8. Равномерное движение по любой траектории. Скорость. Чтобн дать математксески точное выражение нашему представлению о различной быстроте, с которой может протекать двпжение во времени, мы поставим себя сначала в налболе простые условия. С әтой целью предположим, что нам задана траектория движущейся точки, которой может служить какая угодно кривая $l$; тогда для определения движения, как нам известно, достаточно располагать путевыл уравнениел:
\[
s=s(t) .
\]

В первую очередь, имея в виду наиболее простой тип дважений, обычно происходяших перед нашими глазами (видимое движение солнца, поезда, часовых стрелок и т. п.), мы предположим, что расстояние $s$, пройденное точкой $P$, пачиная от некоторого ее положения $P\left(t_{0}\right)$, принятого за начало расстояний, изменяется пропорционально промежутку времени $t-t_{0}$, в тетение которого оно пройдено движущися телом, это значит:
\[
\frac{s}{t-t_{0}}=\text { const. }
\]
1) Авторы и в әтом случае ушотребляют термин „diagramma orario“\»чясовая диаграмма“. Термином \»путевал диатрама\» или \»путевой графни\» обычно пользуютея в железнодорожнсй практике.
2 Если, например, точка $P$ движетея по заданной сфере, то удобно опредөлтть өе положение долготой ( $\left.q_{1}\right)$ в широгой ( $\left.q_{2}\right)$. Движение будет известно, если $q_{1}$ и $q_{2}$ будут заданы в функции зремени $t$. (Peд.)

Если обозначим эту постоянну через $v$, то путевое уравнение примет вид:
\[
s=v\left(i-t_{0}\right),
\]
т. е. пройденное расстолние представляет линейную функцию времени. И, обратно, всякое путевое уравнение, линейное относительно времени, очевидно, может быть представлено в виде (8).

Всякое движение описанного типа, путевое уравнение которого является линейным относительно времени, называется равномерным.

Опираясь на соотношевие ( $\varepsilon$ ), фиксируем два произвольные момента $t$ и $t+\Delta t$; расстояние $\Delta s$, пройденное точкой $P$ в определенный таким образом промежуток времени $\Delta t$, согласно уравнению (8), выражается формулой:
\[
\Delta s=v\left(t+\Delta t-t_{0}\right)-v\left(t-t_{0}\right)=v \Delta t,
\]

откуда
\[
\frac{\Delta s}{\Delta t}=v ;
\]

это значит: для пакого угодно прожежутка вренени $\Delta t$, наминиющгося в какой угодно нолент, отнсиение пройденного за этот иронежуток расстояния к продолжительности самого промежутка врелени имеет постоянное значение $v$.

Полагая, в частности, в соотношении (9) $\Delta t=1$, мы видім, что $v$ есть длина пути, пройденного точкой $P$ в единииу вренени. Это число $v$ называется скоростью рассматривемого равномерного движения. Сгорость представляет собою, таким образом, физическую (или точнее кинематіческую) величину нового типа, которая определяется как отношение некоторой длины к некоторому промежутку времени; если за единицу длины выбран метр, а за единицу времени секунда, то мы можем принять за единиц: скорости метр в секунду, т. е. скорость такого равномерног: движения, при котором цвижущаяся точка в каждую секунд: проходит по своей траектории метр пути.

Небесполезно будет показать, что только что данное определение скорости равномерного движения находится в полноу согласии с тем значением быстроты движения, которое мы с этиу понятием соединяем в обычной речи; в самом деле, еоли две точки $P_{1}$ и $P_{2}$ движутся равномерно со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$, то в один и том же промежуток времени $\Delta t$ они, согласно формуль (9), пробегают расстояния:
\[
\Delta s_{1}=v_{1} \Delta t \quad \text { п } \quad \Delta s_{2}=v_{2} \Delta t,
\]

и мы будем иметь:
\[
\Delta s_{1}>\Delta s_{2}, \Delta s_{1}=\Delta s_{2} \text { пли } \Delta s_{1}<\Delta s_{2},
\]

смотря по тому, будет ли
\[
v_{1}>v_{2}, v_{1}=v_{2} \text { или } v_{1}<v_{2} .
\]

9. До сих пор мы не делали никаких предположений относительно знака числа $v$. Между тем соотношение
\[
\Delta s=v \Delta t,
\]

