14. Поступательно-врацательжъм называется такое твердое движение, которое составлено из поступательного движения н пз вращательного движения вокруг постоянной осп. Если $\overline{\tau }(t)$ есть скорость поступательного двнжения, $\overrightarrow{\omega }(t)$ — угловая скоорость вращательного движения и $\mathrm{\Omega }$-точка на оси последнего, то скорость произвольной точки $P$ системы в поступательновращательном движенни выравится через (рубр. 4, 6):
$$v=\tau +[\overline{QP}]$$

где-это важно напомнить-Q ест, пеподвпжная точке, постолнное направление.

Из формулы (15) можно получить другое выражение для скорости произвольной точки $P$, которое, как мы увидим, чрезвычайно полезно и поучительно в общей теории твердых движепий.

Еәли возьмем пропзвольную точку $O$, неизменно свяганную с нашей\»твердой системой, и обозначим ее скорость через ${\mathit{v}}_0$, то последняя, согласно формуле (15), выразится так:
$${\mathit{v}}_0=\overline{\tau }+[\overline{\omega }\overline{QO}].$$

Исключая $\tau$ из соотношений (15) и (16), для чего достаточно почленно вцчесть второе равенство из первого, и замечая, что
$$[\overline{\omega P}]-[\overline{\omega }\overline{OO}]=[\overline{\omega }(\overline{\mathrm{\Omega }P}-\overline{QO})]=[\overline{\omega }\overline{OP}],$$

мы получим:
$$v=v_0+[\overline{\omega }\overline{OI}].$$

Это выражение представляет явную аналогию с формулой (15); но оно существенно все же отличается от последней тем, что $O$ не есть неподвижная точка, как $\mathrm{\Omega }$ во вращательном движенип, а пропзвольно взятая точћа твердой системы. Отсюда следует, что разложение данного поступательно-вращательного двияения, выражаемое соотношением (17), существенно отличается от того, которое, в соответствии с определением поступательно-врацятельного движения, содержится в формуле (15). В самом деле, вектор ${\mathit{v}}_j$ зависит только от времени, а не от точки $P$; его можно рассматривать поэтому как скорость некоторого поступательного движения всей твердой спстемы. Но проивведение [ $\overline{\omega ϝ}]$ не может быть интерпретируемо, как скорость вращательного движения вокруг неподвижной оси, потому что точка $O$ не остается неподвижной, как $Q$, а движется, как уже сказано, с намей твердой системой. Но если мы себе представим триәдр, начало которого всегда совпадает с точкой $O$, а оси параллельны осям $\xi ,\eta ,\zeta$, то такой триэдр, очевидно, совершает относительно неподвиэного триәдра $Q$ пю поступательное двнжение вместо с точкой $O$, т. е. со скоростью ${\sigma }_0$. И вот, отногительно әтого вспомогательного триэдра и связанной с ним нензменяемой среды данная твердая спстема, действительно, совершает вращение с угловой скоростью — , ибо в ней точка $O$ остается неподвиянойі.

Таким образом равенство (17) виражает разложение данвого движення на поступательное со скоростью ${\mathit{v}}_0$ и вращательное с угловой скоростью от относительно оси, которая перемешаетек в.иесте с поспупательным движениен ${\sigma }_0$, Плп иначе относптельно непзменяемой среды, которая совершает поступательное движенае вместе с точкой $O$.

Такос разложение поступательно-вращательного движения мы булем называть несобственним в отличие от собственоого раз. ложения, выражаемого соотношением (15). Различие между собственным и несобственным разложением заключается, таким образом, в том, тто при сбственном разложении оба составляющие движения совершаютея относительно неподвижного триэдра или неподвижной среды (пространства) $Q$ й, а при несобственном разложении переносное движение тоже совершается жение происходит относительно вспомогательной воображаемой среды, которая перемещается поступательным движением вместе с точкой $O$. И так как точку $O$ можно выбирать в системе $S$ совершенно произвольно, то таких несобственных рложожений можно произвести бесконечное множество.
15. Обратно, пололчм; что некоторое движение допуюкает несобственное поступательно-вращательное движение, выражаемое соотношением (17), где ${\mathit{v}}_0$ и $\overline{\omega }$ суть векторы, зависяцие только от времени, причем второй из них имеет постоянное направление. Отсюда вытекает, то движение можно рассматривать как поступательно-вращательное в собственном смысле слова, и такое разложение можно произвести бесчисленным множеством способов.

