Главная > KУPC ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ТОМ ПЕРВЫЙ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ (Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА И У. АМАЛЬДИ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

21. Если задано твердое двнжение, то мы всегда умеем при помощи одних только диференциальных операций (последовательным диференцированием) разыскать два вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ п $\%$, зависящие только от времени (которые мы назвали характеристическими векторами или просто характеристиками движения); они дают возможность явным образом выразить состояние дви жения в каждый момент (III, рубр. 20). Здесь, в дополнение к кинематике твердых тел, мы займемся обратной задачей-

установить движение твердой системы, еспи его характеристические векторы задакы в функции времени.

Эта проблема представляетея в двух различных видах, смотря по тому, заданы ли векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и (в функции времени) относительно неподвижных осей ођк или относительно подвижных осей Охуz. В обоих случалх задача заключаетея в том, чтобы по этим заданиям притти обратно к четырем геометрическим функциям $O(t), \boldsymbol{i}(t), \boldsymbol{j}(t), \boldsymbol{k}(t)$ (положенне начала и основные версоры подвижного триәдра), которьми, как мв видели при изложении кинематики твердых тел (III, рубр. 1), определяется твердое движение.

Здесь мы занмемся сначала тем случаем, когда характеристические векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и ш заданы по отношению к подвижному триэдру; формально это означаєт, что нам известны в функции времени компоненты $u, v, w$ п $p, q, r$.

На первый взгляд могло бы казаться более естественным начать изложение с того случая, когда характеристики ваданы по отношению к неподвижному триәдру; но в действительности очень часто именно система отсчета, неразрывно связанная с твердым телом, дает возможность лучше и быстрее охватить ход движения.
22. В первую очередь, мы займемся частным случаем, когда данное твердое тело движется около неподвижной точки. Эту точку мы примем за общее натало $Q \equiv O$ обоих триэдров; все сводится, таким образом, к определению взаимного расположения этих двух триәдров. Расположение это, как только что было указано, определяется тремя основными версорами $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ подвижных осей; но, естественно, мы можем представить себе также заданным положение триедра $Q \xi$ относительно Охуz. В том и цругом случае компоненты версоров вполне определяются девятью направляющими косинјсами:
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{9} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}
\]

в первом заданип эти косинусы нужно взять по горизонталям, во втором – по вертикалям.

На основе этого замечания решение нашей проблемы сводится к тому, чтобы определить, как меняются в подвижнон системе компоненты произвольного неподвижного вектора $\boldsymbol{u}$, т. е. неизменно связанного с триэдром Q६ฑ; после этого остается только отождествить этот вектор $\boldsymbol{u}$ последовательно с каждым из трех основных векторов неподвижного триэдра, чтобы получить для каждого момента девять направляющих косинусов.

Какой-нибудь неподвижный вектор $\boldsymbol{u}$ в обозначениях рубр. 10 характеризуется диференциальным уравнением:
\[
\frac{d_{o} u}{d t}=0
\]

если через о обознатим угловую скорость твердого тела, а через $\dot{u}$ производнуго вектора $\boldsymbol{u}$, ввлтую по отношению $k$ подвижпым осям, то это диференциальное уравнение примет вид:
\[
\dot{\boldsymbol{u}}+[\bar{\omega} \boldsymbol{u}]=0 .
\]

Если спроектируем обе части этого уравнения на оси подвижного триддра и, кає обынновенно, обозначим через $p, q, r$ компоненты угловой скорости на подвижные оси (которые нам заданы в функциях времени, дспускающих производные), то мы получим систему диференциальных уравнений первого порядка:
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}_{x}=r u_{y}-q u_{z}, \\
\dot{u}_{y}=p u_{z}-r u_{x}, \\
\dot{u}_{z}=q u_{x}-p u_{y} .
\end{array}
\]

Нам нужно было бы эту систему проинтегрировать; но это ивтегрирование ми вообще выполнить не умеем; однако при удачном выборе переменных можно точнее установить, в чем, собственно, заключается трудность проблемы; это одновременно выявляет также наиболее замечательные частные случаи, в которых интегрирование приводится к квадратурам.
23. То обстоятельство, что $\boldsymbol{u}$ есть постоянный вектор и, следовательно, с течением времени сохраняет постоянную длину выражаетея первым интегралом системы:
\[
u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{x}^{2}=\text { const.; }
\]

этот интеғрал можно, конечно, получить непосредственно из диференциальных уравнений (20′); их достаточно для әтого помножить соответственно на $u_{x}, u_{y}, u_{z}$, почленно сложить и затем выполнить интегрирование; постоянная правой части сводитея к единице, если $\boldsymbol{u}$ есть единичный вектор, как иы это предполагаем.
Полученное, таким образом, уравнение
\[
u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{x}^{2}=1
\]

подсказывает специальный выбор переменных, который позволяет свести интегрирование системы $\left(20^{\prime}\right)$ к более простой системе, содержаще только две неизвестные функции.

