Главная > KУPC ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ТОМ ПЕРВЫЙ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ (Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА И У. АМАЛЬДИ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

27. Законы движения тяжелых тел. Установив в предыдущих параграфах общие начала кинематики точки, мы в последующих параграфах настоящей главы приложим их к ивучению различных частных случаев движения, которые систематически встречаются в различного рода конкретных вопросах. Мы начнем с изучения движений, пропсходящих с постоянним ускорениен.

Типичный пример такого движения предотавляет падевие тяжелых тел, предоставленных самим себе с определенной начальной скоростью, которая в частности может быть равна и нулю.

Законы движения тяжелых тел были установлены Галилеем; они получают выражение в следующих двух положениях:
1) Тяжелое тело, предоставленное самому себе без начальной скорости (т. е. выходящее из состояния покоя), падает по вертикали, двигаясь $е$ постоянным уэкрением, жаправленным вертикально вниз и имеюциян одно и то же значение для всех тел.
2) Тяжелое тело, брошенное в каком угодно направлении с какой угодно начальной скоростью, всегда движется с тем же самым ускорениен, что и при свооодном падении.

Первый из этих законов в курсах физики устанавливается экспериментально при помощи мащины Атвуда. Правда, нужно отметить, что интерпретация действия этого аппарата требует не только сведений из кинематики, но опирается существенно (как это будет показано в отделе динамики) на общие принципы механики. Как бы там ни было машина Атвуда дает первоначальную оценку ускорения при падении тяжелых тел; это так называемое ускорение тяжести (в скалярном его значении) принято обозначать буквой $g$.

Важно указать, что эти законы, как это было уже известно Галилею, могут иметь силу только в пустоте; в воздухе необходимо учесть сопротивление, которое оказывается воздухом двикущимся в нем телам. Таким образом формулированные выше законы в применении к движению тяжелых тел в воздухе дают лишь приближенное представление 0 нем, иногда даже грубо приближенное. Но даже и в пустоте, если область наблюдения не ограничена надлежащим образом, в ускорении тяжести обнаруживаются заметные – отклонения от вертикальной линии. Более того, и самое напряжение ускорения, как это установлено более точными экспериментальными измерениями, слегка меняется от места к месту; именно, оно увеличивается с широтой места и уменьшается с повышением над уровнем моря ${ }^{1}$ ).

Например, в следующих пунктах $g$ (выраженное в м/сека п предварительно приведенное в уровню воды в океане) имеет значения:
\[
\begin{array}{lll}
\text { в Риме } & \text { (ори северной широте в } \left.45^{\circ} 53^{\prime}, 5\right) & g=9,8038 \\
\text { – Воне } & (\” \text { n } & \left.48^{\circ} 12^{\prime}, 7\right) g=9,8092
\end{array}
\]
1) Значения в важнейших пунктах Союза ССР:

Во всяком случае в не очень большом поле наблюдения можно в виде первого приближения принять, что тяжелые тела в своем движении имеют ускорение, постоянное по величине и направлению; это ускорение (векторное) мы будем обозначать через $g$. Чтобы составить себе наглядное представление 0 движении какого угодно тяжелого тела, будет достаточно изучить движение точки $P$, имеющей постоянное ускорение $\boldsymbol{g}$; и ясно, что все, что мы скажем в этом случае, по существу, справедливо для движения точки с любым постоянным ускорением.
28. Движение тяжелых тел. Выбрав для координации триэдр, у которого ось $y$ направлена вертикально вниз, вследствие чего плоскость $x y$ будет вертикальной, мы получим для компонент ускорения $g$ значения:
\[
0, y, 0 ;
\]

координаты же тощи $P$ должны будут во все время движения удовлетворять уравнениям:
\[
\ddot{x}=0, \quad \ddot{y}=g, \quad \ddot{z}=0 .
\]

Интегрируя эти уравнения, мы получим для скорости $v$ значения:
\[
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad \dot{z}=\dot{x}_{0},
\]

где $\dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, \dot{z}_{0}$ означают компоненты (произвольные) скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ в момент $t=0$ (начальная скорость).
Повторное интегрирование дает уравнения движеншя:
\[
x=\dot{x}_{0} t+x_{0}, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{0} t+y_{0}, \quad z=\dot{z}_{0} t+z_{0},
\]

где $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ суть координаты (произвольные) положения $P_{0}$ точки в момент $t=0$ (начальное положение).

