33. Учению о жоменте вектора предпошлем некоторые соображения качественного свойства огносительно стороны обращения двух ориентированных прямых $r$ и $r^{\prime}$, не принадлежащих одной плоскости.

Если через одну из этих пряиых, скажем, через $r$, проведе: плоскости, проходящие через точки $A, B, C, D, \ldots$ другой прямой $r^{\prime}$, следующие одна за другой в сторону ориентации последней, то образуется пучок плоскостей (фиг. 15), и сторона обращения луча $r^{\prime}$ определяет сторону обращения пучка. Относительно оси $r$ (т. е. относительно наблюдателя, стоящего на оси $r$ так, что сторона обращения от ног к голове совпадает со стороной обращения оси $r$ ) последовательность проекцин пучка (или, если угодно, соответствующее враще ние) будет іредставляться правостороннєй или левосторонней. Но легко видеть, что вращение вокруг оги $r$, определяемое осьп $r^{\prime}$, будет того же типа (правостороннее или левостороннее), что и вращение вокруг оси $r^{\prime}$, опредөляемое осью $r$.

Две ориентированные прямые ${ }^{r}$ и $r^{\prime}$, не лежаиие в одной плоскости, имеют дру относительно друга правостороннее или левпстороннее расположение, смотря по тону, определяют ли они одна вокруг другой правостороннее или левостороннее вращение (в установленном смысле слова).

Определение правостороннего и левостороннего расположения непосредственно распространяется и на два приложенных не. компланарных вектора $\overline{A B}$ п $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$, а также на смешанную пәру (ориентированная прямая и приложенны й вектор, не лежащие в одной плоскости) в том смнсле, что тот же критерий применяется в этом случае к ориептированным по стороне обраще ния вектора прямым их действия (рубр. 3).
34. Если дан приложенны ви вектор $\overline{A B}=\boldsymbol{v}$ п точка $P$ (фиг. 16), то векторное произведение
\[
\left.M=[\overline{P A}, \overline{A B}]=[\overline{P A} v]^{1}\right)
\]

называетс моментом приложенного вектора $\boldsymbol{v}=\overline{A B}$ относительно почки или полюса $P$.

Очень важно точно фиксировать геометрический смысл этого определения: если мы будем иметь в виду общий случай, когда вектор $\overline{A B}$ отичен от нуля и не расположен с полюсом $P$ на одной прямой (так что векторы $\overline{P A}$ и $v$ не коллинеарны), то момент $M$, будучи приложен в полюсе $P$, перпендикулярен к пло-
1) Т. е. векторное произведениө радирса-вектора точхи приложения $A$ относнтельно волюса $P$ на вектор $\boldsymbol{v}$. (Pєд.)

скости $P A B$ и имеет относительно $\overline{A B}$ правостороннее расположение; длина же его численно равна площади параллелограма, построенного на отрезках $P A$ н $A B$, или, иначе говоря, равна произведению длины $v$ приложенного вектора на расстояние полюса $P$ от прямой дейстьия этого вектора.

В случаях, которые мы исключили, когда $\boldsymbol{v}=0$ или когда линия действия вектора $\boldsymbol{u}$ проходит через полюс, совершенно ясно, что момент $M$ обращается в нуль (рубр. 21).

Если отнесем вектор $\boldsymbol{v}$ п точки $P$ п $A$ к триәдру ортогональных декартовых координат и обозначим компоненты вектора $ฑ$ через $X, Y, Z$, координаты точкн $A$ — через $x$, $y, z$, а координаты точки $P$ — черев $a, b, c$, то компоненты радиуса-вектора $\overline{P A}$ булут

Фиг. 16. $x-a, y-b, z-c$; компоненты же момента $M$ по формулам (20) будут иметь значения:
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=(y-b) Z-(z-c) Y \\
M_{y}=(z-c) Y-(x-a) Z \\
M_{z}=(x-a) Y-(y-b) X .
\end{array}
\]
35. Перейдем к определению осевого момента, т. е. отнесенного не к точке, а к ориентированной прямой $r$ общего расположения. Для этого важно установнть следующее предложение. Еолпонента по направению $r$ номента приложенного вектора относительно любой точки $P$ той же прямой $r$ не зависит от положения точки на этой прялой. Чтобы это доказать, достатопно принять прямую $r$ за ось $z$; тогда қоординаты точки $P$ будут 0,0, с. Последпяя из формул (27) примет вид:
\[
M \dot{I}_{z}=x Y-y \mathrm{X}
\]

и покажет, что компонента $M_{\varepsilon}$ не зависпт от $c$, т. е. не зависит от положения точки $P$ на оск (по прямой $r$ ).

Этим оправдывается следующее определение: nөд моментом $M_{\tau}$ вектора, приложенного в точке $A$, относительно ориентированной прямой $r$ разумеют компоненту по направлению $r$ момента вектора $\boldsymbol{v}$ относительно любо точки этой прямой.

Для цротивополөжения осевсну моменту принято называт момент вектора относительно тсчки или полюса полярным ${ }^{1}$ ).
36. Если $u$ есть единичный вектор, имеющий направление в сторону обращения ориентированной прямой $r$, то осевой момент $M_{r}$ можно представить (рубр. 20) в векториальной форме смепанным произведениез:
\[
M_{r}=u[\overline{P A}, \overline{A B}]=u[\overline{P A} v]
\]
1) Важно отчетливо себе уяспить, что пояярный момент вектора есть вектор, а осево момент есть скаляр. (Ред.)

отсюла следуст (рубр. 29), что $M_{r}$ имеет положительное или отрицательное значение в завнсимости от того, образуют ли трч вєктора $и, \overline{P A}$ п $v$ правосторонний или левосторонний трпэдр, т. е. имеет ли вектор $\boldsymbol{л}$ относительно ориентированяой оси правосторондее или левостороннее расположение; абсолютное же виченге числа $M_{r}$ равно объему параллелепипеда, построєнного на векторах $u, \overline{P A}$ и $\boldsymbol{v}$ поәтому $M_{r}$ обращается в нуль (помимо тривильных случаев $\mathrm{q}=0$ кли $\frac{r}{P A}=0$ ) только в том случае, когда векторы $u, \overline{P A}$ п $\overline{A B}$ компланарнн, т. е. когдапрямая деӥствия вектора $v$, приложенного в тичке $A$, компланарна с осюю $r$ (т. е. с прямой действия вектора $и$, приложенного в точе $P$ ). Если исключить эти случаи, когда $\mu_{r}$ обращается в нуль, можно получить для него весьма простое выражение следующим образом.
Построкм общий перпендикуляр к прямым $A B$ и $r$ (фиг. 17); длина о отрезка этого перпендикуляра, проходящего мөзду пржмыми, выражает кратчайшее расстояния между ними. Основание $P$ гтого перпенді куляра напрямой $r$ примем за полгос. Тогда длина полярного момента $M$ вектора $\boldsymbol{v}$ отно. сительно точки $P$ выражается произведендем $v \hat{\delta}$. Если теперь обозначим через намиеньшин угол неорнентированних прями $r$ и $A B$, то натменьший угол уежду $r$ и прмой действия (толе ге ориентированной) вектора $M$ есть доголпение угла $\theta$; поэтому абсолютное значение яомента $M_{r}$ даетс выржением $v \delta \sin \theta$; в связін с тем, то было сказаұо выше, мы отсюда заключаем, что
\[
M_{r}= \pm 20 \sin \theta
\]

с верхним шли нижним пнаком, смотрл по тому, имеет ли пртложенный вектор $\boldsymbol{v}$ правостороннее или левостороннее располи. жение относительно ориештированной\»прямой $r$.