13. Пиуль. Положим опять, что точка приложения переменной силы $\boldsymbol{F}$ совершает некоторое движение; под импульсом силы от момента $t_{0}$ до $t$ разумеют интеграл:
\[
\boldsymbol{I}=\int_{i_{\mathrm{s}}}^{t} F d t
\]
т. е. вектор, компонентами которого служат:
\[
I_{x}=\int_{t_{0}}^{t} X d t, \quad I_{y}=\int_{t_{0}}^{t} Y d t, \quad I_{z}=\int_{i_{0}}^{t} Z d t .
\]

Что касается действительного вычисления векторного интеграла $l$ пли, что то же, трех его компонентов $I_{x}, I_{y}, I_{z}$, то мы можем повторить соображения, аналогичные тем, которые нашли себе место в рубр. 3; именно, когда задано движение точки приложения силы, вышеуказанные определенные интегралы сводлтся к обыкновенным интегралам относительно переменной $t$. Но ясно, что в өтличие от того случая, когда мы вычисляем работу, пмпульс $\boldsymbol{I}$ даже и при позиционных или консервативных силах вависит не только от геометрической природы траектории материальной точки, но и от закона, по которому описывающая ее точка зависит от времени.

Во всяком случае, если сохраним постоянным момент $t_{0}$ и будем менять $t$, то импульс $I$ представляет собой функцию (векторную), которая обращается в нуль при $t=t_{0}$ и которая имеет производной вектор силы:
\[
\frac{d I}{d t}=F
\]

пними словами, производная инияьса по врежени равна силе.

14. Количество движения и имильс силы, его вызывающиы. Пусть $\boldsymbol{F}$ будет сила, произьодящая движение свободной материальной точки массы $m$; рассмотрим импульс сплы $\boldsymbol{F}$ за промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{1}$ грп движении, сообщенном этой силой материальной точке. В силу основного уравнения динамики:
\[
\boldsymbol{t}=\int_{t} \boldsymbol{F} d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} m \boldsymbol{a} d t=m \int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \boldsymbol{v}}{d t} d t,
\]
T. e.
\[
\left.\boldsymbol{I}=\Delta_{(} m \boldsymbol{v}\right),
\]

где $\Delta(m v)$ означает наращение векториальной величины $m$ г за промежуток от момента $t_{0}$ до момента $t_{1}$.

Этот вектор mv называется колиеством движения материальноны точки массы $m$, имегощей скорость $v$; соотношение (12) можно выразить в словах следующим образом: ссли $\boldsymbol{F}$ есть полная сила, действующая на материальную точку, то ияпульс силь за данный промежутэк времени равен изменению количества движения материальной точки за тот же промежумок ${ }^{1}$ ).
15. Уары. До сих пор при изучении движения материальной точки мы всегда предполагали, что это явление в рассматривиемне промежутки времени протекает непрерывно (ср. предположение, принятое раз навсегда в рубр. 4 гл. II). Но все же иногда может случиться, что матерпальная точка в некоторый момент внезапно изменяет свою скорость, не изменяя при этом зчачительно своего положения. Это имеет место, когда на точку оказывают действие особого рода силы, о которых мы до сих пор еще не упоминали и которые прпнято называть ударами. $\mathrm{K}$ такого рода силам нас приводят, например, наблюдения удара молота по наковальне, удара вия в бпльярдный шар, удара ядра в стену и т. д. Заметим, прежде всего, что спла $F$ за все время, в течение которого мы ее при таких обстолтельчтвах наблюдаем, сохраняет напряженность конечную, т. е. меньшую некоторого наперед указанного числа; поэтому соответствующий пмпульс ва промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{1}$
\[
I=\int_{i_{0}}^{t_{1}} F d t
\]
1) Школа Декарта в противоположность лейбницевой утверждала, что силы надлежит измерять не по живой силе, а по количеству движения. Декартова точка зрения правильна, если рассматривать постоянные силы, действующие в однн и тот же промежуток времени (а не на том же пути, как әто необходимо для оправдания вычислений Леӥбница). В самом деле, если возвратимсл к обозначениям подетрочного примечания на етр. 338 , то для постоянной силы $F_{1}$ имеем:
\[
F_{1} t=m a t=m v,
\]

а следовательно, для двух сил $F_{1}$ и $F_{2}$, действуюиих в тсчение того же промежутка еремени $t$, действительно имеет место соотношенне:
\[
F_{1}: F_{2}=m_{1} v_{1}: m_{2} v_{2} .
\]