Без существенных ограничений мы можем принять, что начало координат $O$ помещено в точке, представляющей начальное положение $P_{0}$; әто приводит к тому, что мы можем положить в уравнениях (29) $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$. Если при этом начальная скорость $v_{0}$ не окажется уже в плоскости $x y$, т. е, если $\dot{z}_{0}$ уже не окажется равным нулю, то мы сможем вращением координатного триәдра вокруг оси $y$ привести плоскость $x y$ в положение, при котором она будет содержать начальную скорость $v_{0}$; более того, мы можем выполнить это так, чтобы компонента вектора $v_{0}$ по оси $x$, если она отлична от нуля, оказалась положеительнон.

По выполнении әтого вращения мы будем иметь в уравнениях (28) и (29) $\dot{z}_{0}=0, \dot{x}_{0} \geqslant 0$. Таким обравом в результате произведенного преобразования к новым осям, теперь уже вполне определенным, уравнения (28) и (29) примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad \dot{z}=0 ; \\
x=\dot{x}_{0} t, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{u} t, z=0,
\end{array}
\]

причем $\dot{x}_{0} \geqslant 0$.
Из третьего уравнения ( $29^{\prime}$ ) непосредственно вытекает, что движение тяжелого тела всегда происходит в одной плоскости, и именно в той вертикальной плоскости, которая содержит начальную скорость.

Так как движение пропсходит в плоскости $x y$, то в спстемах уравнений ( $28^{\prime}$ ) и ( $\left.29^{\prime}\right)$ можно опускать последние уравнения.

Отметим еще следующее. Возвышая уравнения (28′) почленно в квадрат и складывая их, мы получим для квадрата скорости $v$ тяжелого тела в любой момент движения формулы:
\[
r^{2}=v_{0}^{2}+2 \dot{g} y_{0} t+g^{2} t^{2},
\]

которое в силу второго из уравнений (29′) можно написать в виде:
\[
\imath^{2}-v_{0}^{2}=2 g y .
\]

Эта последняя формула особенно замечательна, так как она устанавливает непосредственную зависимость, остающуюся в силе во всех случаях, между напряжением скорости тяжелого тела и высотой его поднятия (ср. гл. VIII; ичтеграл живой силь). Именно, нарачение квадрата скорости пропорционально высоте поднятия тяжелой точки над начальным ее положением.
29. Исследуем сначала случай $\dot{x_{0}}=0$, т. е. случай, когда жачальная скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ вертикальна (или, в частности, даже равна нулю). В таком предположении первое из уравнений (29′) принимает вид $x=0$; мы отсюда заключаем, что движение будет прямолинейным, и пменно, что оно будет проходить по вертикали $y$. Нам останется только рассмотреть два уравнения:
\[
\dot{y}=g t+\dot{y}_{0}, \quad y=\frac{1}{2} g t^{2}+\dot{y}_{0} t,
\]

пз которых второе (путевое уравнение) нам показывает, что это двнжение равномерно ускоренное (рубр. 22).

Так как при принятой ориентации оси $y$ ускорение имеет положительное значение, то наше движение, рассматриваемое на всем естественном протяжении времени, т. е. от $t=-\infty$ до $t=+\infty$, является регрессивным (рубр. 22), т. е. направлено вверх в фазе занедления до момента остановки
\[
t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g}
\]

и прогрессивным, т. е. направлено вниз, в фазе ускорения. Но мы вдесь намерены рассмотреть движение только начинал с момента $t=0$; вследствие этого мы приходим к пеобходимости различать два случая, в зависимости от знака числа $\dot{y}_{0}$.

Если $\dot{y}_{0} \geqslant 0$, т. е. если начальная скорость направлена (вертикально) вниз или вовсе равна нулю, то момент остановки, для которого по формуле (32) $t \leqslant 0$, предшествует моменту $t=0$ или, в крайнем случае, совпадает с ним; вследствие этого движение в этот момент уже находится в стадии прогрессивно ускоренной. Мы заключаем отсюда, что точка, выходя из положения 0 , неограниченно опускается вниз по вертикали равномерно ускоренным движением.

Если, напротив того, $\dot{y}_{0}<0$, т. е. если начальная сюорость направлена вертикально вверх, то значение $t$, которое дает формула (32), оказывается больще нуля. Таким образом в момент $t=0$ движение оказываетсл еще в фазе замедленно регрессивной; начиная с момента $t=0$, точка поднимается вверх по вертикали равномерно замедленным движением до момента (32), в который она достпгает наибольшей высоты
\[
\frac{y_{0}^{2}}{2 g}
\]
[абсолютное значение $y$ в момент (32)]; затем она падает обратно вниз, двигаясь равномерно ускоренно. Таким образом в течение промежутка от момента – $\frac{\dot{y}_{0}}{g}$ цо – $\frac{2 \dot{y}_{0}}{g}$ она совершает обратный путь, приобретая в каждый момент скорость, которую она имела в той же точке при подъеме, только обращенную в обратную сторону (рубр. 22). Мы получаем, таким образом, отчетливую картину движения тела, брошенного вертикально вверх.
30. Нам остается рассмотреть случай, когда $\dot{x}_{0}>0$ и, следовательно, начальная скорость не направлена вертикально. Перепишем вновь уравнения ( $28^{\prime}$ ) и ( $\left.29^{\prime}\right)$, опуская излишние:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{x}_{0}, \quad \dot{y}=g t+\dot{y}_{0} ; \\
x=\dot{x}_{0} t, y=\frac{1}{2} g t^{2}+y_{0} t .
\end{array}
\]

Рассматривая в системах (28′) и (29′) первые уравнения отдельно и отдельно же вторые, мы убеждаемся, что движение точки в этом случае можно считать составленным из двух движений: одного равномерного по оси $x$ и другого равномерно перемепного по оси $y$, которое принадлежит к типу, рассмотренному в предыдущей рубрике.

Если исключим $t$ пз двух уравнений (29′), то получим уравнение траектории:
\[
y=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}^{2}} x^{2}+\frac{\dot{y}_{0}}{\dot{x}_{0}} x
\]

она представляет собою параболу, ось симметрии которой направлена вертикально вниз.

Заметим, далее, что скорость $\boldsymbol{v}$ ни в какой момент не может обратиться в нуль, так как ее горизонтальная слагающая $\dot{x}$ сохраняет постоянное значение $\dot{x}_{0}>0$. Наоборот, вертикальная компонента $\dot{y}$ обращается в нуль в момент
\[
t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g} \text {. }
\]

Напряжение скорости достигает в этот момент наименьшего своего значения $\dot{x}_{0}$; векторная же скорость становится в этот момент горизонтальной; поэтому касательная к траектории будет в этот момент также горизонтальной, и, следоватөльно, движущаяся точка находится в вершине параболы $V$. Это можно было предусмотреть, так как момент (32) явно представляет собою момент остановки равномерно переменного движения по оси $y$. Подставляя вместо $t$ в уравнения ( $29^{\prime}$ ) значение (32), найдем координаты вершины параболы:
\[
-\frac{\dot{x}_{0} \dot{y}_{0}}{g},-\frac{\dot{y}_{0}^{2}}{2 g} \text {. }
\]

Вторая из них никогда не может иметь положительного значения; иныии словами, вершина параболы никогда не может оказаться ниже оси $x$.
Фиг. 38.
Фиг. 39.
Так как мы здесь, как и в предыдущем случае, намерены рассматривать движение только с момента $t=0$, то мы должны и здесь различать два случая в зависимости от знака компоненты $\dot{y}_{0}$ :

Если $y_{0} \geqslant 0$, т. е. если начальная скорость направлена наклонно вниз или же горизонтально (фиг. 38 и 39), то момент прохождения точки через вершиву $V$ параболы предшествует начальному моменту $t=0$ или совпадает с ним (при $\dot{y}_{0}=0$ ). Следовательно, с этого момента и впредь точка описывает нисходящую дугу параболы с напряжением скорости, растущим от наименьшего начального своего значения $
u_{0}$ по закону, выраженному формулой (30).

31. Интереснее случай $\dot{y}_{0}<0$, когда начальная скорость направлена ваклонно вверх (фиг. 40).

В этом случае точка, начиная с момента $t=0$, движется по восходящей ветви параболы до момента $t=-\frac{y_{0}}{g}$, когда оиа достигает вершины параболы, а потому и напбольшей высоты над горизонталью $x$
\[
\frac{\dot{y}_{0}{ }^{2}}{2 g} \text {, }
\]

равной абсолютному значению ординаты (35) вершины $V$; оно совнадает, как әто вполне естественно, с выражением (33) рубр. 29. В этой первой

Фиг. 40. стадии движения напряжение скорости убывает вместе с $y$ по формуле (30), так как в этом случаө $\dot{y}_{0}<0^{1}$ ), в вершине параболь оно достигает своего минимума $\dot{x}_{0}$ (постоянная горизонтальная компонента скорости). С момента $t=-\frac{\dot{y}_{0}}{g}$ и впредь точка описьвает нисходящую ветвь параболы со скоростью, нашряжение которой неограниченно возрастает по закону (30). Она пересекает горизонталь $x$ в точке $L$, симметричной $O$ относительно оси параболы п потому пмеющей абсциссу
\[
-\frac{2 \tilde{n}_{0} \ddot{y}_{0}}{g} \text {. }
\]

вдвое превышающую абсциссу вершины параболы (35). А так как движение проекции точки на ось абсцисс происходит равномерно, то для прохождения дуги параболы $O L$ требуется время
\[
-\frac{2 \dot{y_{0}}}{g} \text {, }
\]

превышающее вдвое промежуток, за который она доходит до вершины $V$. Опускаясь по дуге $V L$, движущаяся точка имеет в каждый момент скорость, напряжение которой то же, что на этой же высоте по дуге $O V$, т. е. в точке, симметричнон относительно оси параболы. Таким образом, в двух точках, расположенных симметрично относительно оси параболы, скорости также расположены по прямым, симметричным относитөльно осп, но они направлены вверх вдоль дуги $O V$ и вниз на дуге $V L$.
1) Наглядно: точка подымается вверх, $y$ принимает отрицательное значение, растущее по абелпютной величине .(Ред.)

32. Предыдущие соображения могут дать представления, правда, в первом приближении, о ходе движения снаряда, выпущенного из огнестрельного орудия. В этом случае обыкновенно выдвигается на первый план так называемый угол вержемия, т. е. угол а (отсчитываемый положительно вверх), который ось жерла орудия, а следовательно, и начальная скорость снаряда, образует с горизонталью $ь$. Тогда
\[
\dot{x}_{0}=v_{0} \cos \alpha, \dot{y}_{0}=-v_{0} \sin \alpha ;
\]

уравнение же траектории принимает вид:
\[
y=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}{ }^{3}} x^{2}-\operatorname{tg} \alpha x=\frac{g}{2 v_{0}{ }^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}-x \operatorname{tg} \alpha .
\]

Дальность полета (по горизонтальной прямой) снаряда $G$, т. е. длина (37) хорды $O L$, будет равна:
\[
G=\frac{2 v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g} ;
\]

высота выстрела, т. е. наибольший подъем снаряда (36), будет равна:
\[
A=\frac{\dot{y}_{0}{ }^{2}}{2 g}=\frac{g}{8 x_{0}{ }^{2}} G^{2},
\]

т, наконег, продолжительность полета снаряда (38):
\[
T=-\frac{2 \dot{y}_{0}}{g}=\frac{2 v_{0}}{g} \sin \alpha .
\]

Формула (37′) показывает, что панбольший пробег снаряда имеет место при $\alpha=45^{\circ}$. В этом случае $G=\frac{v_{0}{ }^{2}}{g}$, а продолжительность выстрела по формуле (38′) равна:
\[
2 \frac{v_{0}}{g} \text {. }
\]

Прибавим, наковец, что под онусканисл снаряда при абсциссе $x$ разумеют расстояние между точкой траектории п точкой по касательной к ней в $O$, соответствующими абсциссе $x$. Так как уравнение этой касательной имеет вид:
\[
y=-x \operatorname{tg} x,
\]

то мы находим, на основанип соотношения (33′), что опускание $a(x)$ снаряда, соответствующее абсциссе $x$, по абсолютной величине имеет значенце:
\[
a(x)=\frac{g}{2 \dot{x}_{0}^{3}} x^{2}
\]

Если подставим в это выражение $x=G$ п полученный результат сравним с формулой (36′), то придем к выводу, что высона полета составляет чстверть опускания снаряда в конечной точке пробега.

Следует, однако, упомянуть, что все әти численные результаты непосредственно не имеют никакого практического значешия в баллистике, когда мы имеем дело с большими пробегами и выходим, таким образом, за пределы узкой окрестности, в которой можно придерживаться установленной здесь схемы явления.

При скоростях, развиваемых современным огнестрельным оружием, сопротивление воздуха коренным образом изменяет ход движения снаряда. Так, например, в случае ружейной пули, внлетающей с начальной скоростью в 625 н сек, изложенная выше әлементарная теория предусматривала бы (при угле вержения в $45^{\circ}$ ) наибольший пробег в 40 км и высоту в подъеме в 10 км; между тем, артиллеристы констатировали, что в действительности наибольший пробег снаряда достигается при угле вержения около $32^{\circ}$ п мало превышает 3 км; высота же подъема, в среднем, не превыпает 1 км.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru