17. До сих пор мы все время руководились более или менее непосредотвенной индукцией, которую мы всегда основывали на простых, хорошо нам зюакомых, явлениях, непосредственцо принадлежащих области наших ощущенвй.

Во всех рассуждениях, касавшихся этих явлений, и виндукцип, которую мы из них внводнли, речь всегда шла 0 силах п о движенпях. Но при этом не было отчетливо высказано, что речь пла всегда о движениях (а вместе с тем о скоростлх, о состоянии покоя, об изменениях скорости и ускорениях) относительно наблюдателл, назодящегося. в покое в данном месте, или, что то же, относительно осей координат, как-либо закрепленных в данной точке на поверхности земли; об этом пе было речи потому, что по ходу наших рассуждений это могло казаться излипним.

Однако Ньюотон пришел к пирокому обобщению принциіов механики, признав их применимыми не только к земным явлениям, но и к движениям небесных тел. Но при такого рода расширенцв принцигов динамики необходимо принять во внимание одно существенное осстоятельство, а именно выбор сиотемы отстета. После того как благодаря трудам Коперника, Кеплера и Галилея была установлена несостоятельность геоцентрической системы и было обпаружено, что движение различных планет приобретает более простой и однородный характер, когда мы его относим не к земле, а к солнцу, то, совершенно естественно, возникла мысль, что законы динамики, если они все же остаются справедыивыми, должны быть отнесены к какому-то телу менее частного характера, нежели наша земля. В соответствии с әтим Ньютон прямо допустил, что основное соотношение (5) должно оставатьсл в силе для изменений движения небесных тел (в частности для членов солнечной системы), если эти движения будут отнесены ктак называемым неподвижным звездам ${}^1$ ).

Как известно, под этим названием, по крайней мере до середины XVIII столетия, разумели светящиеся точки, отпосительное расположение которых считалось совершенно непзменним. Число их чрезвнчайно велико. Новейшие исследования ввездной астрономии, сделавшей за последние годы очень большие успехн, установили, что и звезды имеют собственное двнжение; обнаружены даже целые потокч их. При всем том эти смещенил настолько незначительны, тто можно считать вполне оправданвым термин систена отсчета, установленная по неподзшжным зсездам; в случаях, требующих исключительной точности, приходится руководиться статистическими средними ${}^2$ ). Однако здесь возникает серьезная трудность. Понятию о силе, при антропоморфическом его происхождении, заимствованном от мускульных ощущений, мы склонны приппеывать абсолютное значение, т. е. представляем себе, что сила не зависит от состояния движения или покоя наблюдателя. Дело обстоит протнвоположным образом по отношению к вектору $\mathit{a}$; последний разделяет относительный характер соответствующего движенія, а потому вообе меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (конечно, если только речь не идет о системах, находяцихся в пожоө одиа относительно другой). Таким образом, для произвольной материальной точки ускорение относительно неподвижных звезд это не то же $a$, которое представлялось бы наблюдателю на земле, ибо последняя, как хорошо известно, пмеет двойное движение: вращательное вокруг собственной оси и поступательное относптельно солнца; солнце же, в свою очередь, находитея в движении относительно неподвижных звезд, именно-несется к созвездию Геркулеса.
1) Строго говоря, Ньютон принимаз за ереду референции не неподвизные звезды, а пространство. Однако производить измерения, необходимые для того, чтобы определить положение тела относительно некоторой среды референции, мы имеем возможноеть, только ориентируясь на материальные тела. Такими телам. в вычисления Ньютона фактичеси служпли нешодвижные звезды. (Ред.)
2) Читатель, интересующийся углубленными исследованиями этого вопроса, найдет соответетвующий материал в прекрисном трактате по звездной астрономии проф. Армелэини (Armellini, Trattato di Astrowomia Siderale, Bologna 1928; см. в’ частности т. I, стр. 348 ).

