21. Если задано твердое двнжение, то мы всегда умеем при помощи одних только диференциальных операций (последовательным диференцированием) разыскать два вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ п $\%$, зависящие только от времени (которые мы назвали характеристическими векторами или просто характеристиками движения); они дают возможность явным образом выразить состояние дви жения в каждый момент (III, рубр. 20). Здесь, в дополнение к кинематике твердых тел, мы займемся обратной задачей-

установить движение твердой системы, еспи его характеристические векторы задакы в функции времени.

Эта проблема представляетея в двух различных видах, смотря по тому, заданы ли векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и (в функции времени) относительно неподвижных осей ођк или относительно подвижных осей Охуz. В обоих случалх задача заключаетея в том, чтобы по этим заданиям притти обратно к четырем геометрическим функциям $O(t), \boldsymbol{i}(t), \boldsymbol{j}(t), \boldsymbol{k}(t)$ (положенне начала и основные версоры подвижного триәдра), которьми, как мв видели при изложении кинематики твердых тел (III, рубр. 1), определяется твердое движение.

Здесь мы занмемся сначала тем случаем, когда характеристические векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и ш заданы по отношению к подвижному триэдру; формально это означаєт, что нам известны в функции времени компоненты $u, v, w$ п $p, q, r$.

На первый взгляд могло бы казаться более естественным начать изложение с того случая, когда характеристики ваданы по отношению к неподвижному триәдру; но в действительности очень часто именно система отсчета, неразрывно связанная с твердым телом, дает возможность лучше и быстрее охватить ход движения.
22. В первую очередь, мы займемся частным случаем, когда данное твердое тело движется около неподвижной точки. Эту точку мы примем за общее натало $Q \equiv O$ обоих триэдров; все сводится, таким образом, к определению взаимного расположения этих двух триәдров. Расположение это, как только что было указано, определяется тремя основными версорами $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ подвижных осей; но, естественно, мы можем представить себе также заданным положение триедра $Q \xi$ относительно Охуz. В том и цругом случае компоненты версоров вполне определяются девятью направляющими косинјсами:
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{9} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}
\]

в первом заданип эти косинусы нужно взять по горизонталям, во втором — по вертикалям.

На основе этого замечания решение нашей проблемы сводится к тому, чтобы определить, как меняются в подвижнон системе компоненты произвольного неподвижного вектора $\boldsymbol{u}$, т. е. неизменно связанного с триэдром Q६ฑ; после этого остается только отождествить этот вектор $\boldsymbol{u}$ последовательно с каждым из трех основных векторов неподвижного триэдра, чтобы получить для каждого момента девять направляющих косинусов.

Какой-нибудь неподвижный вектор $\boldsymbol{u}$ в обозначениях рубр. 10 характеризуется диференциальным уравнением:
\[
\frac{d_{o} u}{d t}=0
\]

если через о обознатим угловую скорость твердого тела, а через $\dot{u}$ производнуго вектора $\boldsymbol{u}$, ввлтую по отношению $k$ подвижпым осям, то это диференциальное уравнение примет вид:
\[
\dot{\boldsymbol{u}}+[\bar{\omega} \boldsymbol{u}]=0 .
\]

Если спроектируем обе части этого уравнения на оси подвижного триддра и, кає обынновенно, обозначим через $p, q, r$ компоненты угловой скорости на подвижные оси (которые нам заданы в функциях времени, дспускающих производные), то мы получим систему диференциальных уравнений первого порядка:
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}_{x}=r u_{y}-q u_{z}, \\
\dot{u}_{y}=p u_{z}-r u_{x}, \\
\dot{u}_{z}=q u_{x}-p u_{y} .
\end{array}
\]

Нам нужно было бы эту систему проинтегрировать; но это ивтегрирование ми вообще выполнить не умеем; однако при удачном выборе переменных можно точнее установить, в чем, собственно, заключается трудность проблемы; это одновременно выявляет также наиболее замечательные частные случаи, в которых интегрирование приводится к квадратурам.
23. То обстоятельство, что $\boldsymbol{u}$ есть постоянный вектор и, следовательно, с течением времени сохраняет постоянную длину выражаетея первым интегралом системы:
\[
u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{x}^{2}=\text { const.; }
\]

этот интеғрал можно, конечно, получить непосредственно из диференциальных уравнений (20′); их достаточно для әтого помножить соответственно на $u_{x}, u_{y}, u_{z}$, почленно сложить и затем выполнить интегрирование; постоянная правой части сводитея к единице, если $\boldsymbol{u}$ есть единичный вектор, как иы это предполагаем.
Полученное, таким образом, уравнение
\[
u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{x}^{2}=1
\]

подсказывает специальный выбор переменных, который позволяет свести интегрирование системы $\left(20^{\prime}\right)$ к более простой системе, содержаще только две неизвестные функции.

