Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Компоненты позиционной сиды выражаютея уравнениям: где $k$ обозначает какую угодно функцию места. Показать, что еиловыми тиниями служат окружности, центры которых расположены на оси $z$. Применить I: прнмеру d) гл. VII, рубр. $\mathbf{2 9}$. где $k$ и $\downarrow$ суть функии места. Показать, что силовые тини выражаютея уравнением $\psi(x, y)=$ const. 6. Тяжелое тело весом в 0,8 к находится на высоте 14 ж над уровнем эемли; оно брошено вептикально вниз с начальной скоростью $4 \boldsymbol{\mu}$ в секунду. Показать, что кинетическая энепгия, с которой тело достиа ает точки падения, еостав:тяет $11,8 \bar{z} k \imath$ (соппотивлением всздуча ппн этом пренебрелаем). Пии vказанных задания әлектрическое отопление обтодится, примерно, в 2,5 раза дороже т азового. Требуетя установить единицу электри еского заряда (или, как говорят также, „количества электгичества\”) таким обгазом, чтобы козфнпиент пропорци\”альности обпатнлея в едпниу. Гоказать, что размерность количества длектричества выражается формулой $l^{\frac{3}{2}} t^{-1} m^{\frac{1}{2}}$. называются независимыми, если уравнения (1) могут быть разрешены отпосительно $x, y, z$. Если мы возьмем логарифмы обеих частен каждого из этих упавнений, то при независимости этих одночленов вновь полученные уравнения должіны разпешаться относительно $\lg x, \lg y, \lg z$. Отсюда следvет, что необходимое и достаточное условне независнмоста трех одночленов заключается в том, чтобы Аналогнчно этому определяется такж незавнсимость одночленов, предетавляющих функции двух переменных Из этих определений непосредетвенно вытекает следиющая теорема: есхи $\xi, \eta, \zeta$ суть три одночлена, независимие относительно $x, y, z$, то камдый -дночлен вида $x^{a} y^{b} z^{c}$ модсно предстаните в топме $\xi^{2} \eta^{3} \zeta^{\top}$. но, поюкольку удовлетворено условие (2), мы всегда можем определить $a, \beta, \gamma$ пз линейных уравнений: после этого предыдущее равенство примет вид: как это и требовалось доказать. колфцциент приведения для численного значения $q$ әтой величины равен (1X, рубр.9): Мы булем говопить, что три величины $Q^{\prime}, Q^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime}$ независимы по своим размипностям, если независимы их козћициенты приведения. Ииаче говоря, если соответствующе коэфициенты приведения выражаштся формулами: то эти величниы независимы, когда II плме п I. Стопость, ускорение и энепгия являютел независимыми механическими величинами, ибо их коэццненты приведения имеют вид: Вместе с тем Пример II. Скорость, сила и мощность суть зависимые по размерностге величины, ибо u=\lambda \tau^{-1}, \varphi=\lambda \tau^{-2} \mu, \quad \pi=\lambda 2 \tau^{-3} \mu ; определитель размерноетей эфиииентами приведения $\chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \chi^{\prime \prime \prime}$, виражсемими уравнениями (3), то для всякой летвертой величины $Q$ коэфиииент приведения у моюно будет представитв в виде: Чтобы в этом убедиться, достаточно сооблазить, что всякая фнзическая величина $Q$ имеет коэфициент приведения вида: и применить теорему, установленнуо вышө среди алгебранческит предшосылок. Если теперь примем во внимание, что, в силу соотношения (4), меға $q$ вөличины $Q$ является трехкратно однородной относительно мер $q^{\prime}, q^{\prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}$ рассматриваемых трех величип, то әто соотношение, очевидно, может быть заменено символическим уравненнем: Пример. Мы убедились выше, тто скорость, ускорение и энергня суть три независимые величины. Выведем теперь размерность силы через $r$, $a$, e. Дяя этого достаточно определить $\alpha, \beta$, $\gamma$ из соотношения: Прправнивая показатели обеих частей этого уравненпя, находим непоередственно, что $\gamma=1$, а потому отсюда следует, что Итак, по отношению к скорости, уекоренио и энергин сила пмеет равмеры: Замечание. Полезно отметить как следетвие предыдущих результатов, что размерности равны нулю. Правило приведения к нулевым размерам. Предположим, тто мера $q$ несоторой физической величины может быть выражена через меры $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ других физических величин и некоторые другие тисла, совокупноеть которых обозначим через $r$. Это значит: Допустим, далее, что три из этих величин, скажем три первые, по своим размепностям независим ; согласно вншеприведенному замечанию, меры $n-3$ остальных величин могут быть выражены в виде произведения некоторых степеней количеств $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ на чнстые числа. Еели совокупность последних обозначим через $r^{\prime}$, то соотношение (6) в конечном результате пиведетея в виду: Но как мера физической величины $q$ обладает трехкратной однородностью относительно трех независимых мер $q_{1}, q_{2}, q_{3}$; если поәтому $\alpha, \beta, \gamma$ суть показатели однородности $q$ относптельно $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, то уравнение ( $6^{\prime}$ ) можно написать в виде: К совериенно аналогичному результату мы приходим и в том случае, когда в числе $n$ мер $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ кмеютея всего две независимые или даже только одна: множители при чистом числе $F$ сводятся соответственно к двум или к одному. Указанный прием, приводящий к соотношению (6\”) или к аналогичным соотношениям (когда в ппавой части остаются только две независимые величины или даже только одна), нолучнл название метода мулевых размеров. $\mathrm{OH}_{\mathrm{H}}$ представляет собою, по существу, только следствие или алгорифмическое усовершенствование закона однородногти, ограничивающего форму, в которой могут быть представлены зависимости между фнзическими величинами. В некоторых случаях он приводнт к исчерлывающей характеристике такого года соотношений.
|
1 |
Оглавление
|