Если бы разница между этими двумя ускорениями была настолько значительной, что ею нельзя было бы пренебречь, то ньютонова индукция, очевидно, была бы лишена надежного основання, потому что она распространяла бы на динамику мироздания принципы, экспериментально установленные и пригодные только для земной механики. Однако, в действительности, можно констатировать, основываясь на теории относительного движения, что разница этих двух ускорений тон же точки относительно земной и звездной систем отсчета незелика, и обычно для явленин, которые могут интересовать техника, ею можно вовсе пренебречь.
18. Чтобы это обнаружить, обратимся к теореме Кориолиса IV, рубр. 3):
$$a_a=a_{\tau }+a_r+2a_c.$$

За абсолютное мы здесь примем движение точки $P$ относительно звездной системы референции, а за относительное — движение той же точки относительно земли; переносным движением, таким образом, будет двнжение земли, которое, как выше было указано, нужно рассматривать как поступательно вращательное ${}^1$ ). Нам нужно вычислить порядок величины абсолютного значения разности между ${\mathit{a}}_a$ и ${\mathit{a}}_r$, т. е. вектора
$$a+2a_c\text{. }$$

В переносном ускорении ${\mathit{a}}_{\tau }$ рассмотрим отдельно слагающую, обусловливаемую годичным дєижением вемли, и другую слагающую, обуеловливаемую суточным ее вращением. В первом движении, имеющем поступательнын характер, все точки земли обл дают одним и тем же ускорением; его абсолютное эначение выражается через (II, рубр. 54):
$$\frac{c^2}{p}\frac{1}{{\rho }^2},$$

где $c$ есть удвоенная секториальная скорость, $p$-параметр земной орбиты, ар-расстояние вемли от солнца. Но по третьему закону Кеплера (II, рубр. 54):
$$\frac{c^2}{p}=4{\pi }^2\frac{a^3}{T^2},$$

где $a$ означает большую полуось орбиты, а $T$-время полного оборота земли; вследствие этого, подставляя вместо $a$ и р среднее расстояние вемли от солнца, составляющее около 150 млн.км,
1) Заметим, что мы здесь еще пренебрегаем движением, уносящим всю солнечную систему по направлению к созвездию Јиры; при современпом состоянии наших познаний это двшение представляется прямолинейням и однородным, а потому не оказывает никакого влияния на ускорение отдельұых тел (VI, рубр. 4).

т. е. $15\cdot {10}^{10}$ м, мы получаем дія выраженія пскомого ускорения (по крайней мере порядка его величины) в метрах в секунду:
$$\frac{4{\pi }^2\cdot 15\cdot {10}^{10}}{T}$$

если $T$ есть число секунд, содержицихся в годе. Это дает ускорение, несколько меньпее $1\mathrm{cm}$ в секунду, т. е. около $0,001\mathrm{g}$.

Чтобы вычислить порядок величины ускорения $a_{\tau }$, остается рассмотреть ускорение, вызываемое суточным вращением земли, угловая скорость которого по абсолютному значению равна $\omega =\frac{2\pi }{N}$, где $N$ обозначает число секунд, содержащихся в сутках, т. е. в промежутке времени, в течение которого вемля возвращается к прежней своей ориентации относительно неподвижных звевд. Если речь идет о секундах среднего звездного времени, то, по самому определению,
$$1\text{ сутки }={24}^h=(24\cdot 60\cdot 60{)}^{\prime \prime }={86400}^{\prime \prime };$$

если же, напротив того, речь идет о средием солнечном времени, как это обычно имеет менто, то продолжительность суточного обращения выражается несколько меньшим числом, именно 86164; поэтому $\omega =\frac{2\pi }{861(i4};$ вместе с тем, ускорение точки на расстоянии $\delta$ от полярной оси равно ${\omega }^{2\delta }$ (II, рубр. 33). Если мы предположим, что точка находится на поверхности земли на широте $\lambda$, и через $R$ обозначим радиус земли, то $\delta =R\cos \lambda$, а потому ускорение равно:
$$\frac{4{\pi }^{2}R\cos \lambda }{(86164{)}^2}.$$

Полагая здесь $\cos \lambda =\frac{1}{\sqrt{2}}$, т. е. предполагая $\lambda$ равным ${45}^{\circ }$ и подставляя для $R$ его средисе зеачение в 6371 км, мы найдем, что это ускорение песколько меньше 2,5 см в секунду.

Что касается, наконец, дополнительного ускорения, то оно, как известно (IV, рубр. 3), выражается формулой:
$${\mathit{a}}_c=\left[\overline{\omega }{\sigma }_r\right]$$

если для скорости $v_r$ примем вначение, не превншающее 60 м в секунду, каковое редко достигается в технике ${}^1$ ), то мы приходим к значенио, несколько меньшему 0,5 сл в секунду. Таким образом, в результате всего вычисления разница между ускорением точки относительно земли и относительно неподвияных ввезд является по сравнению с ускорением силы тяжести,
1) Этот предел опазывается в значітельной мере превзойденным в баллпстике, поскольку снаряды способны приобретать скорость в несколько сот метров в секунду. В этом случае вобице нельзя пренебрегать членом $a_c$. От әтого, собственно, и зависит одна из так называемых вторичных проблем внешней баллистики (т. II и гл. II).
которое можно принять ва основу в вычислениях технического значения, величиной порядка немногих тысячных. К әтому следует еще прибавить, что на практике допускается ошибка, значительно меньшая, потоху что обыкновенно, когда при вкчислении сил за систему отсчета принимают эемлю, делаются еще п другие поправки (XVI, рубр. 7); этим в большой мере компенсируется ошибка, проистекающая от замены звездной спстемы отсчета вемной.
19. Предыдущее вычисление дает элементарное оправданпе индукции, в силу которой оснсвному уравнению динамики (5) приписывается универсальное значение в отношении свода небесного (т. е. неподвижпых звезд); в противоположность әтому земную систему отсчета, которая нам послужила для первоначального установления принципов механики, мы впредь будем рассматривать как споссбную дать только приближенные результаты (правда, вполне достаточные для практических нужд). Әта точка зрения, которая, как мы сказали, возникла, вследствие стремления распространить ваконы механики на область астрономии, именно в ней нашла напболее блестящее и замечательное подтверждение.

В динамике обыкновевно принято называть абсолютиымвекое двияение, отнесенное к какой угодно спстеме отсчета (триөдру), которая сохраняет неизменное положение относптельно неподвижных звездили которуюможно, по крайней мере, считать таковой в пределах точности наших инструментов. В соответствии с этим соглашением, говорят, что основной постулат механики, т. е. соотношевие (5), выполняется полностью для абсолютного движения.

Будет полезно повторить, ито для двасеня зелных тел, каковъми, в частности, являются те, которыми мы пользуенся в техжичских приложениях, можио считать соотношение (5) справедливъия и по отношению $к$ зелной систеле; если это соотноиение в такол применении не соответспвует действительности со всею почностью, то эпо во всякон случае имеет несто с приближением, которое в огромном больиинстве случаев превосходит измерения, доступные физическим приоорам.
20. Галилеевы системы отччета. Чтобы в отношении системы отсчета устранить всякие несущественные ограничения, важно к изложенному прибавить еще одно замечание. бесного, а через $Q^{\prime }{\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime }{\sigma }^{\prime }$ обозначим второй триәдр, находящийея в равномерном поступательном движении относительно первого (т. е. в поступательном движении с постоянной скоростью, имеющем поэтому ускорение, равное нулю), то из теории относительных движений (IV, рубр., 4, а) следует, что ускорение какой угодно точки по отноению к триэдру ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }{\xi }^{\prime }{r}_i^{\prime }{\zeta }^{\prime }$ все время остается тождественным с ускорением той же точки отнобудет оставаться строго справедливъя всякий раз, как движение оудет опнесено $ж$ какому угодно тридру, находящелуся в равномерном поступательном дбижении относительно свода небесного, или, иными словами, относительно любого триэдра, оси которого сохраняют неизиенное направление, а начало совериат равномерное прялолинейное движение.

В дальнейшем, всякий раз как мы будем пользоваться уравнением (5), мы будем всегда предполагать, если не будет отчетливо оговорено противное, что движение отнесено к одному из триәдров, о которых мы только что говорила и которые мы будем называть галилеевыми трлдррами инерции. Это последнее название было предложено Эйнштейном в его первом мемуаре (1905) о теории относительности и с того времени повсюду припято. Оно представляется не только оправданным, но даже, так сказать, обязательным, поскольку в проивведениях Галилея в удивительно ясных и точных выражениях формулирован тот факт, что механические явления следуют тем же законам для двух наблюдателей, находящихся в равномерно поступательном движении друг относительно друга.

Заметим, наконец, что часто при постановке тех или иных проблем механики нам придется говорить о неподвижных точках, прямых или плоскостях. Под этим мы всегда будем разуметь точки прямые или плоскости, неподвижные относительно принятой в механике системи отсчета; в согласии с тем, что выше изложено, таковой является галилеева система или же, если мы можем удовольствоваться приближением, охарактеризованным в рубр. 18-19, триәдр, связанный с землен.