76. Пусть $v$ будет переменный вектор, представляющий слбой гепрерывную функцию параметра $t$ в некотором интервале $\left(t_{0}, t_{1}\right) ;$ пусть $X, Y, Z$ будут соответствующие компоненты.
При этих условиях будут вполне определюпы интегралы:
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} X d t, \int_{t_{0}}^{t_{2}} Y d t, \int_{i_{0}}^{t_{1}} Z d t .
\]

Вектор $I$, имеющий значения этих интегралов своими компонентами, называется определенны интегралои вектора $у$, взятым в интервале $\left(t_{0}, t_{1}\right)$, и обозначается символом:
\[
\boldsymbol{I}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} v d t .
\]

Очень легко показать, что определенный таким образом пптеграл / можно, действительно, рассматривать как предел суммы (векториальной), которая получается, если разделим интервал $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ на әлементы $\Delta t$ и любое значение вектора $v$ внутри каждого интервала $\Delta t$ помножим на его длину $\Delta t$, а затем полутенные таким образом произведения (векторы) сложим ${ }^{1}$ ).
1) Еели мы составим компоненты каждого слагаемого, то они, очевидно, выразятся произведениями $X^{\prime} \Delta t, \ell^{-\prime} \Delta t, Z^{\prime} \Delta t$, где $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ суть компоненти взятого внутри интервала $\Delta t$ вектора 0 . Поэтому ьея векторная сумма $\sum v \Delta t$ будет иметь компонентами суммы
\[
\sum X^{\prime} \Delta t, \quad \sum Y^{\prime} \Delta t, \quad \sum Z^{\prime} \Delta t
\]

имеющи своими пределами приведенные в текете ивтгралы, которыми

77. Если вместо постоянного интервала ( $\left.t_{0}, t_{1}\right)$ возьмем пнтервал $\left(t_{0}, t\right)$, в котором верхний предел $t$ является перемениым, то соответствующий интеграл:
\[
\boldsymbol{I}(t)=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{v} d t,
\]

есть вектор, представляющий собой функцию параметра ; әта функция, очевидно, имеет своей производной $\boldsymbol{v}(t)$; иными словами, из соотношения (39) следует:
\[
\frac{d \boldsymbol{I}(t)}{d t}=\boldsymbol{v}(t) .
\]

Если представим себе, что вектор $\boldsymbol{I}(t)$ приложен в постоянной точке $O$, то свободный конец этого вектора есть точка $P(t)$, также представляющая собою функцию параметра $l$; эта функция пмеет своей провзводной вектор $v$ (рубр. 68).
78. Определение, данное в рубр. 76, допускает обобщение. Если вектор $v$ представляет собою функцию точек некоторой области $C$ (какой угодно – криволинейной, поверхностной, пространственной), то вектор, имеющий компонентами скаларные интегралы
\[
\int_{c} X d C, \int_{c} Y d C, \int_{c}^{Z} Z d C,
\]

обозначаетсл символом
\[
\int_{c} v d C
\]

п называется интегралом от функции $\boldsymbol{v}$, взятнм по области $C$. Отметим, что и в этом случае остается в силе формула
\[
\int \boldsymbol{v} d C=\lim \Sigma v \Delta C,
\]

каж и в случае области одного измерения (рубр. (1).