14. Поступательно-врацательжъм называется такое твердое движение, которое составлено из поступательного движения н пз вращательного движения вокруг постоянной осп. Если $\bar{\tau}(t)$ есть скорость поступательного двнжения, $\vec{\omega}(t)$ – угловая скоорость вращательного движения и $\Omega$-точка на оси последнего, то скорость произвольной точки $P$ системы в поступательновращательном движенни выравится через (рубр. 4, 6):
\[
v=\tau+[\overline{Q P}]
\]

где-это важно напомнить-Q ест, пеподвпжная точке, постолнное направление.

Из формулы (15) можно получить другое выражение для скорости произвольной точки $P$, которое, как мы увидим, чрезвычайно полезно и поучительно в общей теории твердых движепий.

Еәли возьмем пропзвольную точку $O$, неизменно свяганную с нашей\”твердой системой, и обозначим ее скорость через $\boldsymbol{v}_{0}$, то последняя, согласно формуле (15), выразится так:
\[
\boldsymbol{v}_{0}=\bar{\tau}+[\bar{\omega} \overline{Q O}] .
\]

Исключая $\tau$ из соотношений (15) и (16), для чего достаточно почленно вцчесть второе равенство из первого, и замечая, что
\[
[\overline{\omega P}]-[\bar{\omega} \overline{O O}]=[\bar{\omega}(\overline{\Omega P}-\overline{Q O})]=[\bar{\omega} \overline{O P}],
\]

мы получим:
\[
v=v_{0}+[\bar{\omega} \overline{O I}] .
\]

Это выражение представляет явную аналогию с формулой (15); но оно существенно все же отличается от последней тем, что $O$ не есть неподвижная точка, как $\Omega$ во вращательном движенип, а пропзвольно взятая точћа твердой системы. Отсюда следует, что разложение данного поступательно-вращательного двияения, выражаемое соотношением (17), существенно отличается от того, которое, в соответствии с определением поступательно-врацятельного движения, содержится в формуле (15). В самом деле, вектор $\boldsymbol{v}_{j}$ зависит только от времени, а не от точки $P$; его можно рассматривать поэтому как скорость некоторого поступательного движения всей твердой спстемы. Но проивведение [ $\overline{\omega \digamma}]$ не может быть интерпретируемо, как скорость вращательного движения вокруг неподвижной оси, потому что точка $O$ не остается неподвижной, как $Q$, а движется, как уже сказано, с намей твердой системой. Но если мы себе представим триәдр, начало которого всегда совпадает с точкой $O$, а оси параллельны осям $\xi, \eta, \zeta$, то такой триэдр, очевидно, совершает относительно неподвиэного триәдра $Q$ пю поступательное двнжение вместо с точкой $O$, т. е. со скоростью $\sigma_{0}$. И вот, отногительно әтого вспомогательного триэдра и связанной с ним нензменяемой среды данная твердая спстема, действительно, совершает вращение с угловой скоростью – , ибо в ней точка $O$ остается неподвиянойі.

Таким образом равенство (17) виражает разложение данвого движення на поступательное со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ и вращательное с угловой скоростью от относительно оси, которая перемешаетек в.иесте с поспупательным движениен $\sigma_{0}$, Плп иначе относптельно непзменяемой среды, которая совершает поступательное движенае вместе с точкой $O$.

Такос разложение поступательно-вращательного движения мы булем называть несобственним в отличие от собственоого раз. ложения, выражаемого соотношением (15). Различие между собственным и несобственным разложением заключается, таким образом, в том, тто при сбственном разложении оба составляющие движения совершаютея относительно неподвижного триэдра или неподвижной среды (пространства) $Q$ й, а при несобственном разложении переносное движение тоже совершается жение происходит относительно вспомогательной воображаемой среды, которая перемещается поступательным движением вместе с точкой $O$. И так как точку $O$ можно выбирать в системе $S$ совершенно произвольно, то таких несобственных рложожений можно произвести бесконечное множество.
15. Обратно, пололчм; что некоторое движение допуюкает несобственное поступательно-вращательное движение, выражаемое соотношением (17), где $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$ суть векторы, зависяцие только от времени, причем второй из них имеет постоянное направление. Отсюда вытекает, то движение можно рассматривать как поступательно-вращательное в собственном смысле слова, и такое разложение можно произвести бесчисленным множеством способов.

