7. Мера поверхности представляет сумму или предел суммы произведений двух длин. Если все числа, выражающие эти длины, будут умножены на одно и то же число $\lambda$, как это имеет, например, место, когда мы меняем единицу длины, принимая за новую единицу $\frac{1}{\lambda }$ часть первоначальной, то число $A$, выражающее плоскость, увеличивается в ${\lambda }^2$ раз; иными словами, оно представляет собой однородную функцию второй степени различных длин, от которых оно зависит. Согласно обозначению, введенному Максвәллом ${}^1$ ), это обозначают знакоположением:
$$[A]=l^2.$$

Вообще, если в некоторой абсолютной системе единиц $Q$ есть мера величины, которая вависит не только от некоторого количества длин, но п от какого-либо количества времен п какоголибо количества масс, то для выражения того факта, что $Q$ представлает собой однородную величину степени $n_1$ относительно длин, степени $n_2$ относительно времен и степени $n_3$ относительно масс пишут:
$$[Q]=l^{n_1}{l}^{n_2}{\mathrm{m}}^{n_3}$$

показатели $n_1,n_2,n_3$ называютея разнерами величины $Q$; напнсанное же выше символическое уравнение называется уравнением размерности величины, в соответствии с чем размеры $n_1$, $n_2,n_3$ часто называют также покизателяли размерности величины.

Если один из размеров равен нулю, то дело обстоит так, как если бы $Q$ вовсе не зависело от соответствуюпего аргумента; так, например, предыдущее символическое равенство $[A]=l^2$ можно было бы также написать в виде $[A]=l^2{t}^0{m}^0$; но обыкновенно при указании размерности предпочитают вовсе опускать те множители, которым соответствовал бы показатель нуль.
IIосле сказанного ясно, что для объема $v$
$$[v]=l^3$$

для скорости (отношепле или предельное отношение длины ко времени):

для ускорения:
$$[v]=l{t}^{-1}\text{, }$$
$[a]=l{t}^{-2}$.
1) Джемс Клерк Максвәлл (James Clerk Maxwell) родился в Эдинбұрге в 1831 г., умер в Кембридже в 1879 г., состоял профессором физики в Кембриджском университете с 1871 г. Этот выдающийся физик н математик дал математическое выражениө наглядным экспериментальным представлением Фарадея. В своем классическом труде \»Treatise on electricity and magnetism“ (London 1873) он предусмотрел длектрические волны, позже реализованные Герцел, и получившие широкое применение благодаря Маркони. Максвәлл в том же сочиненни установил электромагнитную теорию света. Еу у мы обязаны также первой количественной разработкой кинетической теорин газов.

Из всего этого следует, что сила, поскольку мш рассматриваем ее как проивводную велтчину, определяемую основной формулой, имеет размерность:
$$[F]=l{l}^{-2}m.$$

Работа (сумма произведений из сщл на длины) представляет собой однородное выраженне внда:
$$[L]=l^2{t}^{-2}m;$$

то же самое нужно скавать о потенциале в тех случаях, когда таковой существует, так как он представляет собой не что иное, как некоторую работу (рубр. 6 предыдущей главы).

Для живой силн $T^{\prime }$ (полупроизведение из массы на квадрат скорости) мы снова получаем то же выражение:
$$[T]=l^2{t}^{2}m$$

это можно было и предвидеть: холичества $L$ и $T$ не могут быть различны с точки зрения их размерностей, потому что они представляют собой одну и ту же физическую сущность-энергию.

Для мощности II (отношение между работой и временем) пмеем:
$$[II]=l^2{t}^{-3}m.$$

Наконец, количество движения (произведение скорости на массу) и импульс (произведение илі сумма произведенин из сил на промежутки времени) имеют общую размерность:
$$[I]=l{t}^{-1}m.$$

Это совпадение, конечно, можно было бы предвидеть, поскольку в силу соотношения (12) предыдущей главы всякий импульс можно рассматривать как разность двух количеств движения.
8. Если же мы примем техническую систему единиц и, следоватөльно, рядом с длиной и временем будем считать первичной величиной силу, а не массу, то размерности механических единиц изменятся; преяде всего, вследствие основного соотношения динамики, мы получим теперь для массы размерность:
$$[m]=l^{-1}{t}^{2}f$$

где $f$ есть общее обозначение силы. Таким же образом для других динампческих величин, учитывая их размерности, основанные на их определениях, мы получим символитеские уравнения:
$$[L]=lf,[I\mathrm{II}]=l{t}^{-1}f,[I]=tf.$$

Эти уравнения можно вывести из соответствующих равенств предыдущей рубрики, подставляя в последние вместо массы $m$ выражение (3).

