1. Компоненты позиционной сиды выражаютея уравнениям:
\[
\mathrm{X}=-k y, \quad \mathrm{Y}=k x, \quad Z=0,
\]

где $k$ обозначает какую угодно функцию места. Показать, что еиловыми тиниями служат окружности, центры которых расположены на оси $z$. Применить I: прнмеру d) гл. VII, рубр. $\mathbf{2 9}$.
2. В плоском поле компоненты сихы принадлежат к типу
\[
\mathrm{X}=-k \frac{\partial ⿱}{\partial y}, \quad Y=k \frac{\partial}{\partial x},
\]

где $k$ и $\downarrow$ суть функии места. Показать, что силовые тини выражаютея уравнением $\psi(x, y)=$ const.
3. Сила, компоненты которой $X, Y, Z$ выражаютея по порлдку функпиями одного только $x$, одного только $y$, одного только $z$, принадлежит консервативному полю. Указать потепиал и применить к частному случаю, в котором при постоянных $k$ и $n$
\[
\mathrm{X}=k x^{n}, \quad Y=k y^{n}, \quad Z=k z^{n} .
\]
шается пентробежными насосами, котсрые выбрасывают воду на высоту 5 м над уровнем пруда. Какую работу должны выполнить насосы, чтобы осушить весь пруд (для простоты еледует допустить, что каждая частица воды выбрасываетея на высоту в 5,1 м).
5. Тело весом в 50 кг скатывается на 8 м по линии наибольпего ската плоскости, наклоненной к горизонту на $30^{\circ}$; оно испытывает при этом сопротивление, направленное противоположно движению, в 20 ж. Вычислить работу, производимую прн этом епуске обеими силами -.- весом и сопротивлением.

6. Тяжелое тело весом в 0,8 к находится на высоте 14 ж над уровнем эемли; оно брошено вептикально вниз с начальной скоростью $4 \boldsymbol{\mu}$ в секунду. Показать, что кинетическая энепгия, с которой тело достиа ает точки падения, еостав:тяет $11,8 \bar{z} k \imath$ (соппотивлением всздуча ппн этом пренебрелаем).
7. Какова кинетическая энергия $T$, котопой обладает снапяд весом в $129 \%$, бошенный в пүстоте с начальной скоростью в $600 \mu /$ сек под углом в $30^{\circ} \mathrm{K}$ ‘оризонту, в момент, когда он достиіает верхней точки траектории? ( $T=$ $=165306 \mathrm{mi})$.
8. Какова мощность мотора, способного поднять 10 паз в минуту вео в $80 \mathrm{kz}$ на высоту в $4,5 \%$, предполагая, что $25 \%$ мощности поглощается внутренними соппотивлениями ( $1,066 \mathrm{HP}$ ).
9. Известно, что киловатт-час әлектпической энергии для нужд отопления етопт 0,45 лиры и что 1 ж $^{3}$ газа, дающий 3800 кал, стоит 0,75 лиры. Опредеяить отнопевие паскодов ппи том же количество использованных калорй, полученных одним и друінм способами.

Пии vказанных задания әлектрическое отопление обтодится, примерно, в 2,5 раза дороже т азового.
10 Совпеменныи локомотив, мощность которого доститает $1200 \mathrm{HP}$, может тащить по плоскости и плямолинєйной колее пии наиболыпей скорости в 103 км в час поезд весом в $450 \mathrm{~m}$ (Еключая сюда и вес локомотива). Принимая, что при наибольшей скопости вся мощность локомотива затрачивается на преодоленне сопротивлений (которые можно считать постолнными), требуется:
1) вычислить полное сопротивление (в килограммах),
2) оппеделить, на каком пасстоянни остановится поезд, если локомотив шерестанет действовать пюи наибольшей скорости поезда ( $6888 \boldsymbol{x}$ ).
11. Из әлементов әлекгпостатики пзвзстно, что две электические массы $e$ и $e^{\prime}$ того же рода (погкольку их можно пасематривать как точечные заряды) на расстоянии $r$ оказывают друг на друга притажение, пропорциональное
\[
\frac{e e^{\prime}}{r^{2}} \text {. }
\]

Требуетя установить единицу электри еского заряда (или, как говорят также, „количества электгичества\») таким обгазом, чтобы козфнпиент пропорци\»альности обпатнлея в едпниу. Гоказать, что размерность количества длектричества выражается формулой $l^{\frac{3}{2}} t^{-1} m^{\frac{1}{2}}$.
12. В абсолютной системе единиц, которой пользуютел в элежтротехнике, единицей длины схужит $10^{7}$ м, единитей времени служит секунда, а единицей массы $10^{-11}$ १. Показать, что едпнипей (производной) работы служит как раз джоуль, павный $10^{7}$ әплов (IX, рибп. 6).
1:3. Метод нулевых размерностей ${ }^{1}$ ). Алгебранческе предпосылк. Три өдночлена, определяемые формулами
\[
\xi=x^{a_{13}} f^{b_{1}} z^{c_{1}}, \quad \eta=x^{a_{4}} y^{b_{2}} z^{c_{2}}, \quad \zeta=x^{a_{3}} y^{b_{3}} z^{c_{3}} .
\]

называются независимыми, если уравнения (1) могут быть разрешены отпосительно $x, y, z$.

Если мы возьмем логарифмы обеих частен каждого из этих упавнений, то при независимости этих одночленов вновь полученные уравнения должіны разпешаться относительно $\lg x, \lg y, \lg z$. Отсюда следvет, что необходимое и достаточное условне независнмоста трех одночленов заключается в том, чтобы
\[
\left|\begin{array}{lll}
a_{1} & b_{1} & c_{1} \\
a_{2} & b_{2} & c_{2} \\
a_{3} & b_{3} & c_{3}
\end{array}\right|
eq 0
\]
1) Заимствовано из исследований Д. Рлбупннского (\»Известия Аәподинамического инетитута в Кучино, Москва, 1912г.) и Странео (Pr Straneo, Rend, della R. Accademia dei Lincei, 2-e sem. 1917).

Аналогнчно этому определяется такж незавнсимость одночленов, предетавляющих функции двух переменных
\[
\xi=x^{a_{1}} y^{b_{1}}, \quad \eta=x^{a_{2}} y^{b_{2}} .
\]

Из этих определений непосредетвенно вытекает следиющая теорема: есхи $\xi, \eta, \zeta$ суть три одночлена, независимие относительно $x, y, z$, то камдый -дночлен вида $x^{a} y^{b} z^{c}$ модсно предстаните в топме $\xi^{2} \eta^{3} \zeta^{\top}$.
В самом деле, в силу исходных соотношений (1), можно напсать:
\[
\xi^{\alpha} \eta_{1}^{\beta} \zeta_{\gamma}^{\gamma}=x^{a_{1} \alpha+a_{2} \beta+a_{3} \gamma} \quad y^{b_{1} \alpha+b_{2} \beta+b_{3} \gamma}, \quad z^{c_{1} \alpha+c_{2} \beta+c_{3} \gamma} ;
\]

но, поюкольку удовлетворено условие (2), мы всегда можем определить $a, \beta, \gamma$ пз линейных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
a_{1} \alpha+a_{3} \beta+a_{3} \gamma=a, \\
b_{1} \alpha+b_{2} \beta+b_{3} \gamma=b, \\
c_{1} \alpha+c_{2} \beta+c_{3} \gamma=c ;
\end{array}
\]

после этого предыдущее равенство примет вид:
\[
\xi^{\alpha} \eta^{\beta} \zeta^{\gamma}=x^{a} y^{b} z^{c},
\]

как это и требовалось доказать.
14. Пезанисимость размерностей. Как было показано в рубр. 7 гл. IX, для любой величины $Q$ в абсолютной сиетеме имеет место символическое равенство:
\[
[Q]=l^{m_{1}} t^{n_{3}} m^{n_{3}} ;
\]

колфцциент приведения для численного значения $q$ әтой величины равен (1X, рубр.9):
\[
\chi=\lambda^{n_{1}} \tau^{n_{3}} \mu^{n_{3}} .
\]

Мы булем говопить, что три величины $Q^{\prime}, Q^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime}$ независимы по своим размипностям, если независимы их козћициенты приведения. Ииаче говоря, если соответствующе коэфициенты приведения выражаштся формулами:
\[
\begin{array}{l}
\chi^{\prime}=\lambda_{1}^{n_{1}^{\prime}} \tau_{2}^{n_{2}^{\prime}} \mu_{3}^{n_{3}^{\prime}}, \\
\chi^{\prime \prime}=\lambda_{1}^{n_{1}^{\prime \prime}} \tau_{2}^{n_{2}^{\prime \prime}} \mu_{3}^{n_{3}^{\prime \prime}}, \\
\chi^{\prime \prime \prime}=\lambda_{1}^{n_{1}^{\prime \prime \prime}} \tau_{2}^{n_{2}^{\prime \prime \prime}} \mu_{3}^{n_{3}^{\prime \prime \prime}},
\end{array}
\]

то эти величниы независимы, когда

II плме п I. Стопость, ускорение и энепгия являютел независимыми механическими величинами, ибо их коэццненты приведения имеют вид:
\[
y=\lambda \tau^{-1}, \quad \alpha=\lambda \tau^{-2}, \quad \varepsilon=\lambda \cdot 2 \tau^{-2} \mu .
\]