в котором предполагаеть $\Delta t>0$ (т. е. промежуток $\Delta t$ рассматривается в его естественной последовательности по течению времени), показывает, что $\Delta s$ имеет тот же знак, что и $v$. Это означает, что за рассматриваемыи промежуток времени точка движется в сторону, принятую при отсчете криволинейных абсцисс за положительную, или в противоположную, в зависимости от того, имеет ли $v$ положительное или отрицательное значение. В соответствии с этим движение называется прогрессивным или регрессивнын. Таким образом скорость $v$, взятая со своим знаком, дает не только меру быстроты движения, но и сторону, в которую оно обращено. Полезшо, однако, предупредить, что, по большей части, говоря о скорости равномерного движения, имеют в виду не столько скорость, как она выше определена, сколько ее абсолютное значение.
10. Путевая диаграмма равномерного движения, внражаемая уравнением:
\[
s=v\left(t-t_{0}\right),
\]

представляет собою прямую, которая пересекает ось времени в точке $t=t_{0}$ (абсцисса начального момента) и имеет угловнм коәфициентом скорость $v$ (фиг. 31).
Диаграммы (прямолинейные) равномерных двнжений, нанесенные на миллиметровую бумагу, дают удобное средство для графического решения задач о скрещивании, настигании и тому подобных явлениях нескольких точек, равномерно двигающихся по одной и той же траектории (әкипажи по одной и той же дороге, поезда по тем же или параллельным рельсам). В частности, очень полезное применение эти диаграммы получают в так называемых железнодорожных графиках.
11. Скаларнал скорость какого угодно движения. Перейдем теперь к случаю, когда на любой заданной траектории определено движение своим путевым уравнением:
\[
s=s(t),
\]

где $s(t)$-какая угодно функция от $t$. Здесь вновь выберем промежуток времени $\Delta t$ от $t$ до $t+\Delta t$ и определим расстояиие, пройденное точкой $P$ за этот промежуток:
\[
\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t) ;
\]

отношение
\[
\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-8(t)}{\Delta t}
\]

[отношение наращения функции $s(t)$ к наращению независимой переменной, начиная со значения $t$ последней] называется средней скоростью движущейся точки за, промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$. Теперь заметим, что отношение (10) можно интерпретировать как (постоянную) скорость фиктивной точки $P^{\prime}$, которая равномерным движением описывает ту же кривую $l$, что и точка $P$ таким образом, что она в моменты $t$ и $t+\Delta t$ занимает те же положения на траектории, что и точка $P$. В течение самого промежутка $\Delta t$ движение точки $P$ может многообразно отличаться от движения фиктивной точки $P^{\prime}$ (она может сначала отставать от нее, затем догнать ее в определенный момент ит. п.). Но если вместо первоначально взятого интервала $\Delta t$ м возьмем меньший промежуток, начинающийся, однако, с того же момента $t$, и для него вновь вообразим фиктивную точку $P^{\prime}$, движущуюся равномерно и совпадающую с $P$ в начальный и конечный моменты интервала, то ясно, что эти два движения (истинное в фиктивное) уже будут друг от друга отличаться меньше, чем в предыдущем случае, и вообще тем меньше, чем меньше самый интервал $\Delta t$. Если мы поэтому будем представлять себе, что интервал $\Delta t$, последовательно уменьшаясь, стремится к нулю, то мы, естественно, придем к следующему определению:

Скоростью точки, двиюущейся по некоторой траеттории по путевому уравнению $s=s(t)$ в произвольный момент $t$, назъвается предел
\[
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t+\Delta t)-\boldsymbol{s}(t)}{\Delta t},
\]
т. е. зкачение производной $\dot{s}(t)$ от функции $s(t)$ в момент $t$ (каковая, согласно сделанным предположениям, непременно существует).

Если предыдущее определение применим к равномерному движению, т. е. к движению, имеющему путевое уравнение (8), то мы получим ту же постоянную $v$, которую мы уже назвали для этого случая скоростью двнжения.

Обратно, если движение имеет постоянную скорость $v$, то, интегрируя уравнение
\[
\frac{d s}{d t}=v,
\]

мы получим:
\[
s=v t+\text { const., }
\]
т. е. это движение равномерное. Мы отсюда заключаем, что равномерные движения характеризуются постоянством скорости каждого из жих.

В заключение полезно будет уже здесь отметить, что скорость, таким образом определенную, называют, правильнее, скалярной скоростью в отличие от векторной скорости, о которой будет речь внереди.
12. В силу известной геометрической интерпретации производной скорость в момент $t$ представлена на диаграмме движения угловым коэфицнентом касательной в точке, соответствующей абсциссе $t$. В зависимости от того, имеет ли производная $s(t)$, т. е. скорость движения, в момент $t$ положительное или отрицательное значение, функция $s(t)$ вблизи $t$ возрастает или убывает; иначе говоря, в каждом достаточно малом интервале, который следует за моментом $t$ или предшествует ему, движение является соответственно прогрессивным или ретроградным.

Если, далее, $\dot{s}(t)=0$, то в этот момент движущееся тело находится в состоянии остановки; на диаграмме этот момент изображается точкой, в котөрой касательная параллельна оси абсцисс; но в такой момент непосредственно не ясно, в какую сторону обращено движение; это требует более тщательного исследования. Как известно из анализа, чтобы в этом случае установить характер изменения функции $s(t)$, необходимо обратиться к дальнейшим производным; первая из них, которая не обращается в нуль, дает требуемое указание. Так, например, если остановимся на наиболее обычном елучае, когда $\ddot{s}(t)$ не обращается в нуль, то можно утверждать, что $s(t)$ имеет в этот момент $t$ максимум при $\ddot{s}(t)<0$ и минимум при $\ddot{s}(t)>0$; с точки зрения кинематической, это означает, что в момент $t$ сторона, в которую обращено движение, меняется; и именно, при $\ddot{s}(t)<0$ движение, прогрессивное до момента $t$ (вблизи него), становится регрессивным после него; при \»̈ (i) $>0$ происходит противоположіное обращение.

Наконец, црибавим еще, что движение называется в момент $t$ (или в промежуток от $t$ до $t+\Delta t$ ) ускоренным или замедленным, смотря по тому, имеют ли эти производжые общий знак или противоположные знаки.
13. Векторная скорость. До сих пор мы вычисляли скорость двикения, принимая во внимание только пути, проходимые точкой по траехтории. При этом мы совершенно не учитывали смещения точки $P$ в пространстве; в самом деле, выражение $\dot{s}(t)$, принятое нами за (скалярную) скорость движения, вовсе не изменнлось бы, если бы мы изменили траекторию (скажем, изогнули бы ее в пространстве без растяжения), но сохранили бы то же путевое уравнение, т. е. тот же закон движения точки по траектории. Между тем, для нас важно установить способ измерения скорости, который характеризовал бы также смещение точки в пространстве.

Возвратимся для этого к уравнению движения точки $P$ :
\[
P=P(t)
\]

или в декартовых координатах, отнесенных к триәдру Охуz:
\[
x=x(t), y=y(t), z=z(t) .
\]

Рассмотрим теперь смещение $\Delta P$, которое претерпевает точка $P$ в произвольный промежуток времени $\Delta t$ от момента $t$ до момента $t+\Delta t$ (фиг. 32); вектор
\[
\Delta P=P(t+\Delta t)-P(t),
\]

очевидно, представляет собою ето смещение, соответствующее скалярному значению $\Delta t$ нашего интервала. При этих условиях вектор
\[
\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t},
\]

приложенный в точке $P(t)$ и имеющий прямой действпя прямую $P(t) P(t+\Delta t)$, а своими скалярными компонентами
\[
\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}, \frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}, \frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t},
\]

называется средней векторной скоростью за рассматриваемый промежуток времени.

Если тегерь, сохраняя момент $t$, будем уменьшать пнтервал $\Delta t$, неограниченно приближая его к нулю, то средняя векторная скорость будет стремиться к предельному вектору
\[
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t}=\frac{d P}{d t}=\dot{P}(t),
\]

приложенному в точке $P(t)$ и имеющему компонентами скалярные производные
\[
\dot{x}(t), \dot{y}(t), \dot{z}(t) \text {. }
\]

Функцию $P(t)$ мы можем рассматривать как функцию от криволинейной абсциссы $s$ точки $P$, а скаляр $s$-как функцию времени $t$. Диференцируя сообразно этому $P^{\prime}$ как сложнув функцию, получим:
\[
\dot{P}=\frac{d P}{d s} \dot{s}(t)=\dot{s}(t) t .
\]

где $t$, как и в рубр. I, 75, означает единичный вектор, направленный по касательной к траектории в точке $P(t)$ п обращенный в сторону нарастающих $s$. Найденное выражение для вектора $\dot{P}(t)$ непосредственно обнаруживает, что он имеет длину, равную абсолютному значению $|\dot{s}(t)|$ скалярной скорости точки $P$ в тот же момент $t$, что он направлен по касательной к траектории в точке $P(t)$, что он при этом обращен в сторону вектора $\boldsymbol{t}$ (т. е. в сторону возрастающих значений $s$ ) или в противоположную, в зависимости от того, имеет ли $\dot{s}(t)$ положительное или отрпцательное значение, а это равносильно тому, что вектор $P(t)$ всегда обращеп в сторону движения.

