12. $\mathrm{K}$ соображениям предыдущего параграфа о размерах механических велпчин и об измөнении соответствующих единиц присоединяется теория механического подобия, краткий очерк которой мы здесь дадим.

Прежде всего, напомним, что две системы точек называются геометрически побобными, если между точками одной и другой системы можно установить двуоднозначное соответствие (взаимно однозначное соответствие) таким образом, что гомологичные (соответственные) отрезки всегда сохраняют одно и то же отношение $\lambda$. Отсюда, как известно, вытекает равенство соответствующих углов, а также пропорциональность гомологичных площаден и объемов соответственно в отношениях $\lambda^{2}$ и $\lambda^{3}$.
13. Кинематическое подобие. Рассмотрим две системы точек $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$, находящиеся в движении относительно одной и тонt же системы отсчета $Q \xi$ – первая в промежутке времени от $t_{0}$ до $t_{1}$, вторая в промежутке времени, вообще отличном от первого, от $t_{\mathrm{c}}^{\prime}$
до $t_{1}^{\prime}$, где $t_{0}, t_{1}, t_{0}^{\prime}, t_{1}^{\prime}$ представляют собой значенил однони и той же независимой переменной – аосолютного времени (II, рубр. 3).

Обозначим через г отношение $\frac{t_{1}-t_{0}}{t_{1}^{\prime}-t_{0}^{\prime}}$ и согласимся считать соответствующими или гомологичными два момента $t$ и $t^{\prime}$ в интервалах этих двух двнжений, когда опи связаны соотношением:
\[
t-t_{0}=\tau\left(t^{\prime}-t_{0}^{\prime}\right) ;
\]

это влечет за собой соотношение между диференциалами, выражающееся пропорциональностью $d t=\tau d t^{\prime}$. Предположим теперь, что возможно выбрать два ортогональных триэдра $T$ и таким образом, чтобы в соответствующие моменты две фигуры $(\Sigma, T)$ и ( $\left.\Sigma^{\prime}, T^{\prime}\right)$, хотя бы даже п деформируясь, сохраняли при движении систем $\Sigma$ п $\Sigma^{\prime}$ геометрическое подобие с постоянным (т. е. не зависящим от времени) отнопением $\lambda$ каждого отрезка первой системы к соответствующему отрезку второй системы.

В таком случае говорят, что две системы $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ жинематически подобны.

Мы здесь докажем, что для такого рода систем имеют место следующие предложения:
1) Траектории, описанные различными точками системь у, в своей совокупности составляют фигуру, геонетричсски подобную фигуре, которая составлена из траекторий гомологичных точек фигури $\Sigma^{\prime}$.
2) Скорости и ускорения двух гомологичных точек системъ $\Sigma \dot{u}$ $\Sigma^{\prime}$ имею в соответствующие моменты гомологичные напряженности и стороны обращения в геометрическом подобии соответствующих конфигураций их траекторий; напряженности же их находятся в постоянных отноиения соответственно $\lambda \tau^{-1}$ и $\lambda \tau^{-2}$.

В самом деле, если $P$ и $P^{\prime}$ суть произвольные гомологичные тотки систем $\Sigma$ п $\Sigma^{\prime}$, то две фнгуры $(P, T)$ и $\left(P^{\prime}, T^{\prime}\right)$ в соответствующие моменты $t$ п $t^{\prime}$ геометрически подобны; если поэтому обозначим через $x, y, z$ координаты точки $P$ относительно триэдра $T$, через $x^{\prime}, y^{\prime}$, $z^{\prime}$ координаты точки $P^{\prime}$ относительно триэдра $T^{\prime \prime}$, то неизбежно будем иметь:
\[
x(t)=\lambda x^{\prime}\left(t^{\prime}\right), y(t)=\lambda y^{\prime}\left(t^{\prime}\right), z(t)=\lambda z^{\prime}\left(t^{\prime}\right) ;
\]

так как эти уравнения должны иметь место для каждой пары гомологичных точек и для каждой пары соответствующих моментов, то они доказывают утверждение, относящееся к траекториям.

Если теперь продиференцируем эти уравнения относительно $t$ и примем во внимание, что $d t=\tau d t^{\prime}$, то получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}, \quad \frac{d y}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}, \quad \frac{d z}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d z^{\prime}}{d t^{\prime}}, \\
\frac{d^{2} x}{d l^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{\prime 2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{\prime 2}}, \quad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{\prime 2}} ;
\end{array}
\]

эти уравнения, в свою очередь, доказывают утверждение, относящееся к скоростям и ускоревиям.