9. Изменение единиц. Размерности механических величин позволяют удобно вычнслить, как изменяется число $q$, выражающее величину $Q$ (т. е. мера этой величины), когда мы изменим единицы первичных величин. В самом деле, если в какой-либо данной абсолютной сиотеме мы уменьпим единицу длины в отношении 1 к $\frac{1}{\lambda }$, еднницу времен в отношении 1 к $\frac{1}{\tau }$ п, наконец, единицу массы в отношении $1\mathrm{k}\frac{1}{{\mathfrak{i}}^2}$ п
$$[Q]=l^{n_1{n}_2}{m}^{n_3},$$

то из тройнонћ однородности размера рассматриваемой величины относительно длин, времен и масс следует, что соответствующая производная единица ухеньшится в отношении единицы к
$$\frac{1}{{\lambda }^n{\tau }^n{}_2{\mu }^{n_3}}={\lambda }^n{}_1{\tau }^{n_2}{\mu }^{n_3},$$

а измеряющее эту величину число $q$ будет умножено на
$$\mathrm{\%}={\lambda }^{n_1{\tau }_2{u}_1{u}^{n_3}}\text{. }$$

Это произведение называется коэфицентом приведения величины с размерами $n_1,n_2,n_3$.

Таким образом, если мы обозначим через $v,\alpha ,\phi ,s,\pi$, $\iota$ коэфициенты приведения, относящиеся к скорости, ускорению, спле, энергии, мощности и импульсу, то мы выведем из соответствующих уравнений размерности соотношения:
\[
\begin{array}{c}

u=\lambda \tau-1, \quad \alpha=\lambda \tau-2 ; \
\varphi=\lambda \tau-{ }^{2} \mu, \varepsilon=\lambda^{2} \tau-2 \mu, \pi=\lambda^{2} \tau-3 \mu, \quad \iota=\lambda \tau-1 \mu .
\end{array}
\]

Если же принята техничевкая система единицы, то, естественно коәфициенты приведения (4) скорости и ускорений останутея без изменения, но коэфициенты приведения массы и других производных динамических единиц изменятся, именно примут вид:
$$\mu =\lambda -1{\tau }^2\phi ,\epsilon ={\lambda }_{\phi },\pi =\lambda \tau -1\phi ,ı=\tau \phi .$$

Јистемы (4), (5) и (4), (6) алгебраически между собой эквивалентны: первая выражена через $\lambda ,\tau ,\mu$, вторая — через $\lambda$, $\tau$, . Совершенно ясно, что возможны и многообразные другие эквивалентные схемы. В соответствии с этим три величины называются независимьыи по своей размерности, если одночленное выражение их коәфициентов приведения, выраженное через $\lambda ,\tau ,\mu$, алгебрапчески независимо; в этом случае те же величины будут независимы, если мы их выразим через $\lambda ,\tau$, $\phi$ по схеме (6).

Так, например, три величины — длина, масса и сила (которые отличаются от фундаментальных величин технической системы только тем, что в ней масса заменяет время) — представлт собой независимую систему величин; точно так же независимую систему образуют скорость, ускорение и әнергия, цоскольку
\[

u=\lambda \tau^{-1}, \quad \alpha=\lambda \tau^{-2}, \quad \varepsilon=\lambda \tau^{2} \tau^{-2} \mu ;
\]

напротив того, время, энергия и мощность по своим размерностям не могут считаться независимыми, поскольку в силу соотношений (5) пмеет место равенство $\pi =\epsilon {\tau }^{-1}$.