Все эти соображения оправдывают введение нового понятия векторной скорости точки $P$ в момент $t$, под которой именно и разумеют вектор $\dot{P}(t)$, т. е. производную от $P(t)$ по времени, отнесенну к рассматриваемому моменту $t$.
Мы положим:
\[
\boldsymbol{v}(t)=\dot{P}(t)
\]

и впредь, говоря просто о скорости точки, всегда будем разуметь именно эту векторную скорость $v$; число же $\dot{s}(t)$ мы, как уже было указано выше, будем впредь всегда называть скалярной скоростью. Если же нужно будет рассматривать, как нам это пногда придется, абсолютное значение $v=|\dot{s}(t)|$ векторной скорости, то мы можем его называть напряжением скорости ${ }^{1}$ ).

Между скоростью и әлементарным смещением в силу опре. деления всегда существует соотношение
\[
d P=\boldsymbol{v} d t,
\]

и если мы выберем произвольную постоянную точку $O$, например, начало координат, то (I, pyбр. 71):
\[
\frac{d \overline{O P}}{d t}=\frac{d P}{d t}=\boldsymbol{v}(t) .
\]
14. Внутренний характер скорости. Чтобы определить движение точки $P$, мы должны были установить, как систему координации, определенный координатный триәдр Охуz. Если вместо этого мы выберем другой триәдр $Q \xi \eta^{6}$, неподвиэный относительно первого, то (декартовы) уравнения (2) движущейся точки $P$ изменятся (именно, подвергнутся соответствующему преобразованию координат), но векторная скорость от этого не изменится, подобно тому как не изменятся ни форма траектории, ни закон движения по ней (путевое уравнение).

Это становится очевидным, если уяснить себе внутренний по отношению к движению характер определения скорости; но к этому можно прктти и следуюцими точными соображениями. Оо́означим через $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, основные версоры триәда Оху $x(t), y(t), z(t)$ координаты точки $P$ в момент $t$. По отношению к этому триэдру мы будем иметь во всякий момент (I, pубр. 18):
\[
\overline{O P}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z k ;
\]

но это геометрическое уравнение определит, конечно, движение точки $P$ и по отношению к любому другому триәдру, если мы в каждом отдельном случае отнесем к новому триздру как точку $P$, так и векторы $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$.
1) Термин введоп авторами настоящего сочннения. (Pсд.)

Положим, соотнотение (11) отнесено к триәдру Qђท; мы получим выражение векторной скорости, диференцируя обе части этого уравнення по $t$. Так как по отношению к триэдру Qฑи५, по предположению, неподвижному относительно триэдра Охуz, точка $P$ и векторы $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, k$ остаются постоянными, то мы получаем:
\[
\dot{\boldsymbol{P}}=\dot{x} \boldsymbol{i}+\dot{y} \dot{j}+\dot{z} \boldsymbol{k}
\]

отсюда следует, что и при новом триэдре координации векторною скоростью служит тот вектор, который имеет в системе Охуz компоненты $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$.

На языке декартовой аналитической геометрии это означает следующее: можно вычислить компоненты векторной скорости относительно триэдра Охуz и потом произвести преобразование зование координат, ұ затем вичислить компоненты векторной скорости относительно $Q \gamma_{\eta}$; результат получится одйн и тот же. Можно это выразить коротко, в современной терминологии, если сказать, что компоненты скорозти конгредиентны координатам точки ${ }^{1}$ ).
1) Остановимся еще на рассулденпя настоящей рубриги. Прежде всего о самом понятии „внутренний характер“ скорости. \»Внутренними свойствами“ геометрического или механического объекта (carattere intrinseco) называютея такие свойства, которые получены аналитическими средетвами, но не зависят от координации, характеризуя действительно геометрическое или механическое евойство объекта. Чтобы обнаружить, что тот или иной вывод приводит, действительно, $x$ „внутреннежу свойству“ объекта, можно поступить двояко. Во-первых, можно определить это свойство чисто теометрическими или механическими соображениями, и тогда результат вычисления не может зависеть от координации. Так, пропзводная функция точки $P(t)$ есть предел вектора, представляющего собою смещение точки $\Delta P$, разделенное на скаляр $\Delta t$; это определение свободно от каких бы то ни было координатных соображений и потому устанавливает „внутренне“ связанное с фунгцией точки $P(t)$ понятие о производном векторе $\dot{P}(t)$. Определяя векторную скорость движущейся точки как пронзводную $\dot{\boldsymbol{p}}(t)$, мы устанавливаем , внутренний“ харак тер этого понятия. Во-вторых, можно найти аналитическое выражение устанавливаемой величины и затем доказапь, что оно не меняется (остается инвариантным) при преобразовании координат; в настоящей рубрике авторы при водят именно такое доказательство инеарианпности векторной скорости. Но и самое содержание доказательства, быть молет, недостаточно ясно; оно заклютаетел в следующем. При кординатьом триэдре Охуz и основных версорах $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ имеет место соотношение (11), которое приводит к выражению скорости (11а). Положим, что по отношению к трнәдру $\Omega^{*} \eta^{*}$ координаты точки $P$ суть $\xi^{\prime} \eta_{2}^{\prime}$, а основные версоры суть $i^{\prime}, j^{\prime}, k^{\prime}$. Тогда в среде $Q \xi^{\prime} \eta^{\prime}$
\[
\overline{Q P}=\xi i^{\prime}+\eta j^{\prime}+\zeta k^{\prime},
\]
\[
\dot{\overline{\Omega P}}=\dot{\xi} i^{\prime}+\dot{\eta} j^{\prime}+\dot{\zeta} \vec{k}^{\prime} .
\]

Но так как второй триәдр останется неподвижным относительно первого, то с одной егороны,
\[
\overline{\Omega P}=\overline{O P}+\overline{\Omega O},
\]

Важно еще отметить тут же, что все эти соображения справедливы в том предположении, что триэдр Оॄฑб остается неподвижным относительно триәдра Охуz; обстоятельства складываются совершенно иначе, если новый триәдр движется относительно первоначального; әто мы увидим ниже (гл. IV).
15. В случае плоского движения скорость всегда расположена в плоскости движения, так как она направлена по касательной к траектории. Точно так же в случае прямолинейного движения скорость во всякий момент направлена по прямой, по которой происходит движение.

Обращаясь вновь к движению точки $P$ в пространстве, рассмотрим движение
\[
x=x(t), \quad y=y(t)
\]

ортогональной проекции $P_{1}$ точки $P$ на плоскость $z=0$ (рубр. 5), скорость точки $P_{1}$ представдяет собою вектор, лежащий в той же плоскости и имеющий компоненты $\dot{x}(t)$ и $\dot{y}(t)$; иными словами, әтот вектор представляет собою проекцию скорости точки $P$ на плоскость $z=0$. Точно так же скорость ортогональной проекции $P_{g}$ точки $P$ на ось $z$ представляет собою цроекцию на эту ось скорости точки $P$. Так как, с другой стороны, каждую неподвижную плоскость мы можем принать за плоскость $z=0$ и всякую (перпендикулярную к ней) прямую за ось $z$, то мы приходим к следующему зањлючению:

Если точка $P$ движется в протранстве, то скорость $\boldsymbol{v}_{1}$ ее ортогональной проекции $P_{1}$ на произвольную плоскость (непөдвижную) или на произвольную пря.жую (тажже неподвижную) совпадает с ортогональной проекией на ту же плоскость или, соответственно, на ту же пря.мую скорости $\boldsymbol{v}$ почки $P$.

Сопоставляя это с тем, что нзложено в рубр. 5, мы можем егце сказать: если дбижение точки $P_{\text {в }}$ пространстве разложено на три прялолинейные движения по трем попарно взаимно перпендипулярным прямым или плоское движение и перпендикулярное ему пряжолинейное дөижение, то скорость движения точки $P$ в каждый момент представляет собою сумму (результируюиую) скоростей слагающих движений.
16. Движения с постолнной скоростью. В рубр. 8 ми видели, что равномерные движения (по любой траектории) характеризуются постоянством их скалярной скорости. Рассмотрим теперь движение более частного типа, пропсходящее с постоянной векпорной скоростью.