14. Критерии кинематического подобия. Из определения кинематического подобия, данного в предыдущей рубрике, можно вывести критерии, который позволяет распознать такое подобие путем сопоставления начальных состояний движения и одних только ускорений в произвольные соответственные моменты; этот критерий приводит к весьма замечательным выводам.

Рассмотрим две системы точек $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$, находящиеся в движении относительно одной и той же системы отсчета $Q ; \eta ;$ предположим, что можно зафиксировать два триэдра $T^{\prime}$ и $T^{\prime}$, неподвижные относительно $Q \xi \eta_{\eta}^{\prime}$, и установить двуоднозначную зависимость между точками этих систем таким образом, что:
а) конфигурация, которую образует система ( $\Sigma, T$ ) в момент $t_{0}$, геометрически подобна конфигурации, которую ооразуеп система $\left(\Sigma^{\prime}, T^{\prime}\right)$ в определенный момент $t_{0}^{\prime}$, вообще отличный от $t_{0}$.
b) скорости, которые имеют в эти два начальные момента точки системы $\Sigma$ и гомологичные почки системи $\Sigma^{\prime}$, одинаково ориентированы относительно соответствуюцих триэдров $T$ и $T^{\prime}$ и имеют пропорциолальные напряженности.

Если $\lambda$ п у суть отношения пропорциональности между длинами и скоростями систем $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ в начальные моменты $t_{0}$ и $t_{0}^{\prime}$, то мы положим $
u=\lambda \tau^{-1}$, т. е. $\tau=\lambda
u^{-1}$. Іринимая теперь, что движение систем $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ происходит от соответствующих начальных моментов $t_{0}$ и $t_{0}^{\prime}$ мы установим между моментами $t$, следующими за $t_{0}$, и $t^{\prime}$, следующими за $t_{0}^{\prime}$, соотношение, выражаемое равенством:
\[
t=t_{0}+\tau\left(t^{\prime}-t_{0}^{\prime}\right) ;
\]

в этих условиях мы утверждаем, что для существования механического подобия двух движущихся систем достаточно, чтобы
с) в соответствующие моменты $t$ и $t^{\prime}$ ускорения гомологичных точек систем $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ были одинаково ориентировачы относительно триәдров T и T’ и имели пропорциональные жапряженности в отномении $\alpha=\lambda \tau^{-2}$.

В самом деле, при обозначения предыдущей рубрики, вследствие соотношения с), имеем:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{\prime 2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{\prime 2}}, \quad \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\lambda \tau^{-2} \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{\prime 2}} ;
\]

интегрируя эти уравнения по $t$ и припоминая, что в силу соотношения (9) $d t=\tau d t^{\prime}$, получим:
\[
\frac{d x}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}+c_{1}, \quad \frac{d y}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}+c_{2}, \frac{d z}{d t}=\lambda \tau^{-1} \frac{d z^{\prime}}{d t^{\prime}}+c_{3} ;
\]

теперь достаточно учесть начальную пропорциональность скоростей и соотношение $
u=\lambda \tau^{-1}$, чтобы убедиться, что три постоянные интегрирования равны нулю.

Новое интегрирование в связи с условием b) геометрического подобия в начальнын момент (при отношении $\lambda$ ) приводит к равенствам:
\[
x=\lambda x^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad y(t)=\lambda y^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad z(t)=\lambda z^{\prime}\left(t^{\prime}\right),
\]

которые устанавливают кинематическое подобие наших двух систем.
15. Материальное подобие и неханическое подобие. Относительно двух систем материальных точек $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$, приведенных в двуоднозначное соответствие, говорят, что они материально подобны, если массы соответствующих әлементов находятся между собой в постоянном отношении.

Следует здесь же отметить, что в случае геометрически подобных спстем такое материальное подобие с наибольпей простотой релизуется, если составить гомологичные элементы из того же матернала.

Теперь предположим, что нам даны две системы $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ в движении и что возможно установить двуоднозначное соответотвие между точками обеих систем, а также двуоднозначное соответствие между моментами промежутков времени, в течение которых совершается движение, и притом так, что обе системы будут иметь одновременно как материальное, так и кинөматическов подобие. В этом случае говорят, что эти спстемы механически подобны.