В самом деле, взяв произвольную постоянную точку $Q$, pассмотрим вектор
\[
\bar{\tau}=\boldsymbol{v}_{0}+[\bar{\omega} \overline{O Q}]
\]

он будет зависеть только от времени. Если обе части этого ра. венства вычтем из соответствующих частей равенства (17), то придем к соотношению (15), выражающему собственное разложониө нашего движения на поступательное и вращательное.
16. Равномерные или винтовие поступатөльно-вращательные движени. Между поступательно-вращательными движениями особенное значение имеют те, в которых оба составляющие движения (при собственном разложении) происходят равномерно; такое движение мы будем называть просто равкомерньым nоступательнө-врацательным движением; это название мы ниже оправдаем.

Эти движения, по определению, характеризуются постоянством двух векторов $\bar{\tau}$ п $\omega$ относительно триэдра $\Omega_{\xi} ;$; укажем уже здесь, что в этом случае, как мы убедимся в следующей главе (рубр. 8), во всяком несобственном разложении остаются тағже постоянными векторы $v_{0}$ и $\stackrel{\omega}{\omega}$, из которых послодний выражает угловую скорость относительно подвижного трнэдра $O x y z$. И, обратно, постоянство векторов $\boldsymbol{v}_{0}$ и ш влечет ва собою постоянство векторов $\bar{\tau}$ и $\bar{\omega}$ в собственном разложении. Чтобы характеризовать состояние движения, мы докажем следующую основную теорему.

Для всякого равномерного поступательно-вращательного движения существует такое собственное разложение, в которон угловая скорость вращения параллельна скорости поступательного движения.

Мы, естественно, нсключим случап, когда $\vec{\tau}=0$ (врацательное движение) или $\omega=0$ (поступательное двняение) или, наконец, когда вектор $\bar{\omega}$ параллелен вектору $\bar{\tau}$, так как в этом последнем случае наще утверждение оправдывается само собой. Вектор ₹ мы разложщ на два слагающие вектора: $V$ по постоянному направлению угловой скорости б и $V^{\prime}$ – в плоскостп, перпендєкулярной к этому направленио, так что
\[
\bar{\tau}=V+V^{\prime} ;
\]
$\boldsymbol{V}$ п $\boldsymbol{V}^{\prime}$ суть постоянные векторы, как и $\bar{\tau}$, причем последнии наверное отличен от нуля.

Прежде всего легко доказать, что вследствие взаимкой перпендикулярности векторов $V^{\prime}$ и о существует таюой постоянный вектор $h$, перпендикулярный к $\overrightarrow{\text {, }}$ что
\[
V^{\prime}=-[\bar{\omega} h] .
\]

В самом деле, рассматрнвая ссотношение (19) как векторное уравнение с неизвестным вектором $\boldsymbol{h}$, помножим обе его части векторно на $\bar{\omega}$. Получим:
\[
\left[\bar{\omega} V^{\prime}\right]=-[\bar{\omega}[\bar{\omega} h]] .
\]

Разлагая здесь двойное векторное произведениө во второй части равенства по формуле (26) гл. I, получим:
\[
[\bar{\omega} \boldsymbol{V}]=\omega^{2} \boldsymbol{h}-\bar{\omega}(\overline{\boldsymbol{h}}) .
\]

Но так как вектор $\boldsymbol{h}$ должен быть перпендакулярен $\kappa \bar{\omega}^{\prime}$, то скалярное произведение $h V^{\prime}$ разно нулю п потому
\[
h=\frac{1}{\omega^{2}}\left[\bar{\omega} V^{\prime}\right] .
\]

