7. Результаты, к которым мы прпшли в предыдущих параграфах, находят широкие и изящные приложения в исследовании проблем кинематики, так как весьма многие из пих могут быть приведены к проблемам относительного движения в том смысле, как этот термин установлен в настоящей главе. В этом. параграфе и двух следующих мы дадим примеры такого рода соображений.
8. Взаимные движения. Если даны две твердые системы $\Sigma$ и $S$, находящиеся в движенип одна относительно другой, то мы будем отличать движение $M$ системы $S$ относительно $\Sigma$ и взаимное с жим движение $M^{*}$ системы $\Sigma$ относительно $S$; вместе с тем мы будем обозначать через $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}$ * скорости, которне одна и та же точка $P$ будет иметь в один и тот же (произвольный) момент соответственно в движениях $M$ и $M^{*}$; иначе говоря, под $v$ мы будем разуметь скорость точки $P$, которую мы себе будем представлять неразрнвно связанной с системой $S$, в ее движении $M$ относительно $\Sigma$; под $v^{*}$ мы будем разуметь скорость точки, совпадающей в этот же момент с $P$ в системе $\Sigma$ в ее двнжении $M^{*}$ относительно $S$.

Чтобы установить соотношение, связываютее скорости $v$ и $v^{*}$, будем рассматривать движение $M$ системы $S$ относительно $\Sigma$ как переносное, а взаимное с ним движение системы $\Sigma$ относительно $S$ как относительное. Совершенно ясно, что абсолютное движение системы $\Sigma$ относигельно себя оамой, которое таким образом устанавливяется, будет состоянием покоя; принимал поәтому во внимание, что абсолютная скорость $\boldsymbol{v}_{a}$ при әтих условиях равна нулю в любой момент и в любой точке, мы получим из уравнения (5):
\[
\boldsymbol{v}^{*}=-\boldsymbol{v}
\]
9. Отсюда непосредственно вытекает, что для двух взаимных движений при общем полюсе соответственные характеристические векторы в один и тот же момент взаинно противоположны.

В самом деле, если через $\boldsymbol{v}_{3}, \bar{\omega}$ п $v_{0}$, $\bar{\omega}^{*}$ обозначим эти характеристическиє векторы, отнесенные к полюсу $O$ (т. е. скорости точки $O$ и выходящие из $O$ угловые скорости двух движений), то соотношение (11) дает непосредственно:
\[
\boldsymbol{v}_{0}:=-\boldsymbol{v}_{0},
\]

так как $\boldsymbol{v}_{0}$ п $\boldsymbol{v}_{0}{ }^{*}$ представляют собой скорости той же точки $O$ в этих взаимиы движениях. Что касается угловых скоростей, то нужно припомнить, что по основной формуле (10) рубр. 9 предыдущей главы скорости $v$ и $\boldsymbol{v}^{*}$ произвольно взятой общей точки выражаются так:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{0} \dagger[\bar{\omega} \overline{O P}], \quad \boldsymbol{v}^{*}=\boldsymbol{v}_{0}^{*}+[\bar{\omega} * \overline{O P}] .
\]

Подставляя әти выражения в формулу (11), получим:
\[
\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{v}_{0}^{*}+\left[\left(\bar{\omega}+\bar{\omega}^{*}\right) \overline{O P}\right]=0 .
\]

Учитывая же равенство (12), придем к тождеству:
\[
[(\bar{\omega}-\bar{\omega}) \overline{O P}]=0 ;
\]

а так как тождество әто должно иметь место для любой точки, то мы получаем непосредственно:
\[
\bar{\omega}=-\bar{\omega} .
\]
10. Диференпиование векторов, отнесенних г подылжным оми. Если вектор $ซ(t)$, представляющий собой (ұункцию времени (ни какого-либо другого паракетра), отнесен к определенному триздру $Q \xi_{i}^{\prime}$, то его пронзводиая определяется, как вектор, компонентами которого служат пронзводные компонент $v_{\zeta}, v_{r}, v_{\iota}$ вектора $\boldsymbol{v}$ мы вгаем, что эта производная не меняетел, если мы заменяем триәдр $\mathrm{\xi} \eta$ другим неподвижным относительно него триэдром Охуz. Әта производная, однако, вообще изменяется, еспи мы отнесем вектор $\boldsymbol{v}(t)$ к другому триэдру, движущемусл относительно первого. Мы постараемся здесь установить, в какой зависимости находится эта производная от характера движеиия әтих средин друг относительно друга ${ }^{1}$ ).
1) Содержание задачи можно паллядно себе уяснить из следующих соображений. Представим себе наблюдателя, пребывающего в среде Охуz и наблюдающего в ней в єаждый момент определенный вектор $\mathfrak{v}(t)$; это может быть, например, скорость некоторой точки $P$, движущейся относнтельно среды Охуz. Наблюдатель в моменты $t$ и $t+\Delta t$ составляет векторы:
\[
\boldsymbol{v}(t+\Delta t)-\mathfrak{o}(t) \text { п } \quad \frac{\boldsymbol{v}(t+\Delta t)-\boldsymbol{v}(t)}{\Delta t}
\]