Если $m$ есть масса точки системы $\Sigma, \boldsymbol{a}$ – ее ускорение, $\boldsymbol{F}$ полная действующая на нее сила, а с другой стороны, $m^{\prime}, a^{\prime}, F^{\prime}$ суть аналогичные элементы, отвечапщие соответствующей точкө системы $\Sigma^{\prime}$, то будем иметь:
\[
\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}, \quad \boldsymbol{F}^{\prime}=m^{\prime} \boldsymbol{a}^{\prime} .
\]

Так как $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{a}^{\prime}$ в соответствующие моменты пметот гомологичные направления по их геометрическому подобию, то отсюда вытекает, что то же самое имеет место также для сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{\prime}$; более того, так как
\[
m=\mu m^{\prime}, \quad a=\lambda \tau^{-2} \boldsymbol{a}^{\prime},
\]

то между гомологичными спламп в соответствующие моменты будет иметь место соотношение:
\[
F=\lambda \tau^{-2} \mu F^{\prime} ;
\]

ивнми словами, силы, действующие в системе $\Sigma$, ваходятся к гомологичным силам, действующим в системе $\Sigma^{\prime}$, в постоянном отношении $\lambda \tau^{-2} \mu$. Если поэтому обозначим через $\varphi$ отношение подобия сил, то меяду четырьмя отношениями $\lambda, \tau, \mu, \varphi$ имеет место уравнение:
\[
\varphi=\lambda \tau^{-2} \mu ;
\]

благодаря этому, когда указаны три из этих отношений, то ими определяется четвертое; таким образом, на основе размеров будут определены отношения подобия всех остальных механических величин, соответствующие друг другу в двух системах.

Соотношение (10), по существу, исходит от Ньютона, которому мы обязаны понятием о механическом подобии.
16. Теорена Ньютона. Изложенные выше соображения существенным образом зависят от сделаніого предположения, что для двух систем $\Sigma$ и $\Sigma^{\prime}$ действительно имеет место механическое подобие; оно по самому определению своему вктючает подобие кинематическое, а в силу этого и гөометрическое, а вместе с тем и материальное.

Даже и в том случае, когда речь идет о деформирующихся системах, материальное подобие может быть, по крайней мере в определенный момент, как и геометрическое, фактическп осуществлено; как уже было указано, әто можно сделать при помощи простых конструктивных средств (сделать гомологичные части подобными по форме из того же материала); совершенно иначе обстоит дело в случае кинематического подобия; в самом деле, если даже начальное состояние движения двух материальных систем п представляет требуемое подобие, то в дальнейшем они двигаются по условиям, определяемым окружающими физическими обстоятельствами (связями, силами, сопротивлениями), которым они подчинены; и в общем нет основания ожидать, что их механическое подобие повторится при таком двпжении.

В этом порлдке пдей нмеет место важное предложение, также исходящее от Ньютона. Положим, что для двух материальных систем $\Sigma$ п $\Sigma^{\prime}$ оправдываются начальные условия подобия а) и b) рубр. 14, но вместо третьего соотношения с) имеют место два следующие: мологичными массами имеет место соотношение $m=\mu m^{\prime}$, где $\mu$ есть постоянная;
$\mathrm{c}^{\prime \prime}$ ) в соотвстствующие моменти $t$ и $t^{\prime}$, связанние соотноиением (9), полные гомологические силы $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{F}^{\prime}$ одинаново ориентированы относительно соответствующих триэорров отсчета $T^{\prime}$ и $T^{\prime}$, и между их жапряжениями также инеет место пропорциональность $\boldsymbol{F}=\varphi F^{\prime}$, $\imath \partial e \varphi=\lambda \mu \tau^{-2}$.

При этих условиях мы непосредственно убеждасмся, что наши две системы механически подобны. В самом деле, если примем во виимание, что для каждой пары гомологических точек ускорения задаются соотношениями $\boldsymbol{a}=\frac{F}{m}$ п $\boldsymbol{a}^{\prime}=\frac{F}{m^{\prime}}$, то достаточно скомбинировать задания $c^{\prime}$ ) и $c^{\prime \prime}$ ), чтобы вывести из них третье условие с) рубр. 14. Погтому имеет место кинематическое подобие, а так как, по предположению, имеет также место и подобие материальное, то эти две системы механически подобны.