По самому определению размерности ясно, что по данным трем независимым единицам коэфициенты приведения всех других величин могут быть выражены в коәфициентах, соответствующих этим трем величинам. Так, если мы фиксируем три величины — скорость, ускорение и энергию, — то на основе соотношений (4) и (5) или эквивалентных им соотношений (4) и (6) будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\lambda & =u^2\alpha -1,\tau =u^{-1},\\ \mu =u^{-2}\epsilon ,\phi & =u^{-2}\alpha ,\pi =u^{-1}\alpha \epsilon ,ı=u^{-1}\epsilon .\end{array}$$

Мы можем также сказать, что всякие три величины, незавпсимые друг от друга по своим размерностям, могут быть приняты за первичные величины, и с их помощью все другие могут быть определены как производные величины.

Все эти соображения часто находят себе применение в вычислениях, связанных с изменением единиц меры; в различных случаях оказывается целесообразным принять в качестве первичных те или иные независимые величины и с их помощью устанавливать единицы для измерения остальных величин.
10. Если какая-либо величина, определенная при помощи длины, времени и массы, имеет все три показателя размерности, равные нулю (в каковом случае ее показатели размерности будут также равны нулю, какие бы три величины мы ни приняли ва основные), то мера такой величины не меняет своего численного значения, как бы мы ни изменили первичные единицы. Относительно такой величины принято говорить, что она выражаетея чистым числож или просто числом.

Таковой является мера угла, выраженная в радианах (отношение длины дуги круга к соответствующему радиусу); отсюда следует, что угловая скорость (отношение угла ко времени) имеет размерность $t^{-1}$.
11. однородность. Допустим, что между механическими величинами, играющими роль в некотором определенном явлении, существует зависимость, в которой получает свое внражение самый закон этого явления. Если обозначим через $q$ число, выражающее, скажем, в некоторой определенной абсолютной системе одну из этих механических единиц, связанных названной зависимостью, то мы можем разрешить соответствующее уравнение относительно $q$ и внразить, таким образом, $q$ через различнье величины, которые составят правую часть равенства; она будет зависеть от длин $l_1,l_2,l_3,\dots$, от времен $t_1,t_2,t_3,\dots$ и от масс $m_1,m_2,m_3,\dots$
no.

Уравнепие, которое выражает закон рассхатриваемого явления, можно поэтому представить в виде:
$$q=\psi (l_1,l_2,\dots ;t_1,t_2,\dots ;m_1,m_2,\dots );$$

это уравнение, поскольку оно выражает закон самого явления, должно остаться в силе, какова бы ни была система принятых единиц. Но если мы уменьшим единицы длины, времени и массы в отношениях $1\kappa \frac{1}{\lambda },\frac{1}{\tau },\frac{1}{\mu }$, то числа $l_i,t_i,m_i(i=1,2$, $3,\dots$ ) окажутся умноженными на $\lambda ,\tau ,\mu$, а число $q$ на ${\lambda }^{n_1}{\tau }^{n_2}{\mu }^{n_3}$, где $n_1,n_2,n_3$ суть размеры (показатели размерности) соответствующей механической величины. Поэтому совместно с соотношением (7), как бы ни были выбраны числа $\lambda ,\tau ,\mu$, должно будет иметь место уравнение:
$${\lambda }^{n_1}{\tau }^{n_2}{\mu }^{n_3}q=\psi (\lambda l_1,\lambda l_2,\dots ;\tau t_1,\tau t_2,\dots ;\mu m_1,\mu m_2,\dots ).$$

Это значит, что уравнение (7) должно быть однородным, и прптом степени $n_1$ относительно длин, $n_2$ относительно времени, $n_3$ относительно масс; иначе говоря, всякое уравнение, выражающее механический закон какого-либо явления, обладает тройной однородностьо относительно длин, времен и масс, от которых оно зависит. Совершенно такая же однородность, конечно, имеет место также и относительно лкбых других трех величин, независимых по своим размерностям, если мы себе представим, что все величины, входящие в рассматриваемый закон, выражены через эти новые основные величины. Во всяком случае в этом смысле оказывается однороднии основное уравнение динамики, равно как и уравнения, выражающие теоремн о живой силе, об импульсе и количестве движения:
$$\mathit{F}=m\mathit{a},L=T-T_0,\mathit{I}=\mathrm{\Delta }(m\mathit{v}).$$