19. Связи положения. Из числа неголономных связей следует отдельно рассмотреть частный тип систем, наиболее цростым примером которых является свободная тотка, которая может двигаться без ограничений по одну сторону апданной поверхности, но не может проникнуть на другуі сторону ес.

Если $\varphi(x, y, z)=0$ есть уравнение поверхности $\sigma$, то две области, на которые она разделлет простран:тво, характеризуются соответственно неравенствами $і<0$ и $\varphi>0$; ноэтому пзменяя, когда это необходихо, зпак функции на обратный, всегда возможно свявь, которою ограничено движение нашей точкн, выразить анал!тически, если подчинить ее коортинатк условию:
\[
\varphi(x, y, z) \leqslant 0 .
\]

Такая связь называется одножоронней ${ }^{1}$ ); то же наименование сохраняется и в том случае, если часть пространства, в которой должна двигаться точка, ограничөна несколькими поверхностями; так, например, условия
\[
x \geqslant 0, \quad y \geqslant 0, \quad z \geqslant 0
\]

выражают, что точка не должна выходить за пределы положительного октанта координатного триэдра.
Вообще, система, имеющая $n$ степенөй свободы,
\[
P_{1}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2,3, \ldots, N),
\]

называется ограниченной односторожяими связяи (связями положения), если соответствующие лагравжевы координаты должны $\qquad$
1) В русской литературе такого эода связи часто называют неудерэиваюцими, в отличпе от удерживающих связей, веражаемых уравнениями вида (4). (Pед.)

удовлетворять определенному числу соотношенпй (зависящих от времени или шезависящих от него) типа:
\[
\varphi_{x}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \leqslant 0 \quad(x=1,2, \ldots, \lambda) .
\]

В противоположность этому, голономные связи, которыми мы ванимались в начале настоящей главы, называются двусторонними ${ }^{1}$ ).
20. В качестве первого простейшего примера системы, цодверженной односторонней связи (положения), рассмотрим две точки $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$, соелиненные гибкой нерастяжимой нитью длиной $l$. В самом деле, координаты этих точек при такой связи должны удовлетворять неравенству (в преде ле переходящему в равенство):
\[
\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} \leqslant l^{2} .
\]

Во-вторых, рассмотрим шарик радиусом $R$, который должен оставаться внутри одной из полостей круглого коууса с углом при вершине $2 x$; поверхность конуса тоже доступна точкам движущегося шарика. Если вершина конуса взята за начало, а его ось за ось $z$, то точки, лезащие внутри полости конуса или на ее поверхности, характеризуются неравенствами:
\[
\operatorname{ctg} \alpha \sqrt{x^{2}+y^{2}}-z \leqslant 0, \quad-2 \leqslant 0 ;
\]

в нашем случае этим неравенствам должны удовлетворить все точки сферы.

Можно, однако, избегнуть необходимости рассматривать эти соотношения для всех точек шарика. В самом деле, за его лагранжевы координаты можно принять координаты $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ центра $C$ п еще три других параметра для ориентации сферы относительно центра $C$; этих последних параметров мы здесь не отмечаем, так как нам не придется ими пользоваться. Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы щарик не выходил за пределы рассматриваемой полости конуса, сводятся к тому, чтобы его центр $C$ лежал внутри параллельного конуса, расположенноговнутри данного на расстоянии $R$ от его поверхности. Мн, таким образом, получаем следующие внражения үассматриваемой односторонней связи:
\[
\operatorname{ctg} \alpha \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} \leqslant z_{0}-\frac{R}{\sin \alpha}, \quad \frac{R}{\sin \alpha}-z_{0} \leqslant 0 .
\]
21. Пограничные конфигурации и необратимые виртуальные перемещения. Из числа конфагураций, которые может принимать система (2) при односторонних связях, те, которые соответствуют соотношениям (18), когда они представляют собою действительные церавенства, называются обыкжовенныи: те же, которые соответствуют предельным положениям, когда хотя бы одно ив
1) Или, как уже сказано выше, удерживающими. Связи (18) суть связи положения, потому что ограничивают самые положения (конфигурагии) снстемы. 0б односторонних связях подвнжности рөчь будет ниже. (Ред.)