стремится к нулю, когда $t_{1}$ стремитея к $t_{0}$; это можно выразить так, что мгновенный импульс $\boldsymbol{F} d$, к которому в этом случае сводится интеграл $\boldsymbol{I}$, исчезает (как произведение из вөктора конечной величины $\boldsymbol{F}$ на бесконечно малый скаляр $d t$ ). Но, если мы, наоборот, представим, что сила $F$, действуя в чрезвычайно короткий промежуток времени $\tau$, содержащийся между моментами $t_{0}$ и $t_{1}$, принимает за этот промежуток весьма большое напряжение, то может случиться, что импульс силы за этот ничтожный промежуток времени примет определенное конечное значение. Чтобы дать математическое выражение этому физическому положению вещей, по крайней мере на типичном примере, представим себе силу, которая в данный промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{1}$ имеет постоянное значение:
\[
\boldsymbol{F}=\frac{\boldsymbol{I}_{0}}{\tau},
\]

где $\boldsymbol{I}_{0}$ означает постоянный вектор, а $\tau$-продолжительность $t_{1}-t_{c}$ рассматриваемого промежутка времей. Ускорение, которое $б у$ дет иметь свободная материальная точка массы $m$, подвержепная действию этой силы, выразится через
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{I_{0}}{m r} .
\]

Ннтегрируя это равенство от момента $t_{0}$ до произвольного момента $t$ рассматриваемого промежутка времени и обозначая через $v_{0}$ скорость в момент $t_{0}$, мы получим:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{0}+\frac{t-t_{0}}{m \tau} \boldsymbol{I}_{0} .
\]

Так как $\frac{\left(t-t_{0}\right)}{\tau}$ есть правильная дробь, то скорость по абсолінтному значению остается меньше, нежели $\frac{v_{0}+I_{0}}{m}$; в момент же $t_{1}$
\[
\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}_{0}+\frac{\boldsymbol{I}_{0}}{m},
\]
т. е. имеет как раз указанное выше значение, не зависящее от промежутка -. С другой стороны, вычисляя импульс $I$ силы (13) за промежуток от момента $t_{0}$ до момента $t_{1}$, найдем, ввиду того что $t_{1}-t_{0}=\tau$ :
\[
\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_{0} \text {. }
\]

Вследствие этого, когда т стремится к нулю, сила (13) по абсо̆лютному значению становится бесконечно большой; но импульс ее, даже отнесенный к первому элементу врммени $d t$, следующему за моментом $t_{0}$, сохраняет конечное значение $\boldsymbol{I}_{0}$. Таким образом скорость, приобретепная точкой за этот элемент времени, все-таки выражается формулой (14), хотя смещение ее бесконечно мало; әто становится ясным, если в общем выражении әтого смещения
\[
\Delta P=\int_{i_{0}}^{t_{1}} \boldsymbol{v} d t
\]

будем приближать $t_{1} \kappa t$, помня при этом, что $\boldsymbol{v}$ сохраняет конечное значение. Тагим образом в пределе, когда $\tau$ стремится к нулю, мы имеем математическое выражение силы, действугщей в бесконечно малый промежуток времени с бесконечно большим напряжением; эта сила сообщает материальной точке конечное изменение скорости при бесконечно малом ее смещении.

Не входя в детали, заметим, что совершенно аналогичные заключения имеют место также для сил более общего характера, нежели (13), подчиненных тому условию, что для всякого момента времени $t$, содержащегося между $t_{0}$ и $t_{1}$, интеграл
\[
\int F d t
\]

сохраняет конечное значение, но вместе с ним остается также конечным п отличным от нуля вектор
\[
\boldsymbol{I}=\lim _{t_{1} \rightarrow t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \boldsymbol{F} d t .
\]

Интегрируя при әтпх предположениях основное уравнение механики $m a=F$ от $t_{0}$ до $t$, получаем, во-первнх:
\[
m\left(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{0}\right)=\int_{\boldsymbol{t}_{\mathrm{e}}}^{t} \boldsymbol{F} d t ;
\]

это устанавливает, что скорость двиэущщейся точки все время остается конечной. Но если затем в этом последнем уравнении положим $t=t_{1}$ и будем приблилать к нулю интервал интегрирования, то получим:
\[
m \Delta v=I
\]

интегрируя же в пределах от $t_{0}$ до $t_{1}$ тождество $\frac{d P}{d t}=0$, получим, как выше:
\[
\Delta P=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \boldsymbol{v} d t .
\]

Это равенство показнвает, что $\Delta P$ стремится к нулю вместе с интервалом интегрирования, пбо $\boldsymbol{y}$, как мы только что видели, сохраняет во всем этощ интервале конечиое аначение.

$3 \pm 4$
Во всех этих случаях, когда силы, действующие с весьма большим напряжением в течение чрезвычайно малого промежутка времени, сообщают материальной то\”ке смещение, которым можно пренебречь, но внезапно меняют ее скорость, они называются ударали; они вытисляются по своему мгиовенному импульсу, т. е. по изменению количества двпжения, ими вызываелому; уравнения
\[
\boldsymbol{I}=m \Delta \boldsymbol{v}
\]

в теории ударов играет роль, сэвершенно аналогичную той, которую при изученип обыкновенных сил имеет основное уравнение динамики.