1. Ориентированине отрезки. Точки пряхолинейного отрезка с концами $A$ и $B$ (конечно, не совпадающими) можно мыслить расположенными либо в сторожу от $\boldsymbol{A}$ к $B$, либо в сторону от $B$ к $A$. Когда отрезку присвоена одна из сторон обращения, например от $A$ к $B$, то он называется ориентированнын и обозначается символом $A B$. Точка $A$ называется жачалом, или первой конечной мочкой отрезка, а $B$-кончом (свободным концом), или
1) Настоящая глава действительно содержит краткое и отчетливое изложөние тех әлементов векторного исчисления, которыми авторы по тьзуются. При всем том читателю очень полезно ознакомиться с исчиелением векторов более обстоятельно. Для этого на русском языке могут служить сочинения: 1)’Я. Дубнов, Основы векторного исчисления, ч. I, Еекторная алгебра, 2-е изд., Москва 1933; 2) Я. ІІлияьрей, Векторное исчисление, Москва 1925; 3) Я. Френкель, Курс векторного исчисления с приложениями к механике, Москва 1925; 4) Н. Е. Кочин, Векториальное исчиеление, 2-е изд., М.-Л. 1933. Для самого первого ознакомления с началами векторной алгебры подходят две главы в сочинении Г. Филипс, Диференциальное исчисление, Москва 1931. Из иностранных сочинөний наиболее подходящими лвляются: 1) C. Bourali-Forti et R. Marcolongo, Eléments du calcul vectoriel, Paris 1910; 2) $W$. Ignatowsky, Die Veltoranalysis, I – II, Leipzig 1921; 3) A. Haas, Vektoranalysis, Berlin 1924; 4) J. Spielrein, Lehrbuch der Vektor-Rechnung, Leipzig 1926; 5) M. Lagally, Vorlesungen über Vektor-RechnuBg, Leipzig 1928. Последнее сочиненне переводится на русский язык.

Векторное исчисление допускает вак в обозначениях, так даже и в самих алгорифме различные ехемы. В СССР Комиссией по стандартизации установлен стандарт векторных обозначений Так как схема, которой придерживаются авторы настоящего сочинения, от әтого стандарта отличается, то текст при переводе переработан и приведен в соответствие с нашшм станцартом. (Pед.)

второй конечной точкой отрезка; прямая, на которой отрезок лежит, называется его линией действия ${ }^{1}$ ), или прямой дейстөия.

Если тот же отрезок считать обращенным не от $A \mathrm{k} B$, а в противоположную сторону – от $B$ к $A$, то получим ориентированныи отрезок $B A$, имеющий ту же прямую действия; но для него началом служит точка $B$, а концом $A$.

Если точки $A$ и $B$ совпадают, то отрезок $\triangle B$ сводится к единственной точке $A \equiv B$ и называется нулевым отрезком. Для нулевого отрезка как прямая действия, так и сторона обращения остаются неопределенными; это единственный случай, в котором противоположные отрезки $A B$ и $B A$ совпадают.

Таким образом ориентированный не нулевой отрезок $A B$ представляет собой геометрический объект, который характеризуется началом, длиной (отношением отрезка, ограничиваемого точками $\boldsymbol{A}$ и $B$, к установленной единице), направлежием и стороной обращения. Во пзбежание недоразумении следует указать, что под словом „направление\” мы разумеем общую характеристику гак данной прямой, так и всех параллельных ей прямых, независимо от стороны обращения. Иными словами, два отрезка рассматриваются как имеющие то же направление, если они лежат на одной и той же прямой или на двух параллельных прямнх, независимо от того, обращены ли они в одну и ту же или в противоположные стороны.

Для нулевого отрезка остаются неопределенными как линия действия и направление, так и сторона обращения.
2. Эквишолтентные ориентированные отрезки. Два ориентированнье отрезка называются эквиполлентными ${ }^{2}$ ), если они имеют одну и ту же длину, одно й то же направление и обращены в одну и ту же сторону; в частности, это определение приводит к тому, что все нулевые отрезки нужно считать әквиполлентными, поскольку их направление и сторона обращения остаются одинаково неопределенными.