Этот последний результат прпобретает особое значение в конпретных прнложениях, тап кан он остается даже в силе (по грайней мере в идеальном случае систем, свободных от трения), если основное предположение с\”) относитея только к непосредственно ириложенным силам, которые, в отличие от реакции связей, входят в состав величин, предполагаемых в проблеме данными.

Мы здесь ограничимся только формулировкой этого предложения и заметим, что это замечательное расширение результата Ньютона 1) представляет собой следствие начала виртуальных работ, которым мы займемся ниже.
17. Модели. Учение о механическом подобии находит себе важное приложение при изученип уменьшенных моделей машины.

Изобретатель какой-либо машины всегда желает, раньше чем осуществить свое изобретение, на деле убедиться, что оно будет функционировать так, как это еледует из его соображений; он ірибегает для этого к исследованию действия модели, надлежащим образом построенной в малом масштабе. Если эта модель в своем денствии подобна механически проектируемой машине, то изобретатель может обнаружить по каждой величине, измеряемой непосредственно на модели, значение соответствующей механической величины при действии самон машины, в предположении, конечно, что он знает отношение механического подобия.

Однако возможность постропть модель, которую хотя бы прнближенно можно было действительно считать подобной проекти. руемой машине, зависит от совокупности обстолтельств, которые необходимо рассчитать н обсудить в каждом отдельном спучае; пногда они представляют совершенно непреодолимые препятствия для практпческого осуществления тәкого плана.

С точки зрения историческон, следует отметить, что уже Галилей ставил себе вопрос, почему иногда случается, что такого рода модель в мипиатюре действует в совершенстве, между тем как построенная вслед за этим машина в нормальном размере не дает удовлетворительных результатов; с гениальной интупцией он приписал этот факт различному соотношению пассивных сопротивленин в модели и мапине.

Мы постараемся здесь выяснить указанные трудности и, с другой стороны, чтобы иллюстрировать на примерах полезпость этого метода в благоприятных случаях, рассмотрим некоторые кониретные вопросы.
18. Предположим, что построена модель м машнны $Q$, подобпая ей не только с геометрической точки зрения, но также и по структуре отдельннх гомологичных частей, которые ми будем считать построенннми в $\Omega$ и из того же материала; пусть $\lambda$ будет отношение геометрического подобия мекду $Q$ п. nique, \”Journal de l’Eeole Polytechnique“, Cahier XXXII, 1848.

Соответствующие деталі той и другой машины, будучи геометрически подобны и имея ту же материальную структуру, имеют веса, пропорциональные соответствующим объемам, которые находятся между собой в отношении $\lambda^{3}$; а так как ускорение силы тяжести $g$ не меняется при переходе от мапины $\Omega$ к ее модели $\omega$ (поскольку мы можем считать, что та и другая находятся на ограниченном участке земли), то отношение подобия $\mu$ между массами также равно $\lambda^{3}$. В большей части конкретных случаев при изучении хода машины п ее модели нельзя препебрегать влиянием веса отдельных их частей; нужно поэтому учитывать эти веса в числе сил, действующих на $\Omega$ и $\omega$; и поскольку аналогичные веса при поставленных условиях сохраняют отношение $\lambda^{3}$, то механическое подобие между $\Omega$ и $\omega$ может осуществиться только в том случае, если и другие гомологичные силы, действующие в этих механизмах, находятся в том же отношении $\lambda^{3}$.

Однако часто проявляются спедиальные силы (как сопротивления среды и трения), которые по самой своей природе не могут при прочих равных условиях меняться от мапины к модели в отношении $\lambda^{3}$. В этих случаях приходится пџтаться преодолеть эту трудность, считаясь с особенностями каждого случая; обычно для этого приходится отказаться от материального подобия п стараться подходящим образом подобрать материальную структуру отдельных частей модели, физические условия, в которых она будет функционировать, и т. д.; но здесь невозможно входить в эти проблемы, которые относятся уже к области техники.

