4. Рассмотрим некоторую точку $P$, находящуюся в движении по отношению $\mathrm{K}$ определенному триэдру ортогональных декартовых координат, который, как уже было указано в предыдущей главе, мы будем всегда считать правосторонним. В каждый момент интервала времени от $t_{0}$ до $t_{1}$, в течение которого точча $P$ находилась в движении относительно нашего триэдрд Охуz, она занимала относительно него определенное положение;

вследствие этого точка $P$ определена в этом интервале как переменная точка, представляющая собою однозначную функцию времени:
\[
\left.P=P(t)^{1}\right) .
\]

Это единственное геометрическое уравнение равносильно трем скалярным уравнениям:
\[
x=x(t), y=y(t), z=z(t),
\]

где $x, y$,z суть координаты точки $P$ по отношению к установленному триәдру осей. Правые части этих уравнений представляют собой три скалярные функции времени, определенные в интервале от $t_{0}$ до $t_{1}$. В соответствии с этим характером определения функций $x(t), y(t), z(t)$ мы будем считать их однозначными, конечными, непрерывными во всем интервале от $l_{0}$ до $t_{1}$ (диференцируемыми, по крайней мере, дважды) ${ }^{2}$ ).

Уравнение (1) или заменяющие его скалярные уравнения (2) называются уравнениями движения точки $P$.
5. Геометрическое место точек, которые движущаяся точка $P$ занимает во время движения, представляет собою дугу кривой, называемой траекторией движущейся точки (за данный промежуток времени). На уравнения (2) можно смотреть как на параметрические уравнения траектории; исключая из них $t$, мы получим обычные декартовы ее уравнения.

Если траектория представляет собой дугу плоской кривой или отрезок прямой линии, то самое движение называют соответственно плоским нли прямолинейным.

В то время как точка $P$ движется по своей траектории, как это выражается уравнениями (2), проекции этой точки на оси координат, в свою очередь, совершают двиэение каждая по своей оси. Каждое из уравнений (2) выражает прямолинеиное движеиие одной из әтих проекций – соответственно $P_{x}, P_{y}, P_{z}$. Обратно, если заданы совершенно произвольно движения трех точек $P_{x}, P_{y}, P_{z}$, происходящие в один и тот же промежуток времени по осям координат, то этим определяется движение в пространстве некоторой точки $P$, которая в каждый момент имеет своимн проекциями на оси координат точки $P_{x}, P_{y}, P_{z}$. Относительно движения точки $P$ говорят, что оно составлено из прямолинейных движений точек $P_{x}, P_{y}, P_{\varepsilon}$ (составляющие движения); и поскольку оси координат представляют собой произвольные шопарно перпендикулярные прямые, выходящие из произвольной же точки пространства, то всякое лв жение точки можөт быть разложено на три составляющих прямолинейных двиления, по любым трем осям, образующим ортогональную связку.
1) Как мы знаем (рубр. 71), әто эквиватонтно тому, дто радиуе-вектор точки предетавляет собою функшию времени $\overline{O P}=\overline{\mathcal{L}^{D}}(t)$. (Ред.)
2) Только в теории ударов прнходится пметь демо со схеной отображения явлений днижения, которые предполагают разрыв первых пронзводных функций (2)

Совершенно аналогично этому, когда точка $P$ движется в пространстве, ее проекция $P_{1}$ на плоскость $z=0$ совершает в результате этого плоское движение, которое выражается первыми двумя уравнениями системы (2), т. е.
\[
x=x(t), y=y(t) .
\]

Движение точки $P$, обратно, впэлне определяется плоским движением точки $P_{1}$ по плоскости $z=0$ и одновременным движепнем точкі $P_{z}$ но прямой, перпендикулярной к этой плоскости. При этих условиях говорят, что движение точки $P$ состаялено из плоского движения точки $P_{1}$ и перпендикулярного к этой плоскости прямолинейного двжжения точки $P_{\varepsilon}$. И поскольку плоскость $z=0$ п ось $z$, по существу, предетавляют собою произвольную плоскость п перпендикулярвую к ней прямую, мы видим, что движение точки в пространстве всегда можно разложить на плоское движенше, происходящее в любой плоскости. и пөрпендикулярное к нему прянолинейное движение.
6. Пусть $t$ и $t+\Delta t 6$ дут два произвольные момента в интервале, в котором происходит движенпе точки $P$; положения $P(t)$ и $P(t+\Delta t)$, которые в эти моменты занимает точка $P$, опредемяют вектор (I, рубр. 71) $\Delta P$ :
\[
P(t+\Delta t)-P(t)=\overline{O P}(t+\Delta t)-\overline{O P}(t),
\]

где $O$ – произвольная зафиксированная точка пространства; компоненты вектора $\Delta P$ имеют значения:
\[
x(t+\Delta t)-x(t), y(t+\Delta t)-y(t), z(t+\Delta t)-z(t) ;
\]

этот вектор называется сяещение точки $P$ за промежуток времени $\Delta t$, начиная с момента $t$. В частности, для бесконечно малого $\Delta t=d t$ вектор
\[
P(t+d i)-P(t)
\]

представляет собою элементарное снещение, отнесенное к моменту $t$, и, по крайней мере, до бесконечно-малых высших порядков внражается диференциалом переменной точки $d P$ (I, рубр. 79); это әлементарное смещение есть бесконечно малый вөктор, имеющий компонентами
\[
d x=\dot{x} d t, d y=\dot{y} d t, d z=\dot{z} d t,
\]

где $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ суть производные от $x, y, z$ по ${ }^{1}$ ). Этот вектор $d P$ ваєравлен по касательной к траектории в сторону движения и пмеет абсолютиое значение:
\[
\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} d t},
\]

где радикал взят в арифметическом своем значенип.
В дальнейпом символами, виражаюџими точку, вектор или скаляр, завиемци от времени, с точкою наверху мы будем обозначать исключттельно их произ водіые по ережен.

Если. на траектории установим систему криволинейных абсцисс $s$, приняв за начало отсчета произвольную точку начальное положение точки $P$, соответствующее, скажем, моменту $t_{0}$, – а за положительную сторону ту, которая обрагцна от точки $P\left(t_{0}\right)$ к точке $P\left(t_{1}\right)$, то арифметическое значение радикала (3) даст абсолотное значение $|d s|$ эленента пути $d s$, пройденного Движущейся точкой $P$ в элемент времени $d t$, начинающийся в момент $t$. В точности же
\[
d s= \pm \sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d t,
\]

где верхний знак + должен быть взят в том случае, когда точка $P$ в рассматриваемый элемент времени $d t$ движется в сторону возрастающих значений $s$, а нижний – при движении в противоположную сторону.

Суммируя абсолютные зчачения последовательных элементов пути (3), пройдепных точкой $P$ от момента $t_{0}$ до произъольного момента $t_{1}$, т. е. вычисляя пнтеграл:
\[
\int_{t_{0}}^{t} \sqrt{d \dot{x}^{2}+d y^{2}+d z^{2}}=\int_{t_{0}}^{t} \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}} d t,
\]

мы получим весь путь, пройденный точкой по своей траектории в установленный промежуток времени; при этом, следовательно, значение каждого әлемента пути взято с положительным знаком, независимо от того, в какую сторону в этот элемент времени происходило движение.

Напротив, если каждому элементу (4) ми припишем соответствующий ему знак, то интеграл
\[
\int_{t_{0}}^{t} d s=\int_{t_{0}}^{t} \pm \sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}=\int_{t_{0}}^{t} \pm \sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}} d t
\]

даст для эюбого момента $t$, падающего в интервал движения, соответствующую ему криволинейную абсциссу, определяющую положение точки $P$ на траектории в момент $t$. Этот последний интеграл представляет собою вполне определенную функцию времени $s(t)$; в условиях, установленных для функций (2), это будет также конечная и однозначная функция, допускающая производние, по крайпей мере, до второго порядка включительно. Уравнение
\[
s=s(t)
\]

называется в этом случае путевьм уравнением движения ${ }^{1}$ ). Плоская кривая, которая выражается уравнением (2) в декартовых
1) Авторы употребляют термин , equazione oraria“ – „часовое уравнение ${ }^{*}$. Сылы его заключается в том, что упавнение (5) по показанию часов $t$ определяет $s$, а вместе с тем и положение точки на траектории. Но по показанию часов $t$ положение точки определяется и уравнениями (2). Существенным здесь явля,тея то, что одно скалярное уравненне (5) определяет положение точки, если известен описываемый ею путв, граектория движения. (Pед.)

координатах (ортогональных), если за абсциссу принимается время $t$, а за ординату $s$, ғазывается путевой диагаммой движения ${ }^{1}$ ).
7. Из предыдущего, таким образом, ясно, что движение точки $P$ вполне определяетсл как уравнениями движения (2), так и любым геометрическим заданием траектории (например, при помощи двух уравнений, связывающих $x, y, z$, или трех параметрических уравнений при совершенно произвольном параметре) совместно с путевым уравнением (5).

В более общем виде движение точки $P$ может быть определено тем, что ее положениө задается в функции каких угодно параметров $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ :
\[
P=P\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}\right),
\]

где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, в свою очередь, представляют собою заданные функцин времени:
\[
q_{i}=q_{i}(t)(i=1,2,3, \ldots, n) .
\]

В самом деле, достаточно, очевидно, подставить функции (7) в правую часть уравнения (6), чтобы привести его к виду (1). В этих случаях уравнения (7) также называются уравнениями движения ${ }^{2}$ ).