Э\”виполлентность двух ориентированных отрезков по самому своему определению обладает основными свойствами равенства: 1) всякий отрезок эквиполлентен самому себе (свойство рефлективности); 2) если отрезок $A B$ эквиполлентен отрезку $A^{\prime} B^{\prime}$, то отрезок $A^{\prime} B^{\prime}$ эквиполлентен $A B$ (свойстьо симметрии); 3) два отрезка, эквиполлентные третьеху, эквиполлентны между собой (свойство транзитивности).

Из определения эквиполлентности вытекает, далее, что эквиполлентные отрезки совпадают, если они имеют общее начало (или общий конец); вместе с тем, если заданы ориентированный отрезок $A B$ и точка $A^{\prime}$, то ‘всегда существует один и только один
1) Әто наименование принадлежит авторам; оно имеет в внду механические применения, но ширбкого распространения не польчнло. (Ред.)
i) Авторы пользуются термином ;әвиполлентность“, принадлежацим Бessaeumucy ( $G$. Bellavitis, Methodo delle equinollenze, Padava 1837), котороro васлуженно счнтают отпом векторного исчисления. Мы сохранили әтот междувародный термй, которого отнюдь не следует отождествлять с понятием , әквивалентность\”. (Pед.)

отрезок $A^{\prime} B^{\prime}$, эквиполлентный $\boldsymbol{A} B$ (и имеющий, следовательно, началом точку $\boldsymbol{A}^{\prime}$ ).

Под проекцией ориентированного отрезка $A B$ на заданную прямую или на заданную плоскость разумеют ориентированный отрезок $A B_{11}$, началом п концом которого соответственно служат ортогональные проекций начала $A$ и конца $B$ заданного отрезка на ту же прямую или плоскость. Сөвершенно ясно, что два эквиполлентные ориентированные отрезка имеют эквиполлентные проекиии на одну и ту же прямую (или на две параллельные прямые) $и$ на одну и ту же плоскость (или на пве параллельные плоскости).
3. Векторы. Если задан ориентированный отрезок $A B$, то существует $\infty^{3}$ әквиполлентных ему отрезков, по одному для каждой точки пространства, принятой за начало; все эти отрезки имеют одинаковые длину, направление и сторону обращения. Объект, который можно привести в соответствие с этим классом $\infty^{3}$ ориентированных отрезков, называется вектором. Таким образом вектор представляет собой объект, который можно геометрически характеривовать длиной, направлением и стороной обращения прлмолинейного отрезка (отвлекаясь, следовательно, от его начала)і).

Чтобы индивидуализировать такой вектор, мы можем взять ориентированный отрезок $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ или какой-либо из әквиполлентных ему отрезков точно так же, как для определения заданного нашравления мы можем воспользоваться любой из параллельных прямых, а для определения расположения плоскости можно воспользоваться любой из параллельных ен плоскостей.

В частности, все нулевне отрезки представляют один и тот же вектор, называемый нулевым вектором; длина әтого вектора равна нулю, а его направление и сторона обращения остаются неопределенными. Всякий другой вектор имеет длину, отличную от нуля, II вполне определенное направление, как и сторону обращения.

Векторы обозначаются в печати буквами жирного шрифта, как, например, ; только нулевой вектор обозначается просто нулем (0). Длина вектора $\boldsymbol{v}$, которую называют также модулел
1) В литературе по векторному исчислению нет единства в определении вектора. Различные точки зрения приводят, по существу, к двум освовным определениям. Одни авторы, например Аппель (Р. Appell), Бибербах (Bieberbach), Курант (R. Courant) и др., называют векгором просто ориентированный отрезок; другие, в том числе и авторы настоящего сочинения, разумеют под вектором величину (геометрическую, механическую, физическую), каждое значенче которой жожет быть отображено некоторнм ориентированным отрезком (ках и любым әквиполлентным с ним отрезком). С этой последней точки зрения скорости, ускопения, силы суть векторы, индивидуально изобпажаемые ориентированными отрезками. Эта точка зрения в последнее время преобладает, а в сочинениях по механике и фнзике вшолне доминирует. На этой точке зрения стоят и авторы настоящего сочинения. Тем не менее как авторы настоящего сочинения, так и другие сторонники последней точки зрения очень ча’та допускают выражения, которые более соответствуют первой, „геометрической “ точке зрения. Когда говьрят: отложим от точки $\boldsymbol{A}$ данный вектор,-то әто нужно понимать в том смысле, что мы построим орпентированный отрезок, изображающий данный индивидуальный вектор, принимая точку $A$ за начало. Если давать себе в этом соверпенно ясный отчет, то ни к каким недоразумсниям әта фразеология приретти не может. (Pед.)

или тензороня ${ }^{2}$ ) вектора, обозначается символом $\bmod v$ или $|\boldsymbol{v}|$, а еще проще той же буквой, которой обозначен вектор, но обыкновенного курсивного шрифта, например $\bmod \boldsymbol{v}=v$.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичжыж; можно сказать, что каждый единичный вектор устававливает определенное ориентированное направление, и обратно.

Единичный вектор, имеющий то же направление и ту же сторону обращения, что и вектор $\boldsymbol{v}$, называется версорол вектора $v$ и обозначается символом vers $\boldsymbol{v}$.

Наконец, прибавим, что в противоположность векторам или гекториальным величинам числа [относительные ${ }^{2}$ )] и величины, внражаемые такими числами, называются скалярани.
4. Оруентированные отрезки в качестве приложенных векторов Чтобы выделить один из ориентированных отрезков, которыє могут представлять данный вектор $v$, достаточно, как это отмечено в рубр. 2, указать его начало. Этот ориентированный отрезок $A B$ обыкновенно называют также вектором, приложенным в точке $A$; в отличие от геометрического отревка $A B$ вектор $\overline{A B}$ мы будем отмечать чертой над буквенным его обозначением $(\overrightarrow{A B})$. Чтобы отметить не столько конечные точки отрезка, сколько начало $A$ и самый вектор $\boldsymbol{v}$, его обозначают также символом $(A, \boldsymbol{v})$. По существу, то же достигается, конечно, и обозначением $\overline{A B}$; но обозначение ( $A, v$ ) подчеркивает, что отрезок, вцходящий ив точки $A$, отображает вектор $
abla^{3}$ ).
5. Равние векторк. Два вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ называются равными, если они имеют ту же длину, то же направление и ту же сторону обращения; равные векторы могут быть, следовательно, отображены одним и тем же ориентированным отрезком. Можно сказать, что при равенстве векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ они, в сущности, представляют собой один и тот же вектор: равенство векторов как таковых сводится к их тождеству. Равенство в письме обозначается, как обычно, знаком $=\left(v_{1}=\boldsymbol{v}_{2}\right)$; таким образом знак равенства ставится для того, чтобы обозначить, что $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ выражают один и тот же вектор. Отсюда без дальнейших соображений ясно, что знак равенства при этом его употреблении обладает свойствами рефлективности, симметрии и транзитивности.
6. Составляющие вектора. Если спроектируем все $\left(\infty^{3}\right)$ ориентированные отрезки, эквиполлентные между собой и отображающие вектор $\boldsymbol{v}$, на все $\left(\infty^{2}\right)$ прямые одного и того же направления [или на все ( $\left.\infty^{1}\right)$ плоскостн одного и того же расположения], то мы получим $\infty^{3}$ ориентированных эквиполлентных между собой отрезков, которые поэтому способны отобразить один и тот же вектор. Этот вектор называется составляющей данного вектора $v$ по заданному направлению (или по заданному расположенив плоскости).
1) Термин \”тензор“ в әтом смысле в настоящее время совершенно выходит из употреблення. (Ред.)
2) Т. е. положительные і отрицатөльнце вещественные числа. (Ред.)
3) См. примечание на стр. 15 . (Pед.)

Составляющая вектора $\boldsymbol{v}$, отличного от нуля, равна нулю в том, и только в том, случае, когда прямая или плоскость, проекцией на которую она внражается, перпендикулярна к вектору $\boldsymbol{v}$; составляющая же нулевого вектора всегда равна нулю, по какой бы прямой или плоскости она ни была взята.

Соверпенно ясно, что равные векторы имеют равные составляюцие при любом направлении прямой или любом расположении плоскости проекций.
7. Численное выражение составляющей вектора по данному направлению. Положим, что на данной прямой $r$ фикспрована одна из двух сторон обращения (которая обозначается на чертеже стрелкой); иными словами, мы предположим, что $r$ есть, как обыкновенно говорят, ориентированная прямая. Если при этом дан вектор $\boldsymbol{v}$, то мы возьмем длину его составлялощей по направлению $r$ и притом со знаком + или -, смотря по тому, обращена ди эта составляющая в ту же сторону, что и прямая $r$, или в обратную. Полученное число с установленным таким ориентированному направлению $r$ и будем обозначать его через $v_{r}$. Эта компонента не изменяется, если прямая $r$ смещается параллельно самой себе, сохраняя сторону обращения; если сторону обратить, то число только меняет знак.

Фундаментальное значение имеет формула, выражающая $v_{r}$ через длину $v$ вектора $\boldsymbol{v}$ и угол $\widehat{r v}$, который вектор $\boldsymbol{v}$ образует с ориентированной прямой $r^{1}$ ). По известной теореме аналитической геометрии имеем:
\[
v_{r}^{\prime}=v \cos \widehat{r v}=v \cos \widehat{v r}
\]

при әтом полезно отметить, что формула (1) сохраняет силу и в том случае, когда $v$ предетавляет собой нулевой вектор, ибо с левой стороны $v_{r}$ в этом случае равняется нулю по определению, справа $v$ также равно нулю, а $\cos \widehat{v r}$ при неопределенности угла все же представляет собой конечнур величину.
1) Из аналитической геометрии хорошо известно, что под уихом $\widehat{r_{1} r_{2}}$ двух ориентированных прямых $r_{1}$ и $r_{2}$ разумеют угол, который содержится между 0 и $\pi$ (включая и эти предөльные значения) и образован двумя параллелями к прямым $r_{1}$ и $r_{2}$, проведенными из произвольной точки $O$ и обращенными каждая в сторону соответствующей параллели $r_{1}, r_{2}$; следует при әтом отметить, что это определение является законным, ибо охарактеризованный таким образом угол не зависит от выбора вспомогательной точки 0. В случае ориентированной прямой $r$ и вектора $\boldsymbol{v}$ (отличного от нуля) под углом $\widehat{r v}$ разумеют угол, который прямая $r$ образует с любой из ориентированных прямых (параллельных между собой и одинаково обращенных), имеющих направление и сторону обращения вектора $\boldsymbol{v}$; и, аналогично, под углом ${\widehat{v_{1}}}_{2}$ двух векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ (отличных от нуля) разумеют угол двух ориентированных прямых, имек щих направления и стороны обращения соответственно векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$. один или оба вектора.

8. Декартов метод задания векторов. Фиксируем ортогональный триәдр декартовых координат Охуz (фиг. 1) и условимся раз навсегда, что три его оси должны иметь расположение правостороннего вращения (или правого винта); это значит: если будем представлять себе ориентированную ось $z$ олицетворенной, то вращение ориентированной оси $x$, при котором она после поворота на $90^{\circ}$ совпадет с ориентированной же осью $y$, должно происходить справа налево; отсюда следует, что в ту же сторону должно происходить вращение соответственно вокруг ориентированной оси $x$ или $y$ для совмещения после поворота на прямой угол оси $y$ с осью $z$ или оси $z$ сосью $x$. Здесь важно указать, что в дальнейшем мы всегда будем называть вращение относительно любой ориентированной оси $n p a$ востөрочник, если наблюдатель, обращенный головой в сторону әтой оси, видит вращение происходящим справа налево; так, это имеет место в укаванных вращениях вокруг осей $x, y, z$. Естественно, что вращение в противоположную сторону мы будем называть левосторонним; точно так же мы будем называть левосторонним ортогональный триэдр, симметричный правостороннему, а потому на таковой не наложимый. Такой симметричный триэдр мы получим, если обратим в противоположную сторону одну из осей или все три оси.

Что касается самых навваний „правосторонний “ и ,левосторонний“ триәдр, то они ведут свое начало от того, что большой, указательный и средний пальцы соответственно правой или левой руки в том порядке, как мы их называем, как бы осуществляют такой правосторонний или левосторонний триәдр.

Заметим еще, что правостороннее вращение происходит для наблюдателя, стоящего по оси вращения (әто значит, ось вращения, проходя через его туловище, обращена от ног к голове), в сторону, обратную движению часовой стрелки.

После әтих соображений возвратимся к правостороннему триәдру Охуz, который мы выбрали для установления системы декартовых координат. Так как для геометрического определения вектора $v$ достаточно задать ориентированный отревок $A B$ (шроизвольно выбранный из $\infty^{3}$ отрезков, имеющих ту же длину, то же направление и ту же сторону обращения, что и вектор $v$ ), то здесь будет достаточно задать координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ начала $A$ и конца $B$ этого отрезка. Если теперь обозначим через $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ компоненты вектора $\boldsymbol{v}$ по осям (как частные случаи компоненты $v_{r}$, о. которой пла речь в предыдущей рубрике), то, как известно из аналитической геометрии,
\[
v_{x}=x^{\prime \prime}-x^{\prime}, \quad v_{y}=y^{\prime \prime}-y^{\prime}, \quad v_{x}=z^{\prime \prime}-z^{\prime} .
\]

С другон стороны, если через $\alpha, \beta, \gamma$ обозначим направляющие косинусы вектора $v$, то по формуле (1):
\[
v_{x}=v \alpha, \quad v_{y}=v \beta, v_{\varepsilon}=v \gamma .
\]

Две группы формул (2) и (3) непосредственно обнаружквают, что компоненты вектора по осям дают все характерные для него әлементы.

В самом деле, из формулы (3) вытекает выражение для длины отрезка $A B$ или вектора $v:$
\[
v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \overline{+v_{z}^{2}},
\]

где радикал нужно понимать в арифметическом его значении. Из этого выражения явствует, что $v$ обращается в нуль в том, и только в том случае, если все три компоненты $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ обращаются совместно в нуль. Если мы исключим әтот случай, соответствующий нулевому вектору, то ориентированное направление вектора $\boldsymbol{y}$, определяемое соответствующими нащравляющими косинусами, устанавливается формулами:
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=\frac{v_{x}}{v}=\frac{v_{x}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}, \\
\beta=\frac{v_{y}}{v}=\frac{v_{y}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}, \\
\gamma=\frac{v_{z}}{v}=\frac{v_{z}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}} ;
\end{array}\right\}
\]

отсюда, в частности, вытекает, что конпоненты версора (т. е. единичного вектора, $v=1$ ) совпадают с его направляющими косинусами.

В общем из формул (2)-(5) явствует, что между векторами в пространстве и тернами (тройками) чисел $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ – их компонентами по осям – существует двуоднозначная зависимость ${ }^{1}$ ); это дает основание называть компоненты вектора также өго координатами ${ }^{2}$ ).

В заключение здесь будет еще целесообразно указать две формулы, столь же очевидные, как и важные. Если ориентированная прямая $r$ задана своими направляющими косинусами $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, то для компоненты $v_{r}$, по хорошо известной теореме из теории проекций, имеет место соотношение:
\[
v_{r}=v_{x} \alpha_{1}+v_{y} \beta_{1}+v_{z} \gamma_{1} \text {. }
\]
1) Смысл термина, ддуоднозначная зависимость\” заключается в том, что по данному вектору $v$ определяютея его комцоненты $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ и, обратно, числами $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ определяется вектор $\boldsymbol{v}$.
2) Некоторые авторы называют компонентами самые векторы, представляющие сюбой проекции вектора $\boldsymbol{v}$ на оси координат, а численные их значения $v_{x}, v_{y}, v_{z}$-координатами вектора. Принципиально эта терминология боле – целесообразна. Но термин „комлоненты“ в том их значении, которое принято в тексте, получил пирокое распространение; поэтому авторы решили его в этом именно значении сохранить, хотя и не сяитают его удачным (они это указывают в первом издании). (Ped.)

9. Наконец, если $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ суть два вектора, отличные от нуля, $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ – компоненты первого, $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ – компоненты второго вектора, а $\widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}}$ – угол между этими векторами, то в силу соотношения (5), с одной стороны, и хорошо известного из аналитической геометрии выражения для косинуса угла между двумя ориентированными прямыми, с другой стороны, получаем соотношение:
\[
\cos \widehat{\boldsymbol{v}_{1} \boldsymbol{v}_{2}}=\frac{X_{1} X_{2}+Y_{1} Y_{2}+Z_{1} Z_{2}}{v_{1} v_{2}} .
\]
10. Изменение осей координат. Положим, что нам нужно выпөлнить преобразование координат, взяв новый ортогональный триәдр $Q \xi \eta$, оси которого определяются своими направляющими косинусами по таблице
\begin{tabular}{c|ccc}
& $x$ & $y$ & $z$ \\
\hline$\xi$ & $\alpha_{1}$ & $\alpha_{2}$ & $\alpha_{3}$ \\
$\eta$ & $\beta_{1}$ & $\beta_{2}$ & $\beta_{3}$ \\
$\zeta$ & $\gamma_{1}$ & $\gamma_{2}$ & $\gamma_{3}$
\end{tabular}

Как известно, эти девять косинусов связаны пестью уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\alpha_{h}^{2}+\beta_{h}^{2}+\gamma_{h}^{2}=1 & (h=1,2,3), \\
\alpha_{h} \alpha_{k}+\beta_{h} \beta_{k}+\gamma_{h} \gamma_{k}=0 & (h=1,2,3 ; k=1,2,3 ; h
eq k) ;
\end{array}\right\}
\]

эти уравнения могут быть заменены пестью другими, которые получаются таким же путем, если в предыдущей таблице заменим горизонтали вертикалями. Как известно, эти уравнения выражают тот факт, что элементы каждой горизонтали или вертикали суть направляющие косинусы ориентированной прямой (оси одного триэдра, отнесенной к другому триэдру) и что оси каждого триәдра попарно взаимно перпендикулярны. Напомним еще, что определитель девяти косинусов,–если оси второго триэдра, как мы это всегда предполагаем, также имеют правостороннее расположение,-равен единице; каждый же элемент этого определителя равен своему минору (или алгебраическому дополнению):
\[
\left.\alpha_{1}=\beta_{2} \gamma_{3}-\beta_{3} \gamma_{2}, \alpha_{2}=\beta_{3} \gamma_{1}-\beta_{1} \gamma_{3}, \quad \alpha_{3}=\beta_{1} \gamma_{2}-\beta_{2} \gamma_{1} \text { п т. д. }{ }^{1}\right) .
\]

После этих указаний, которые окажутся полезными вноследствии, возьмем вновь вектор у с компонентами $X, Y, Z$, относящимися к триәдру $O x y$, и обознадиим через $\Xi, H$, Z его компоненты по осям $\xi, \eta$, ५. В силу общего соотношения (6) мы получаем следующие формулы преобразования:
\[
\begin{array}{l|l}
\Xi=\alpha_{1} X+\alpha_{2} Y+\alpha_{3} Z & X=\alpha_{1} \Xi+\beta_{1} H+\gamma_{1} \mathrm{Z} \\
\mathrm{H}=\beta_{1} X+\beta_{2} Y+\beta_{3} Z & Y=\alpha_{2} \Xi+\beta_{2} \mathrm{H}+\gamma_{2} \mathrm{Z} \\
\mathrm{Z}=\gamma_{1} X+\gamma_{2} Y+\gamma_{3} Z & Z=\alpha_{3} \Xi+\beta_{3} \mathrm{H}+\gamma_{3} \mathrm{Z}
\end{array}
\]
1) Так как эти предложения имеют коренное значение, то мы посвящаем их выяснению и доказательству приложение II, которое полезно прочесть недосредственно после әтого текста. (Ред.)

Как это можно было, конечно, предвидеть, формулы преобразования компонент одного и того же вектора при переходе от одного координатного триәдра к другому, зависят только от расположения осей нового триэдра относительно первоначального, а не от перенесения начала координат.