисс, смотря по тому, имеет ли ускорение а положительное или отрицательное sначение; равномерно замедленным двшжениел она доходит до точки, имеющей айсциссу
\[
\frac{2 a c-b^{2}}{2 a},
\]

которой она достигает в момент – $\frac{b}{a}$; вслед за этим точка поворачивает обратно и равномерно ускоренным движениен несется в ту сторону, из которой пришла; в каждом положении она при этом приобретает скорость того же напряжения, что и при первом прохождении через это положение, но обращенную в обратную сторону.

Уравнение (24) показывает, что путевая диаграмма равн()мерно переменного движения представляет собою параболу, ось симметрии которой параллельға оси времени; эта парабола обращена своей вогнутостью в сторону положительных или отрицательных времен, в зависимости от того, имеет ли $a$ положительное или отрицательное вначение. Әта диаграмма также отчетливо обнаруживает различные обстоятельства, установленные выше аналитическим путем.
23. Ускорение. Обратимся вновь к точке, произвольно движущейся в пространстве, и определим векторное ускорение этого движения, руководясь внутренними его свойствами.
Рассцотрим наращение (векторное):
\[
\Delta \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t+\Delta t)-\boldsymbol{v}(t),
\]

Фиг. 37.
которое получает скорость движения в интервале от произвольно взятого момента $t$ до $t+\Delta t$, п приложим вектор $\Delta \boldsymbol{v}$ в тотке $P(t)$ (фиг. 37); затем разделим его на $\Delta t$. Полученный, таким образом, вектор
\[
\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\boldsymbol{v}(t+\Delta t)-\boldsymbol{v}(t)}{\Delta t}
\]

выражает среднее нарастание скорости и имеет компонентами
\[
\frac{\dot{x}(t+\Delta t)-\dot{x}(t)}{\Delta t}, \frac{\dot{y}(t+\Delta t)-\dot{y}(t)}{\Delta t}, \frac{\dot{z}(t+\Delta t)-\dot{z}(t)}{\Delta t} ;
\]

өтот вектор назнватся средни.н ускорєнием точки $P$ за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$.

$У_{\text {скорением почи }}$ в момені $t$ называется предел, к которому стремится среднее ускорение за интервал $\Delta t$, когда нродолжительность его при неизменном начальном моменте стремится к нулю, т. е.
\[
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{v}(t-\Delta t)-\boldsymbol{v}(t)}{(\Delta t)} .
\]

Этот предел представляет собою пропзводную $\boldsymbol{v}$ скорости $v$ по времени или также, поскольку $v=\frac{d P}{d t}$, вторую производную $\frac{d^{2} P}{d t^{2}}=\ddot{P}$ точки $P$ по врекени. Обозначая поэтому ускорение, представляюще собою векторную функцию времени, через $a(i)$, будем иметь, согласно определению:
\[
\boldsymbol{a}(1)=\frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d^{2} P}{d t^{2}} ;
\]

компоненты ускорения по осям координат имеют значения:
\[
a_{x}=\ddot{x}(t), \quad a_{y}=\ddot{y}(t), \quad \ddot{a}_{z}=\ddot{z}(t) .
\]

Ускорение является, таким образом, новой кинематической величиной, которая представляет собою, если оставим в стороне ее векторный характер, отношение некоторой скорости к промежутку времени. Поәтому, приняв уже за единицы для измерения расстояния и времени метр и секунду, можно принять за единицу ускорения „ускорение в 1 мlсека\”, т. е. ускорение того равномерно ускоренного движения, при котором скорость нарастает в секунду на 1 м мек.
24. Из внутреннего по отношению к движению характера определения ускорения непосредственно вытекает, что формулы (27) остаются в силе, как бы мы ни меняли оси координат, лишь бы новые оси оставались неподвижныли по отношению к старым; это утверждение можно также оправдать более точным анализом, совершенно єналогично тому, как это было сделано в случае скорости (рубр. 14). Вместе с тем, как и в рубр. 15, мы приходим к следующим выводам.
$B$ случае плоского или прямолинейного движения ускорение всегда лежит в плоскости или на прямэй движения.

Если точка движется в пространстве, то ускорение ее проекции на плоскость или на пряжую всегэа совпадает с проекцией на эту плоскость или, соответственно, на эту прямую ускорения двиюущейся точки.
25. Мы увидим в динамике, какое капитальное значение имеет задача определения движения точки по данному ускорению этого движения. Наиболее общий случай этой задачи, к которому приводит теоретическое исследование явлений движения, заключается в том, тто ускорение бывает задано в функции времени, положения точки и скорости:
\[
a=a(P, \dot{P} / t) .
\]

Это означает в аналитическом (скалярном) выражении, что компоненты $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ ускорения $a$, отнесенные к некоторому определенному триэдру, заданы в функции переменных $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, t$.

Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы обыкновенных диференциальных уравнений второго порядка: .
\[
\ddot{x}=a_{x}, \quad \ddot{y}=a_{y}, \quad \ddot{z}=a_{z} ;
\]

как известно, эти уравнения в достаточно широкшх условиях для функций $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ допускают бесчисленное множество решений, которыө в своей совокупности зависят от шести произвольных nостоянных ${ }^{1}$ ). Мы имеем, таким образом, $\infty^{6}$ различнвх движений, имеющих данное ускорение.

Чтобы индивидуализировать движение, т. е. выделить одно движение из этой совокупности их, необходимо фнксировать значение этих шести произвольных постоянных ; для этого нужно присоединить подходящие начальные условия; достаточно, например, установить, что в заданный момент $t_{0}$ точка должна проходить через заданное положение $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ с заданной скоростью $\boldsymbol{v}_{0}\left(\dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}\right)$.
26. Тангениальное (касательное) и нормальное ускорения. Ускорение $\boldsymbol{a}(t)$ представляет собою вектор, который, по определению, в каждый момент приложен в точке $P(t)$, в которой в этот момент находится движушаяся точка $P$. Чтобы уяснить себе, как этот вектор $\boldsymbol{a}$ может быть от момента к моменту расположен относительно траектории, воспользуемся соотношением:
\[
\boldsymbol{v}=\dot{s i},
\]

установленным в рубр. 13. Диференцируем это соотношение по времени, рассматривая при әтом единичный вектор $t$ как функцию от криволинейной абсциссы $s$, которая, в свою очередь, представляет собою функцию времени $s(t)$. Если мы при этом воспользуемся соотиошением Френе (I, рубр. 81):
\[
\frac{d t}{d s}=\frac{1}{r} n,
\]

где $r$ есть радиус кривизны траектории в точке $P(t)$, а $\boldsymbol{n}$ версор главной нормали, направленной к центру кривизни, то мы получим :
\[
\boldsymbol{a}=\ddot{s} \boldsymbol{t}+\dot{s} \boldsymbol{t}=\ddot{s} t+\dot{s} \frac{d \boldsymbol{t}}{d s} \frac{d s}{d t}=\ddot{s} \boldsymbol{t}+\frac{t^{2}}{r} \boldsymbol{n} .
\]

Отсюда, в первую очередь, вытекает, тто компонента ускорения по бинормали равна нулю, т. е. \”то ускорение в каждый момент движения расположено в соприкасающейся плоскости траектории в точке, занимаеной в этот молент движуиейся по’пой.
1) См. прпетане на стр. 105.

Две векторные компоненты $\ddot{s} t$ и $\frac{v^{2}}{r} n$, равно как п их скалярные значения $\ddot{s}$ п $\frac{v^{2}}{r}$, газываются тангенциальным или касательным ускорением и -ссответствевно-нормальным илп цевтростремительным ускорением. Первое направлено по касательной в сторону возрастающих значений $s$ при $\ddot{s}>0$ и в противоположную сторону при $\ddot{s}<0$. Что касается второго, нормального ускорения, то его скалярное значение $\frac{v^{2}}{r}$ всегда положительно; поэтому это ускорение всегда направлено к центру кривизны и потому также называетея центрострелитсльным.

Касательное ускорение обращается постоянно в нуль в том, п только в том, случае, когда тождественно $\ddot{s}=0$, т. е. $\dot{s}$ есть постоянная. Таким обравом, равномерные дижения (рубр. 8) характеризуются (при любой траектории) тем, что их касательное ускорение равно нулю, т. е. что они имеют чисто кормальное ускорение.

Из предыдущей рубрики, вместе с тем, следует, что равномерно переленные движения (на любой траектории) характеризуютея постоянством касательного ускорения; это не исключает существования нормального ускорения, вообще переменного; если при этом траектория не прямолинейная, то нормальное ускорение не может быть постояні равно нулю. В самом деле, последнее имеет значение $\frac{v^{2}}{r}$; так как $v$ не может постоянно равпяться нулю (скорость может обращатьсл в нуль только в отдельных точках остановки), то нормальное ускорение может быть равно нулю во всех точках траектории только в том случае, если по всей траектории равно нулю $\frac{1}{r}$, т. е. ее кривизна; так как это имеет место только для прямой линии, то мы отсюда заклютаем, что отсутствие нормального ускорения во все вреля двшжения характеризует прямолинейное двюение.

Комбинируя предыдущие выводы, мы заключаем, что равномерные прямолинейные движения характеризуются тем, что их ускорение (полное) тождественно равно нулю.