Если $\boldsymbol{v}$ есть постоянная скорость движения, то мы можем выбрать триәдр Охуz так, чтобы ось $x$ имела направление и сторону обращения вектора $\boldsymbol{\eta}$; тогда компоненты последнего будут

где $\overline{\Omega O}$ — постоднный вектор. С другой стороны, и для обитателя среды $Q^{2} \eta$ \» $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ остаютея тремя неподвижными версорами (правда, это для него не основные версоры): для него остаются в силе соотношения (11) и (11a), т. е.
\[
\dot{\overline{\Omega P}}=\dot{\overrightarrow{O P}}, \quad \dot{x} \boldsymbol{i}+\dot{y} \boldsymbol{j}+\dot{z} \boldsymbol{k}=\dot{\xi} \boldsymbol{i}+\dot{\eta} \boldsymbol{j}+\dot{\zeta} \boldsymbol{k} \text {. (Ред.) }
\]

иметь значения $v, 0,0$, где $v$ есть длина его. Выражая аналитически, что движущаяся точка $P(x, y, z)$ имеет заданную скорость $v$, мы получим три уравнения (диференциальных):
\[
\frac{d x}{d t}=v, \quad \frac{d y}{d t}=0, \quad \frac{d z}{d t}=0 .
\]

Интегрируя их, мы получаем уравнения движения:
\[
x=v t+c_{1}, \quad y=c_{2}, \quad z=c_{3},
\]

где $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ суть постоянжые иніегрирования.
Выбирая эти три постояннье произвольно, мы получаем $\infty^{3}$ движений, имеющих данную векторную скорость; все они, как это явствует из уравнений (12), имеют траекториями прямые линии (при нашей координации — параллельные осп абсцисс), по которым движение происходит равномерно; таким образом всякое движение, имеющее постоянную векторную скорость, есть прямолинейное и равномерное.

Чтобы индивидуализировать каждое такое движение, т. е. чтобы определить значения постоянных интегрирования, достаточно задать положение, которое движущаяся точка должна занимать в какой-либо момент $t_{0}$ : если $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ суть координаты әтого „начального“ положения точки $P$, то уравнения движения принимают вид:
\[
x=x_{0}+v\left(t-t_{0}\right), \quad y=y_{0}, \quad z=z_{0},
\]

в чем мы убеждаемся, подчиняя уравнения (12), вернее, содержащиеся в них произвольные постоянные, тому условию, чтобы при $t=t_{0}$ координаты $x, y, z$ получали значения $x=x_{0}, y=y_{0}, z=z_{0}$.

Эти задания — координаты движущейся точки в начальный момент $t_{0}$ — называются начальжыми условиями движения.
17. Движеняя с заданною скоростью. Соображения предыдущей рубрики приводят к более обтей задаче о разыскании движений, совериающихся с заданной скоростью, хотя оы и переменной.

Если $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ суть компоненты скорости $\boldsymbol{v}$, представляющие собою функции от $t$, то координаты $x, y, z$ должны изменяться в функции от $t$ таким образом, чтобы удовлетворялись диферендиальные уравнения:
\[
\frac{d x}{d t}=v_{x}, \quad \frac{d y}{d t}=v_{y}, \quad \frac{d x}{d t}=v_{z} .
\]

Так как скорость $v$ предполагается заданной, то ее компоненты суть заданные функции времени; мы предполагаем их интегрируемыми. Тогда уравнения (13) интегрируются в трех квадратурах.

Обозначая через $t_{0}$ момент в промежутке времени, для которого задана скорость $v$, мы получим:
\[
x=\int_{t_{0}}^{t} v_{x} d t+c_{1}, \quad y=\int_{t_{0}}^{t} v_{y} d t+c_{2}, \quad z=\int_{t_{i}}^{t} v_{z} d t+c_{3} .
\]

Как п выпе, присутствие трех произвольных постоянных обнаруживает, что существует $\infty^{3}$ движений, удовлетворяющих требованию. Каждое из них определяется, если задано положение движущейся точки в какой-либо момент, например, если известно, что в момент $t_{0}$ движущаяся төчка занпмает положение $P_{0}\left(x_{0} y_{0} z_{0}\right)$. Уравнения двияения имеют в таком случае вид:
\[
x=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} v_{x} d t, \quad y=y_{0}+\int_{t_{0}}^{t} v_{y} d t, \quad z=z_{0}+\int_{t_{0}}^{t} v_{z} d t .
\]

Эти уравнения можно объединить в одном векторном уравнении:
\[
\overline{P_{0} P}=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}(t) d t
\]

где под $P=P(t)$ разумеем положение движущейся точки в момент $t$. Это соотношение мы могли бы получить и непосредственно, интегрируя векторное уравнение:
\[
\overline{P_{0} P}=\boldsymbol{v}(t),
\]

эквивалентное уравнениям (13).
Уравнение (14) обнаруживает, в каком соотношении находятся между собой $\infty^{3}$ движений, имеющих ту же скорость $\boldsymbol{y}$. Сравним два таких движения, например, движение общего вида (14) и движеніе точки $P^{\prime}$, которая при той же скорости $v$ находится в момент $t_{0}$ в начале координат $O$. В применении к движению точки $P^{\prime}$ уравнение (14) примет вид:
\[
\overline{O P^{\prime}}=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v}(t) d t .
\]

Следовательно, $\overline{O P^{\prime}}=\overline{P_{0} P}$ равенство этих векторов влечет за собою равенство векторов $\overline{P P^{\prime}}=\overline{P_{0} O}$ (фиг. 33).

Так как $P$ есть положение первой Фиг. 33. точки в любой момент $t$, а $P^{\prime}$ — положение в тот же момент второв точки, то. траектория второй движущейся точки отличается от траектории первой только тем, что все ее точки смещены наодин и тот же вектор $\overline{P_{0}}$. Таким образом векторной скоростью, заданной в функции времени, траектория движущейся точки геометрически определяется вполне; в зависимости от начального положения, она может быть только смещена в пространстве параллельно самой себе на оппеделенный вектор; не претерпевает при этом никакого изметения м путевое уравнение.

18. Обратимся теперь к еще более общему случаю, когда скорость движущейся точки задана в функции не одного только времени, но и самого положения точки, т. е. когда
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(P / t) .
\]

В этом случае компоненты скорости $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ заданы в функции четырех переменных $x, y, z, t$; задача сводится к разысканию трех функций времени $x, y, z$, удовлетворяющих системе диференциальных уравнений первого порядка:
\[
\left.\frac{d x}{d t}=v_{x}(x, y, z, t), \frac{d y}{d t}=v_{y}(x, y, z, t), \frac{d z}{d t}=v_{z}(x, y, z, t)^{1}\right) .
\]

В этом случае решение задачи требует, таким образом, как говорят обыкновенно, интегрирования системы диференциальных уравнений (15). Как известно из анализа, әто интегрирование, вообще, не может быть выполнено в квадратурах и тем менее в конечном числе элементарных функций; әто можно только сделать путем разложения неизвестных функций в ряды. Во всяком елунае, при достаточно широких условиях для функций четырех переменных $v_{x}, v_{y}$, $v_{z}$ доказывается, что система (15): допускает бесчисленное множество решений, которые в совокупности составляют общий интеграл, зависящий от трех произвольных постоянных; однако они, как правило, не носят характера аддитивных постоянных ${ }^{2}$ ).

Таким обрагом и в этом общем елучае также существует $\infty^{3}$ различных движений, имеющих данную скорость $v$; и в этом случае, располагая тремя произвольными постолнымин, можно выделмть одно из этих движений, если пптребовать в виде начальных условий, чтобы движущаяся точка в некоторый определенный (начальный) момент проходила через данное положение в пространстве. Понятно, конечно, что при әтих условиях переход от одного из $\infty^{3}$ дгижений к другому связан с изменением как вида кривой, так и путевого уравнения.
1) Заметим, что система дифөренциальных уравнений (15) эквивалентна. одному векторному уравненню:
\[
\dot{P}=f(P, t),
\]

которое часто допускает непосредственное интегрированіе без перехода к соответствующей скалярной системе. (Ред.)
2) Полезно напомнить, что для сисгемы обыкновенных совокупных диференциальных уравнений, число которых равно чиелу неизвестных функций и которые разрешаются относительно производных выспих порядков, вообще, существует система интегралов, зависящих от произвольных постоянных, число которых равно сумме порядков высших производных. Так, например, общий интеграл систы диференциальных уравнений
\[
\ddot{u}=\varphi(t, u, \dot{u}, v, \dot{v}, \ddot{v}), \dddot{v}=\psi(t, u, \dot{u}, v, \dot{v}, \ddot{v})
\]

вагиснт от пяти произвольных постоянных.