27. Законы движения тяжелых тел. Установив в предыдущих параграфах общие начала кинематики точки, мы в последующих параграфах настоящей главы приложим их к ивучению различных частных случаев движения, которые систематически встречаются в различного рода конкретных вопросах. Мы начнем с изучения движений, пропсходящих с постоянним ускорениен.

Типичный пример такого движения предотавляет падевие тяжелых тел, предоставленных самим себе с определенной начальной скоростью, которая в частности может быть равна и нулю.

Законы движения тяжелых тел были установлены Галилеем; они получают выражение в следующих двух положениях:
1) Тяжелое тело, предоставленное самому себе без начальной скорости (т. е. выходящее из состояния покоя), падает по вертикали, двигаясь $е$ постоянным уэкрением, жаправленным вертикально вниз и имеюциян одно и то же значение для всех тел.
2) Тяжелое тело, брошенное в каком угодно направлении с какой угодно начальной скоростью, всегда движется с тем же самым ускорениен, что и при свооодном падении.

Первый из этих законов в курсах физики устанавливается экспериментально при помощи мащины Атвуда. Правда, нужно отметить, что интерпретация действия этого аппарата требует не только сведений из кинематики, но опирается существенно (как это будет показано в отделе динамики) на общие принципы механики. Как бы там ни было машина Атвуда дает первоначальную оценку ускорения при падении тяжелых тел; это так называемое ускорение тяжести (в скалярном его значении) принято обозначать буквой $g$.

Важно указать, что эти законы, как это было уже известно Галилею, могут иметь силу только в пустоте; в воздухе необходимо учесть сопротивление, которое оказывается воздухом двикущимся в нем телам. Таким образом формулированные выше законы в применении к движению тяжелых тел в воздухе дают лишь приближенное представление 0 нем, иногда даже грубо приближенное. Но даже и в пустоте, если область наблюдения не ограничена надлежащим образом, в ускорении тяжести обнаруживаются заметные — отклонения от вертикальной линии. Более того, и самое напряжение ускорения, как это установлено более точными экспериментальными измерениями, слегка меняется от места к месту; именно, оно увеличивается с широтой места и уменьшается с повышением над уровнем моря ${ }^{1}$ ).

Например, в следующих пунктах $g$ (выраженное в м/сека п предварительно приведенное в уровню воды в океане) имеет значения:
\[
\begin{array}{lll}
\text { в Риме } & \text { (ори северной широте в } \left.45^{\circ} 53^{\prime}, 5\right) & g=9,8038 \\
\text { — Воне } & (\» \text { n } & \left.48^{\circ} 12^{\prime}, 7\right) g=9,8092
\end{array}
\]
1) Значения в важнейших пунктах Союза ССР:

Во всяком случае в не очень большом поле наблюдения можно в виде первого приближения принять, что тяжелые тела в своем движении имеют ускорение, постоянное по величине и направлению; это ускорение (векторное) мы будем обозначать через $g$. Чтобы составить себе наглядное представление 0 движении какого угодно тяжелого тела, будет достаточно изучить движение точки $P$, имеющей постоянное ускорение $\boldsymbol{g}$; и ясно, что все, что мы скажем в этом случае, по существу, справедливо для движения точки с любым постоянным ускорением.
28. Движение тяжелых тел. Выбрав для координации триэдр, у которого ось $y$ направлена вертикально вниз, вследствие чего плоскость $x y$ будет вертикальной, мы получим для компонент ускорения $g$ значения:
\[
0, y, 0 ;
\]

координаты же тощи $P$ должны будут во все время движения удовлетворять уравнениям:
\[
\ddot{x}=0, \quad \ddot{y}=g, \quad \ddot{z}=0 .
\]

Интегрируя эти уравнения, мы получим для скорости $v$ значения:
\[
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad \dot{z}=\dot{x}_{0},
\]

где $\dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}$ означают компоненты (произвольные) скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ в момент $t=0$ (начальная скорость).
Повторное интегрирование дает уравнения движеншя:
\[
x=\dot{x}_{0} t+x_{0}, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{0} t+y_{0}, \quad z=\dot{z}_{0} t+z_{0},
\]

где $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ суть координаты (произвольные) положения $P_{0}$ точки в момент $t=0$ (начальное положение).

