59. В рубр. 57 мы видели, что всякая система приложенных параллельных векторов эквивалентна либо одному вектору, либо. одной паре.

Чтобы этот результат уточнить, рассмотрим прежде всего систему двух векторов $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right)$ и $\left(A_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right)$, параллельных межд собой, обращенных в одну и ту же сторону и приложенных соответственио 6 точках $A_{1}$ и $A_{2}$ (фиг. 25 ).

Поскольку главный вектор системы $\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right.$ ) в этом случае отличен от нуля, она неизбежно эквивалентна (рубр. б6) одному вектору $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$, приложенному в пронзвольной точке некоторой прямой, параллельной прямым действия $r_{1}$ и $r_{2}$ векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ п $\boldsymbol{v}_{2}$ и ра-положенной с ними в одной плоскости. Если прямые $r_{1}$ и $r_{2}$ совпадают, то с ними совпадает и прямая действия приложенного вектора $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$, эквивалентного нашей системе. Если мы этот последний случан исключим, то прямая действия вектора $v_{1}+v_{2}$ пересечет секущую $A_{1} A_{2}$ двух параллелей $r_{1}$ и $r_{2}$ в некоторой определенной точке $C$. Займемся разысканием әтой точки. Вектор $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$, будучи приложен в точке $C$, имеет относнтельно нее нулевой момент; следовательно, главный момент системы относительно точки $C$ также должен быть равен нулю; иными словами, моменты векторов $v_{1}$ и $v_{2}$ относительно точки $C$ должны иметь одну и ту же длину, но доджны быть направлены в противоположные стороны. Так как оба момента перпендикулярны ж плоскости векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$, то последнее условие требует, чтобы по отношению $к$ перпендикуляру к той же плоскости в точке $C$, в какую бы сторону он ни был обращен, векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ п $\boldsymbol{v}_{2}$, в свою очерець, представлялись обращенными в противоположные стороны: один в правую, другой в левую; а это означает, что точка должна быть расположена между параллелями $r_{1}$ и $r_{2}$; точнее, она должна лежать внутри отрезка $\boldsymbol{A}_{1} A_{2}$.

С другой стороны, если обозначим через $d_{1}$ и $d_{2}$ расстояния (нам еще неизвестные) точіи $C$ от прямых $r_{1}$ и $r_{2}$, то моменты векторов $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ относительно $C$ имеют длины $d_{1} v_{1}$ и $d_{2} v_{2}$; а так как эти длины должны бнть равны, то
\[
d_{1} v_{1}=d_{2} v_{2}
\]

или, иначе:
\[
d_{1}: d_{2}=v_{2}: v_{1} \text {. }
\]

Но так как в силу очевидного подобия треугольников

т0
\[
\begin{array}{l}
d_{1}: d_{2}=A_{1} C: C A_{2}, \\
A_{1} C: C A_{2}=v_{2}: v_{1} ;
\end{array}
\]

это значит: система двух параллельных приложенных векторов, обращенных в одну сторону, эквивалентна одному вектору, равному их сумме; этот результирующий вектор приложен к точке, которая лежит внутри отрезка, соединяющего точки приложения рассматриєаелых векторов, и делит этот отрезок на части, обратіно пропорциональные дликам этих векторов.

Отсюда следует, что точка $C$ не зависит от направления двух векторов, а определяется точками их приложения и их длинами, – точнее, отношением их длин. Другими словами, точка $C$ не изменится, если мы повернем векторы $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{2}$ вокруг точек их прнложения (сохраняя их параллельность) и в то же время увелитим (или уменьшим) их длины в одном и том же отношения.
60. Теперь обратимся к системе $\left(A_{1}, \mathfrak{v}_{1}\right)$ и $\left(A_{2}, \mathfrak{v}_{2}\right)$, составленной из двух параллельных прилсженных векторов, но обращенных в противоположные стороны; пусть $A_{1}$ и $A_{2}$ будут точки их приложения (фиг. 26). Если исключим уже рассмотренный случай пары (в частности, двух прямо противоположных векторов), то длины этих векторов будут различны; пусть, скажем, $\boldsymbol{v}_{1}>\boldsymbol{v}_{2}$.

Если прямые действия $r_{1}$ и $r_{2}$ совпадают, то система, очевидно, эквивалентна одному вектору, который имеет ту же линию действия, обращен в сторону большего вектора $v_{1}$ и имеет длину $v_{1}-v_{2}$ (разность длин данных векторов).