Для этого заметим, прежде всего, что мн можем считать вектор $\boldsymbol{u}$ приложенным в начале координат $O$; тогда его свободный конец (координатами которого олужат компоненты $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ ) движется относительно триэдра Охуz по сфере, центр которой совпадает с точкой $O$, а радиус равен едпнице; вследствие этого положение точки $P$ или, что то же, три величины $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ могут быть выражены любой парой гауссовых координат на сфере, в частности параметрами $\lambda$, $\mu$ двух систем ее комплексных образующих (так называемые симметрические координаты) ${ }^{1}$ ).
1) О гауссовых координатах и вводимых здесь так называемых симметри qеских координатах на сфере см. приложение III.

Как известно, эти две системы можно разыскать, если написать уравнения (21) в виде:
\[
\left(u_{x}+i u_{y}\right)\left(u_{x}-i u_{y}\right)+\left(u_{2}+1\right)\left(u_{2}-1\right)=0 ;
\]

тогда параметры $\lambda$ и и определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\lambda & =\frac{u_{x}+i u_{y}}{1-u_{z}}=\frac{1+u_{z}}{u_{x}-i u_{y}}, \\
-\frac{1}{i^{2}} & =\frac{u_{x}-i u_{y}}{1-u_{z}}=\frac{1+u_{z}}{u_{x}+i u_{y}} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда следует, что̀ при вещественных звачениях $u_{x}, u_{i}, u_{n}$ параметры $\lambda$ и $\mu$ имеют компексные значения, причем- $\frac{1}{\mu}$ п $\lambda$ суть сопряженные комплексные числа.

Теперь легко разрешить уравневия (22) относительно $u_{x}, u_{y}, u_{y}$, юнечно, в предположении, что они связаны соотношением (21); бто последнее скавывается в том, что два выражения, которые уравнения (22) дают для $\lambda$ п гля $-\frac{1}{\mu}$, тождественны между сюо́ой. В самом деле, перемножая почленно соотношения
\[
\frac{u_{x}+i u_{y}}{1-u_{z}}=\lambda, \quad \frac{1+u_{z}}{u_{x}+i u_{y}}=-\frac{1}{\mu},
\]

получаем, прежде всего, линейное уравнение относительно $u_{z}$; разрешив его, найдем:
\[
u_{z}=\frac{\lambda+\mu}{\lambda-\mu} .
\]

Подставив әти выражения в уравнения (22), легко получим:
\[
u_{x}+i u_{y}=-2 \lambda \mu, \quad u_{x}-i u_{y}=\frac{2}{\lambda-\mu},
\]

откуда непосредственно найдем:
\[
u_{x}=\frac{1-\lambda \mu}{i-\mu}, \quad u_{y}=i \frac{1+\lambda \mu}{\lambda-\mu} .
\]
24. Теперь подставим в уравнения ( $20^{\prime}$ ) вместо $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ пх выражеңия через $\lambda$ и $\mu$, содержащіеся в формулах (24) ${ }^{\prime}$, и (24). Мы получаем тогда три диференциальнне уравнения относительно $\lambda$ и , пз которых одно, как следовало предвидеть, представляет собою следетвие двух остальных; эти же последние могут быть написаны в виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}=\frac{q-i p}{2}-i r \lambda+\frac{q+i p}{2} \lambda^{2}, \\
\frac{d \mu}{d t}=\frac{q-i p}{2}-i r \mu+\frac{q+i p}{2} \mu^{2} .
\end{array}
\]

Мы приходим, таким образои, к заметательному выводу, что $\lambda$ и $\mu$ представляют собою два решения (какие угодно) одного и того же уравнения Риккати 1), коэфициентя которого представляют собою линейные и однородные функции от характеристик.

Проинтегрировав это уравнейе, мы непосредственно получаем компоненты $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ Произвольного постоянного вектора $u$ в функции времени, в частностн, и компоненты трех основнкх векторов триэдра.

Следует еще отметить, что по самой прпроде вопроса характеристики $p, q, r$ суть вещественные функции времени; таковы же и компоненты определяемого вектора $u$. Поэтому достаточно получить одно комплексное решение $\lambda$ уравнения Риккати (25), а затем положить $\mu=-\frac{1}{\bar{\lambda}}$, где черта, поставленная над комплексной величиной, как обыкновенно, обозначает сопряженную с ней комплексную величипу.

То, что — $\frac{1}{\bar{\lambda}}$ представляет решениө уравнения (25) совместно с $\lambda$, вытекает из предыдущего рассуждения; но это можно также легко обнаружить и непосредственным формальным вычислением. 8 самом деле, деля уравнение (25) на $\lambda^{2}$, получаем:
\[
\frac{d}{d t}\left(-\frac{1}{\hbar}\right)=\frac{q+i p}{2}-i r \frac{1}{\lambda}+\frac{q-i p}{2} \frac{1}{\lambda^{2}} .
\]

здесь достаточно заменить $i$ через $-i$ и написать $и$ вместо $-\frac{1}{\lambda}$, чтобы тотчас получить внражение (25′).

Заметим, наконец, что поставленная задача сведена к разысканию двух или даже только одного решения уравнения Риккати; но этим она отнюдь не исчерпава, ибо интегрировать это уравнение мы вообще не умеем. Но имеет место следующее свойство: если каким-либо образом удалось разыскать одно, два или три частных решения этого уравнелия, то общий интеграл можно выразить соответственно двумя квадратурами, одной квадратурой или в конечном виде.
25. Переходим теперь к случаю свободного движения твердого тела. Мы предположим, что оба характеристических вектора $\boldsymbol{v}_{0}$ и э зданы в функции времени, т. е. тто заданы их компоненты $u, v, w$ и $p, q, r$, которые мы всөпредполагаем конечными, непрерывными и допускающими производные.

Что касается девяти направляющи косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$, определяющих ориентацию осей одного триэдра относительно другого, то о них можно повторить без каких бы то ни было существенных изменений все, что было сказано в предыдущем параграфе; мы можем ноәтому считать их уже определенными, так
1) Якюв Рпккати (Јасоро Riccati) родился в Венедии в 1676 г., умер в Тревизо в 1754 r.; он занималея математикой частным образом, не занимая никаких обициальных постов. Правитольство Венецианской республики часто консультировало с ним по вопросам гидравлики. Уравнение, носящее его имя, было им опубликовано в лейпцигеких , Acta Eruditorum* в 1722 г.

что остается только разыскать фувкцию $O(t)$, т. е. установить двитение точки $O$.

Но скорость $\eta_{0}$ точки $O$, по предпололкению, пмеет компоненты $u, v, t$, заданные в функции времени. С другой стороны, компоненты той же скорости по осям неподвижного триәдра выражаютея производными неизвестных координат $\alpha, \beta$, точки $O$; мF получаем поэтому в обычных обозначениях уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\alpha_{1} u+\alpha_{2} v-\alpha_{3} w, \\
\frac{d \beta}{d t}=\beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3} w, \\
\frac{d \gamma}{d t}=\gamma_{1} u+\gamma_{2} v+\gamma_{3} v ;
\end{array}
\]

и так как правые части суть известные нам функции от $t$, го определение неизвестных функций $\alpha, \beta, \gamma$ требует только квадратур.
26. Прибавим еще несколько слов о решении той же задачи в другом ее виде, когда векторы $\boldsymbol{v}_{0}$ и $ю$ заданы своими компонентами, отнесенными к неподвижным осям.

В этом случае установлению движения точип $O$ нет необходимости, ғак выше, предпосылать определение направляющих косинусов $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$. В самом деле, поскольку среди данных задачи уже фигурируют компоненты скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ по неподвижным осям, нам известны производные координат $\alpha, \beta, \gamma$ в функции времени.

Что касается определения взапмной ориентацип одного трпэдра относительно другого, то мы к этому приходим соверптенно так же, как выше, обращая только роль каждого из двух триэдров. Теперь вспомогательным вектором $\boldsymbol{u}$, с которым мы имели дело в рубр. 22-24, будет служить вектор, неразрывно связанный с нашим твердым телом; диференциальные уравнения задачи мы получим, проектируя на оси нешодвижного триәдра $Q \xi \eta \zeta$ обо части тождества
\[
\left.\frac{d_{c} \boldsymbol{u}}{d t}=\overline{[\omega} \boldsymbol{u}\right],
\]

к которому в настоящем случае приводится соотношение (13) рубр. 10, так как $\boldsymbol{u}$ представляет собой постоянный вектор отпосительно подвижных осей.