Без существенных ограничений мы можем принять, что начало координат $O$ помещено в точке, представляющей начальное положение $P_{0}$; әто приводит к тому, что мы можем положить в уравнениях (29) $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$. Если при этом начальная скорость $v_{0}$ не окажется уже в плоскости $x y$, т. е, если $\dot{z}_{0}$ уже не окажется равным нулю, то мы сможем вращением координатного триәдра вокруг оси $y$ привести плоскость $x y$ в положение, при котором она будет содержать начальную скорость $v_{0}$; более того, мы можем выполнить это так, чтобы компонента вектора $v_{0}$ по оси $x$, если она отлична от нуля, оказалась положеительнон.

По выполнении әтого вращения мы будем иметь в уравнениях (28) и (29) $\dot{z}_{0}=0, \dot{x}_{0} \geqslant 0$. Таким обравом в результате произведенного преобразования к новым осям, теперь уже вполне определенным, уравнения (28) и (29) примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad \dot{z}=0 ; \\
x=\dot{x}_{0} t, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{u} t, z=0,
\end{array}
\]

причем $\dot{x}_{0} \geqslant 0$.
Из третьего уравнения ( $29^{\prime}$ ) непосредственно вытекает, что движение тяжелого тела всегда происходит в одной плоскости, и именно в той вертикальной плоскости, которая содержит начальную скорость.

Так как движение пропсходит в плоскости $x y$, то в спстемах уравнений ( $28^{\prime}$ ) и ( $\left.29^{\prime}\right)$ можно опускать последние уравнения.

Отметим еще следующее. Возвышая уравнения (28′) почленно в квадрат и складывая их, мы получим для квадрата скорости $v$ тяжелого тела в любой момент движения формулы:
\[
r^{2}=v_{0}^{2}+2 \dot{g} y_{0} t+g^{2} t^{2},
\]

которое в силу второго из уравнений (29′) можно написать в виде:
\[
\imath^{2}-v_{0}^{2}=2 g y .
\]

Эта последняя формула особенно замечательна, так как она устанавливает непосредственную зависимость, остающуюся в силе во всех случаях, между напряжением скорости тяжелого тела и высотой его поднятия (ср. гл. VIII; ичтеграл живой силь). Именно, нарачение квадрата скорости пропорционально высоте поднятия тяжелой точки над начальным ее положением.
29. Исследуем сначала случай $\dot{x_{0}}=0$, т. е. случай, когда жачальная скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ вертикальна (или, в частности, даже равна нулю). В таком предположении первое из уравнений (29′) принимает вид $x=0$; мы отсюда заключаем, что движение будет прямолинейным, и пменно, что оно будет проходить по вертикали $y$. Нам останется только рассмотреть два уравнения:
\[
\dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{0} t,
\]

пз которых второе (путевое уравнение) нам показывает, что это двнжение равномерно ускоренное (рубр. 22).

Так как при принятой ориентации оси $y$ ускорение имеет положительное значение, то наше движение, рассматриваемое на всем естественном протяжении времени, т. е. от $t=-\infty$ до $t=+\infty$, является регрессивным (рубр. 22), т. е. направлено вверх в фазе занедления до момента остановки
\[
t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g}
\]

и прогрессивным, т. е. направлено вниз, в фазе ускорения. Но мы вдесь намерены рассмотреть движение только начинал с момента $t=0$; вследствие этого мы приходим к пеобходимости различать два случая, в зависимости от знака числа $\dot{y}_{0}$.

Если $\dot{y}_{0} \geqslant 0$, т. е. если начальная скорость направлена (вертикально) вниз или вовсе равна нулю, то момент остановки, для которого по формуле (32) $t \leqslant 0$, предшествует моменту $t=0$ или, в крайнем случае, совпадает с ним; вследствие этого движение в этот момент уже находится в стадии прогрессивно ускоренной. Мы заключаем отсюда, что точка, выходя из положения 0 , неограниченно опускается вниз по вертикали равномерно ускоренным движением.

Если, напротив того, $\dot{y}_{0}<0$, т. е. если начальная сюорость направлена вертикально вверх, то значение $t$, которое дает формула (32), оказывается больще нуля. Таким образом в момент $t=0$ движение оказываетсл еще в фазе замедленно регрессивной; начиная с момента $t=0$, точка поднимается вверх по вертикали равномерно замедленным движением до момента (32), в который она достпгает наибольшей высоты
\[
\frac{y_{0}^{2}}{2 g}
\]
[абсолютное значение $y$ в момент (32)]; затем она падает обратно вниз, двигаясь равномерно ускоренно. Таким образом в течение промежутка от момента — $\frac{\dot{y}_{0}}{g}$ цо — $\frac{2 \dot{y}_{0}}{g}$ она совершает обратный путь, приобретая в каждый момент скорость, которую она имела в той же точке при подъеме, только обращенную в обратную сторону (рубр. 22). Мы получаем, таким образом, отчетливую картину движения тела, брошенного вертикально вверх.
30. Нам остается рассмотреть случай, когда $\dot{x}_{0}>0$ и, следовательно, начальная скорость не направлена вертикально. Перепишем вновь уравнения ( $28^{\prime}$ ) и ( $\left.29^{\prime}\right)$, опуская излишние:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0} ; \\
x=\dot{x}_{0} t, y=\frac{1}{2} g t^{2}+y_{0} t .
\end{array}
\]

Рассматривая в системах (28′) и (29′) первые уравнения отдельно и отдельно же вторые, мы убеждаемся, что движение точки в этом случае можно считать составленным из двух движений: одного равномерного по оси $x$ и другого равномерно перемепного по оси $y$, которое принадлежит к типу, рассмотренному в предыдущей рубрике.

Если исключим $t$ пз двух уравнений (29′), то получим уравнение траектории:
\[
y=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}^{2}} x^{2}+\frac{\dot{y}_{0}}{\dot{x}_{0}} x
\]

она представляет собою параболу, ось симметрии которой направлена вертикально вниз.

Заметим, далее, что скорость $\boldsymbol{v}$ ни в какой момент не может обратиться в нуль, так как ее горизонтальная слагающая $\dot{x}$ сохраняет постоянное значение $\dot{x}_{0}>0$. Наоборот, вертикальная компонента $\dot{y}$ обращается в нуль в момент
\[
t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g} \text {. }
\]

Напряжение скорости достигает в этот момент наименьшего своего значения $\dot{x}_{0}$; векторная же скорость становится в этот момент горизонтальной; поэтому касательная к траектории будет в этот момент также горизонтальной, и, следоватөльно, движущаяся точка находится в вершине параболы $V$. Это можно было предусмотреть, так как момент (32) явно представляет собою момент остановки равномерно переменного движения по оси $y$. Подставляя вместо $t$ в уравнения ( $29^{\prime}$ ) значение (32), найдем координаты вершины параболы:
\[
-\frac{\dot{x}_{0} \dot{y}_{0}}{g},-\frac{\dot{y}_{0}^{2}}{2 g} \text {. }
\]

Вторая из них никогда не может иметь положительного значения; иныии словами, вершина параболы никогда не может оказаться ниже оси $x$.
Фиг. 38.
Фиг. 39.
Так как мы здесь, как и в предыдущем случае, намерены рассматривать движение только с момента $t=0$, то мы должны и здесь различать два случая в зависимости от знака компоненты $\dot{y}_{0}$ :

Если $y_{0} \geqslant 0$, т. е. если начальная скорость направлена наклонно вниз или же горизонтально (фиг. 38 и 39), то момент прохождения точки через вершиву $V$ параболы предшествует начальному моменту $t=0$ или совпадает с ним (при $\dot{y}_{0}=0$ ). Следовательно, с этого момента и впредь точка описывает нисходящую дугу параболы с напряжением скорости, растущим от наименьшего начального своего значения $
u_{0}$ по закону, выраженному формулой (30).

31. Интереснее случай $\dot{y}_{0}<0$, когда начальная скорость направлена ваклонно вверх (фиг. 40).

В этом случае точка, начиная с момента $t=0$, движется по восходящей ветви параболы до момента $t=-\frac{y_{0}}{g}$, когда оиа достигает вершины параболы, а потому и напбольшей высоты над горизонталью $x$
\[
\frac{\dot{y}_{0}{ }^{2}}{2 g} \text {, }
\]

равной абсолютному значению ординаты (35) вершины $V$; оно совнадает, как әто вполне естественно, с выражением (33) рубр. 29. В этой первой

Фиг. 40. стадии движения напряжение скорости убывает вместе с $y$ по формуле (30), так как в этом случаө $\dot{y}_{0}<0^{1}$ ), в вершине параболь оно достигает своего минимума $\dot{x}_{0}$ (постоянная горизонтальная компонента скорости). С момента $t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g}$ и впредь точка описьвает нисходящую ветвь параболы со скоростью, нашряжение которой неограниченно возрастает по закону (30). Она пересекает горизонталь $x$ в точке $L$, симметричной $O$ относительно оси параболы п потому пмеющей абсциссу
\[
-\frac{2 \tilde{n}_{0} \ddot{y}_{0}}{g} \text {. }
\]

вдвое превышающую абсциссу вершины параболы (35). А так как движение проекции точки на ось абсцисс происходит равномерно, то для прохождения дуги параболы $O L$ требуется время
\[
-\frac{2 \dot{y_{0}}}{g} \text {, }
\]

превышающее вдвое промежуток, за который она доходит до вершины $V$. Опускаясь по дуге $V L$, движущаяся точка имеет в каждый момент скорость, напряжение которой то же, что на этой же высоте по дуге $O V$, т. е. в точке, симметричнон относительно оси параболы. Таким образом, в двух точках, расположенных симметрично относительно оси параболы, скорости также расположены по прямым, симметричным относитөльно осп, но они направлены вверх вдоль дуги $O V$ и вниз на дуге $V L$.
1) Наглядно: точка подымается вверх, $y$ принимает отрицательное значение, растущее по абелпютной величине .(Ред.)

32. Предыдущие соображения могут дать представления, правда, в первом приближении, о ходе движения снаряда, выпущенного из огнестрельного орудия. В этом случае обыкновенно выдвигается на первый план так называемый угол вержемия, т. е. угол а (отсчитываемый положительно вверх), который ось жерла орудия, а следовательно, и начальная скорость снаряда, образует с горизонталью $ь$. Тогда
\[
\dot{x}_{0}=v_{0} \cos \alpha, \dot{y}_{0}=-v_{0} \sin \alpha ;
\]

уравнение же траектории принимает вид:
\[
y=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}{ }^{3}} x^{2}-\operatorname{tg} \alpha x=\frac{g}{2 v_{0}{ }^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}-x \operatorname{tg} \alpha .
\]

Дальность полета (по горизонтальной прямой) снаряда $G$, т. е. длина (37) хорды $O L$, будет равна:
\[
G=\frac{2 v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} ;
\]

высота выстрела, т. е. наибольший подъем снаряда (36), будет равна:
\[
A=\frac{\dot{y}_{0}{ }^{2}}{2 g}=\frac{g}{8 x_{0}{ }^{2}} G^{2},
\]

т, наконег, продолжительность полета снаряда (38):
\[
T=-\frac{2 \dot{y}_{0}}{g}=\frac{2 v_{0}}{g} \sin \alpha .
\]

Формула (37′) показывает, что панбольший пробег снаряда имеет место при $\alpha=45^{\circ}$. В этом случае $G=\frac{v_{0}{ }^{2}}{g}$, а продолжительность выстрела по формуле (38′) равна:
\[
2 \frac{v_{0}}{g} \text {. }
\]

Прибавим, наковец, что под онусканисл снаряда при абсциссе $x$ разумеют расстояние между точкой траектории п точкой по касательной к ней в $O$, соответствующими абсциссе $x$. Так как уравнение этой касательной имеет вид:
\[
y=-x \operatorname{tg} x,
\]

то мы находим, на основанип соотношения (33′), что опускание $a(x)$ снаряда, соответствующее абсциссе $x$, по абсолютной величине имеет значенце:
\[
a(x)=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}^{3}} x^{2}
\]

Если подставим в это выражение $x=G$ п полученный результат сравним с формулой (36′), то придем к выводу, что высона полета составляет чстверть опускания снаряда в конечной точке пробега.

Следует, однако, упомянуть, что все әти численные результаты непосредственно не имеют никакого практического значешия в баллистике, когда мы имеем дело с большими пробегами и выходим, таким образом, за пределы узкой окрестности, в которой можно придерживаться установленной здесь схемы явления.

При скоростях, развиваемых современным огнестрельным оружием, сопротивление воздуха коренным образом изменяет ход движения снаряда. Так, например, в случае ружейной пули, внлетающей с начальной скоростью в 625 н сек, изложенная выше әлементарная теория предусматривала бы (при угле вержения в $45^{\circ}$ ) наибольший пробег в 40 км и высоту в подъеме в 10 км; между тем, артиллеристы констатировали, что в действительности наибольший пробег снаряда достигается при угле вержения около $32^{\circ}$ п мало превышает 3 км; высота же подъема, в среднем, не превыпает 1 км.