и предельным переходом определяет производную, которая в тексте обозначена через $\frac{d \boldsymbol{v}}{d t}$ или $\boldsymbol{~}$. другой наб.дюдель. Вектор $\boldsymbol{v}(t)$ в каждый момент отпечатлевается

Обозначим через $\frac{d_{a} v}{d t}$ производную (абсолютную) вектора $v$ относительно триәдра $Q \eta_{\eta}$, который мы и здесь для краткости речи будем называть неподвижныи; а через $\frac{d v}{d t}$ или $\boldsymbol{v}$ будем обозначать (относительную) пропзводную вектора $v$ по отношению к подвижному триэдру Охуz. Введем теперь вспомогательний триэдр $O x_{1} y_{1} z_{1}$, имеющий то же начало, что и триэдр Охуz, но осп, параллельные осям жеподвижного триэдра и обращенные каждая в ту же сторону. Каково бы ни было двнжение точки $O$ относительно среды $Q \xi \eta$, компоненты вектора $\boldsymbol{v}$ по осям $Q \preccurlyeq$ и $O x_{1} y_{1} z_{1}$ будут в каждый момент соответственно совпадать; поэтому производные вектора $v$ относительно этих двух триэдров не будут различаться между собой. Иными словами, при вылислении промогательному трнэцру $O x_{1} y_{1} z_{1}$.

Еслй теперь представия себе вектор $v$ приложенным в точке $O$ то его свободный конед $P$ будет, вообще говоря, совершать дикженне как относительно тридда $O x_{1} y_{1} z_{1}$, так и относительно оxyz; ири этом движение относптельно триәдра $O x_{1} y_{1} z_{1}$ можно будет рассматривать, как абсолютное – образуемое переносным движением снстеми Охуz относктельно триәдра $O x_{1} y_{1} z_{1}$ (которыӥ мы здесь будем считать неподвижным) т относи ельным движенпем точки $P$ по отнопению к Охуz. ікк как коордннатами гочки $P$ относительно триэдров $O x_{1} y_{1} z_{1}$ п $O$ одz соответственно служат $v_{s}, v_{t}, v_{0}$ п $v_{x}, v_{y}, v_{z}$, то два вектора $\frac{d_{t} v}{d t}$ и $\frac{d v}{d t}$ представляют собою не что иное, как абсолютную и относительпую скорость точки $P .0$ Обначпм, как обыкновенно, через аे угловую скорость $\qquad$
в среде $\Omega_{\xi}^{*}$ в в внде некоторого вектора $\boldsymbol{v}^{*}(t)$, который и видит второй наблодатель; он соетаптяет векторы:
\[
\sigma^{*}(t+\Delta t)-v^{2}(t)
\]
in
\[
\frac{v^{*}(t+\Delta t)-\boldsymbol{v}^{*}(t)}{\Delta^{t}}
\]
3 по имм пэлучает пронзводную $\boldsymbol{v}^{*}(t)$, которая в тексте отмечена через $\frac{d_{a} \boldsymbol{v}}{d t}$ Задача закюючается в том, чтобы установить зависимость между этими двумя эти производные вообще различны, ясно из следующего простого примера. Ноложим, что негтор $\boldsymbol{v}$ остается в среде Охуz постоянным тогда производная $\boldsymbol{v}$ равна нулю. Іоложим, что среда Охуz вращается относительно $\varrho_{\eta}$ вокруг некотопой оси. Вектор $\boldsymbol{v}(t)$ будет отшечатлеватьея на $\delta \xi \eta$ рядом векторов, рагположенных шо конической шоверхности; наблюдателю, находящемуся в этой среде, он уже не будет казаться постоянным, и пронзводная $\frac{d_{a} v}{d t}$ будет поэтому отичиа от нуля. (Ред.)

триәдра $O x y z$ относительно $O x_{1} y_{1} z_{1}$, или, что то же, относительно выравится формулой:
\[
\boldsymbol{v}_{:}=[\bar{\omega} \overline{O H}]=[\bar{\omega} \tau],
\]

так как начальные точки обоих триәдров все время совпадают, Применяя поэтому принцип относительных движений (рубр.2). мы получим следующее соотношение между скоростями обоих движений:
\[
\frac{d_{a} \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d v}{d t}+[\bar{\omega} \boldsymbol{v}] .
\]

Отсюда ясно, что обе производнне постоянно совпадают только в том случае, когда обращается в нуль векторное пропзведение $[\bar{\omega} \boldsymbol{v}]$, т. е. либо когда скорость $v$ параллельна оси врацөния подвижного триәдра, либо же когда $\bar{\omega}=0$, т. е. пэдвижной триэдр совершает чисто поступательное движение.