Для этого заметим, прежде всего, что мн можем считать вектор $\boldsymbol{u}$ приложенным в начале координат $O$; тогда его свободный конец (координатами которого олужат компоненты $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ ) движется относительно триэдра Охуz по сфере, центр которой совпадает с точкой $O$, а радиус равен едпнице; вследствие этого положение точки $P$ или, что то же, три величины $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ могут быть выражены любой парой гауссовых координат на сфере, в частности параметрами $\lambda$, $\mu$ двух систем ее комплексных образующих (так называемые симметрические координаты) ${ }^{1}$ ).
1) О гауссовых координатах и вводимых здесь так называемых симметри qеских координатах на сфере см. приложение III.

Как известно, эти две системы можно разыскать, если написать уравнения (21) в виде:
\[
\left(u_{x}+i u_{y}\right)\left(u_{x}-i u_{y}\right)+\left(u_{2}+1\right)\left(u_{2}-1\right)=0 ;
\]

тогда параметры $\lambda$ и и определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda & =\frac{u_{x}+i u_{y}}{1-u_{z}}=\frac{1+u_{z}}{u_{x}-i u_{y}}, \\
-\frac{1}{i^{2}} & =\frac{u_{x}-i u_{y}}{1-u_{z}}=\frac{1+u_{z}}{u_{x}+i u_{y}} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда следует, что̀ при вещественных звачениях $u_{x}, u_{i}, u_{n}$ параметры $\lambda$ и $\mu$ имеют компексные значения, причем- $\frac{1}{\mu}$ п $\lambda$ суть сопряженные комплексные числа.

Теперь легко разрешить уравневия (22) относительно $u_{x}, u_{y}, u_{y}$, юнечно, в предположении, что они связаны соотношением (21); бто последнее скавывается в том, что два выражения, которые уравнения (22) дают для $\lambda$ п гля $-\frac{1}{\mu}$, тождественны между сюо́ой. В самом деле, перемножая почленно соотношения
\[
\frac{u_{x}+i u_{y}}{1-u_{z}}=\lambda, \quad \frac{1+u_{z}}{u_{x}+i u_{y}}=-\frac{1}{\mu},
\]

получаем, прежде всего, линейное уравнение относительно $u_{z}$; разрешив его, найдем:
\[
u_{z}=\frac{\lambda+\mu}{\lambda-\mu} .
\]

Подставив әти выражения в уравнения (22), легко получим:
\[
u_{x}+i u_{y}=-2 \lambda \mu, \quad u_{x}-i u_{y}=\frac{2}{\lambda-\mu},
\]

откуда непосредственно найдем:
\[
u_{x}=\frac{1-\lambda \mu}{i-\mu}, \quad u_{y}=i \frac{1+\lambda \mu}{\lambda-\mu} .
\]
24. Теперь подставим в уравнения ( $20^{\prime}$ ) вместо $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ пх выражеңия через $\lambda$ и $\mu$, содержащіеся в формулах (24) ${ }^{\prime}$, и (24). Мы получаем тогда три диференциальнне уравнения относительно $\lambda$ и , пз которых одно, как следовало предвидеть, представляет собою следетвие двух остальных; эти же последние могут быть написаны в виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}=\frac{q-i p}{2}-i r \lambda+\frac{q+i p}{2} \lambda^{2}, \\
\frac{d \mu}{d t}=\frac{q-i p}{2}-i r \mu+\frac{q+i p}{2} \mu^{2} .
\end{array}
\]

Мы приходим, таким образои, к заметательному выводу, что $\lambda$ и $\mu$ представляют собою два решения (какие угодно) одного и того же уравнения Риккати 1), коэфициентя которого представляют собою линейные и однородные функции от характеристик.

Проинтегрировав это уравнейе, мы непосредственно получаем компоненты $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ Произвольного постоянного вектора $u$ в функции времени, в частностн, и компоненты трех основнкх векторов триэдра.