Если прямые $r_{1}$ и $r_{2}$ различны, то прямая действия приложенного вектора $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$, эквивалентного системе $\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right)$, пересекает прямую $A_{1} A_{2}$ в некоторой точке $C$; длина вектора $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$ в этом случае равна $v_{1}-v_{2}$. Рассуждением, вполне аналогичным тому, которое приведено в предыдущей рубрике, мы обнаружим, что точка $C$ должна быть расположена вне отрезка $A_{1} A_{2}$ и должна отстоять от прялых $r_{1}$ и $r_{2}$ на расстояния $d_{1}$ и $d_{2}$, при которых
\[
d_{1} v_{1}=d_{2} v_{2}, \text { т. e. } d_{1}: d_{2}=v_{2}: v_{1} .
\]

Отсюда следует
\[
A_{1} C: A_{2} C=v_{2}: v_{1} .
\]

ๆак как, по предположению, $v_{2}<v_{1}$, то таким же образом $A_{1} C<A_{2} C$; это значит-точка $C$ упадет на продолженне отрезка $A_{1} A_{2}$ со стороны вектора $v_{1}$, имерщего большую длину.

Все сказаннөе приводит г следующему выводу: система, сөстоящая из двух параллельных єекторов, поторые ииеют различные длины и обращены в противоположные стороны, эквивалентна одному вектору, равному сумме $\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}$; этот результируюий вектор приложен в точке, которая делит отрезок, соединяющий точки приложения данных векторов, вкешне на части, обратно пропорथиональные длинам деух векторов.

И в этом случае положение точки $C$ на прямой $A_{1} A_{2}$ зависит толіко от точек $A_{1}$ и $A_{2}$ и от отношения $\frac{v_{2}}{v_{1}}$; оно сохраняет свое положение, если оба вектора повернем на один и тот же угол или изменим их длины в одном и том же отношении.

Как в том случае, когда векторы обращены в одну и ту же сторону, так и в случае, когда они обращены в противоположные стороны, точка $C$ называется центром системь параллельних векторов $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right),\left(\boldsymbol{A}_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right)$.
61. Если обозначим через $d$ ширину полосы $r_{1} r_{2}$, так что (при сделанном предположении $v_{1}>v_{2}$ ) $d_{2}=d+d_{1}$, то из соотношевия $d_{1} v_{1}=\left(d+d_{1}\right) v_{2}$ получим:
\[
d_{1}=\frac{d_{v_{2}}}{v_{\cdot}-v_{-}} .
\]

Если будем сохранять постоянным и расстояние $d$ прямых действия и длину вектора $\boldsymbol{v}_{2}$, но в то же время будем уменьшать длину вектора $\boldsymbol{v}_{1}$ так, чтобы она стремилась $\kappa v_{2}$, то $d_{1}$ будет неограпиченно возрастать; это значит, центр двух параллельных векторов, стремящихся составить пару, неограниченно удаляется.

Поэтому пара (рассматриваещая как предельный случаи системы двух параллельных векторов, направленных в противоположные стороны, когда их длины стремятся к совпадению) часто уподобляется бесконечно малым и в то же время бесконечно удаленным векторам.
62. В третью очередь рассмотрим систему $\Sigma$, состоящую из нескольких приложенных векторов $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right),\left(A_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right), \ldots,\left(A_{n}, \boldsymbol{v}_{n}\right)$, параллельных и обраценных в одну и ту же сторону; как обыиновенно, обозначим через $v_{i}$ длину вектора $\boldsymbol{v}_{i}(i=1,2$, $3, \ldots, n)$.

Из рубр. 99 следует, что векторы $\left(A_{1}, \boldsymbol{v}_{1}\right)$ и $\left(A_{2}, \boldsymbol{v}_{2}\right)$ можно заменить одним вектором $\left(C^{(1)}, \boldsymbol{R}_{1}\right.$ ), имеющим то же направление и ту же сторону обращения, что и данные векторы; далее, векторы $\left(C^{(1)}, \boldsymbol{R}_{1}\right)$ И $\left(A_{3}, \boldsymbol{v}_{3}\right.$ ) можно заменить вектором $\boldsymbol{R}_{3}$, имеющим то же самое направление. Следуя этому пути далее, мы придем $к$ определенному приложенному вектору ( $C, R$ ) [для сохранения единства обозначений его следовало бы, собственно, обозначить через ( $\left.C^{(n-1)}, R_{n-1}\right)$ ], которнй эквивалентен данной системе векторов $\Sigma$, имеет общее с ними направление и обращен в ту же сторону. Из соображений тон же рубрики 59 следует, что длина вегтора $R$ равна сумме длин данных векторов: $R=\sum_{i}^{n} v_{i}$. Ясно также, что линия действия вектора $R$ проходит через точку $C$, которал может быть получена следующим образом: на отрезке $A_{1} A_{2}$ нужно взять точку $C^{(1)}$ таким образом, чтобы отношение отрезков $A_{1} C^{(1)} \mathrm{K} C^{(1)} A_{2}$ было равно $v_{2}: v_{1}$; далее, на отрезке $C^{(1)} A_{3}$ взять точку $C^{(2)}$ таким образом, чтобы отношение $\frac{C^{(1)} C^{(2)}}{C^{(2)} A_{3}}$ было равно $\frac{r_{3}}{r_{1}+v_{2}}$, и т. д.; наконед, на отрезке $C^{(n-2)} A_{n}$ вужно взять точку $C$ так, чтобы
\[
\frac{C^{(n-2)} C}{C A_{n}}=\frac{v_{n}}{v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n-1}} .
\]