Здесь мы будем все же иоходить из гипотезы, что в благоприятном случае все гомологичные силы, действующие в $\Omega$ п $\omega$, находятся между собой в отнопении весов $\lambda^{3}$; полагая поэтому в уравненти (10)
\[
\mu=\varphi=\lambda^{3},
\]

мы сейчас же приходим к выводу, что для возможности механического подобия отнотение времен должно быть равно:
\[
\tau=\lambda^{\frac{1}{2}}
\]

Мы видим таким образом, что в тех случаях, когда веса частей существенным образом влияют на ход машины, механическое подобие в наиболее благоприятных предположениях зависит от одного только отношения $\lambda$ гомологичных длин.
В этих условнях произвольный коэфициент приведения
\[
\chi=\lambda^{n_{1}} \tau^{n_{2}} \mu^{n_{3}}
\]

соотношений (11) и (12) приобретает значение:
\[
\chi=\lambda^{n_{1}+\frac{n_{2}}{2}+3 n_{3}} ;
\]

мы можем, таким образом, формулировать следующее правнло Ньютона: если построена модель $\omega$ машини $Q$, геометрически $u$, механически ей подобная, – если, сзерх того, удовлетьорено суиественное условие, что гомологичные силы находятся между собой в отношении $\lambda^{3}$, то ложно предучесть значение $Q$ какой угодно механической величины, имеющей разлеры $n_{1}, n_{2}, n_{3}$, в машине 8 , определяя на модели а меру $q$ расслатривасмой величины и применяя формулу:
\[
Q=\lambda^{n_{1}+\frac{n_{2}}{2}+3 n_{3}} q .
\]
19. В качестве простейшего примера предыдущей теоремы рассмотрим два маятника, сколь угодно сложных, но подобных по своей геометрической и материальной структуре, и разыщем отношение соответствующих продолжительностей $T^{\prime}$ и $T^{\prime}$. их колебаний.

В первом приближении можно пренебречь сопротивлением воздуха и трением маятника о ребра привеса; в таком случае единственными силами, непосредственно приложенными к обоим маятникам, являются их веса. Отношение же весов есть $\lambda^{3}$, если $\lambda$ есть отношение геометрического подобия. При этих условпях оказывается применимой теорема предыдущей рубрики, и соотношение (13) дает непосредственно:
\[
T=\lambda^{\frac{1}{2}} T^{\prime} .
\]

Отношение подобия $\lambda$ (двух гомологичных отрезков) можно, в частности, толковать как отнопение длин двух малтников; мы приходим, таким образом, к следующему наглядному выражению теоремы : продолжительности колебаний двух подобиых маятников находятся в отношении корней квадратнъх из их длин.
20. Полезно отметить, что при учете сопротивленил воздуха два маятника уже не могут считаться механически подобннми; точнее, в этом случае не удовлетворяется существенное уеловпе применимости теоремы рубр. 18. Действительно, опыт показывает, что для медленных движений (каковыми обыкновенно являются колебания маятника) сопротивление, которое встречает со стороны воздуха каждый әлемент поверхности, при прочих равных условиях прямо пропорционально площади элемента и скорости. Так как отношение подобия площадей равно $\lambda^{2}$, а отношение скоростей в сплу соотношения (13), в котором нужно положить $n_{1}=1, n_{2}=-1, n_{3}=0$, есть $\lambda^{\frac{1}{2}}$, то мы отсюда за. ключаем, что сопротивления, которые преодолевают маятники, находятся между собой в отношении
\[
\lambda^{2} \lambda^{\frac{1}{2}}=\lambda^{\frac{5}{2}}
\]

а не $\lambda^{3}$, как әто требовало бы применение теоремы рубр. 18.
21. Отношение $\lambda^{\frac{5}{2}}$ имеет место в случаях геометрически и материально подобных систем для сопротивления какого угоднс рода, если только они пропорциональны площади, на эторую они действуют, и скорости. Такого рода сопротнвления, как мы увидим в динамике, называются вязкими.

Если же, напротив того, приходится иметь дело с так называемыми гидралическими сопротивлениями, т. е. пропорциональными пощади действия п квадату скоростн, то соответствующее отношение, в том же предположении геометрического п матернального подобия, выраяаттся через
\[
\lambda^{2}\left(\lambda^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=\lambda^{3} .
\]

Таким образом в этом случае сопротивления удовлетворяют требованиям, при которых можно применять теорему рубр. 18.

