1. Возвратимся теперь к изучению движений твердой системь, пропсходящих параллельно некоторой определенной плоскости; эту последнюю мы всегда будем считать неразрывно связапной с системой отсчета, которую будем условно называть неподвижной (III, рубр. 27 и IV, рубр. 13). Мы уже показали в своем месте, что этого рсда движение всегда реализуется таким образом, что некоторая плоскость $p$, принадлежащая движущейся спстеме $S$, двияется, сставаясь в неподвижной плоскости $\pi$.

Если $P$ есть точка системн $S$, расположенная вне плоскости $\pi$, то мы рассмотрим ее ортогональную проекцию $P_{1}$ на плоскость $\pi$. Вследствие твердости системы вектор $\overline{P_{1} P}$ будет оставаться перпендикулярным к плоскости $\pi$ (и к совпадающей с нею плоскости $p$ ) и будет сохранять неизменной свою длину; поэтому точка $P$ будет оставаться в плоскости, параллельной $\pi$, она будет описывать в ней траєкторию, конгруентную иा параллельную той, которую описивает точка $P_{1}$, и притом по этому же путевому уравнению. Таким образом, всякая плоскость, параллельная $p$ (и неизменно связанная с системой $S$ ), движется, оставаясь в себе самой. В этих параллельных плоскостях движение имеет все время те же кинематические свойства и соотношения. Мы можем поэтому ограничиться изучением движения одной плоскости в самой себе, т. е. изучением плоского твердого движения.

Ввиду того интереса, которнй этого рода движения представляют по своим приложениям, мы здесь не ограничимся выводом их свойств из общих законов двияения твердых тел (гл. III и IV); мы присоединим еще некоторые элементарные соображения, которые дают возможность установить теорию плоских движений непосредственным и независимым путем.
2. В рубр. 24 гл. III было показано, что всякое твердое движение, происходящее параллельно неподвижной плоскости $\pi$, В каждый момент представляет собою либо вращательное двияение (вокруг осп, перпендикулярной к постоянной плоскости ж) либо поступательное (в направлении, параллельном этой плоскости). Отсюда следует, что всякое двияение плоскости в самой себе есть либо чисто вращательное движение (вокруг некоторой точки этой плоскости) либо поступательное (в самой плоскости).

Этот важный результат мы вновь докажем непосредственно элементарным путем. С этой целью сравним положения, занимаемые плоскостью $p$ в два последовательных момента $t$ и $t+d t$. Ив первого положения во второе плоскость $p$ перешла некоторым определевным непрерывным движением. Но если отвлечься от кинематических обстоятельств движения, относящихся к моментам времени, заключенным между $t$ и $t+\Delta t$, то плоскость $p$ всегда можно перевести из перзого положения во второе вращением, или, в частном случае, поступательным перемещением (прямолиненным); это приводит к следующей теореме Әйлера: всяюос смещение твердой плоскости в салой себе может быть выполнено некоторым вращением или, в частном случае, некоторым прямолинейным поступательным перемецением.

Это, впрочем, факт чисто геометрический, так как закон әтого перемещения в его зависимости от времени остаєтся совершенно неопределенным.

Чтобы доказать формулированное предложение, нужно, прежде всего, геометрически определить одно из двух положений плоскости $p$ относительно другого. Если $A$ и $B$ суть положения, которые первоначально занимали на плоскости $\pi$ определенные две точки движупейся плоскости $p$, то достаточно знать положения $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ тех же точек в конечный момент, и положение всей плоскости в этот момент будет вполне определенно; при этом, конечно, вследствие твердости плоскости $p$ $A^{\prime} B^{\prime}=A B$. В самои деле, если $C$ есть положение, которое в начальный момент занимала произвольная третья точка плоскости $p$, то в конечный момент она займет такое положение $C$, что фигура $A B C$ (треугольная или прямолинейная) будет конгруентна с $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$; а такая точка существует только одна (конечно, в предположении, что $A B C$ совмещается с $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ движением плоскости в себе). Это обнаруживает, что перемещение точек $A$ и $B$ в $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ приводит к перемещению всей плоскости в ее конечное положение.

Если, в частном случае, точка $A^{\prime}$ совпадает с $A$ (фиг. 50), то достаточно произвести вращение плоскости $p$ вокруг точки $A \equiv A^{\prime}$, и точка $B$ по окружности радиуса $A B$ перейдет в $B^{\prime}$ досле поворота на угол $\mathrm{BAS}^{\prime}$.

Исключая этот случай, т. е. предполагая точку $A^{\prime}$ отличной от $A$, выберем в плоскости $p$ в качестве второй точки $B$ ту, которая в начальный момент как раз совпадает с точкой $A^{\prime}$. Ее конечное положение $B^{\prime}$ вследствие условия $A^{\prime} B^{\prime} \equiv A B$ будет лежать на окружности с центром $A^{\prime} \equiv B$ и радиуса $B A$. При этом нецременно будет иметь место один из следующих трех случаев, которые мы разберем в отдельности.
a) Точка $B^{\prime}$ не лежит на прямой $A A^{\prime}$ (фиг. 51).
$B$ этом случае точка пересечения $O$ осей отрезков $A A^{\prime}$ и $B B^{\prime}$ (т. е. пердендикуляров к ним из их середин $H$ и $H^{\prime}$ ) представляет собой центр, вращением вокруг которого на угол $\widehat{H O H}^{\prime}$ можно совместить точки $A$ и $B$ с точками $A^{\prime}$ प $B^{\prime}$.
b) Точка $B^{\prime}$ расположена на ирямой $A B$ и притом совпадает с $A$ (бйг. 52).
В этом случае для нашей цели достаточно повернуть плоскость $p$ на $180^{\circ}$ вокруг середины отрезка $A A^{\prime}$ (совпадающего с $B^{\prime} B^{\prime}$ ).
c) Если, наконед, точка $B^{\prime}$ лежит на продолФиг. 51. жении отрезка $A A^{\prime}$ (фиг. 53), т. е. симметрично с $A$ относительно $A^{\prime} \equiv \dot{B}$, то пара точек $A, B$ совмещается с $A^{\prime}, B^{\prime}$ при поступательном перемещении плоскости $p$, выражаемом ориентированным отревком $A A^{\prime}$.

Установив таким образом теорему Әйлера, заметим, что самое ее доказательство приводит к следующему факту: если смецение осуществляется при помощи вращения, то через центр этого врашения проходят осн всех отрезков, соединяющих начальное положение $A$ какой-либо точки плоскости $p$ с конечным ее положением.
Фиг. 52.
Фиг. 5马.
Заметим, наконец, что случай \”с“ поступательного перемещения мы можем рассматривать как предельный случан вращения, представлял себе центр последнего удаленным в бесконечность (в направлении, перпендикулярном к перенесению).
3. После всего изложенного вэзвратимся к движению твердой плоскости $p$ по себе самой; в промежутке времени от $t$ до $t+d t$, рассмотрим одновременно как действительно происшедшее движение, так п фиктивное вращательное или поступательное двнжение (предполагая его, например, равномерным), которое осуществляет то же конечное смещение. Если, сохраняя момент $t$, мы будем неограниченно уменьпать $\Delta t$, то фиктивное движение будет от момента к моменту изменяться; в пределе оно будет стремиться к некоторому бесконечно малому движению, вращательному или поступательному, которое производит то же бесконечно малое перемещение $d A$ любой точки $A$, что и действительное движение за элемент времени от $t$ до $t+d t$, а потому совпадает с ним. Таким образом доказано, что всякое состояние плоского твердого движения является в каждый монент вращательным, или в частном случае, поступательны.

4. Во всякий момент, в который плоское движение является вращательным, центр $I$ әлементарного врацения (предельное положение центра $O$ фиктивного конечного вращения) называется мгновенным центрои или полюсои депжения в рассматриваемый момент; этот центр представляет собою аналог мгновенной оси твердого движения в пространстве (III, рубр. 21). Если же движение поступательное, то центр можно себе представлять в бесконечности (в направлении, перпендикулярном к бесконечно малому поступательному смещению).

Так как в любом интервале $\Delta t$ центр фиктиного вращательного движения представляет собою общую точку осей всех смещений $A A^{\prime}$ отдельных точек, то, переходя к пределу, получаем теорему ПГля 1). Ніри плоком твердом движении, в каждый его момент, нормали, проведенные е отдельны точках двизуицейя плоскости к еоответствующия траекторияи, проходят черсз общцую почку – мгновенный чентр дөижения; в частности, если двиэение 6 некоторый ножент являетел поступательным, то все эти нормали параллельны между собой.

Вместе с тех на основании предложения рубр. 6 гл. III в первом слуиае скорость каждой точки А движущейся плоскости перпендикулярна к прямой $A I$, соединяющей эту точку с мгновенным центром; скалярное значение скорости пропорцинально расстоянию точки от чентра $I$.

Таким образом, в частности, каково бы ни было состоянце плоского вращательного движения, мгновенный центр характеризуется тем, что он представляет собою едиіственную точку движущейся плоскости, скорость которой равна нулю; между тем, как мы хорошо знаем, при любом поступательном движении все точки плоскости имеют эквиполентные, или просто равные скорости.