Действительно, опредетенный этим путем вектор $h$ перпендигулярен в $\bar{\omega}$; подставляя же его в уравнение (19), получим (по разложении двойного произведения):
\[
V^{\prime}=-\frac{1}{\omega^{2}}\left[\bar{\omega}\left[\bar{\omega} V^{\prime}\right]\right]=V^{\prime}-\frac{\bar{\omega}}{\overline{\omega^{3}}}\left(\bar{\omega} V^{\prime}\right) ;
\]

а так как векторы $\bar{\omega}$ и $V^{\prime}$ взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение обращается в нуль, и равенство превращается в тождество. Вектор (19) удовлетворяет требованию.

Устаповив это, подставим в формулу (15) вместо $\bar{\tau}$ сумму (18), а вместо $V^{\prime}$ выражение (19); мн получим:
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{V}+[\bar{\omega} \overline{\Omega P}]-(\bar{\omega} \boldsymbol{h}] .
\]

Если вектор $h$ приложен в точкө $Q$, то конец его определит точку $\mathcal{Q}_{1}$, так что $h=Q_{1}$; так как $\mathcal{\varrho}$ есть неподвижная точка, а $h$-постоянный вектор, то п $\mathrm{Q}_{1}$ есть неподвижная точка. Вместе с тем
\[
\boldsymbol{
u}=V+[\overline{\omega \overline{Q I}}]-\left[\bar{\omega} \overline{Q_{1}}\right]=V+\left[\bar{\omega} \overline{\Omega_{1} I}\right] .
\]

Мы видим, таким обрззом, что данное поступательно-вращательное движение может быть разложено на равномерное поступательпое движение со скоростью_ $V$ и равномерно-вращательное движение с угловой скоростью $\omega$, параллельной вектору $V$; ось вращения имеет, следовательно, общее направление векторов ш и $\boldsymbol{V}$ и проходит через неподвижную точку $\varrho_{1}$.

Отметим, что угловая скорость ю составляющего вращатөльного движения оотается та же, какая была при первоначальном разложении (15).

Кроме того, если вектор $\bar{\tau}$ перпендикулярен к $\bar{\omega}$, то в равложении (18) и (20) $V=0$; поэтому: если равномерное вращательное движение сложить с равномерным поступательным движениел, перпендикулярнъм $x$ оси вращения, то получается равномерное же вращательное движение с тою же угловой скоростью, ось которого параллельна первоначальной.
17. Разложение (20), которое, как было доказано в предыдущей рубрике, можно выполнить для всякого равномерного поступательно-врацательного движения, дает возможность сенчас же выяснить его ход.

Если псключить случай $\boldsymbol{V}=0$ (равномерное вращательное движение), то формула (20) выражает скорость $v$ каждой отдельной точки $P$ в виде суммы двух векторов $V$ и $\left[\bar{\omega} \overline{Q_{1} P}\right]$; первый параллелен оси $\omega$, второй першендикулярен к ней; если поэтому через точку $Q_{1}$ проведем прямую $\zeta$, параллельную $\frac{-}{\omega}$ (т. е. оси слагающего врацательного движения) и плоскость $\pi$, к ней перпендикулярную, то эти два вектора $V$ п $\left[\bar{\omega} \overline{Q_{1} P}\right]$ представляют скорости ортогональных проекций $P_{\zeta}$ и $P_{1}$ точки $P$ соответственно на ось $\zeta$ и на плоскость $\pi$. Так как $V$ есть постоянный вегтор, то прямолинейное движение точки $P_{\gamma}$ пропсходит равномерно. Что касается точки $P_{1}$, то ее скорость $\left[\overline{Q_{1} I}\right]$ можно представить в виде $\left[\widehat{\bar{Q}_{1} P_{1}}\right]$; в самом деле,
\[
\overline{\Omega_{1} P}=\overline{\Omega_{1} P_{1}}+\overline{P_{1} P}, \quad\left[\bar{\omega} \overline{Q_{1} P}\right]=\left[\bar{\omega} \overline{\Omega_{1} P_{1}}\right]+\left[\bar{\omega} \overline{P_{1} P}\right] ;
\]

