7. Результаты, к которым мы прпшли в предыдущих параграфах, находят широкие и изящные приложения в исследовании проблем кинематики, так как весьма многие из пих могут быть приведены к проблемам относительного движения в том смысле, как этот термин установлен в настоящей главе. В этом. параграфе и двух следующих мы дадим примеры такого рода соображений.
8. Взаимные движения. Если даны две твердые системы $\mathrm{\Sigma }$ и $S$, находящиеся в движенип одна относительно другой, то мы будем отличать движение $M$ системы $S$ относительно $\mathrm{\Sigma }$ и взаимное с жим движение $M^{\ast }$ системы $\mathrm{\Sigma }$ относительно $S$; вместе с тем мы будем обозначать через $\mathit{v}$ и $\mathit{v}$ * скорости, которне одна и та же точка $P$ будет иметь в один и тот же (произвольный) момент соответственно в движениях $M$ и $M^{\ast }$; иначе говоря, под $v$ мы будем разуметь скорость точки $P$, которую мы себе будем представлять неразрнвно связанной с системой $S$, в ее движении $M$ относительно $\mathrm{\Sigma }$; под $v^{\ast }$ мы будем разуметь скорость точки, совпадающей в этот же момент с $P$ в системе $\mathrm{\Sigma }$ в ее двнжении $M^{\ast }$ относительно $S$.

Чтобы установить соотношение, связываютее скорости $v$ и $v^{\ast }$, будем рассматривать движение $M$ системы $S$ относительно $\mathrm{\Sigma }$ как переносное, а взаимное с ним движение системы $\mathrm{\Sigma }$ относительно $S$ как относительное. Совершенно ясно, что абсолютное движение системы $\mathrm{\Sigma }$ относигельно себя оамой, которое таким образом устанавливяется, будет состоянием покоя; принимал поәтому во внимание, что абсолютная скорость ${\mathit{v}}_a$ при әтих условиях равна нулю в любой момент и в любой точке, мы получим из уравнения (5):
$${\mathit{v}}^{\ast }=-\mathit{v}$$
9. Отсюда непосредственно вытекает, что для двух взаимных движений при общем полюсе соответственные характеристические векторы в один и тот же момент взаинно противоположны.

В самом деле, если через ${\mathit{v}}_3,\overline{\omega }$ п $v_0$, ${\overline{\omega }}^{\ast }$ обозначим эти характеристическиє векторы, отнесенные к полюсу $O$ (т. е. скорости точки $O$ и выходящие из $O$ угловые скорости двух движений), то соотношение (11) дает непосредственно:
$${\mathit{v}}_0:=-{\mathit{v}}_0,$$

так как ${\mathit{v}}_0$ п ${\mathit{v}}_0{}^{\ast }$ представляют собой скорости той же точки $O$ в этих взаимиы движениях. Что касается угловых скоростей, то нужно припомнить, что по основной формуле (10) рубр. 9 предыдущей главы скорости $v$ и ${\mathit{v}}^{\ast }$ произвольно взятой общей точки выражаются так:
$$\mathit{v}={\mathit{v}}_0†[\overline{\omega }\overline{OP}],{\mathit{v}}^{\ast }={\mathit{v}}_0^{\ast }+[\overline{\omega }\ast \overline{OP}].$$

Подставляя әти выражения в формулу (11), получим:
$${\mathit{v}}_0+{\mathit{v}}_0^{\ast }+\left[(\overline{\omega }+{\overline{\omega }}^{\ast })\overline{OP}\right]=0.$$

Учитывая же равенство (12), придем к тождеству:
$$[(\overline{\omega }-\overline{\omega })\overline{OP}]=0;$$

а так как тождество әто должно иметь место для любой точки, то мы получаем непосредственно:
$$\overline{\omega }=-\overline{\omega }.$$
10. Диференпиование векторов, отнесенних г подылжным оми. Если вектор $ซ(t)$, представляющий собой (ұункцию времени (ни какого-либо другого паракетра), отнесен к определенному триздру $Q{\xi }_i^{\prime }$, то его пронзводиая определяется, как вектор, компонентами которого служат пронзводные компонент $v_{\zeta },v_r,v_{\iota }$ вектора $\mathit{v}$ мы вгаем, что эта производная не меняетел, если мы заменяем триәдр $\xi \eta$ другим неподвижным относительно него триэдром Охуz. Әта производная, однако, вообще изменяется, еспи мы отнесем вектор $\mathit{v}(t)$ к другому триэдру, движущемусл относительно первого. Мы постараемся здесь установить, в какой зависимости находится эта производная от характера движеиия әтих средин друг относительно друга ${}^1$ ).
1) Содержание задачи можно паллядно себе уяснить из следующих соображений. Представим себе наблюдателя, пребывающего в среде Охуz и наблюдающего в ней в єаждый момент определенный вектор $\mathfrak{v}(t)$; это может быть, например, скорость некоторой точки $P$, движущейся относнтельно среды Охуz. Наблюдатель в моменты $t$ и $t+\mathrm{\Delta }t$ составляет векторы:
$$\mathit{v}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathfrak{o}(t)\text{ п }\frac{\mathit{v}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathit{v}(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