К гидравлическому типу, сейчас определенному, можно отнести, по крайней мере в первом приближении, сопротивление, которое встречает судно, например, влекомое на буксире. Есла в таком случае рассмотрим судно $\Omega$ и его модель $\omega$, подобные геометрически и материально, то сопротивлення $R$ и $r$, которые в условиях гомологичного движения встречают судно и его модель, связаны, как угазано више, соотношением:
\[
R=\lambda^{3} r \text {. }
\]

Чтобы точно установить условия соответствия в этом подобии, мы прибегнем к скорости, которая представляет собой кинематический элемент, напболее просто вычисляемий; соотношение, определенное выше для сопротивлений, остается в силе для скоростей, которые находлтея между собой в отношении $\lambda^{\frac{1}{2}}$, т. е. связаны зависимостьт:
\[
\Gamma=\lambda^{\frac{1}{2}} v
\]

Мы приходим, такнм образом, к правилу Фруда: если построена модсль судна, геометрически и материально ему подобная, причел опношение между гомологчными длижами судна и мпдели ссть $\lambda$, и если при скорости $v$ модель встречает сопротивление $r$, по судно при скорости р $^{\frac{1}{2}}$ встретит сопротивление $r \lambda^{3}$.

Аналогично этому между мощностями II и $\pi$, необходимыми для продвижения и для тяги судна и модели, в указанных выше условиях скоростей мы получаем на основе соотношения (13), в котором нужно положить размеры $n_{1}=2, n_{2}=-3$, $n_{3}=1$ (рубр. 7), следующую зависимость:
\[
\Pi=\lambda^{\frac{1}{2}} \pi .
\]
22. До спх пор мы рассуждали в прсдположении, что между приложенными силами фигурируют веса; но бывают случат, в которых действием тяжести можно пренебречь; в некоторых случаях оно нейтрализуется другими сплами, действне которых исключительно в этом только и проявляется.

Вернемся, например, к случаю судна; совершенно ясно, что на ход судна в навигации действует его вес; но при этом всетаки можно принять, что на спокойной воде, в нормальных условиях погружения, этот вес нейтрализуется давлением воды; таким образом можно ту п другую силу вовсе опустить. Заметим, кстати, что то же можно сказать о подводных судах, а в воздухе об аәростатах и дирнжаблях.

Имея әто в виду, рассмотрим, как в предыдущей рубрике, судно $\Omega$ и его модель $\omega$, подобную ему геометрически и материально при отношении $\lambda$ геометрического подобия. И здесь материальное подобие судов $Q$ п ш приводит массык ктношению $\mu=\lambda^{3}$; но так как в установленном сейчас смысле мы здесь можем весами пренебречь, то отношение гомологичных спл a priori остается неопределенным. Иными словами, здесь представляется возможность такого механического подобия, которое зависит уже не от одного проиәвольного отношения (т. е. отношения длин), как в предыдущих примерах, но от дөух произвольных отношений: от геометрпческого отношения $\lambda$ и другого отнопения механического типа. Таким образом при определении подобия мы можем предуказать, кроме $\lambda$, еще отношение $\varphi$ гомологичных сил вли же отношение г времен или, наконец, отношение гомологичных значений какой бы то ни было механической величины, не зависящей исклочительно от длин и масс. Мы здесь предположим, что предуказано отношение $\vee$ скоростей, поскольку скорости сами по себе икеют в том случае, который нас теперь занимает, особенно важное значение с точки зрения практического применения этоп задачи. Отношение у скоростей связано с отношениями $\lambda$ и г длин и времен соотношением
\[

u=\lambda \tau^{-1} \text { пли } \tau=\lambda
u^{-1} ;
\]

вместе с тем, для механических величин, имеющих отюоительно длин, времен п масс размеры $n_{1}, n_{2}, n_{3}$, отношение
\[
\lambda^{n_{1}} \tau^{n_{2}} u^{n_{3}}
\]

прпнимает в нашем случае значение:
\[
\lambda^{n_{1}}\left(\lambda^{-1}\right)^{n_{4}} \lambda^{3 n_{3}}=\lambda^{n_{3}+n_{z}+3 n_{3}-n_{z}}
\]

ввиду того, что, с одной стороны, имеет место соотношение (14), а с другой стороны, вследствие матернального подобия, $
u=\lambda^{3}$.

Если теперь через $Q$ и $q$ обозначим меры (т. е. численные значения, выраженные в одной и той же системе единиц) какойлибо величины с размерами $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ для судна и для модели, то будем иметь:
\[
Q=\lambda^{n_{4}+n_{2}+3 n_{3}-n_{a}} q .
\]

Таки образом, папример, между мощностями II п $\pi$, необходимыми пля сообщения судеу и модели скоростей, находящихся в отношении v, будет иметь место зависимость:
\[
\Pi=\lambda^{2} v^{3} \pi .
\]
23. Чтобы дать пнтересное приложение формулы (15), покажем, в какой мере она оправдывает тенденцию, доминпрующую в современном судостроении, увеличивать размеры пароходов даже независимо от усовершенствования типа судна.