но последнее слагаемое равно нулю, так как вектор $\overline{P_{1} P}$ паратлелен $\bar{\omega}$. Из того же обстоятельства, что скорость точки $P_{1}$ вџражается проивведением $\left[\overline{\mathrm{Q}}_{1} \vec{P}_{1}\right]$, следует (рубр. ч), что она соверпает равномерное вращательное движение вокруг точки $Q_{1}$; а отсюда вытекает, далее, что (II, рубр. 5б) каждая точка $P$ системы совершает равномерное винтовое движение.

Это вннтовое движение будет правосторонним или левосторонвим в зависимости от того, обращены ли параллельные векторы $V$ и ш в одну и ту же или в противоположные стороны; ход винтовой траектории, равный $2 \pi V / \omega$ (II, рубр. 55), остается постоянным для всех точек твердой системы. Напряжение же скорости
\[
\sqrt{V^{2}+\omega^{2}\left(P_{\varphi} P\right)^{2}}
\]

сставаясь постоянным для каждой точки спстемы, меняется все же от точки к точке в зависимости от ее расстояния от осн.

В частности, те точки двнжущейся системы, которые в какой-либо определенный моменг, например $t=0$, располоя енњ на оси $\zeta$, определяют в самой системе прямую, которая скользит по оси $\zeta$ с постоянной скоростью, обращенной в сторову вектора $V$.
18. Чтобы написать скалярные уравнення әтого винтового движения, примем за подвижный триэдр Охуz какой угодно триэдр, связанный с твердой системой, в котором осью $Z$ служит прямая, скользяцая по неподвєжной оси вращения и обращенная в сторону $\bar{\omega}$. За неподвижный же триәдр $Q \xi \eta$ примем тот, с которым совпадает триәдр Охуz в момент $t=0$. Тогда компопента вектора $\bar{\omega}$ по оси $Q \zeta$ выражается по величине и знаку скаляром $\omega$; компонента же вектора $V$ будет иметь значение $\pm V$ в аависимости от того, обращены ли векторы $V$ и в в одну и ту же сторону, или в противоположные, т. е. в зависимости от того, идет ли движение 1.0 правостороннему или левостороннему винту.

Если снова возьмем проекции произвольной точки $P$ нашей системы $P_{\zeta}$ на ось $\zeta$ и $P_{1}$ на плоскость $ฑ \eta$, то точка $P_{\zeta}$ движетел по оси $\zeta$ равномерно со скоростью $\pm V$ и так как при $t=0$ пмеем $\zeta \equiv z$ (как и $\zeta \equiv x, \eta=y)^{1}$ ), то уравнение движения точки $P_{1}$ будет:
\[
\zeta= \pm V t+z \text {. }
\]

Что касаөтся проекции $P_{1}$, то она совершает в плоскости $\xi \eta$ равномерное движение по окружности с угловой скоростью $\dot{\theta}=\omega$; поэтому аномалия $\theta$ оси $O x$ относительно $O \xi$, которая должна обращаться в нуль в момент $t=0$, внразится через $\theta=\omega t$. Мы получим, следовательно, уравпения движения точки $P_{1}$, полагая в первых двух уравнениях (14) рубр. $9 \quad \theta=\omega t$. Іриобщая эти уравнения к пожученному уяе уравненюю (21), $\qquad$
1) Знағом $\equiv$ автор желает отметить, что эти равенства в момент $t=0$ имеют место тождественно для всех точек спстемы. (‘ед.)

мы переходим к следующим уравнениям твердого винтового движения:
\[
\begin{array}{l}
\xi=x \cos \omega t-y \sin \omega t, \\
\eta=x \sin \omega t+y \cos \omega t, \\
\zeta= \pm V t+z ;
\end{array}
\]

при $t=0$ они естественно сводятся к уравнениям (14), если в последних положить $\theta=\omega t$.