Главная > KУPC ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ТОМ ПЕРВЫЙ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ (Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА И У. АМАЛЬДИ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Как сказано в предисловии, в русском пздании настоящего сочинения изменена схема векторного алгорифма, которым пользуются авторы. Внесенные изменения носят двоякий характер. Во-первых, для выполнения стандарта векторных обозначений, принятого Комитетом по стандартизации СССР, изменены некоторые обозначения. Во-вторых, то своеобразное соединение векторного исчисления с точечным, которым пользуются авторы, приведено к единсй векторной схеме в соответствии с преподаванием векторного исчисления в наших высших учебных заведениях, более того-в соответствии с тем векторным алгорифмом, который принят в настоящее время во всем мире, кроме итальянской школы. Векторное исчисление еще ведет в нашей школе борьбу не только за свое преобладание, но часто даже за самое свое существование. Если при колеблющихся симпатиях к нему внести в схему и в алгорифм векторного исчисления разнобой, то это даст оружие в руки его противников и может привести если не к поражению, то к снижению того веса, который оно может и должно иметь в нашей литературе и в нашей школе. Таковы причины, которые заставили нас внести в символику и в алгорифм авторов некоторые изменения.

И все же нужно сказать, что мы не легко на әто решились. Авторитет ученых, перу которых принадлежит настоящая книга, настолько велик, что позволить себе вносить в их текст изменения не так легко и не так просто. И это тем более существенно, что своеобразный алгорифм, которого придерживаются Леви-Чивита и Амальди, конечно, отнюдь не является случанным. Напротив, это принципиальная установка, за которую итальянская пюола, в свою очередь, ведет борьбу. Поэтому, чтобы не вытравить воззрений авторов, чтобы дать четкое представление о том, чем отличается их схема от нашей, мы здесь изложим, в чем заключается расхождение.

В обозначениях скалярного п векторного произведений двух векторов в литературе царит большой разнобой. Так, скалярное произведение векторов a и b одни автору [Гиббс (Gibbs), Лагалли (Lagally)] обозначают символом ab, другие [Бурали-Форти (Burali-Forti), Марколонго (Marcolongo)] символом a×b, третьи (Шпильрейн) пишут просто ab1 ), четвертые [Абрагам (Abraham)] часто употребляют круглые скобки (ab). Для обозначения векторного пропзведения одни авторы пользуются косым крестом a×b (Гиббс), другие особым знаком ab (Бурали-Форти), третьи прямоугольными скобками [ab] (Абрагам).

Различные авторы пользуются при совместном обозначении произведений того и другого типа разными комбинациями этих схем.

Тенденции к установлению единообразной схемы обозначений, как мы указали в предисловии, не привели к общему соглашению. Но две школы приобрели преобладающее значение.

Первая жемеикая школа получила выражение в гёттингенской „Энциклопедии“ (\»Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften\»), — она обозначает скалярное произведение через ab, векторное через [ab].

Но если в немецкой „Энциклопедии“ векторный стандарт занимает небольшое и в то же время несколько случайное место, то вторая, итальянская векторная школа, руководимая БуралиФорти и Марколонго, занялась вопросом стандартизации векторных обозначений весьма тщательно и принципиально. Принятый ими стандарт получил систематическое применение в своеобразной энциклопедии всктордого исчисления, которую выпускают итальянцы 2 ). Здесь скалярное произведение обозначается косым крестом a×b, а векторное особым знаком: ab. Насколько нам известно, все итальянские геометры пользутся әтим стандартом. Он проведен авторами и в настоящем сочинении.

Однако авторитет гёттингенской „Энциклопедии“, с одной стороны, и некоторые своеобрагные, не всегда удачные, особенности итальянского стандарта, с другой стороны, дали немецкой схеме преобладание. Если итальянцы сохранили и развивают свой стандарт с выдержанной последовательностью, то в других странах долгое время почти безраздельно господствовала немецкая схема. Она была принята также Комитетом по стандартизации CCCP. В соответствии с этим она проведена и в настоящем сочинении.

Нужно, однако, сказать, что в самые последние годы в западной литературе преобладает тенденция обозначать векторное произведение особнм знаком, — чаще всего косым крестом. Заявление о внесении этого изменения в векторную схему внесено в Комитет по стандартизации и теперь обсуждается в различных математических учреждениях. Если в наш стандарт будут внесены изменения, то әто, конечно, найдет отражение и в последующих изданиях настоящего сочинения.
1) В то же время Гиббс сохраняет символ ab для обозначения диады. а Ппильрейн, напротнв, обозвачает днаду через ab.
2) Analisi vettoriale generale e applicozioni Bologna, 1919-1931.

Вторая особенность, относяцаяся уже к самому алгорифму векторного исчисления, также входит в состав итальянского стандарта. Она представляет собой своебразное соединение векторного исчисления с точечным.

Точечное исчисление, как известно, ведет свое начало от Мёбиуса 1 ). Его барицентрическое исчисление представляет собой геометрическую алгебру, в которой объектами алгебраических операций служат „метризованные точки“, т. е. геометрические точки, каждой из которых отнесено некоторое действительное число.

Представим себе k точек A1,A2,,Ak, которым отнесены числа m1,m2,mk. \»Метризацию\» можно представлять себө так, что в каждой из этих точек сосредоточена некоторая масса, материальная или, лучше, электрическая (могущая иметь как положительное, так отрицательное значение); точку A с сосредоточенной в ней массой m Мёбиус символически обозначает через mA, т. е. формально рассматривает метризованную 2 ) точку как произведение из точки на число; действительный смысл этого соглашения заключается, однако, только в том, что под произведением mA нужно разухеть точку A, которой отнесено число m, или, конкретнее, в которой сосредоточена масса m.

Под суммой метризованных точек m1A1,m2A2,,mkAk Мёбиус разумеет метризованную точку, совпадающую с центром масс данной системы точек и несущую массу, равную сумме масс, сосредоточенных в этих точках. Это Мёбиус выражает:
mA=m1A1+m2A2++mkAk,m=m1+m2++mk.

Таким образом установлена операция сложения метризованных точек; это соглашение служит основой всего барицентрического исчислевия. В школе Грассмана точечное исчисление получило углубленное дальнейшее развитие 3 ). Точкой отправления при этом служат следующие соображения.

В одном случае основное определение Мёбиуса становится дефектным; әто имеет место, когда сумма масс системы равна нулю; центра масс в этом случае не существует. В частности, сумма двух метризованных точек не определена, когда они несут массы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку; центра масс не существует; две равные параллельные
1) A. Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827. Gesammelte Werke, Bd. 1 .
2) Термин мметрнзованная точка принадлежит Грассману.
3) Современное изложение точечного исчисления мижно найти в сочинениях:
R. M hmke, Verlesungen über Punkt und Vectorrećhnung, Leipzig 1913, r. I.
H. Grassman n, Projektive Geometrie der Ebene unter Benutzung der Punktrechnung dargestellt, Leipzig 1909 , т. I.
Lotze, Punkt und Vektorrechnung, Leipzig 1929.

силы, приложенные к двум различным точкам и обращеннце в противоположные стороны, не имеют равнодействующей. Если принять общую величину этих масс (этих сил) за единиду, то придем к тому, что определение Мёбиуса не устанавливает, что такое A1A2, ве определяет разности двух точек. Возникающее отсюда затруднение составляет несомненный дефект барицентрической алгебры, который Мёбпус восполняет обходным путем.

Грассман пришел к своебразной идее восполнения этого пробела 1 ); она ваключается в следующем. Разность BA двух точек (B,A ) есть нечто, что надлежит \»придать\» к точке A, чтобы притти к точке B. Рассматривая это „придаваемое“ как путь, который нужно пройти, чтобы из точки A притти в точку B, Грассман принимает за разность BA вектор AB, т. е. полагает
BA=AB нии B=A+AB
(по вектору AB^ мы кратчайшим путем приходим из точки A в B ).
Нужно сказать, что это соглашение менее искусственно, чем әто кажется на первый взгляд. Оно положило начало так называемой „экстенсивной алгебре“, т. е. такой алгебре, в которой результатом той или иной операции может служить объект более высокой ступени, нежели те объекты, над которыми әта операция производится. (Разность двух точек есть отрезок.)

В этом порядке идей уже Грассман пироко развил точечную алгебру. Однако из всей схемн Грассмана итальянская школа сохранила только основное положение [!]. В соответствии с этим в итальянском ставдарте вектор AB систематически обозначается через BA; замена точки B суммой A+AB производится в вычислениях всегда, когда это представляется целесообразным. Хотя әто часто действительно полезно, но әто соединение „интенсивной“ векторной алгебры с пбктенсивной“ точечной вне Италии не привилось, — в частности, не вошло ни в наш стандарт, ни в нашу школу. Мы от этой схемы были поэтому вынуждены отказаться и перешли к чисто векторному алгорифму. Заметим, что каких-либо существенных пзменений текста это нигде не потребовало.

В механике, конечно, целесообразно рассматривать положение P, занимаемое движущейся точкой в момент t, как функцию времени: P=P(t). С точки зрения точечного исчисления элемент пути можно представить бесконечно малым вектором P(t+Δt)P(t) и поэтому скорость в комент t можно рассматривать как предел отношения:
P(t+Δt)PtΔt

при Δt0. Сообразно этому авторы обозначакт скорость свое-
1) К совершенно той жө идөе K концу жизви припел Мёйус мөзависимо от Грасомана.

образной „точечной производной“ dPdt=p(t) пли просто P. Но мы придем к тому же, если будем обозначать через Ррадиусвектор точки P от неподвижного начала O. Скорость представляется производной dPdt. Чтобы возможно меньше менять текст. оригинала, мы сохранили обозначение P для производной dPdt : читатель может понимать ее как проивводную точки — функции времени — или, не отходя от векторного алгорнфма, как производную радиуса-вектора по времени.

1
Оглавление
email@scask.ru