Чтобы не менять принятых уже обозначений, будем разуметь под $\Omega$ п а два парохода, подобные между собой геометрически и материально во всех своих частях, а следовательно, и в отнощении машин, винтов и т. д. Поставим себе, прежде всего, целью рассмотреть, в каком отношении находятся между собой скорости этих двух пароходов, когда соответствующие машины функционируют одинаковым образом.

Естественно, чтобы самая загача имела смысл, нужно, прежде всего, точно установить, что мн, собственно, разумеем под одинаковым функционированием машин. Мы, конечно; предполагаем, что тип обепх машин один и тот же; при этих условиях целесообразно говорить, что они одинаково функционируют, если в равные промежутки времени они поглощают количества угля, пропорциональные емкости соответствующих печеї, т. е. имеющие отношение $\lambda^{3}$.

С другой стороны, заметим, что на ходу работа, пронзводнмая тепловой машиной за даннсе время, находится в постоянном отношении к количеству поглощаемого топлива; это отношение зависит только от типа машины; таким образом в нашем случае әто отношение будет то же для машин $\Omega$ и.

Отсюда следует, что отношенке количеств угля, поглощаемых обеими машинами в единицу времени, не может отличаться от отношения мощностей обеих машин, т. е. по формуле (15) от $\lambda^{2} v^{3}$; учитывая двоякий расчет, полученный для отношения количеств поглощаемого угля на обоих судах в условиях одинакового функционирования, мы заключаем, что должно иметь место равенство:

откуда следует, что
\[
\begin{aligned}
\lambda^{3} & =\lambda^{2}
u^{3}, \\

u & =\sqrt[3]{\lambda} ;
\end{aligned}
\]

виесте с тем искомое отношение скоростей $V$ и $v$ двух пароходов будет:
\[
V=\sqrt[3]{\lambda} v
\]

это значит: в условиях одинакового бункционирования машин скорость возрастает, как корень кубичный из отношения длин. С другой стороны, на обоих судах объеиы, а следовательно, и тоннажи находятся, как и расходы топлива, в отношении $\lambda^{3}$; мы видим, таким образом, что при равинх временах стоимость транспорта, отнесенная к тонне, остается та же в обоих случаях. Но при равенстве пробега более быстрое судно имеет, очевидно, преимущество, так как расходы по транспорту (отнесенные, например, к тонне на километр) оказываотся обратно пропорциональными скоростям. Таким образом стонмость перевозки тонны на километр на судне $Q$ составляет
\[
\frac{1}{\sqrt[3]{\lambda}}
\]

аналогичной стоимости на судне ш.
Положим, например, что $\omega$ есть судно длиной в 100 м, которое делает нормально 20 узлов в час (один узел равен одной морской миле или 1852 м); если построим подобное судно в 130 м длины, то будем располагать скоростью в
\[
20 \sqrt[9]{\frac{130}{100}}=20 \cdot 1,091=21,82,
\]
т. е. почти 22 узла; стоимость провоза тонны на километр снизится на $\frac{1}{1,091}=0,916$ цены на пароходе $\omega$; мы получилп бы, таким образом, экономию, превосходящую $8 \%$, помимо преимущества более быстрой доставки.
24. Примем теперь для обоих судов $Q$ и а ту же самую скорость ( $y=1$ ); соотношение (15) показывает, что отношение мощностей, которыми для әтого должны располагать машины, должно быть равно $\lambda^{2}$. Предположим далее, по крайней мере в пределах довольно грубого приближения, что отношение мощностей совпадает с отношением количеств топлива, поглощаемых в одинаковое время; тогда для соответствующих расходов $S$ и $s$ мы можем положить:
\[
\frac{S}{s}=\lambda^{2} ;
\]

с другой стороны, отношение тоннажей $\frac{K}{k}$ всегда совпадает с отношением объъемов; отсюда следует, что
\[
\frac{S}{K}: \frac{\dot{\varepsilon}}{k}=\frac{1}{\lambda} .
\]
$S$ п $s$ представляют расходы в одинаковые промежутки времени; относя их, в частности, к промежутку времени (одинаковому ввиду принлтого равенства скоростей), в которое оба судна проходят 1 км, мы замечаем, что два отношения $\frac{K}{S}$ и $\frac{s}{k}$ представляют собой не что иное, как стоимости перевозки тонны на километр. Этот расход для судна О составляет, таким образом, приблизительно $\frac{1}{\lambda}$ часть аналогичного расхода на судне $\omega$. В предыдущем примере $\frac{1}{\lambda}=\frac{100}{130}=0,769$. Экономия достигает, таким образом, $23 \%$ без потери в скорости.