неравенств (18) обращается в равенство, называютел эигранич. ными конфигурациями. Так, в прніерах, рассмотренных в предыдущих рубриках, эистема находится в пограничной конфигурации, гора соединяющая две точки гибкая, нерастяжимая цить натянута, т. е. расстояние между двумя точками равно $l$, или — соответственно — когда шарик іасается поверхности конуса.

При этих условиях мы можем распространить на системы с односторонними связями определенне виртульных перемещений, данное в рубр. 14 для голономннх спстем. Для системы (2), подчиненной связям (18), всякое виртуальное перемещение, исходящее от конфигурации с лагранжевыми координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, выражается формулой:
\[
\delta P_{i}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta q_{h} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где вариации $\delta q_{b}$ лагранжевых координат должны удовлетворять соотношениям:
\[
\varphi_{x}\left(q_{1}+\delta q_{1}, q_{2}+\delta q_{2}, q_{3}+\delta q_{3}+\ldots+q_{n}+\delta q_{n} \mid t\right) \leqslant 0(x=1,2, \ldots, \lambda) ;
\]

с точностью до бесконечно-малих первого порядка это соотношение можно нацисать в виде:
\[
\varphi_{\mathrm{x}}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right)+\delta-\delta \varphi_{x} \leqslant 0 .
\]

Если исходная конфигурация (соответствующая лагранжезым координатам $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ ) обнкновенная, то все функцип ix $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right)$ имеют отрицательные значения; в силу непрерывности отрицательное знасение имеют и суммы $\rho_{x}+8 \rho_{x}$, поскольку вариации получают достаточно малне значепия. Таким образом условия (19) неизбежно удовлетворены; мы отсюда заключаем, что при обнкновенной исходной конфигурации односторонние связи не налагают на виртуальные шеремещения никаких ограничений.

Напротив, если исходим от пограничной конфигурации, т. е. от полояения, при котором по крайней мсре одна из фулкций $\varphi_{x}$, например $\varphi_{j}$, обращается в нуль, то соответствующее условие (19) дает:
\[
\partial \varphi_{j}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial \varphi_{j}}{\partial q_{i}} \delta q_{h} \leqslant 0 ;
\]

это есть действительное ограничение перемещений системы.
Таким образом односторонние связи только в толь случае налагают ограничения на виртуальные перемещения, если они исходят от пограничных конфигурачий.

Все эти соображения отановятся вполне наглядными, если обратимея к примерам, рассмотренным выне. Начнем с точки, которая связана тем, что не может проникнуть с одной стороны поверхности $\sigma$ на другую; пока такая точка движется вне поверхности, ее виртуальные пөремещения совершенно произвольны, как и для свободной точки; но как только точка поступает на поверхность, ее виртуальные перемещения уже ограничиваются тем, что точка не может проникнуть в другую сторону поверхности: виртуальные перемещения могут передвинуть ее только вдоль поверхности или могут возвратить ее в ту часть пространства, которая остается для нее при этой связи доступной. Аналогично обстоит дело в случае системы двух точек, связанных гибкой нерастяжпмой нитью; пока нить не натянута, точки, в сущности, свободны, и их виртуальные перемещения ничем не ограничены; но каг только нить получает натяжение, становятся возможными только такие виртальпые перемещения, которые не раздвигают точек на расстояние, превыпающее длину нии. Наконец, в случае шарика, помещенного внутри конуса, виртуальные перемещения ограничены только тогда, когда шарик гаходится в соприкосновении с поверхностью конуса; в этом положении парик может подвергнуться только таким виртуальным перемещениям, при которых он сохраняет соприкосновение с поверхностью конуса или отходит внутрь его.
22. Ко всему изложенному присоединим еще одно последнее замечание. Как мы видели (рубр. 15), для голономных систем все виртуальные перемещения обратимы. Если связи системы носят одностороннин характер, то при обыкновенных конфигурациях они также не палагают на виртуальные перемещения никаких ограничений. Таким образом ясно, что при односторонней связи виртуальные пережещения также обратимы, пока связь не приходит „в напряжение“, т. е. пока система находится в обыкновенной конфигурации. Не так обстоит дело, когда связь \»пришла в напряжение\», т. е. система достигла пограничной конфигурации. В самом деле, обратимся вновь к свстеме (2), ограниченной связями (18). Предшоложим, что мы исходим от конфнгурации, при которой обращается в нуль хотя бы одна из функций $\varphi_{x}$, скажем, $;$; тогда виртуальные перемещения должны удовлетворять условию:
\[
\hat{\partial} \varphi_{j} \leqslant 0 ;
\]

противоположное смещение получается изменением знаков вариаций всех лагранжевых координат на обратные, поэтому меняет знак и $\varphi_{j}$. Таким образом виртуальное перемещение, исходящее от рассматриваемой пограничнои конфигурации, будет обратимым в том и только в том случае, когда совместно с условием (20′) будет также
\[
-\hat{o} \varphi_{j} \leqslant 0 ;
\]

это влечет ва собой $\delta \varphi_{j}=0$; мы заключаем поэтому, что виртуальные перемецения, исходяице от пограниннй конфигурачии, вољще жеобратимы; обратгиы тишь те пз них, при которых совместно с каждым соотношением (18), удовлетворяющимся в порядко равенства, обрапгется также в нуль соответствующая вариация $\delta \rho_{\mathrm{x}}$.

В этом легко отдать себе отчет на рассмотренных уже нами примерах. Если точка, подчиіедная связи, в сплу которой она не может перейти с одвой стороны поверхности о па другую, в некоторый момент находится на самой поверхности, то необратимыми являются все перемещения, которые доляны сдвинуть точку с поверхности; все же ${ }^{2}$ перемещений, происходящие по касательным к поверхности, обратимы. Для двух точек, связанных гибкой нерастяжимой нитью, в момент ндтяжения нити необратимыми являются перемещения, которые стремятся сблизить точки; обратимыми остаются те, которые оставляют расстоянне между тчками без изменения. Гаконец, шарик, вынужденный оставаться внутрд данного конуса, в момент соприкосновения с его поверхностью имеет обратимые перемещения, передвигающе его по поверхности, и необратимые, сдвигаџщие его с поверхности.
23. Одностороиние связи подвижности. Связи подвижности также могут быть односторонними. В качестве примера можно опять взять шар, катящийся по неподзижной плоскости; нужно только предположить, что скольжение не возбранено совершенно и может происходить в каком-либо направлении, например-вдоль положительной осп ․ Тогда первое из уравнений (10), внражающих, что тангенциальные комшоненты скорости точки $C$ обрацаются в нуль, должно быть заменено условием:
\[
R \%-\dot{\alpha} \leqslant 0 .
\]

Из этого ясно, что в наиболее общем положенин рядом с двусторонними связями подвижности, выражаемыми уравнениями типа
\[
\sum_{1}^{n} a_{h} d q_{k}+b d l=0
\]

могут появиться связи. подвижности вида:
\[
\sum_{i}^{n} \alpha_{h} d q_{h}+\beta d t \leqslant 0 .
\]

Виртуальные перемещепия в этом случае подчинены условиям типа
\[
\sum_{\substack{1 \\ 1}}^{n} a_{h} \delta_{q_{h}} \leqslant 0 .
\]
24. Захлючительные соображения. Объед!няя предыдущие результаты с теми, которые получены в рубр. 21, мы приходим к заключению, что всякая односторонняя связь, огранпчивает ли она положение системы или ее подвижность, является лп она однородной или неоднородной, может налагать на виртуальные перемещения только ограничения тша
\[
\sum_{1}^{n} \alpha_{h} j q_{h} \leqslant 0,
\]

так как условия (20) рубр. 21, которые односторонняя связю іоложения налагает на виртуальиые перемещения, исходищие вз пограничвои конфнгурации, имеют в первом члене линейные однородные выражения от вариаций $\delta q_{h}$ с той лишь особенносчью, что коәфициенты не являются уже произвольными функциями от параметров $q_{h}$ (иногда даже от времени), но представляют собой частные производные относительно $q_{h}$ одной и той жө функции от параметров $q_{h}$ (а в подлежащем случае и от $t$ ).

