14. Голономные виртуальные перемещения системы. Как увидим ниже, в механике часто существенно важно, кроме действительно возможных перемещений голономной системы, рассматривать некоторые воображаемые перемещения, которые способны перевести систему из одной ее конфигурации в другую, бесконечно близкую, но относящуюся $\kappa$ mому же моменту. Всякое такого рода перемещение называется виртуальным перемещением ${ }^{1}$ ) голономной системы.
1) Это понятие, несколько своеобразное, но чрезвычайно важное, повидимому, нуждается в несколько более обстоятельном пояснении. Положим, что система $S$ в момент $t$ занимает некоторую возможную в этот момент при существующих связях конфигурацию $P$. Пусть $P_{1}$ будет конфагурация, бесконечно близкая к $P$ и возможная в тот же момент $\tau$. Перемещение системы $S$ из конфигурации $P_{\text {в }} P_{1}$ п называют өиртуальным перемешением ее. Возможно ли это перемещение в дейетвительности осуществить? Для әтого потребовалось бы некоторое время $\Delta t$. Если связь не зависит от времени, то

Если связи не зависят от времени, как это например, имеет место для твердых систем, то возможные конфигурации системы во всем их комплексе, по существу, остаются теми же во все последовательные моменты; таким образом всякое виртуальное перемещение в то же время является возможным и обратно.

Но если связи зависят от времени, то дело обстоит иначе: конбигурации системы вообще меняются от момента кмоменту; виртуальное перемецение, которое переводит систему из одной конфигурации в другую, бесконечно близкую, но относящуюся к тому же моменту (т. е. могупую иметь место только в тот же момент), может не соответствовать действительно осуществимому движению. Иными словами, оно не является действительно возможным перемещением, а только воображаемым.
Представим себе, например, в плоскөсти точку, подчиненную связи, в оилу которой она должнаоставаться наокружности, центр которой находится в постоянной точке $O$, но радиус которой с течением времени постоянно возрастает.
Пусть $C$ и $C^{\prime}$ будут конфигурации этой окружности в последовательные моменты $t$ и $t+d t$; представим себе точку помепценной в момент $t$ в положение $P$ на окружности $C$. Возможное перемещение дожжно будет переместить ее из $P$ в бесконечно близкое положение $P^{\prime}$ на окружности $C^{\prime}$; между тем, виртуальное перснесение должно будет переместить точку $P$ в положение $P_{1}$, хотя и бесконечно близкое к $P$, но расположенное на той же окружности $C$.
15. Чтобы отличать виртуальные перемещения от возможных, первые обозначаются буквой $\delta$ вместо $d$; таким образом, если система голономна, то виртуальное смещение системы заключается в том, что каждая ее точка $P_{4}$ претерпевает смещение $\delta P_{i}$, компоненты которого по осям обозначаем через $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$.

Рассуждая, как и в случае возможных перемещений, с тем только различием, что время здесь не меняется, мы вычисляем виртуальные перемещения в лагранжевых кординатах:
\[
\delta P_{i}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad \delta q_{h} ;(i=1,2, \ldots ., N) ;
\]

конфигурация будет для нашей системы возиожна и в момент $t+\Delta t$, поэтому в это новое положение (в эту конфигүрацию) ее возможно будет перевестн; ниртуальное положение будет вместе с тем возможным. Но если связи меняются со временем, то конфигурация $P_{1}$ может оказаться для напей оистемы в момент $t+d t$ уже невозможной; виртуальное перемещение будет неосуществимо, оно не принадлежит к чисуу действительно возможных перемещений системы. Это и изложено в тексе в песколько более сжатой форме, во эти линейные єоотношения носят однородный характер в элементарных вариациях (произвольных и независимых) в $q_{h}$ лагранжевых координат, и әта однородность сохраняется здесь даже в том случае, когда связи зависят от времени.

Остановиме еще на случае, когда координаты $q_{h}$ пзбыточны, а ограничения, которым опи подчинены, выражаются уравнениями:
\[
f_{k}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n} \mid t\right)=0 \quad\left(k=1,2, \ldots, l^{\prime}\right) .
\]

В этом случае можно рассуждать так же, как в рубр, 9, учитывая только, что теперь необходимо положить $d t=0 ; \mathrm{мL}$ придем к заключению, что и в этом случае возможные перемещения выражағтся уравненияип (15), но вариацип $\delta q_{h}$ тенерь уже не являются произвольныии и незаписимыми, а свлэаны между собою системой $l^{\prime}$ линейных однородиых уравнений:
\[
\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{3}} \delta q_{3}+\ldots+\frac{\partial f_{k}}{\partial q_{n}} \delta q_{n}=0 \quad\left(i=1,2, \ldots, l^{\prime}\right) .
\]

Возвращаясь к случаю, когда лагранжевы координаты $q_{n}$ независимы, мы можем из однородного и линейного характера уравнения (15) вывести два простых, во весьма гажных следствия.

Если неготорим совершенно произвольно выбранным значениям вариаций бे $q_{h}$ в сплу соотношений (15) соответствует перемецение $\delta P_{i}$, то те же уравнения дают для вариаций- $\delta q_{n}$ перемещения – $\delta P_{i}$; ато значит, голономная система во всякий момент допускает от вслюй исходной конфигурации вместе с виртуальным перемещением $\delta I_{t}$ также и противоположное смещение – $P_{i}$, пли, как обыкновенно говорлт, для всякой голономной системы виртуальніе перенецения обратимы.

Это соотношение тем более заслуживает внимания, что для систем неголопомных, как мы увидим ниже, могут существовать также и необратимые виртуальные перемещения.

Из линейной фирмы уравнений (15) следует также, что двум виртуальным перемещениям
\[
\delta_{1} P_{i}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta_{1} q_{h}, \quad \delta_{2} P_{l}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta_{2} q_{h} \quad(i=1,2, \ldots ; N)
\]

отвечает еще виртуальное перенещение
\[
\delta_{1} P_{i}+\delta_{2} P_{i}=\sum_{1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}\left(\delta_{1} q_{h}+\delta_{2} q_{h}\right) \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

которое получаетсл из первых путем почленного их сложения. Это значит: складывая два виртуальных перенещения одной и той же конфигурачии систены, ми плугаем также виртулльно перемещение.

16. Виртуальны перемещени твердой системы. Связи эвердости выражаютоя уравнениями вида:
\[
\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}-\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}=\text { const; }
\]

отсюда ясно, что эти связқ голономны и не зависят от времени. Поэтому для всякой твердой скстемы виртуальные перемещения не отличаются от возможных, дейтвительно осуществимых перемещений. Мы знаем (III, рубр. 22), что эти последние все принадлежат типу:
\[
d P=d O+[\widetilde{\omega} d t \overline{Q P}],
\]

где $d O$ представляет смещение пентра приведения, а $\vec{\omega} d t$-әлементарное вращение вокруг мгновенной оси, проходяцей через точку $O$.

Если твердая система совершенно свободна, т. е. подчинена псключительно выраженным выше условиям твердости, то оба бесконечно малых вектора $\overline{d O}$ и $\bar{\omega} d t$ могут быть выбраны совершенно произвольно: поэтому уравнение (16) в сводном виде выражает также все виртуальные перемещения твердой системы в функции от двух произвольных векторов $d O$ и $\bar{\omega} d t$. Если заметим, что каждый вектор зависит от трех параметров, например от своих компонент, то придем к заключению, чтс для характеристики перемещений твердой системы, подчиненной только связям твердости, нужны шесть пропзвольных элементов (бесконечно малих, поскольку они происходят от бесконечно малых векторов). Это можно было предвидеть, так как мы имеем здесь дело с системой, имеющей 6 степеней свободы. В соответствии с принятыми обозначениями виртуальных перемещений будет полезно обозначать также через $\delta l$ виртуальное перемещение произвольной точки $I^{\prime}$ наней системы, а через $\delta O$ виртуальное перемешение центра $O$. Вместе с тем, ¿O представляет первую характеристику перемещения, которую мы раньше обозначали через $d O$.

