13. Возвратимся теперь к твердому движению, заданному своей геометрической характеристикой, т. е. последовательностью положений, занимаемых подвижной спстемой, независимо от хода движения во времени; это даст нам возможность еце раз воспользоваться теорией относительного движения, как вспокогательным средством при изучении движения.

Положим, что в некотором данном интервале времепи задано движение твердой системы $S$ относительно среды $2{\xi }_r^{\ast }$. Может оказаться, что угловая скорость $\overline{\omega }$ системы $S$ обращается в нуль в некоторые моменты движения или даже в некоторые сплошные промежутк времени. Во всяком случае весь интервал движения может быть разбит на промежутии, в каждом из которых угловая скорость ю либо постоянно равна пулю, либо же все время отлична от нуля (а исллючением, конечно, моментов, отделяющих один промежуток от другого). В промежутке первого рода твердое движение является поступатсльным (III, рубр. 4); все точки системы $S$ описнвают копгруентные и парал.тельные траектории по одному и тому же закону; этим путем геометрический ход движения сразу приведен в ясность.

Во вторую очередь рассмотрпм промежуток временп, в течение которого угловая скорость все время остается отличной ит нуля; в этом случае, как ми заем, в подвижной спстеме в каждый момент такого промежутка существует определенная ось движения $m$; это есть ось того винтового движения, которое в әтот момент является тангенциальным по отношению к рассматриваемому твердому движению; если ${\mathit{v}}_0$ и — представляют собою характеристические векторы движения (относительно проиввольного полюса $O$ ), то твердое движение можно в этот моменг рассматривать, как состоящее из вращательного двияения с угловой скоростью $\overline{\omega }$ вокруг оси $m$ и из поступательного движения со скоростью
$$\frac{1}{\omega }\left(\widetilde{v_0\omega }\right)$$

вдоль той же оси; в соответствии с этим элементарное смещение системы за бесконечно мальй промежуток времени $dt$ можно рассматривать как составленное из бесконечно малого поворота $\omega dt$ вокруг оси $m$ и бесконечно малого поступательного смещения вдоль этой оси. Может случитьея, что ось движения сохраняет в системе $S$ постоянное направление, т. є. остается неизменной относительно трнэдра Oxуz, неразрывно связанного с системой $S$; мы уже знаем, что в этом случае ось сохраняет также неизменное направление относительно триэдра $Q\xi$ п или, как обычно говорят, относительно пространства (рубр. 11); мы имеем, таким образом, дело с поступательно-вращательным движением.

Еели исключим эти совершенно частные случаи, то ось движения будет менять свое положение от момента к моменту как относительно подвижного триәдра $Oxyz$, так и относительно неподвижного г ${}_i$ : геометрические места, образуемие этими последовательными ноложениями оси в одной и другой средах (или, что то же, в пространстве и в подвижной системе), представляют собою две линейчатые поверхности $\mathrm{\Lambda }$ и $L$, которые мы будем называть неподвижным аксоидом и подвижнын аксоидом, поскольку они соответственно неразрывно связаны с триэдрами, которые мы называли неподвижным и подвижным.

В каждый момент оба аксида А и $L$ имеют общую образующую, представляющую в өтот момент ось движения; мы постараемся здесь доказать, что в этот момент оба аксоида соприкасаются вдоль общей образующей, т. е. в каждой ее точке имеют обшую касательную плоскость.

С этой целью представим себе на подвижном аксоиде $L$ проивольную кривую $l$, пересекающую последовательные его образуютие. Вместе с тем, рассмотрим на аксоиде $L$ движенде точки $P$, которая на нем (или, что то же, в системе $S$ ) совершает движение таким образом, что в каждый момент находится в пересечении кривой $l$ с соответствующей этому моменту осью движения, т.е. общей в этот момент образующей аксоидов $L$ и $\mathrm{\Lambda }$.

В результате этого своего (огносительного) движения по отпошению в ореде $S$, соединенного с твердым движением этой среды относительно триәдра $\mathrm{\Omega }\zeta$ (переносного движения), точка $P$ совершает движение (абсолютное) относительно среды $Q{\eta }_{\eta }$ и описывает в ней некоторую траекторию; так как точка $P$ в каждый момент находится на соовветствущей оси движения, то эта траектория лежит на неподвижном аксонде $\mathrm{\Lambda }$ (и пересекает на нем каждую образующую в одной точке). Поэтому скорости ${\tilde{v}}_n$ и ${\mathit{v}}_r$ точки $P$ (абсолютная и относительная) в каждый момент касаются кривых $\lambda$ и $l$, а следовательно, и аксоидов $\mathrm{\Lambda }$ и $L$.

Теперь обратимся к переносной скорости ${\mathit{v}}_{\tau }$, т. е. к скорости той точки среды $S$, с которой $P$ в этот момент совпадает. Припомним, что точка $P$ в каждый момент лежит на оси движения, поэтому ${\mathit{v}}_{\text{: }}$ представляет собою ту компоненту скорости тангенциального винтового движения, которая соответствует переносу вдоль оси; следовательно, она в каждый момент направлена по общей образующей обоих аксоидов. Теперь достаточно обратиться к основному соотношению
$${\mathit{v}}_a={\mathit{v}}_{\mathit{r}}-{\mathit{v}}_{\tau }$$
(рубр. 2), чтобы отсюда заключить, что плоскость двух скоростей ${\mathit{v}}_{\tau }$ и ${\mathit{v}}_r$, касающаяся в точке $P$ аксоида $L$ (поскольку она содержит образующую, проходящую через точку $P$, и касается лежащей на $L$ кривой $l$ ), совпадает с плоскостью скоростей ${\mathit{v}}_{\tau }$ и ${\mathit{v}}_{ii}$, которая (по совершенно аналогичным соображениям) касается аксоида $\mathrm{\Lambda }$. А так как то же рассуждение можно провести по отношению к любой точке общей образующей двух аксоидов. то отсюда лсно, что они вдоль этой образующей соприкасаются,

Из всего этого мы заключаем, что твердое двиэение системы происходит таким образон, как будто аксоид $L$, неразрывно связанныи с системой $S$, катится по неподижножу аксоиду $\mathrm{\Lambda }$, касаясь его в каждый момент по оси движения.

Но важно заметить, что, восбще говоря, это качение сопровождается от момента к моменту элементарным скольжением вдоль образующей соприкосновения; в самом деле, как уже было указано с самого начала этого рассуждения, элементарное смещение системы $S$ в каждый момент состоит из бесконечно малого вращения вокруг мгновенной оси и бесконечно малого переноса вдоль этой оси.

Этого элементарного скольжения нет в том и, только в том, случае, когда твердое движение представляет собою чистое вращение, т. е. когда инвариантный трехчлен обоих характеристических векторов (по отношению к любому полюсу) обрацается в нуль (рубр. 23 предыдущей главы). Это значит, когда
$${\mathit{v}}_0\overline{\omega }=0,$$

причем угловая скорость $\overline{\omega }$ не сводится $\mathbf{к}$ нулю.
Мы видели (рубр. 24 предыдущей главы), что соотношение (15) всегда имеет место для твердых движений около неподвижной точки или параллельно данной плоскости. Движения последнего типа обстоятельно рассмотрены в следующей главе; здесь же останивимся на движении твердой сустемы около неподвпжной точки.