Эти соображения не имеют вполне точғого количественного значения; но они достаточно определенно свидетельствуют, что тенденция к стрәению морских колоссов имеет ясно выраженные преимущества.
25. Итак, в случаях, когда можно пренебречь влиянием тяжестн, мы располагаем еще одним отнопением, которое вместе с $\lambda$ определяет механическое подобие. Приведем еџџе один пример для иллюстрации преимущества, которое это может дать.

Рассмотрим так называемые винтовые пропеллеры, применяемые на судах и дирижаблях (в случае самолетов совершенно пренебрегать весом невозможно).

Наиболее отчетливой характеристикой действия пропеллера является чилло оборотов винта в секунду; как механическая величина, оно представллет собой, очевидно, не что иное, каг угловую скорость, а потому имеет размерность $\left[t^{-1}\right]$.

Если мы теперь сравним два пропеллера $\mathbf{O}$ и ю, подобные геометрически и материально, то отношение $\gamma$ между числами оборотов соответствующих винтов в секунду выразится, в условиях механического подобил, через
\[
\gamma=7^{-1} \text {. }
\]

C другон стороны, материальное подобие налагает, как обыкновенно, на массы и объемы соотношение $\mu=\lambda^{3}$; вследствие этого гомологичные значения $Q$ и $q$ одной и той же механической величины с размерами $n_{1}, n_{2}, n_{3}$, вычисленне для $Q$ п , связаны равенством:
\[
Q=\lambda^{n_{1}+3 n_{3}} \gamma^{-n_{2}} q .
\]

Таким образом, в частности, для движущих сил $F$ и $f\left(n_{1}=1\right.$, $n_{2}=-2, n_{3}=1$ ) и для мощностей II II $\pi\left(n_{1}=2, n_{2}=-3, n_{3}=1\right)$ имеют место соотношения:
\[
H^{\prime}=\lambda^{4} \gamma^{2} f, \quad I I=\lambda^{5} \gamma^{3} \pi .
\]

В первую очередь, мы эти формулы применим к одному иा тому же пропеллеру $(\lambda=1)$ в двух различных режимах его действия; положим, что $\gamma$ есть отношение чисел оборотов, производимых винтом в секунду в одном и другом режиме; мы легко найдем, что отношение
\[
\frac{F^{3}}{\bar{\Pi}^{2}}
\]

не зависит от $\gamma$; иными словамг, отношение между кубом продвигающей силы и квадратом мощности представляет собой постоянную, характерную для пропеллера (размерности $l^{-1} m$ ).

Теперь сравиим фупкционирование двух каких-либо подобчых пропеллеров. Исключая $\gamma$ нз соотношениї (16), мы найдем:
\[
F=\frac{t}{\pi} \lambda^{\frac{2}{3}} 11^{\frac{3}{3}}
\]

обозначая поэтому через $c$ отношение
\[
\frac{f}{\tau}
\]
[кубичный корень из характеристической постоянной (17) пропеллера ш], мы видим, что можно считать раз навсегда
\[
F=c \lambda^{\frac{2}{3}} \Pi^{\frac{2}{3}} .
\]

Эта формула приводит к интересному выводу; диаметр $\lambda$ винта II моцность, с которой функционирует мотор, по крайней мере в известных границах, находятся в распоряжении экспериментатора и потому могут быть рассматриваемы как две независимые переменные (предполагается, гонечно, что эксперименты производятся над пропеллерами одного и того же типа).

Мы не будем здесь останавливаться долее на этом соображении; прибавим только, что Ренар (Rénard, умер в 1905 г.) вывел из этих принципов очень изящные теоремы и замечательные практические следствия для так называемых геликоптеров (аппараты для поддержания определенной высоты, схематически состоящие из винта, вращающегося вокруг вертикальной оси). Ныне геликоптеры отошли на второй план по сравнению с аәропланами.