7. Понятие 0 полярных траекториях допускает обобщение, которое, как увидим, имеет значительный интерес с прикладной точки зрения. Положим, что некоторая твердая фигура $F$ движется по плоскости, а с есть неноторая (плоская) кривая, неразрывно с этой фигурой свлзанная. Последовательные положения, которые кривая $c$ занимает в своем переносном движении совместно с фигурой $F$, будут, вообщө говоря, иметь некоторую огибающую $\gamma$. Всякий раз как такая огибающая действительно существует, ее называют сопряженным профилем кривой $c$.

По основному свойству огибающей кривая $c$ в кажды й момент касается ее в точке $M$, которая от момента к моменту может в:енять свое положение. Отсюда, прежде всего, ясно, что соотношение между кривыми $c$ и ү является взаимным. В самом деле, если рассмотрим взаимное движение, т. е. движение кривой $\gamma$ относительно фигуры $F$, то на кривую $c$ можно смотреть, как на огибающую различных положений кривой $\gamma$, поскольку $c$ в каждый момент соприкасается с соответствующим положением последней. Этим оправдывается и название сопряженных профилей без указания того, который профиль являетел подвижным и который представляет огибающую.
8. Во всяком случае общая нормаль к кривым с п ч в точке иг соприкосновения $M$ в каждый момент проходит через соответствующий мгновенный центр врацения (будь он собственный или несобственный).

Если точка $M$ совпадает с $I$, то дело ясно. В общем случае, когда точка $M$ отлична от $I$, мн прибегнем к обычным соображениям, опирающимся на свонства относительното движения. Именно, за относительное движение мы будем считать движение точки $M$ по кривой $c$, а переносным будет служить движение фигуры $F$ по отношению к неподвижноп плоскости, т. е. движение кривой $с$ относительно $\gamma$; при этих условиях абсолютным движением будет движение точки $M$ по отношению к неподвижной плоскости, которое совершается по кривой $\gamma$. Таким образом ${\mathit{v}}_r$ (относительная скорость точки $M$ ) есть скорость движения точки $M$ по траектории $c,{\mathit{v}}_a$ (абсолютная скорость той же точки) есть скорость точки $M$ по траектории $\gamma$. Так как кривне $c$ и $\gamma$ в точке $M$ соприкасаются, то обе скорості направлены по общей их касательной; но в таком случае по той же прямой направлена их разность ${\mathit{v}}_a-{\mathit{v}}_i$, т. е. переносная скорость точки $M$. С другой стороны, поскольку переносное двп. жение представляет собою в этот мом нт вращение вокруг точки $I$ (рубр. 4), его скорость перпендикулярна к радиусувектору $IM$, который, таким образом, имеет направление обџчей нормали обоих профилей. В предельном случае поступательного движения (когда точка $I$ находится на бесконечности) переносная скорость, а с нею и касательные к профилям имеют направление переноса.
9. В качестве частного случая установленного сөйчас предложения мы вновь приходим к теорене ІІаля. Для әто достаточно предположить, что профиль є сводится к одной точке $P$ или, если угодно (чтобы сделать выделяемый частный случай более наглядным) к бесконечно малой ок у кности вокруг точкі $l$. Огибающая $\gamma$ в этои случае, очевгдно, совпадает с траекторией точки $P$ на плоскости $\gamma$; точка соприкосновения. кривых с и $\gamma$ в каждый момент совпадает с положением точки ${ϝ}^{\prime }$, а стедовательно, общая нормаль к профилям совпадает с нормалью к траектории.
10. Другое замечательное следствие получим, если предположим, что движение фигуры $F^{\prime }$ происходит таким обравом, что профиль $c$ постоянно ироходит через неподвижную точку $\varrho$. В этом случае сопряженный профиль $\gamma$ сводится к одной только точке 8 ; вывод, который отсюда проистекает, заключается в следуюңем: если профиль с, неразрывно связанный с фигрой $F$, проходит через неподвижную точку $Q$, то нормаль к в в точке $Q$ (вообще меняющаяся от момента к моменту) содерюит миновенжый центр вращения (относительного движения фигуры $F$, а следовательно, и кривой с). К этому мы также придем непосредственно от теоремы ІІаля, если рассмотрим взаимнос двитение.