59. В рубр. 57 мы видели, что всякая система приложенных параллельных векторов эквивалентна либо одному вектору, либо. одной паре.

Чтобы этот результат уточнить, рассмотрим прежде всего систему двух векторов $(A_1,{\mathit{v}}_1)$ и $(A_2,{\mathit{v}}_2)$, параллельных межд собой, обращенных в одну и ту же сторону и приложенных соответственио 6 точках $A_1$ и $A_2$ (фиг. 25 ).

Поскольку главный вектор системы $({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2$ ) в этом случае отличен от нуля, она неизбежно эквивалентна (рубр. б6) одному вектору ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$, приложенному в пронзвольной точке некоторой прямой, параллельной прямым действия $r_1$ и $r_2$ векторов ${\mathit{v}}_1$ п ${\mathit{v}}_2$ и ра-положенной с ними в одной плоскости. Если прямые $r_1$ и $r_2$ совпадают, то с ними совпадает и прямая действия приложенного вектора ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$, эквивалентного нашей системе. Если мы этот последний случан исключим, то прямая действия вектора $v_1+v_2$ пересечет секущую $A_1{A}_2$ двух параллелей $r_1$ и $r_2$ в некоторой определенной точке $C$. Займемся разысканием әтой точки. Вектор ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$, будучи приложен в точке $C$, имеет относнтельно нее нулевой момент; следовательно, главный момент системы относительно точки $C$ также должен быть равен нулю; иными словами, моменты векторов $v_1$ и $v_2$ относительно точки $C$ должны иметь одну и ту же длину, но доджны быть направлены в противоположные стороны. Так как оба момента перпендикулярны ж плоскости векторов ${\mathit{v}}_1$ и ${\mathit{v}}_2$, то последнее условие требует, чтобы по отношению $к$ перпендикуляру к той же плоскости в точке $C$, в какую бы сторону он ни был обращен, векторы ${\mathit{v}}_1$ п ${\mathit{v}}_2$, в свою очерець, представлялись обращенными в противоположные стороны: один в правую, другой в левую; а это означает, что точка должна быть расположена между параллелями $r_1$ и $r_2$; точнее, она должна лежать внутри отрезка ${\mathit{A}}_1{A}_2$.

С другой стороны, если обозначим через $d_1$ и $d_2$ расстояния (нам еще неизвестные) точіи $C$ от прямых $r_1$ и $r_2$, то моменты векторов ${\mathit{v}}_1$ и ${\mathit{v}}_2$ относительно $C$ имеют длины $d_1{v}_1$ и $d_2{v}_2$; а так как эти длины должны бнть равны, то
$$d_1{v}_1=d_2{v}_2$$

или, иначе:
$$d_1:d_2=v_2:v_1\text{. }$$

Но так как в силу очевидного подобия треугольников

т0
$$\begin{array}{l}{d}_1:d_2=A_{1}C:C{A}_2,\\ A_{1}C:C{A}_2=v_2:v_1;\end{array}$$

это значит: система двух параллельных приложенных векторов, обращенных в одну сторону, эквивалентна одному вектору, равному их сумме; этот результирующий вектор приложен к точке, которая лежит внутри отрезка, соединяющего точки приложения рассматриєаелых векторов, и делит этот отрезок на части, обратіно пропорциональные дликам этих векторов.

Отсюда следует, что точка $C$ не зависит от направления двух векторов, а определяется точками их приложения и их длинами, — точнее, отношением их длин. Другими словами, точка $C$ не изменится, если мы повернем векторы ${\mathit{v}}_1$ и ${\mathit{v}}_2$ вокруг точек их прнложения (сохраняя их параллельность) и в то же время увелитим (или уменьшим) их длины в одном и том же отношения.
60. Теперь обратимся к системе $(A_1,{\mathfrak{v}}_1)$ и $(A_2,{\mathfrak{v}}_2)$, составленной из двух параллельных прилсженных векторов, но обращенных в противоположные стороны; пусть $A_1$ и $A_2$ будут точки их приложения (фиг. 26). Если исключим уже рассмотренный случай пары (в частности, двух прямо противоположных векторов), то длины этих векторов будут различны; пусть, скажем, ${\mathit{v}}_1>{\mathit{v}}_2$.

Если прямые действия $r_1$ и $r_2$ совпадают, то система, очевидно, эквивалентна одному вектору, который имеет ту же линию действия, обращен в сторону большего вектора $v_1$ и имеет длину $v_1-v_2$ (разность длин данных векторов).

Если прямые $r_1$ и $r_2$ различны, то прямая действия приложенного вектора ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$, эквивалентного системе $({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2)$, пересекает прямую $A_1{A}_2$ в некоторой точке $C$; длина вектора ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$ в этом случае равна $v_1-v_2$. Рассуждением, вполне аналогичным тому, которое приведено в предыдущей рубрике, мы обнаружим, что точка $C$ должна быть расположена вне отрезка $A_1{A}_2$ и должна отстоять от прялых $r_1$ и $r_2$ на расстояния $d_1$ и $d_2$, при которых
$$d_1{v}_1=d_2{v}_2,\text{ т. e. }{d}_1:d_2=v_2:v_1.$$

Отсюда следует
$$A_{1}C:A_{2}C=v_2:v_1.$$

ๆак как, по предположению, $v_2<v_1$, то таким же образом $A_{1}C<A_{2}C$; это значит-точка $C$ упадет на продолженне отрезка $A_1{A}_2$ со стороны вектора $v_1$, имерщего большую длину.

Все сказаннөе приводит г следующему выводу: система, сөстоящая из двух параллельных єекторов, поторые ииеют различные длины и обращены в противоположные стороны, эквивалентна одному вектору, равному сумме ${\mathit{v}}_1+{\mathit{v}}_2$; этот результируюий вектор приложен в точке, которая делит отрезок, соединяющий точки приложения данных векторов, вкешне на части, обратно пропорथиональные длинам деух векторов.

И в этом случае положение точки $C$ на прямой $A_1{A}_2$ зависит толіко от точек $A_1$ и $A_2$ и от отношения $\frac{v_2}{v_1}$; оно сохраняет свое положение, если оба вектора повернем на один и тот же угол или изменим их длины в одном и том же отношении.

Как в том случае, когда векторы обращены в одну и ту же сторону, так и в случае, когда они обращены в противоположные стороны, точка $C$ называется центром системь параллельних векторов $(A_1,{\mathit{v}}_1),({\mathit{A}}_2,{\mathit{v}}_2)$.
61. Если обозначим через $d$ ширину полосы $r_1{r}_2$, так что (при сделанном предположении $v_1>v_2$ ) $d_2=d+d_1$, то из соотношевия $d_1{v}_1=(d+d_1)v_2$ получим:
$$d_1=\frac{d_{v_2}}{v_{\cdot }-v_{-}}.$$

Если будем сохранять постоянным и расстояние $d$ прямых действия и длину вектора ${\mathit{v}}_2$, но в то же время будем уменьшать длину вектора ${\mathit{v}}_1$ так, чтобы она стремилась $\kappa v_2$, то $d_1$ будет неограпиченно возрастать; это значит, центр двух параллельных векторов, стремящихся составить пару, неограниченно удаляется.

Поэтому пара (рассматриваещая как предельный случаи системы двух параллельных векторов, направленных в противоположные стороны, когда их длины стремятся к совпадению) часто уподобляется бесконечно малым и в то же время бесконечно удаленным векторам.
62. В третью очередь рассмотрим систему $\mathrm{\Sigma }$, состоящую из нескольких приложенных векторов $(A_1,{\mathit{v}}_1),(A_2,{\mathit{v}}_2),\dots ,(A_n,{\mathit{v}}_n)$, параллельных и обраценных в одну и ту же сторону; как обыиновенно, обозначим через $v_i$ длину вектора ${\mathit{v}}_i(i=1,2$, $3,\dots ,n)$.

Из рубр. 99 следует, что векторы $(A_1,{\mathit{v}}_1)$ и $(A_2,{\mathit{v}}_2)$ можно заменить одним вектором $(C^{(1)},{\mathit{R}}_1$ ), имеющим то же направление и ту же сторону обращения, что и данные векторы; далее, векторы $(C^{(1)},{\mathit{R}}_1)$ И $(A_3,{\mathit{v}}_3$ ) можно заменить вектором ${\mathit{R}}_3$, имеющим то же самое направление. Следуя этому пути далее, мы придем $к$ определенному приложенному вектору ( $C,R$ ) [для сохранения единства обозначений его следовало бы, собственно, обозначить через ( $C^{(n-1)},R_{n-1})$ ], которнй эквивалентен данной системе векторов $\mathrm{\Sigma }$, имеет общее с ними направление и обращен в ту же сторону. Из соображений тон же рубрики 59 следует, что длина вегтора $R$ равна сумме длин данных векторов: $R=\sum _i^n{v}_i$. Ясно также, что линия действия вектора $R$ проходит через точку $C$, которал может быть получена следующим образом: на отрезке $A_1{A}_2$ нужно взять точку $C^{(1)}$ таким образом, чтобы отношение отрезков $A_1{C}^{(1)}\mathrm{K}{C}^{(1)}{A}_2$ было равно $v_2:v_1$; далее, на отрезке $C^{(1)}{A}_3$ взять точку $C^{(2)}$ таким образом, чтобы отношение $\frac{C^{(1)}{C}^{(2)}}{C^{(2)}{A}_3}$ было равно $\frac{r_3}{r_1+v_2}$, и т. д.; наконед, на отрезке $C^{(n-2)}{A}_n$ вужно взять точку $C$ так, чтобы
$$\frac{C^{(n-2)}C}{C{A}_n}=\frac{v_n}{v_1+v_2+\dots +v_{n-1}}.$$