Если затем, во избежание смешения с денствительным әлементарным движением, мы обозначим вторую произвольную характеристику через $\overrightarrow{\omega^{\prime}}$, то формула (15) приводит к следуюцему выражению всякого виртульного перемещения твердого тела:
\[
\delta P=\delta O+\left[\omega^{\prime} \overline{O P}\right] .
\]
17. Если рассматриваемая твердая система не свободна, а пмеет неподвижную точку, то псследнюю, естественно, принять за центр приведения $O$; тогда характеристика $\delta O$ все времл равна нулю. Вместе с тем, соотношение (16′), содержащеө весь комплекс виртуальных перемещений, приводится к виду:
\[
\hat{\partial}=\left[\overline{\omega^{\prime}} \overline{O P}\right] ;
\]

подвижную точку, характеризуются только тремя произвольными элементами (компонентами вектора $\overline{\omega^{\prime}}$ ); и это можно было предвидеть, поскольку мы уже знаем, что такая система имеет три степени свободы.
18. Виртуальные перемещения неголоноиных систем. Как мы уже знаем, если система подчинена неголономным связям, т. е. связям подвижности, то возможные ее конфигурации в отдельные моменты әтим нисколько нә ограничены; но общее аналитическое выражение всякой такой связи:

обнаруживает, что возможные перемещения системы ограничены. Так, это имеет, например, место для твердого тела, если оно поставлено в такие условия, что должно катиться без скольжения по поверхности другого тела (рубр. 12).

Чтобы понятие о виртуальном перемещении распространить также и на случай, когда имеют место и неголономные связи, следуют критерию, по которому виртуальным является всякое воображаемое перемещение, способное перевести систему из конфигурации $C$ во вслкую другую бесконечно близкую конфигурацию $C^{\prime}$, совместимую о состоянием связей в тот же момент; при этом, однако, такое воображаемое перөмещение должно быть подчинено тем же свяаям подвижности, которые наложены на действительное движение системы.

Приложение этого критерия к случаю, рассмотренному выше (рубр. 12 и 13), совершенно ясно; здесь нужно рассматривать как виртуальное всякое смещение, при котором сохраняется соприкосновение твердого тела с опорной поверхностью, а переход из одного положения в другое, бесконечно близкое, соверпается чистим качением; при этом, однако, состолние связей и копфигурацин как в исходном, так и в конечном положения должно соответствовать тому же моменту $t$; твердое тело, служащее опорой, даже в том случае, когда оно в действительности движется, как мы это считали в рубр. 1: при исчислении виртуальных перемещений, должно считать неподвижным и именно в положении, которое соответствет моменту $t$.

После всего сказанного легко характеризовать аналитически условие, налагаемое на виртуальные перемещения какой-либо связью подвижности (8). При переходе от одной конфигурацип, соответствующей определенным значениям параметров $q_{h}$, к другой бесконечно близкой конфигурации, соответетвующей в тот же момент значениям $q_{h}+\delta q_{h}$, связь подвижности будет:
\[
\sum_{1}^{n} a_{h} \hat{\imath} q_{h}=0 .
\]

Это совершенно очевидно в случае однородной связи ( $b=0$ ), при которой виртуальные перемещения подчинены тем же ограничениям, что и действительно возможные; так, это имеет место для твердого тела, катящегося по неподвижной твердой опоре. Но если связь неоднородна, т. е. если $b$ не обращается тождествепно в нуль, то все-таки остается ь силе соотношение (17), так как мы должны ее взять для одного и того же момента, начального или конечного в нашем промежутке, а потому в уравнениях (8) нужно положить $d t=0$.