и предельным переходом определяет производную, которая в тексте обозначена через $\frac{d\mathit{v}}{dt}$ или $$. другой наб.дюдель. Вектор $\mathit{v}(t)$ в каждый момент отпечатлевается

Обозначим через $\frac{d_{a}v}{dt}$ производную (абсолютную) вектора $v$ относительно триәдра $Q{\eta }_{\eta }$, который мы и здесь для краткости речи будем называть неподвижныи; а через $\frac{dv}{dt}$ или $\mathit{v}$ будем обозначать (относительную) пропзводную вектора $v$ по отношению к подвижному триэдру Охуz. Введем теперь вспомогательний триэдр $O{x}_1{y}_1{z}_1$, имеющий то же начало, что и триэдр Охуz, но осп, параллельные осям жеподвижного триэдра и обращенные каждая в ту же сторону. Каково бы ни было двнжение точки $O$ относительно среды $Q\xi \eta$, компоненты вектора $\mathit{v}$ по осям $Q\preccurlyeq$ и $O{x}_1{y}_1{z}_1$ будут в каждый момент соответственно совпадать; поэтому производные вектора $v$ относительно этих двух триэдров не будут различаться между собой. Иными словами, при вылислении промогательному трнэцру $O{x}_1{y}_1{z}_1$.

Еслй теперь представия себе вектор $v$ приложенным в точке $O$ то его свободный конед $P$ будет, вообще говоря, совершать дикженне как относительно тридда $O{x}_1{y}_1{z}_1$, так и относительно оxyz; ири этом движение относптельно триәдра $O{x}_1{y}_1{z}_1$ можно будет рассматривать, как абсолютное — образуемое переносным движением снстеми Охуz относктельно триәдра $O{x}_1{y}_1{z}_1$ (которыӥ мы здесь будем считать неподвижным) т относи ельным движенпем точки $P$ по отнопению к Охуz. ікк как коордннатами гочки $P$ относительно триэдров $O{x}_1{y}_1{z}_1$ п $O$ одz соответственно служат $v_s,v_t,v_0$ п $v_x,v_y,v_z$, то два вектора $\frac{d_{t}v}{dt}$ и $\frac{dv}{dt}$ представляют собою не что иное, как абсолютную и относительпую скорость точки $P.0$ Обначпм, как обыкновенно, через аे угловую скорость $$
в среде ${\mathrm{\Omega }}_{\xi }^{\ast }$ в в внде некоторого вектора ${\mathit{v}}^{\ast }(t)$, который и видит второй наблодатель; он соетаптяет векторы:
$${\sigma }^{\ast }(t+\mathrm{\Delta }t)-v^2(t)$$
in
$$\frac{v^{\ast }(t+\mathrm{\Delta }t)-{\mathit{v}}^{\ast }(t)}{{\mathrm{\Delta }}^t}$$
3 по имм пэлучает пронзводную ${\mathit{v}}^{\ast }(t)$, которая в тексте отмечена через $\frac{d_a\mathit{v}}{dt}$ Задача закюючается в том, чтобы установить зависимость между этими двумя эти производные вообще различны, ясно из следующего простого примера. Ноложим, что негтор $\mathit{v}$ остается в среде Охуz постоянным тогда производная $\mathit{v}$ равна нулю. Іоложим, что среда Охуz вращается относительно ${\varrho }_{\eta }$ вокруг некотопой оси. Вектор $\mathit{v}(t)$ будет отшечатлеватьея на $\delta \xi \eta$ рядом векторов, рагположенных шо конической шоверхности; наблюдателю, находящемуся в этой среде, он уже не будет казаться постоянным, и пронзводная $\frac{d_{a}v}{dt}$ будет поэтому отичиа от нуля. (Ред.)

триәдра $Oxyz$ относительно $O{x}_1{y}_1{z}_1$, или, что то же, относительно выравится формулой:
$${\mathit{v}}_{:}=[\overline{\omega }\overline{OH}]=[\overline{\omega }\tau ],$$

так как начальные точки обоих триәдров все время совпадают, Применяя поэтому принцип относительных движений (рубр.2). мы получим следующее соотношение между скоростями обоих движений:
$$\frac{d_a\mathit{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}+[\overline{\omega }\mathit{v}].$$

Отсюда ясно, что обе производнне постоянно совпадают только в том случае, когда обращается в нуль векторное пропзведение $[\overline{\omega }\mathit{v}]$, т. е. либо когда скорость $v$ параллельна оси врацөния подвижного триәдра, либо же когда $\overline{\omega }=0$, т. е. пэдвижной триэдр совершает чисто поступательное движение.