Тагим образом, по существу, поскольку речь идет о данной вонфигурации и о данном моменте, односторонние связи выражаются неравенствами (включая предельньй случанt равенства), линейными и однородными относптельно вариаций $\delta q_{h}$ с вполне огределенными численными коэрициентами

Сопоставляя аналогично этому соображения рубр. 18 с теми, которые изложены в рубр. 13, можно сказать, что двусторонние связи как положения, так и подвижности, однородные или неоднороднье, налагают на виртуальные перемещения условия, выражаемые однородными линеинныи уравнениями относительно вариаций $\delta q_{h}$, которые все имеют вид:
\[
\sum_{i}^{n} a_{h} a_{h} \eta_{h}=0 .
\]

Мы приходим, таким оюразом, к следующему ваключению. $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$, подчиненные дальнейиим связям, односторонним или двусторонния, однороднъм или неоднороднъм, от какого би момента и положения они ни исходили, выражаются линейными и однородними соопноиснияли оп всрисций в $q_{h}$; эти соотношения представляют собой равенства єида (17) в случае двусторонних связей и неравенства (со включениел предельных равенств) вида (21) в случае односпоронних связей, действующих от расснтриваемой конфизурации ( $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ ) и момента $t$.

В частном случае, когда для определения системы в качестве лагранжевых координат взяты декартовы координаты отдельных ее точек, виртуальные перемещения в данный момепт от данной конфигурации выражаются системой тиша:
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{i}^{N}\left(a_{k i}^{\prime} \delta x_{i}+a_{k i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+a_{k i}^{\prime \prime \prime} \partial y_{i}\right)=0 & (k=1,2, \ldots, r) ; \\
\sum_{i}^{N}\left(\alpha_{j i}^{\prime} \delta x_{i}+\alpha_{j i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+a_{j i}^{\prime \prime \prime} \delta z_{i}\right) \leqslant 0 & (j=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Если введем $N$. векторов $a_{k i}$ с компонентами $a_{k i}^{\prime}, a_{k i}^{\prime \prime}$, $a_{k i}^{\prime \prime \prime}$ п Ns векторов $\bar{\alpha}_{j i}$ с компонентами $\alpha_{j i}^{\prime}$, $\alpha_{j i}^{\prime \prime}$, $\alpha_{j i}^{\prime \prime}$, то этим соотношениям можно придать более сжагую форму:
a
\[
\sum_{i}^{N} \mathrm{a}_{k i} \delta P_{i}=0 \quad(k=1,2, \ldots, r) ;
\]
\[
\sum_{1}^{N} \bar{\alpha}_{j i} \delta P_{i} \leqslant 0 \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

В этом отношении полезно сделать еще один паг и ввести обозначения, способные охватить линейность и одпородность (относительно $3 N$ компонент) условий, которые характеризуют впртуальные перемещения $\delta P_{1}$. С этой целью мы впредь будем пользоваться (как мы это ужө делали внше, см., например, рубр. 11) подходящим символом для ојозначенпя левых частей уравнений (22) и (23) или (22′) и (23′), именно, мы положим:
\[
\begin{array}{c}
B_{k}\left(\delta I^{\prime}\right)=\sum_{1}^{N} a_{k i} \delta P_{i} \quad(k=1,2, \ldots, r) ; \\
U_{j}(\delta P) \leqslant \sum_{i}^{N} \bar{\alpha}_{j i} \delta P_{i} \quad(j=1,2, \ldots, s),
\end{array}
\]

после чего самые уравнения примут вид:
\[
\begin{array}{ll}
B_{k}(\delta P)=0 & (k=1,2, \ldots, r) \\
U_{j}(\delta P) \leqslant 0 & (j=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]