В самом деле, взяв произвольную постоянную точку $Q$, pассмотрим вектор
$$\overline{\tau }={\mathit{v}}_0+[\overline{\omega }\overline{OQ}]$$

он будет зависеть только от времени. Если обе части этого ра. венства вычтем из соответствующих частей равенства (17), то придем к соотношению (15), выражающему собственное разложониө нашего движения на поступательное и вращательное.
16. Равномерные или винтовие поступатөльно-вращательные движени. Между поступательно-вращательными движениями особенное значение имеют те, в которых оба составляющие движения (при собственном разложении) происходят равномерно; такое движение мы будем называть просто равкомерньым nоступательнө-врацательным движением; это название мы ниже оправдаем.

Эти движения, по определению, характеризуются постоянством двух векторов $\overline{\tau }$ п $\omega$ относительно триэдра ${\mathrm{\Omega }}_{\xi };$; укажем уже здесь, что в этом случае, как мы убедимся в следующей главе (рубр. 8), во всяком несобственном разложении остаются тағже постоянными векторы $v_0$ и $\stackrel{\omega }{\omega }$, из которых послодний выражает угловую скорость относительно подвижного трнэдра $Oxyz$. И, обратно, постоянство векторов ${\mathit{v}}_0$ и ш влечет ва собою постоянство векторов $\overline{\tau }$ и $\overline{\omega }$ в собственном разложении. Чтобы характеризовать состояние движения, мы докажем следующую основную теорему.

Для всякого равномерного поступательно-вращательного движения существует такое собственное разложение, в которон угловая скорость вращения параллельна скорости поступательного движения.

Мы, естественно, нсключим случап, когда $\overrightarrow{\tau }=0$ (врацательное движение) или $\omega =0$ (поступательное двняение) или, наконец, когда вектор $\overline{\omega }$ параллелен вектору $\overline{\tau }$, так как в этом последнем случае наще утверждение оправдывается само собой. Вектор ₹ мы разложщ на два слагающие вектора: $V$ по постоянному направлению угловой скорости б и $V^{\prime }$ — в плоскостп, перпендєкулярной к этому направленио, так что
$$\overline{\tau }=V+V^{\prime };$$
$\mathit{V}$ п ${\mathit{V}}^{\prime }$ суть постоянные векторы, как и $\overline{\tau }$, причем последнии наверное отличен от нуля.

Прежде всего легко доказать, что вследствие взаимкой перпендикулярности векторов $V^{\prime }$ и о существует таюой постоянный вектор $h$, перпендикулярный к $\overrightarrow{\text{, }}$ что
$$V^{\prime }=-[\overline{\omega }h].$$

В самом деле, рассматрнвая ссотношение (19) как векторное уравнение с неизвестным вектором $\mathit{h}$, помножим обе его части векторно на $\overline{\omega }$. Получим:
$$\left[\overline{\omega }{V}^{\prime }\right]=-[\overline{\omega }[\overline{\omega }h]].$$

Разлагая здесь двойное векторное произведениө во второй части равенства по формуле (26) гл. I, получим:
$$[\overline{\omega }\mathit{V}]={\omega }^2\mathit{h}-\overline{\omega }(\bar{\mathit{h}}).$$

Но так как вектор $\mathit{h}$ должен быть перпендакулярен $\kappa {\overline{\omega }}^{\prime }$, то скалярное произведение $h{V}^{\prime }$ разно нулю п потому
$$h=\frac{1}{{\omega }^2}\left[\overline{\omega }{V}^{\prime }\right].$$

Действительно, опредетенный этим путем вектор $h$ перпендигулярен в $\overline{\omega }$; подставляя же его в уравнение (19), получим (по разложении двойного произведения):
$$V^{\prime }=-\frac{1}{{\omega }^2}\left[\overline{\omega }\left[\overline{\omega }{V}^{\prime }\right]\right]=V^{\prime }-\frac{\overline{\omega }}{\overline{{\omega }^3}}\left(\overline{\omega }{V}^{\prime }\right);$$

а так как векторы $\overline{\omega }$ и $V^{\prime }$ взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение обращается в нуль, и равенство превращается в тождество. Вектор (19) удовлетворяет требованию.

Устаповив это, подставим в формулу (15) вместо $\overline{\tau }$ сумму (18), а вместо $V^{\prime }$ выражение (19); мн получим:
$$\mathit{v}=\mathit{V}+[\overline{\omega }\overline{\mathrm{\Omega }P}]-(\overline{\omega }\mathit{h}].$$

Если вектор $h$ приложен в точкө $Q$, то конец его определит точку ${\mathcal{Q}}_1$, так что $h=Q_1$; так как $\varrho$ есть неподвижная точка, а $h$-постоянный вектор, то п ${\mathrm{Q}}_1$ есть неподвижная точка. Вместе с тем
$$\mathit{u}=V+[\overline{\omega \stackrel{―}{QI}}]-\left[\overline{\omega }\overline{Q_1}\right]=V+\left[\overline{\omega }\overline{{\mathrm{\Omega }}_{1}I}\right].$$

Мы видим, таким обрззом, что данное поступательно-вращательное движение может быть разложено на равномерное поступательпое движение со скоростью_ $V$ и равномерно-вращательное движение с угловой скоростью $\omega$, параллельной вектору $V$; ось вращения имеет, следовательно, общее направление векторов ш и $\mathit{V}$ и проходит через неподвижную точку ${\varrho }_1$.

Отметим, что угловая скорость ю составляющего вращатөльного движения оотается та же, какая была при первоначальном разложении (15).

Кроме того, если вектор $\overline{\tau }$ перпендикулярен к $\overline{\omega }$, то в равложении (18) и (20) $V=0$; поэтому: если равномерное вращательное движение сложить с равномерным поступательным движениел, перпендикулярнъм $x$ оси вращения, то получается равномерное же вращательное движение с тою же угловой скоростью, ось которого параллельна первоначальной.
17. Разложение (20), которое, как было доказано в предыдущей рубрике, можно выполнить для всякого равномерного поступательно-врацательного движения, дает возможность сенчас же выяснить его ход.

Если псключить случай $\mathit{V}=0$ (равномерное вращательное движение), то формула (20) выражает скорость $v$ каждой отдельной точки $P$ в виде суммы двух векторов $V$ и $\left[\overline{\omega }\overline{Q_{1}P}\right]$; первый параллелен оси $\omega$, второй першендикулярен к ней; если поэтому через точку $Q_1$ проведем прямую $\zeta$, параллельную $\frac{-}{\omega }$ (т. е. оси слагающего врацательного движения) и плоскость $\pi$, к ней перпендикулярную, то эти два вектора $V$ п $\left[\overline{\omega }\overline{Q_{1}P}\right]$ представляют скорости ортогональных проекций $P_{\zeta }$ и $P_1$ точки $P$ соответственно на ось $\zeta$ и на плоскость $\pi$. Так как $V$ есть постоянный вегтор, то прямолинейное движение точки $P_{\gamma }$ пропсходит равномерно. Что касается точки $P_1$, то ее скорость $\left[\overline{Q_{1}I}\right]$ можно представить в виде $\left[\widehat{{\overline{Q}}_1{P}_1}\right]$; в самом деле,
$$\overline{{\mathrm{\Omega }}_{1}P}=\overline{{\mathrm{\Omega }}_1{P}_1}+\overline{P_{1}P},\left[\overline{\omega }\overline{Q_{1}P}\right]=\left[\overline{\omega }\overline{{\mathrm{\Omega }}_1{P}_1}\right]+\left[\overline{\omega }\overline{P_{1}P}\right];$$

но последнее слагаемое равно нулю, так как вектор $\overline{P_{1}P}$ паратлелен $\overline{\omega }$. Из того же обстоятельства, что скорость точки $P_1$ вџражается проивведением $\left[{\bar{\mathrm{Q}}}_1{\overrightarrow{P}}_1\right]$, следует (рубр. ч), что она соверпает равномерное вращательное движение вокруг точки $Q_1$; а отсюда вытекает, далее, что (II, рубр. 5б) каждая точка $P$ системы совершает равномерное винтовое движение.

Это вннтовое движение будет правосторонним или левосторонвим в зависимости от того, обращены ли параллельные векторы $V$ и ш в одну и ту же или в противоположные стороны; ход винтовой траектории, равный $2\pi V/\omega$ (II, рубр. 55), остается постоянным для всех точек твердой системы. Напряжение же скорости
$$\sqrt{V^2+{\omega }^2{\left(P_{\phi }P\right)}^2}$$

сставаясь постоянным для каждой точки спстемы, меняется все же от точки к точке в зависимости от ее расстояния от осн.

В частности, те точки двнжущейся системы, которые в какой-либо определенный моменг, например $t=0$, располоя енњ на оси $\zeta$, определяют в самой системе прямую, которая скользит по оси $\zeta$ с постоянной скоростью, обращенной в сторову вектора $V$.
18. Чтобы написать скалярные уравнення әтого винтового движения, примем за подвижный триэдр Охуz какой угодно триэдр, связанный с твердой системой, в котором осью $Z$ служит прямая, скользяцая по неподвєжной оси вращения и обращенная в сторону $\overline{\omega }$. За неподвижный же триәдр $Q\xi \eta$ примем тот, с которым совпадает триәдр Охуz в момент $t=0$. Тогда компопента вектора $\overline{\omega }$ по оси $Q\zeta$ выражается по величине и знаку скаляром $\omega$; компонента же вектора $V$ будет иметь значение $\pm V$ в аависимости от того, обращены ли векторы $V$ и в в одну и ту же сторону, или в противоположные, т. е. в зависимости от того, идет ли движение 1.0 правостороннему или левостороннему винту.

Если снова возьмем проекции произвольной точки $P$ нашей системы $P_{\zeta }$ на ось $\zeta$ и $P_1$ на плоскость $ฑ\eta$, то точка $P_{\zeta }$ движетел по оси $\zeta$ равномерно со скоростью $\pm V$ и так как при $t=0$ пмеем $\zeta \equiv z$ (как и $\zeta \equiv x,\eta =y{)}^1$ ), то уравнение движения точки $P_1$ будет:
$$\zeta =\pm Vt+z\text{. }$$

Что касаөтся проекции $P_1$, то она совершает в плоскости $\xi \eta$ равномерное движение по окружности с угловой скоростью $\dot{\theta }=\omega$; поэтому аномалия $\theta$ оси $Ox$ относительно $O\xi$, которая должна обращаться в нуль в момент $t=0$, внразится через $\theta =\omega t$. Мы получим, следовательно, уравпения движения точки $P_1$, полагая в первых двух уравнениях (14) рубр. $9\theta =\omega t$. Іриобщая эти уравнения к пожученному уяе уравненюю (21), $$
1) Знағом $\equiv$ автор желает отметить, что эти равенства в момент $t=0$ имеют место тождественно для всех точек спстемы. (‘ед.)

мы переходим к следующим уравнениям твердого винтового движения:
$$\begin{array}{l}\xi =x\cos \omega t-y\sin \omega t,\\ \eta =x\sin \omega t+y\cos \omega t,\\ \zeta =\pm Vt+z;\end{array}$$

при $t=0$ они естественно сводятся к уравнениям (14), если в последних положить $\theta =\omega t$.