Вместе с тем
\[
\left|\begin{array}{ll}
1-1 & 0 \\
1-2 & 0 \\
2-2 & 1
\end{array}\right|=-1 .
\]

Пример II. Скорость, сила и мощность суть зависимые по размерностге величины, ибо
\[

u=\lambda \tau^{-1}, \varphi=\lambda \tau^{-2} \mu, \quad \pi=\lambda 2 \tau^{-3} \mu ;
\]

определитель размерноетей
\[
\left|\begin{array}{ll}
1-1 & 0 \\
1-2 & 1 \\
2-3 & 1
\end{array}\right|=0 \text {. }
\]

эфиииентами приведения $\chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}, \chi^{\prime \prime \prime}$, виражсемими уравнениями (3), то для всякой летвертой величины $Q$ коэфиииент приведения у моюно будет представитв в виде:
\[
\gamma=\gamma^{\prime}{ }^{\circ} \gamma^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime \prime} .
\]

Чтобы в этом убедиться, достаточно сооблазить, что всякая фнзическая величина $Q$ имеет коэфициент приведения вида:
\[
\%=\lambda^{n_{1}} \tau^{n_{2}} \mu^{n_{3}},
\]

и применить теорему, установленнуо вышө среди алгебранческит предшосылок.

Если теперь примем во внимание, что, в силу соотношения (4), меға $q$ вөличины $Q$ является трехкратно однородной относительно мер $q^{\prime}, q^{\prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}$ рассматриваемых трех величип, то әто соотношение, очевидно, может быть заменено символическим уравненнем:
\[
[q]=q^{\prime \alpha} q^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime} \tau .
\]

Пример. Мы убедились выше, тто скорость, ускорение и энергня суть три независимые величины. Выведем теперь размерность силы через $r$, $a$, e. Дяя этого достаточно определить $\alpha, \beta$, $\gamma$ из соотношения:
\[
\lambda, \tau^{-2} \mu=\left(\lambda \tau^{-1}\right)^{\alpha}\left(\lambda \tau^{-2}\right)^{\beta}\left(\lambda, 2 \tau^{-2} \mu\right)^{\gamma}=\lambda^{\alpha+\beta+2 \gamma_{\tau} \tau^{-\alpha-2 \beta-2 \gamma} \mu_{\mu}^{\gamma}} .
\]

Прправнивая показатели обеих частей этого уравненпя, находим непоередственно, что $\gamma=1$, а потому
\[
\alpha+\beta+2=1,-\alpha-2 \beta-2=-2 ;
\]

отсюда следует, что
\[
\alpha=-2, \beta=1 \text {. }
\]

Итак, по отношению к скорости, уекоренио и энергин сила пмеет равмеры:
\[
[f]=v^{-2} a e .
\]

Замечание. Полезно отметить как следетвие предыдущих результатов, что размерности равны нулю.

Правило приведения к нулевым размерам. Предположим, тто мера $q$ несоторой физической величины может быть выражена через меры $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ других физических величин и некоторые другие тисла, совокупноеть которых обозначим через $r$. Это значит:
\[
q=f\left(q_{1}, q_{3}, \ldots, q_{n} \mid r\right) .
\]

Допустим, далее, что три из этих величин, скажем три первые, по своим размепностям независим ; согласно вншеприведенному замечанию, меры $n-3$ остальных величин могут быть выражены в виде произведения некоторых степеней количеств $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ на чнстые числа. Еели совокупность последних обозначим через $r^{\prime}$, то соотношение (6) в конечном результате пиведетея в виду:
\[
q=F\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\left|r^{\prime}\right| r^{\prime}\right) .
\]

Но как мера физической величины $q$ обладает трехкратной однородностью относительно трех независимых мер $q_{1}, q_{2}, q_{3}$; если поәтому $\alpha, \beta, \gamma$ суть показатели однородности $q$ относптельно $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, то уравнение ( $6^{\prime}$ ) можно написать в виде:
\[
q=q_{1}^{\alpha} q_{2}^{3} q_{3}^{7} F\left(1,1,1, \mid r, r^{\prime}\right) .
\]

К совериенно аналогичному результату мы приходим и в том случае, когда в числе $n$ мер $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ кмеютея всего две независимые или даже только одна: множители при чистом числе $F$ сводятся соответственно к двум или к одному.

Указанный прием, приводящий к соотношению (6\») или к аналогичным соотношениям (когда в ппавой части остаются только две независимые величины или даже только одна), нолучнл название метода мулевых размеров. $\mathrm{OH}_{\mathrm{H}}$ представляет собою, по существу, только следствие или алгорифмическое усовершенствование закона однородногти, ограничивающего форму, в которой могут быть представлены зависимости между фнзическими величинами. В некоторых случаях он приводнт к исчерлывающей характеристике такого года соотношений.