К соотношению (13) можно приттп еще иным путем. Расоматривая вектор (переменный) $\boldsymbol{v}$ как ориентированный отрезок $\overline{Q P}$ (әто всегда возможно сделать бесчисленным множеством способов), диференцируем его относительно триэдров $9 \xi r_{6}$ п $О x y z ;$ мы получаем:
\[
\frac{d_{a} \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d_{a} \overline{Q P}}{d t}=\frac{d_{a} P}{d t}-\frac{d_{a} Q}{d t}, \quad \dot{v}=\dot{P}-\dot{Q} ;
\]

а затем почленным вычитанием найдем:
\[
\frac{d_{a} \boldsymbol{v}}{d t}-\boldsymbol{v}=\left(\frac{d_{a} P}{d t}-\dot{P}\right)-\left(\frac{d_{a} Q}{d t}-\dot{Q}\right) .
\]

Каждый из двух членов правой части, заключенных в скобки, представляет собою разность абсолютной и относительной скорости одной и той же точки, а потому совпадает с переносной скоростью этой точки. Поэтому правая часть приводится к
\[
[\overline{\omega O P}]-[\bar{\omega} \overline{O Q}]=[\overline{\omega P} \overline{Q P}]=[\overline{\omega \boldsymbol{v}}] .
\]

п мы, таким образом, вновь приходим к формуле (13).
11. Из формулы (13) непосредственно вытекают некоторые замечательные кинематические следствия. Применяя, прежде всего, әту формулу к угловой скорости, получаем:
\[
\frac{d_{a} \bar{\omega}}{d t}=\frac{d \bar{\omega}}{d t}
\]

әто значит: при движении твердой системы угловая ее скорость имеет ту же производную как омносительно неподвижного триэдра, так и относительно триэора, неразрывно связанного с этой системой.

Принимая поэтому во внимание тождество $\bar{\omega}=\omega$ vers $\omega$ п аамечая, что производная скаляра, очевидно, не зависит от триәдра, к которому мы ее относим, мы получаем из соотношения (14):
\[
\frac{d_{a} \operatorname{vers} \bar{\omega}}{d t}=\frac{d \operatorname{vers} \bar{\omega}}{d t}
\]

отсюда видно, что обе эти проиәводные обращаются в нуль совместно; это значит: если во все эремя движения твердой системи ось движения ижет в этой системе неизменное напраяление, то она сохраняет неизменное направление также в пространстве, и ооратно.
12. Наконец, формула (13) рубр. 10 дает еще возможность д)казать теорему, которую мы уже формулировали и применили в рубр. 16 предыдущей главы: всякое равномерное винтовое движение имеет при люоом центре приведения постоянъе характеристические векторы относительно подвижных осей.

В самом деле, обозначим, как обыкновенно, через $\bar{\tau}$ п – -составляющие скорости поступательно вращательного движения, a через $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$ – соответствующие характеристические векторы (относительно любого полюса $O$ ); как видно пз формулы (14), всякий раз, когда угловая скорость $\bar{\omega}$ представляет собою постоянный вектор отчосительно неподвижного триәдра, она остается постоянной также относительно подвижного триәдра, и обратно.

Что касается, далее, векторов $\bar{\tau}$ и $\boldsymbol{v}_{0}$, то, прежде всего, согласно соотношению (16) предыдущей главы
\[
\boldsymbol{v}_{0}=\bar{\tau}+[\overrightarrow{\omega \hat{Q O}}] \text {. }
\]

Диференцируя это равенство по $t$ относительно неподвижного тридра в предположении постоянного $\bar{\omega}$, получим:
\[
\frac{d_{a} v_{0}}{d t}=\frac{d_{a} \bar{\tau}}{d t}+\left[\omega \frac{d_{n} O}{d t}\right]=\frac{d_{a} \tau}{d t}+\left[\omega \boldsymbol{v}_{0}\right] .
\]

Применяя, с другой стороны, к $v_{0}$ соотношение (13), найдем:
\[
\frac{d_{a} \boldsymbol{v}_{0}}{d t}=\frac{d v_{0}}{d t}+\left[\bar{\omega} \boldsymbol{v}_{0}\right] ;
\]

сопоставляя әто с предыдущим соотношением, получаем окончательно:
\[
\frac{d v_{0}}{d t}=\frac{d_{a} \bar{\tau}}{d t} .
\]

Это знатит: если угловая скорость а сохраняет постоянное (векторное) значение (как обнаружено в предыдущей рубрике, безразлично, является ли она постоянной относительно подвижного или неподвижного триәдра), производные вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ относительно подвижных осей и вектора $\tau$ относительно неподвижных осей совпадают; таким образом, если один из этих векторов обращается в нуль, то уничтожается и другой вектор.