Из этого геометрического построения явствует, что положение точки $C$ не изменится, если мы изменим общее направление всех векторов, сохраняя их начала вх длины (или — болеө общим образом-сохраняя отношение их длин).

Далее, если через $x_i,y_i,z_i$ обозначим координаты точки $A_i$, то из элементарных соображений аналитической геометрии следует, что координаты $x_0,y_0,z_0$ точки $C$ даны формулами:
$$x_0=\frac{\sum _i^n{v}_i{x}_i}{R},y_0=\frac{\sum _i^n{v}_i{y}_i}{R},z_0=\frac{\sum _i^n{v}_i{z}_i}{R}.$$

Эти бормулы обнаруживают, что мы придем к той же точке $C$, в каком бы порядке ни были взяты данные точки.

Полезно еще отметить, что формулы (42) можно объединить в одной векторпальной формуле, вводя вместо координат точек $A_i$ их радиусы-векторы относительво любого начала $O$, именно
$$\overline{OC}=\frac{\sum _1^n{v}_i\overline{O{A}_i}}{h};$$

это явно вытекает из того факта, что мы придем вновь к формулам (34), если возьмем компоненты радиусов-векторов $\overline{O{A}_i}$ и $\overline{O{C}^{\prime }}$ по осям координат.
63. Что система $\sum$ эквивалентна вектору $R=\sum _i^n{v}_i$, приложенному в точке $C$, можно доказать чисто аналитически следующим образом.

Обозначим через $k$ общий версор всех данных векторов, т. е. единичный вектор, имеющий то же направление и ту же сторону обращения, что и данные векторы. Тогда (рубр. 17) ${\mathit{v}}_i=v_{i}k$ и
$$\sum _i^n{\mathit{v}}_i=\sum _i^n{v}_i\mathit{k}=k\sum _1^n{v}_i=kR.$$

Теперь составим главный момент $M$ системы относительно точки О. Каждый вектор даст для этого слагающую (рубр. 34):
$$\left[\overline{O{A}_i}{v}_i\right]=v_i\left[\overline{O{A}_i}k\right].$$

Суммируя эти равенства и опираясь на равенства (34′), мы получим:
$$M=R[\overline{OC}k]=[\overline{OC}Rk]=[\overline{OC}R].$$

Отсюда ясно, что момент $M$ системы $\sum$ (относительно точки $O$ ) совпадает с аналогичным моментом одного вектора $R$, приложенного в точке $C$. Этот вектор, таким образом, эквивалевтен системе $\sum$.
64. Рассмотрим, наконец, систему $\sum$, составленную из иескольких параллельных векторов, ки’орне не все обращены в одну и ту жесторону; пусть $\sum _1$ и $\sum _2$ будут две системы, составленные из векторов системы $\sum$, обращенных в одну и другую сторовы.

В силу того, что установлено в предыдущей рубрике, каждая из систем ${\mathrm{\Sigma }}_1$ и $\sum _2$ может быть приведена к одному вектору; приведение системы сводит ее, таким образои, к двум векторам, обращенным в противоположные стороны,-случай, рассмотренный в рубр. 60.

Обозначим через $v_i(i=1,2,3,\dots ,p)$ длины векторов системы $\sum _1$, через $w_j(j=1,2,3,\dots ,q)$ длины векторов системы $\sum _2$; далее, цоложим:
$$R=\sum _1^p{v}_i,S=\sum _i^q{w}_j.$$

Если $R=S$ система сводится $\mathbf{x}$ паре (а в частном случае просто к нулю).

Если же $ReqS$, то система әквивалентна одному вектору, приложенному в некоторой точке $C$, положение которой зависит от длин векторов снстемы $\mathrm{\Sigma }$, от положения точек их приложения, но не от общего их направления.

Во всех случаях точка $C$ называется цежтром системы параллельных векторов.