4. Случай веся. В движении тяжелых тел мы различаем два различных элемента: вес тела и начальные условпя его движения. Галилей впервые установил законы свободного паденил тела. Он показал, что при таком падении тела наращения скорости в равные промежутки времепи по вертикали остаются постояпными; это значит: ускоренне этого движения остается постоянным. Далее, для изучения общего случая двпжения тела, как угодно брошенного, он руководился понятием о независимости денствий. Он усмотрел, что в общем случае движення произвольно брошенного тела должно происходить то же, что и при свободном падении его: ускорение должно остагаться постоянным, т. е. оно не зависит ни от каких обстоятельств, в том числе и от скорости тела в каждый момент. Опыт вполне подтвердил әту интуицию.

С постоянством пзменения скорости здесь связывается факт большой важноетв, заключающийся в том, что и вес тела остается постоянным во всех фактически возможных условиях двнжения. Можно поэтому смотреть на постоянство ускорения, как на результат непрекращающегося действия постоянной силы „веса“, проявляющегося совершенно одинаково, какова бы ни была скорость движущегося тела.

Полученнный результат можно выразить иначе так: при движении тяжелого тела вес определяет в течение каждого промежутка времени $\mathrm{\Delta }t$ изменение скорости $\mathrm{\Delta }v$ по вертикали, пропорциональное $\mathrm{\Delta }t$ и не завислщее от скорости, которую тело имело в начале этого интервала.
5. Олутай постоянны сп.т. Когда это установлено, то, естественно, приходит мысль, что и другие силы проявляют себя в этом отнопении, как вес. Это справедливо по отношению к тем силам, которне допускают прямое сопоставление с весом, благодаря тому, тто они имент с ним общее основное свойство, именно остаютея неизменными в течение двияения тела. Точнее, для определенности будем предполагать, что тело представляет собой просто материальную точку $P$ и что на него действует в течение некоторого промежутка времени $\mathrm{\Delta }t$ одна п та же сила, изображаемая вектором $F$, постоянным по величине и направлению. Авалогия, о которой шла речь, сводится к допущению, что скорость $v$ точки $P$ приобретает в течение интервала $\mathrm{\Delta }t$ наращение (векториальное) $\mathrm{\Delta }v$, направленное, как и вектор $\mathit{F}$, а по абсолютному своему значению пропорциональное $\mathrm{\Delta }t$ и не зависящее от состояния движения точки $P$ (от ее скорости в начальный момент әтого пнтервала).
6. Нам остается составить себе представление о коәфициенте пропорциовальности, которыи мы обозначим через $h$. В случае веса этот коэфициент имеет постоянное значенъе, которое мы обозначаем через $g$ (II, рубр. 27), каково бы ни было тело, т. е. какова бы ни была материальная точка.

Будет ли иметь место то же самое для произвольной постоянной силы $F$ ? Навболее әлементарные опыты заставляют исклшчить это предположение, заменяя его другими простыми гипотезами относительно природы коэфициента $h$.

С этой целью достаточно проанализировать начало движения тела, первоначально находящегося в покое и получившего толчок (от руки или мускульного усилия). Тело получает некоторую скорость; мы предполагаем, конечно, что тело настолько мало, что можно говорить о его скорости, не отличая отдельных его точек. Мускульное усилие, которое определило скорость, очевидно, не представляет собой силы, постоянной по величине и направлению; но мы можем его приближенно считать таковым, если будем считать чрезвнчайно малым промежуток времени $\mathrm{\Delta }$, в течечие которого толчок произошел. Напряжение скорости $hdt$, сообеннон телу, представляет собой не что иное, как наращение $\mathrm{\Delta }v$, которое шы выше рассматривали. Оно представляетол для того же тела тем более значительным, чем энергичнее было мускульное усилие, т. е. чем больше была сила, а при равенстве усплий оно тем менес значительно, чем больше вес тела.

Наиболее простой способ выразить это положение вещей заключаетея в том, чтобы предположить коэфициент $h$ прямо пропорциональным напряжению еилы, обратно пропорцкональным весу $p$ тела при одном и том же коэфициөнте пропорциональности $k$ (для всякого тела, которе можно уподобить материальной точке).

Дальнейшая индукция приводит к допущению, что во всяком случае, т. е. для какой угодно силы $F$, постоянной по величине и направлению,
$$h=k\frac{F}{p},$$

где $F$, как обытновенно, обозначает абсолютное значение вектора $F$.
7. Резюмируем: изменение скорости $\mathrm{\Delta }\mathit{v}$, которое происходит в произвольный промежуток времени $\mathrm{\Delta }/$ цод действием постоянной силы $F$, должно оставаться направленным, как вектор $F$, и должно быть по абсолютному значению равно $h\mathrm{\Delta }t=k\mathrm{\Delta }t\frac{F}{p}$, где $k$ не зависит ни от материальной точки, ни от силы, которая к ней приложена.

Если, в частности, предположим, что $F$ есть вес, то абсолютное значение левой части есть ке что иное, как $g\mathrm{\Delta }t$, а значение правой части равно $k\mathrm{\Delta }t\frac{1}{p}\cdot p$; отсюда следует $k=g$, и при произвольной силе мы можем, таким образом, написать, нволируя $F$ :
$$F=\frac{p}{g}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t},$$

после чего иакакой неопределенности уже не остается.

Это уравнение в расскатриваемом здесь случае постояннои силы $F$ внражает постоянство среднего ускорения $\frac{p}{g}$ движуиегося тела за какой угодно промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$ и его пропорциональность силе. Приближая $\mathrm{\Delta }t$ к нуію и обозначая через $\mathit{a}$ мгновенное ускорение движущегося тела, мы получим:
$$F=\frac{p}{g}a.$$
8. Случай пөременных сил. Таким образом в случае постоянных сил мы перешли к закону, который остается действительным от щомента к моменту во все время движения. Это делаег вероятной гипотезу, что то же соотношение в каждый момент имеет место также и для переменной силь. В соответствии с этим мы примен соотношение (2) за основную зависиность между силой (безразлично какой природы) и движением; мы примєм, таким образом, что в каждый момент эта зависимость имеет место на всем протяжении явления. Ииюми словамп, мы допускаем, что при всякож движении в кажыйй момежт илеет несто пропорчиональность между силой и ускорениен, при’ем кофициеніп пропориональности $\frac{p}{g}$ не зависит ни от силы, ни от состояния движения материальной почни.