Следует еще отметить, что по самой прпроде вопроса характеристики $p, q, r$ суть вещественные функции времени; таковы же и компоненты определяемого вектора $u$. Поэтому достаточно получить одно комплексное решение $\lambda$ уравнения Риккати (25), а затем положить $\mu=-\frac{1}{\bar{\lambda}}$, где черта, поставленная над комплексной величиной, как обыкновенно, обозначает сопряженную с ней комплексную величипу.

То, что – $\frac{1}{\bar{\lambda}}$ представляет решениө уравнения (25) совместно с $\lambda$, вытекает из предыдущего рассуждения; но это можно также легко обнаружить и непосредственным формальным вычислением. 8 самом деле, деля уравнение (25) на $\lambda^{2}$, получаем:
\[
\frac{d}{d t}\left(-\frac{1}{\hbar}\right)=\frac{q+i p}{2}-i r \frac{1}{\lambda}+\frac{q-i p}{2} \frac{1}{\lambda^{2}} .
\]

здесь достаточно заменить $i$ через $-i$ и написать $и$ вместо $-\frac{1}{\lambda}$, чтобы тотчас получить внражение (25′).

Заметим, наконец, что поставленная задача сведена к разысканию двух или даже только одного решения уравнения Риккати; но этим она отнюдь не исчерпава, ибо интегрировать это уравнение мы вообще не умеем. Но имеет место следующее свойство: если каким-либо образом удалось разыскать одно, два или три частных решения этого уравнелия, то общий интеграл можно выразить соответственно двумя квадратурами, одной квадратурой или в конечном виде.
25. Переходим теперь к случаю свободного движения твердого тела. Мы предположим, что оба характеристических вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ и э зданы в функции времени, т. е. тто заданы их компоненты $u, v, w$ и $p, q, r$, которые мы всөпредполагаем конечными, непрерывными и допускающими производные.

Что касается девяти направляющи косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$, определяющих ориентацию осей одного триэдра относительно другого, то о них можно повторить без каких бы то ни было существенных изменений все, что было сказано в предыдущем параграфе; мы можем ноәтому считать их уже определенными, так
1) Якюв Рпккати (Јасоро Riccati) родился в Венедии в 1676 г., умер в Тревизо в 1754 r.; он занималея математикой частным образом, не занимая никаких обициальных постов. Правитольство Венецианской республики часто консультировало с ним по вопросам гидравлики. Уравнение, носящее его имя, было им опубликовано в лейпцигеких , Acta Eruditorum* в 1722 г.

что остается только разыскать фувкцию $O(t)$, т. е. установить двитение точки $O$.

Но скорость $\eta_{0}$ точки $O$, по предпололкению, пмеет компоненты $u, v, t$, заданные в функции времени. С другой стороны, компоненты той же скорости по осям неподвижного триәдра выражаютея производными неизвестных координат $\alpha, \beta$, точки $O$; мF получаем поэтому в обычных обозначениях уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\alpha_{1} u+\alpha_{2} v-\alpha_{3} w, \\
\frac{d \beta}{d t}=\beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3} w, \\
\frac{d \gamma}{d t}=\gamma_{1} u+\gamma_{2} v+\gamma_{3} v ;
\end{array}
\]

и так как правые части суть известные нам функции от $t$, го определение неизвестных функций $\alpha, \beta, \gamma$ требует только квадратур.
26. Прибавим еще несколько слов о решении той же задачи в другом ее виде, когда векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и $ю$ заданы своими компонентами, отнесенными к неподвижным осям.

В этом случае установлению движения точип $O$ нет необходимости, ғак выше, предпосылать определение направляющих косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$. В самом деле, поскольку среди данных задачи уже фигурируют компоненты скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ по неподвижным осям, нам известны производные координат $\alpha, \beta, \gamma$ в функции времени.

Что касается определения взапмной ориентацип одного трпэдра относительно другого, то мы к этому приходим соверптенно так же, как выше, обращая только роль каждого из двух триэдров. Теперь вспомогательным вектором $\boldsymbol{u}$, с которым мы имели дело в рубр. 22-24, будет служить вектор, неразрывно связанный с нашим твердым телом; диференциальные уравнения задачи мы получим, проектируя на оси нешодвижного триәдра $Q \xi \eta \zeta$ обо части тождества
\[
\left.\frac{d_{c} \boldsymbol{u}}{d t}=\overline{[\omega} \boldsymbol{u}\right],
\]

к которому в настоящем случае приводится соотношение (13) рубр. 10, так как $\boldsymbol{u}$ представляет собой постоянный вектор отпосительно подвижных осей.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru