Как сказано в предисловии, в русском пздании настоящего сочинения изменена схема векторного алгорифма, которым пользуются авторы. Внесенные изменения носят двоякий характер. Во-первых, для выполнения стандарта векторных обозначений, принятого Комитетом по стандартизации СССР, изменены некоторые обозначения. Во-вторых, то своеобразное соединение векторного исчисления с точечным, которым пользуются авторы, приведено к единсй векторной схеме в соответствии с преподаванием векторного исчисления в наших высших учебных заведениях, более того-в соответствии с тем векторным алгорифмом, который принят в настоящее время во всем мире, кроме итальянской школы. Векторное исчисление еще ведет в нашей школе борьбу не только за свое преобладание, но часто даже за самое свое существование. Если при колеблющихся симпатиях к нему внести в схему и в алгорифм векторного исчисления разнобой, то это даст оружие в руки его противников и может привести если не к поражению, то к снижению того веса, который оно может и должно иметь в нашей литературе и в нашей школе. Таковы причины, которые заставили нас внести в символику и в алгорифм авторов некоторые изменения.

И все же нужно сказать, что мы не легко на әто решились. Авторитет ученых, перу которых принадлежит настоящая книга, настолько велик, что позволить себе вносить в их текст изменения не так легко и не так просто. И это тем более существенно, что своеобразный алгорифм, которого придерживаются Леви-Чивита и Амальди, конечно, отнюдь не является случанным. Напротив, это принципиальная установка, за которую итальянская пюола, в свою очередь, ведет борьбу. Поэтому, чтобы не вытравить воззрений авторов, чтобы дать четкое представление о том, чем отличается их схема от нашей, мы здесь изложим, в чем заключается расхождение.

В обозначениях скалярного п векторного произведений двух векторов в литературе царит большой разнобой. Так, скалярное произведение векторов $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ одни автору [Гиббс (Gibbs), Лагалли (Lagally)] обозначают символом $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$, другие [Бурали-Форти (Burali-Forti), Марколонго (Marcolongo)] символом $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, третьи (Шпильрейн) пишут просто $a b^{1}$ ), четвертые [Абрагам (Abraham)] часто употребляют круглые скобки (ab). Для обозначения векторного пропзведения одни авторы пользуются косым крестом $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ (Гиббс), другие особым знаком $\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}$ (Бурали-Форти), третьи прямоугольными скобками $[\boldsymbol{a b}]$ (Абрагам).

Различные авторы пользуются при совместном обозначении произведений того и другого типа разными комбинациями этих схем.

Тенденции к установлению единообразной схемы обозначений, как мы указали в предисловии, не привели к общему соглашению. Но две школы приобрели преобладающее значение.

Первая жемеикая школа получила выражение в гёттингенской „Энциклопедии“ (\”Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften\”), – она обозначает скалярное произведение через $a b$, векторное через $[a b]$.

Но если в немецкой „Энциклопедии“ векторный стандарт занимает небольшое и в то же время несколько случайное место, то вторая, итальянская векторная школа, руководимая БуралиФорти и Марколонго, занялась вопросом стандартизации векторных обозначений весьма тщательно и принципиально. Принятый ими стандарт получил систематическое применение в своеобразной энциклопедии всктордого исчисления, которую выпускают итальянцы ${ }^{2}$ ). Здесь скалярное произведение обозначается косым крестом $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, а векторное особым знаком: $\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}$. Насколько нам известно, все итальянские геометры пользутся әтим стандартом. Он проведен авторами и в настоящем сочинении.

Однако авторитет гёттингенской „Энциклопедии“, с одной стороны, и некоторые своеобрагные, не всегда удачные, особенности итальянского стандарта, с другой стороны, дали немецкой схеме преобладание. Если итальянцы сохранили и развивают свой стандарт с выдержанной последовательностью, то в других странах долгое время почти безраздельно господствовала немецкая схема. Она была принята также Комитетом по стандартизации CCCP. В соответствии с этим она проведена и в настоящем сочинении.

Нужно, однако, сказать, что в самые последние годы в западной литературе преобладает тенденция обозначать векторное произведение особнм знаком, – чаще всего косым крестом. Заявление о внесении этого изменения в векторную схему внесено в Комитет по стандартизации и теперь обсуждается в различных математических учреждениях. Если в наш стандарт будут внесены изменения, то әто, конечно, найдет отражение и в последующих изданиях настоящего сочинения.
1) В то же время Гиббс сохраняет символ $\boldsymbol{a b}$ для обозначения диады. а Ппильрейн, напротнв, обозвачает днаду через $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$.
2) Analisi vettoriale generale e applicozioni Bologna, 1919-1931.

Вторая особенность, относяцаяся уже к самому алгорифму векторного исчисления, также входит в состав итальянского стандарта. Она представляет собой своебразное соединение векторного исчисления с точечным.

Точечное исчисление, как известно, ведет свое начало от Мёбиуса ${ }^{1}$ ). Его барицентрическое исчисление представляет собой геометрическую алгебру, в которой объектами алгебраических операций служат „метризованные точки“, т. е. геометрические точки, каждой из которых отнесено некоторое действительное число.

Представим себе $k$ точек $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$, которым отнесены числа $m_{1}, m_{2} \ldots, m_{k}$. \”Метризацию\” можно представлять себө так, что в каждой из этих точек сосредоточена некоторая масса, материальная или, лучше, электрическая (могущая иметь как положительное, так отрицательное значение); точку $A$ с сосредоточенной в ней массой $m$ Мёбиус символически обозначает через $m A$, т. е. формально рассматривает метризованную ${ }^{2}$ ) точку как произведение из точки на число; действительный смысл этого соглашения заключается, однако, только в том, что под произведением $m A$ нужно разухеть точку $A$, которой отнесено число $m$, или, конкретнее, в которой сосредоточена масса $m$.

Под суммой метризованных точек $m_{1} \boldsymbol{A}_{1}, m_{2} A_{2}, \ldots, m_{k} A_{k}$ Мёбиус разумеет метризованную точку, совпадающую с центром масс данной системы точек и несущую массу, равную сумме масс, сосредоточенных в этих точках. Это Мёбиус выражает:
\[
\begin{aligned}
m A & =m_{1} A_{1}+m_{2} A_{2}+\ldots+m_{k} A_{k}, \\
m & =m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{k} .
\end{aligned}
\]

Таким образом установлена операция сложения метризованных точек; это соглашение служит основой всего барицентрического исчислевия. В школе Грассмана точечное исчисление получило углубленное дальнейшее развитие ${ }^{3}$ ). Точкой отправления при этом служат следующие соображения.

В одном случае основное определение Мёбиуса становится дефектным; әто имеет место, когда сумма масс системы равна нулю; центра масс в этом случае не существует. В частности, сумма двух метризованных точек не определена, когда они несут массы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку; центра масс не существует; две равные параллельные
1) A. Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827. Gesammelte Werke, Bd. 1 .
2) Термин мметрнзованная точка принадлежит Грассману.
3) Современное изложение точечного исчисления мижно найти в сочинениях:
R. M $\operatorname{hmke}$, Verlesungen über Punkt und Vectorrećhnung, Leipzig 1913, r. I.
H. Grassman n, Projektive Geometrie der Ebene unter Benutzung der Punktrechnung dargestellt, Leipzig 1909 , т. I.
Lotze, Punkt und Vektorrechnung, Leipzig 1929.

силы, приложенные к двум различным точкам и обращеннце в противоположные стороны, не имеют равнодействующей. Если принять общую величину этих масс (этих сил) за единиду, то придем к тому, что определение Мёбиуса не устанавливает, что такое $A_{1}-A_{2}$, ве определяет разности двух точек. Возникающее отсюда затруднение составляет несомненный дефект барицентрической алгебры, который Мёбпус восполняет обходным путем.

Грассман пришел к своебразной идее восполнения этого пробела ${ }^{1}$ ); она ваключается в следующем. Разность $B-A$ двух точек $(B, A$ ) есть нечто, что надлежит \”придать\” к точке $A$, чтобы притти к точке $B$. Рассматривая это „придаваемое“ как путь, который нужно пройти, чтобы из точки $A$ притти в точку $B$, Грассман принимает за разность $B-A$ вектор $\overline{A B}$, т. е. полагает
\[
B-A=\overline{A B} \text { нии } B=A+\overline{A B}
\]
(по вектору $\widehat{A B}$ мы кратчайшим путем приходим из точки $A$ в $B$ ).
Нужно сказать, что это соглашение менее искусственно, чем әто кажется на первый взгляд. Оно положило начало так называемой „экстенсивной алгебре“, т. е. такой алгебре, в которой результатом той или иной операции может служить объект более высокой ступени, нежели те объекты, над которыми әта операция производится. (Разность двух точек есть отрезок.)

В этом порядке идей уже Грассман пироко развил точечную алгебру. Однако из всей схемн Грассмана итальянская школа сохранила только основное положение [!]. В соответствии с этим в итальянском ставдарте вектор $\overline{A B}$ систематически обозначается через $B-A$; замена точки $B$ суммой $A+\overline{A B}$ производится в вычислениях всегда, когда это представляется целесообразным. Хотя әто часто действительно полезно, но әто соединение „интенсивной“ векторной алгебры с пбктенсивной“ точечной вне Италии не привилось, – в частности, не вошло ни в наш стандарт, ни в нашу школу. Мы от этой схемы были поэтому вынуждены отказаться и перешли к чисто векторному алгорифму. Заметим, что каких-либо существенных пзменений текста это нигде не потребовало.

В механике, конечно, целесообразно рассматривать положение $P$, занимаемое движущейся точкой в момент $t$, как функцию времени: $P=P(t)$. С точки зрения точечного исчисления элемент пути можно представить бесконечно малым вектором $P(t+\Delta t)-P(t)$ и поэтому скорость в комент $t$ можно рассматривать как предел отношения:
\[
\frac{P(t+\Delta t)-P t}{\Delta t}
\]

при $\Delta t \rightarrow 0$. Сообразно этому авторы обозначакт скорость свое-
1) $К$ совершенно той жө идөе $\mathrm{K}$ концу жизви припел Мёйус мөзависимо от Грасомана.

образной „точечной производной“ $\frac{d P}{d t}=p(t)$ пли просто $P$. Но мы придем к тому же, если будем обозначать через Ррадиусвектор точки $P$ от неподвижного начала $O$. Скорость представляется производной $\frac{d P}{d t}$. Чтобы возможно меньше менять текст. оригинала, мы сохранили обозначение $P$ для производной $\frac{d P}{d t}$ : читатель может понимать ее как проивводную точки – функции времени – или, не отходя от векторного алгорнфма, как производную радиуса-вектора по времени. $\qquad$