К соотношению (13) можно приттп еще иным путем. Расоматривая вектор (переменный) $\mathit{v}$ как ориентированный отрезок $\overline{QP}$ (әто всегда возможно сделать бесчисленным множеством способов), диференцируем его относительно триэдров $9\xi r_6$ п $Оxyz;$ мы получаем:
$$\frac{d_a\mathit{v}}{dt}=\frac{d_a\overline{QP}}{dt}=\frac{d_{a}P}{dt}-\frac{d_{a}Q}{dt},\dot{v}=\dot{P}-\dot{Q};$$

а затем почленным вычитанием найдем:
$$\frac{d_a\mathit{v}}{dt}-\mathit{v}=(\frac{d_{a}P}{dt}-\dot{P})-(\frac{d_{a}Q}{dt}-\dot{Q}).$$

Каждый из двух членов правой части, заключенных в скобки, представляет собою разность абсолютной и относительной скорости одной и той же точки, а потому совпадает с переносной скоростью этой точки. Поэтому правая часть приводится к
$$[\overline{\omega OP}]-[\overline{\omega }\overline{OQ}]=[\overline{\omega P}\overline{QP}]=[\overline{\omega \mathit{v}}].$$

п мы, таким образом, вновь приходим к формуле (13).
11. Из формулы (13) непосредственно вытекают некоторые замечательные кинематические следствия. Применяя, прежде всего, әту формулу к угловой скорости, получаем:
$$\frac{d_a\overline{\omega }}{dt}=\frac{d\overline{\omega }}{dt}$$

әто значит: при движении твердой системы угловая ее скорость имеет ту же производную как омносительно неподвижного триэдра, так и относительно триэора, неразрывно связанного с этой системой.

Принимая поэтому во внимание тождество $\overline{\omega }=\omega$ vers $\omega$ п аамечая, что производная скаляра, очевидно, не зависит от триәдра, к которому мы ее относим, мы получаем из соотношения (14):
$$\frac{d_a\mathrm{vers}\overline{\omega }}{dt}=\frac{d\mathrm{vers}\overline{\omega }}{dt}$$

отсюда видно, что обе эти проиәводные обращаются в нуль совместно; это значит: если во все эремя движения твердой системи ось движения ижет в этой системе неизменное напраяление, то она сохраняет неизменное направление также в пространстве, и ооратно.
12. Наконец, формула (13) рубр. 10 дает еще возможность д)казать теорему, которую мы уже формулировали и применили в рубр. 16 предыдущей главы: всякое равномерное винтовое движение имеет при люоом центре приведения постоянъе характеристические векторы относительно подвижных осей.

В самом деле, обозначим, как обыкновенно, через $\overline{\tau }$ п — -составляющие скорости поступательно вращательного движения, a через ${\mathit{v}}_0$ и $\overline{\omega }$ — соответствующие характеристические векторы (относительно любого полюса $O$ ); как видно пз формулы (14), всякий раз, когда угловая скорость $\overline{\omega }$ представляет собою постоянный вектор отчосительно неподвижного триәдра, она остается постоянной также относительно подвижного триәдра, и обратно.

Что касается, далее, векторов $\overline{\tau }$ и ${\mathit{v}}_0$, то, прежде всего, согласно соотношению (16) предыдущей главы
$${\mathit{v}}_0=\overline{\tau }+[\overrightarrow{\omega \widehat{QO}}]\text{. }$$

Диференцируя это равенство по $t$ относительно неподвижного тридра в предположении постоянного $\overline{\omega }$, получим:
$$\frac{d_a{v}_0}{dt}=\frac{d_a\overline{\tau }}{dt}+\left[\omega \frac{d_{n}O}{dt}\right]=\frac{d_a\tau }{dt}+\left[\omega {\mathit{v}}_0\right].$$

Применяя, с другой стороны, к $v_0$ соотношение (13), найдем:
$$\frac{d_a{\mathit{v}}_0}{dt}=\frac{d{v}_0}{dt}+\left[\overline{\omega }{\mathit{v}}_0\right];$$

сопоставляя әто с предыдущим соотношением, получаем окончательно:
$$\frac{d{v}_0}{dt}=\frac{d_a\overline{\tau }}{dt}.$$

Это знатит: если угловая скорость а сохраняет постоянное (векторное) значение (как обнаружено в предыдущей рубрике, безразлично, является ли она постоянной относительно подвижного или неподвижного триәдра), производные вектора ${\mathit{v}}_0$ относительно подвижных осей и вектора $\tau$ относительно неподвижных осей совпадают; таким образом, если один из этих векторов обращается в нуль, то уничтожается и другой вектор.