5о. В технике часто бывает необходимым преобразовать врацательное движение, происходящее вокруг одного вала, в аналогпчное вращение вогіруг параллельного вала. Это достигается посредством зацепления двух £отес, насаженных на эти валы. Отвлекаясь от топцины колес, пх можно представлять себе расположенными в одаой и той же піокости, перпендикулярной 1. ваian.

Наиболее обычный случай, на котором мы здесь остановимся лишь вкратце, әто тот, когда оба вращения происходят равномерно, так что опносительное движение обоих колес есть эпииикиnеское (рубр. 45).

Обе полярные траектори называются основнъии окружноспя.и. Они предетавляли бы собой идеал сопряженных профилей (рубр. 2:), если бы при их посредстве можно было на практике осуществить правильню передачу движендя с одного колеса на другое.

В некоторых случалх тагая возможность действительно существует. Когда механизм подвержен действию незначительных сил, то простой натуральной шероховатости соприкасающисл круговых профилей достаточно для передачи движения; когда одно колесо вращается, другие за нпм следуют без скольжения; мы имеем тогда колеса с mрениел. Но когда сопротивление, как это имеет место в большинстве случаев, превышает определепный предел, уже нельзя расечитывать на правильную передачу при простом соприкосновении. В этих случаях нужно заменить основные окружности волнистыми сопряженными прожилями, которые способны своей материальной непроницаемостью гарантировать необходимую передачу движения. Это приводит, таким образом, к двум зубчтатым колесам, которые совместно образуют механизм зачепления.

Таюой механизм мояет быть односторонния, если одно из двух колес, вапример $R$, способно сообщить другому вращение только в одну определенную сторону. Зацепяение называетсл обратимым, когда оно может функционировать в обе стороны, взаимныи, когда колеса по своему назначению могут друг друга заменять (без обращения сторон соответствующих вращений).

Вообще, при установившемся режиме механизма одно из двух колес всегда является двшжуцим или ведушин, а другое ведомьм.
๘1. Что касается форми, которую следует дат’ь профилям, то в этом отношении, прежде всего, нужно иметь в виду общее правило, что они доляны возможно менее удаляться от полярних траекторий. По әтой прнчине стараются дать колесам таюую форшу, чтобы наружная граница каждого колеса (каж уже было указано выше, волнистая) частью была расположена вне основной окружности, частью же внутри ее. При этих условиях она удаляется от основной окружности мепьше, чем это имело бы место, если бы она быле целиком расположена впе этой окружностт.

Волнообразные возвышения профнля, как правило делагтся равными между собой. Каждое из них, например, $A B C D E$ (фиг. 71) называется зубол пли, правильнее, профилем зуба; самое же название зуба сохраняется за площадью, т. е. ва выступающей частью колеса (на фиг. 71), которая содержится между профилем и окружностью, концентрической с основной окружностью и проходящей через точки $A, D, E \ldots$ Пустоты между последовательными зубьями называются просветами ( $V$ на фиг. 71).

Наконец, часть основной окружности $H H^{\prime}$, отделяемая зубом и следующим за ним просветом, называется ходом зубчатого колеса. Совершенно ясно что два колеса, приспособленные к взаимному зацеплению, непременно должны иметь один и тот же ход. В самом деле, когда одно из двух колес повернется на угол, соответствующий ходу, то общее его геометрическое положение относительно линии центров $O O^{\prime}$ остается совершенно неизмененным: каждый зуб замещается только последующим зубом. Когда механизм в ходу, то же должно иметь место и длл второго колеса; таким образом по основным окружностян, служащим полярными траекториями, точка соприкосновения продвигается на равные дуги; отсюда мы и заключаем 0 равенстве хода одной и другой зубчатки.
62. Установив все это, обозначим через $\rho$ и $\rho$ радиусы основных окржностей, через $n$ – число зубьев, которыми снабжено колесо $R$, и через $n^{\prime}$ – число зубьев колеса $h^{\prime}$.

По определению, ход колеса $R$ равен $\frac{2 \pi p}{n}$, а ход колеса $l_{i}^{\prime}$ равен $\frac{2 \pi \rho^{\prime}}{n^{\prime}}$. Равенство хода выражается теперь законом иропорциональжости:
\[
\frac{n}{\rho}=\frac{n^{\prime}}{\rho^{\prime}}
\]

между числами зубьев на каждсм колесе и радиусани основных окружностей.

Другим основным законом является установленная уже в предыдущем параграфе обратхая пропорциональность между радиусами $\rho$ и $\rho^{\prime}$ и угловыми скоростями, с которыми вращаютея колеса, т. е. соотношение:
\[
\omega p=\omega^{\prime} \rho^{\prime} ;
\]

перемножая последние два равенства почленно, получаем: $\omega n=\omega^{\prime} n^{\prime}$. Таким образом числа зубьев двух колес в зацеплении обратно пропорцнональны угломым скоростям их вращения.

53. Во взаимных зацеплениях (рубр. б0) профиль $A B C D E$ вуба разделяется на четыре части, две из которых – боковне расположены симметрично относительно среднего радиуса, а две другие – $A D$ и $C D$-расположены продольно по отношению к основной окружности.

Когда передача движения происходтт в определенную сторону, то одна из боковых дуг, например $A B$, играет ведущую роль; при обратном движении эта роль переходит к симметричной дуге $C D$. Две продольные дуги $B C$ и $D E$ не предназначены для соприкосновения с другим колесом; для них поэтому нет надобности рассматривать сопряженные профили. Выбор последних зависит от конструктивных особенностей аппарата в каждом частном случае. Отметим только, что для сохранения непрерывности в передаче движения профилю зубьев и интервалам $D E$ следует дать такие размеры, чтобы по крайней мере один из зубъев в каждый момент находился в соприкосновении с сопряженным профилем. Следует даже принять за правило такое устройство механизма, чтобы в соприкосновении всегда находились два зуба с одной и с другой стороны,-не больше, иначе значительно возрастет трение (за счет энергии преобразуемого движения), – но и не меньше из предосторожности, чтобы движение не прерывалось в случае порчи какого-либо зуба.
54. Если радиус одного из двух колес рассматривается как известный, если известны также как угловая скорость ш этого колеса, так и угловая скорость $\omega^{\prime}$, с которой должно вращаться другое колесо, то радиус іноследнего $p^{\prime}$ определяется из соотношения $\omega \rho=\omega^{\prime} \rho^{\prime}$; определение сопряженного профиля для произвольной дуги $A B$ выполняется автоматически по общей теории эпициклического движения.

Отметим еще соглашение, по которому на дуге $A B$ отличают две части: ребро зуба $A H$, т. е. часть, находящуюся внутри основной окружности, и головку зуба $H B$, лежащую вне этой окружности.

Рассмотрим несколько примеров, относящихся к внешним зацеплениям (основные окружности расположены одна вне другой).
a) Предположим, во-первых, что $A H$ есть дуга гипоциклоиды, а $A B$ – прилегающая часть эпициклоиды; обе дуги имеют базой основную окружность. Из рубр. 40 непосредственно еледует, что второе колесо также должно быть снабжено гипоциклическими ребрами и эпициклическими головками. Этот тип зацепления называется эпицилическил.
b) Если ребро $A H$ образует прямолинейный отрезок, то в сопрлженный профиль все еще должна входить дуга эпициклоиды. Вместе с тем, эпициклическую головку $H B$ можно выбрать так, чтобы сопряженная гипоциклоида обратилась в прямолинейный отрезок: для этого достаточно, чтобы примыкающая к $Н B$ рулетта имела радиус $\frac{p}{2}$, где $\rho$-радиус первой основной окружности колеса, о котором идет речь. Таким образом оба колеса имеют прямолинейные ребра и эпициклические гоповки. Эго так называемое зацепление с прямолинейними реоррами.
c) Более предпочтительным, по причинам, которые мы сейчас укажем, является так называемые зацепление $c$ эвольвентой, в которои $A B$ есть дуга эвольвенты окружности, концентрической с основной окружностью и расположенной внутри ее. Сопряженный профиль в этом случае (рубр. 41) не только относится к тому же типу, но даже подобен первому профилю; онношение подобия совпадает с отношением $\frac{p}{p^{\prime}}$ радиусов колес.
5у. На практике, очевидно, важно располагать ассорти.кенто. что любые два могут быть приведены в зацепление; в каждом ассортименте стараются располагать колесами с любым числом зубьев (конечно, в известных прєделах); таким образом (рубр. б2) можно устанавливать, по крайней мере приблизптельно (и, конечно, в известных пределах), любые отношения скоростей, которые могут оказаться нужными при дейсгвии механизма.

Јегко отдать себе отчет, что как эпицикліческий тиш, так и тип с эводьвентой пригодни для построения ассортиментов. Между тем типы с прямолинейным ребром для этой цели непригодны. Ассортимениы с әвольвевтой представляют с точки зрения технического пзготовления большие преимущества потому, что в отличие от других они состоят из совершенно подобных зубчатых колес. Этим объясняется преимущественное применение в технике зацеплений с эвольвентами; они, впрочем, прегставляют еще и другое преимущество, на котором мы не будем останавливаться, чтобы не входить в технические детали. Систематическое изложение этого предмета можно найти в специальных трактатах ${ }^{1}$ ).
56. Мы хотим присоединить еще только несколько соображений относительно таю называемых линий действия. Пот лижияли действия, или линияни соприкосновений двух зубчатых колес, разумеют геометрическое место точек, в которых два зуба приходят друг с другом в соприкосновение; речь идет о геометрическом месте по отношению к неподвижному наблюдателю; по отношению же к каждому из колес это геометрическое место, очевидно, представляет просто профиль зубьев. Название линии действия обусловливается тем, что именно в точках этой кривой совершается передача действия с одного колеса на другое.