Из этого геометрического построения явствует, что положение точки $C$ не изменится, если мы изменим общее направление всех векторов, сохраняя их начала вх длины (или – болеө общим образом-сохраняя отношение их длин).

Далее, если через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ обозначим координаты точки $A_{i}$, то из элементарных соображений аналитической геометрии следует, что координаты $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ точки $C$ даны формулами:
\[
x_{0}=\frac{\sum_{i}^{n} v_{i} x_{i}}{R}, \quad y_{0}=\frac{\sum_{i}^{n} v_{i} y_{i}}{R}, \quad z_{0}=\frac{\sum_{i}^{n} v_{i} z_{i}}{R} .
\]

Эти бормулы обнаруживают, что мы придем к той же точке $C$, в каком бы порядке ни были взяты данные точки.

Полезно еще отметить, что формулы (42) можно объединить в одной векторпальной формуле, вводя вместо координат точек $A_{i}$ их радиусы-векторы относительво любого начала $O$, именно
\[
\overline{O C}=\frac{\sum_{1}^{n} v_{i} \overline{O A_{i}}}{h} ;
\]

это явно вытекает из того факта, что мы придем вновь к формулам (34), если возьмем компоненты радиусов-векторов $\overline{O A_{i}}$ и $\overline{O C^{\prime}}$ по осям координат.
63. Что система $\sum$ эквивалентна вектору $R=\sum_{i}^{n} v_{i}$, приложенному в точке $C$, можно доказать чисто аналитически следующим образом.

Обозначим через $k$ общий версор всех данных векторов, т. е. единичный вектор, имеющий то же направление и ту же сторону обращения, что и данные векторы. Тогда (рубр. 17) $\boldsymbol{v}_{i}=v_{i} k$ и
\[
\sum_{i}^{n} \boldsymbol{v}_{i}=\sum_{i}^{n} v_{i} \boldsymbol{k}=k \sum_{1}^{n} v_{i}=k R .
\]

Теперь составим главный момент $M$ системы относительно точки О. Каждый вектор даст для этого слагающую (рубр. 34):
\[
\left[\overline{O A_{i}} v_{i}\right]=v_{i}\left[\overline{O A_{i}} k\right] .
\]

Суммируя эти равенства и опираясь на равенства (34′), мы получим:
\[
M=R[\overline{O C} k]=[\overline{O C} R k]=[\overline{O C} R] .
\]

Отсюда ясно, что момент $M$ системы $\sum$ (относительно точки $O$ ) совпадает с аналогичным моментом одного вектора $R$, приложенного в точке $C$. Этот вектор, таким образом, эквивалевтен системе $\sum$.
64. Рассмотрим, наконец, систему $\sum$, составленную из иескольких параллельных векторов, ки’орне не все обращены в одну и ту жесторону; пусть $\sum_{1}$ и $\sum_{2}$ будут две системы, составленные из векторов системы $\sum$, обращенных в одну и другую сторовы.

В силу того, что установлено в предыдущей рубрике, каждая из систем $\Sigma_{1}$ и $\sum_{2}$ может быть приведена к одному вектору; приведение системы сводит ее, таким образои, к двум векторам, обращенным в противоположные стороны,-случай, рассмотренный в рубр. 60.

Обозначим через $v_{i}(i=1,2,3, \ldots, p)$ длины векторов системы $\sum_{1}$, через $w_{j}(j=1,2,3, \ldots, q)$ длины векторов системы $\sum_{2}$; далее, цоложим:
\[
R=\sum_{1}^{p} v_{i}, \quad S=\sum_{i}^{q} w_{j} .
\]

Если $R=S$ система сводится $\mathbf{x}$ паре (а в частном случае просто к нулю).

Если же $R
eq S$, то система әквивалентна одному вектору, приложенному в некоторой точке $C$, положение которой зависит от длин векторов снстемы $\Sigma$, от положения точек их приложения, но не от общего их направления.

Во всех случаях точка $C$ называется цежтром системы параллельных векторов.