Неподвижного наблюдателя (в птоскости движения) мы можем схематизировать в мгновенном цептре $I$ перпендикуляром $I T$, к ливии центров $O O^{\prime}$; этот перпендикуляр совпадает с обпей касательной в точке соприкоснозения $I$ основных окружностәй
1) Cм., например, D. Tessari, La costruzione deyli ingranaggi, Torino 1902 , а также главу „Кнематика в приложенин к мапинам“ в Т. I сочинених Lecornu, Cours de mécanique, Faris 1914.

обоих колес. Теперь припомним, что произвольные два сопряженные профиля $c$ и $\gamma$ имеют точкой соприкосновения основание общей нормали, проведенной к ним из точки $I$; тогда становится ясным, что определение линии действия может быть приведено к следующей геометрической проблеме: дан подвижной профиль с определенным законом движения относительно IT; разыскать геометрическое место оснований $M$ нормалей, проведенных из точки $I$ к последовательным положениям профиля. В интересующем нас случае речь идет о профиле произвольного зуба одного из двух колес, например $R$; движение его
Фиг. 72.

связано с вращением колеса воғруг точки $O$. Принципиально это приводит, как видим, к задаче об огибающих, аналогичной той, которая встречается в определении сопряженных профилей (рубр. 7 ).

Однако в некоторых конкретных случаях можно, как и в слутае сопряженных профилей, легче достигнуть цели при помощи эпициклического метода. Некоторое очевидное расширение этого метода позволяөт осуществить, как мы это сейчас покажем, непрерывное вычерчивание линии действия.

С этой целью возвратимся к рубр. 19 и предположим, что кривая $h$ движется, постоянно проходя через точку $I$, и в этой точке постоянно касаетея неподвщжной прямой $I T^{\prime}$ (фиг. 72); вместе с этой кривой $k$ двнжется неизменно связанная с нею точка $M$, которая образует сопряженные профили с и $\gamma$, кегда кривая $\%$ катится по $l$ и по $\lambda$. Траектория, которую в этіх условиях описывает точка $M$, в среде, неизменно связанной с касательной $I T$, п есть линия действия в общем значении этого слова (применимом к любому плоскому двпжению, т. е. геометрическое место точек касания двух сопряженных профилей относительно мгновенного центра $I$ и общей касательной $I T$ кривых $l$ и і. 1).

Доказательство этого утверждения не сложно. При образовании кривых $c$ и $\gamma$ качением кривой $k$ положения $M_{c}$ и $M$ точки $M$, соответствующие произвольному соприкосновению жривых $c$ и $\gamma$, сохраняют то же расположение относительно прямых $I T$ и $I^{\prime} T^{\prime}$ ( $I T^{\prime}$ – касательная к кривой $\lambda, I^{\prime} T^{\prime}$ – к кривой $l$ ). О другой стороны, линия действия, по своему определению, есть отнесенное к IT геометрическое место точек $M_{\gamma}$, в которых подвижный профиль $c$ касается сопряженного профиля; оно совпадает с геометрическим местои точек $M$, соответствующих различным положениям кривой $k$ относительно одной из ее касательных. Указанное движение кривой $k$, очевидно, и должно служить для реализации линии действия.
57. Нркмеры линий действия. В эпнциклических зацеплениях зубья составлены из двух дуг: из гипоциклического ребра и эпициклической головки, та п другая имеют базой основную окружность. Кривон $k$, о которой шла речь в предыдущем параграфе, служит окружіость, вообще различная для ребра и для головки; образующая же точка $M$ в том и другом случаях занимает надлежащее место на кривой $k$. Поэтому линия действия (геометрическое место точки $M$, когда $k$ скользит, касаясь нецодвижной прямой в неподвижной точке) совпадает с самой кривой $k$, т. е. на црактике с некторой ее дугой, надлежащим образом ограниченной. При детальном анализе оказывается, что вся линия действия состоит из двух дуг тех самых окружностей, которые служат рулеттами для образования ребер и головок зуба. То же заключение остается в силе также для зацеплений с прямолинейными ребрами, потому что они входят в число рассмотренных зацеплений, как частные случаи (рубр. 54, b).

Менее просто складывается эпициклическое образование линии действия в случае зацеплений с әвольвентами (рубр. 54, с). Обратно, из определения соответственных профилей (рубр. 41) вытекает, что общей нормалью из мгновенного центра $I$ служит неподвижная прямая ( $I M M^{\prime}$ или $I N N^{\prime}$ на фигуре, стр. 251). Јинией действия, таким образом, служит прямолинейный отрезок.