33. Равномерное круговое дпажение. Пусть точка $P$ (фиг. 41) двнжется по окружности радиуса $r$, уравнение которой при совмещении начала координат с ее центром имеет вид:
\[
x^{2}+y^{2}=r^{2} ;
\]

движение точки будет определено, голь скоро аномалия радиуса-вектора $\overline{O P}$ будет выражена в функции времени $\theta(t)$.

Уравнения движения будут (рубғ. 19):
\[
x=r \cos \theta(t), y=r \sin \theta(t):
\]
2 скорость будет иметь компоненты:
G’u1. 41.
\[
x=-r \dot{0} \sin \theta, \quad y=r \dot{0} \cos \theta ;
\]

этсюда напряжение скорости
\[
v=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r|0|,
\]
т. е. скорость точки $P$ в любой момент равна проивведепию ра диуса траектории $r$ на абсолютную величину угловой скорости $\dot{\theta}$; это можно было предвидеть на основе рубр. 19, поскольку в этом случае длина радиуса-вектора $\overline{O P}$ остается постоянной, радиальная скорость, таким образом, равна нулю, п скорость точки $P$ сводится к поворотной ее слагающей.
Чтобы поэтому круговое движение было равномерным ${ }^{1}$ ), не-
1) То есть ихело постояиную скалярную скорость. (Pед.)

янное значение. Если тогда обэзначпм через ю это постоянное значение $\dot{j}$, то
\[
\theta=\omega t+\theta_{0},
\]

где $\theta_{0}$ есть аномалия точки $P$ в момент $t=0$.
Отсюда следует, что урабнения равномерного кругового движения (при радиусе $r$ и угловой скорости ш) имеют вид:
\[
x=r \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right), \quad y=r \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right) .
\]

В зависимости от того, имеет ли ш положительное или отрицательное значение, точка $P$ движется в положительную сторону (в сторону возрастания аномалий) или в отрицательную. Компоненты скорости имеют знячения:
\[
\dot{x}=-r \omega \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right)=-\omega y, \quad \dot{y}=r \omega \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right)=\omega x .
\]

Отсюда получаем компоненты ускорения
\[
\ddot{x}=-\omega \dot{y}=-\omega^{2} x, \quad \ddot{y}=\omega \dot{x}=-\omega^{2} y,
\]

откуда
\[
a=-\omega^{2} \bar{O} \bar{P}
\]

это означает, что ускорение имеет постоянное напряжение $\omega^{2} r$ и всегда направлено от точки $P$ к центру круга; это находится в полном согласии с результатами, установленными в рубр. 26, так как мы имеем здесь дело с равномерным движением, а потому ускорение должно быть целиком центростремительным.

За промежуток времени $\frac{2 \pi}{\omega}$ точка $P$ всегда возвращается в то же положение с тою же скоростью и с тем же ускорением, как это следует из формул (39), (40) и (41); это выражают в словах так, что равномерное круговое движение есть периодическое движение с периодом $\frac{2 \pi}{\omega}$.
34. Гарионическое колебание. Возвращаясь к равномерному круговому движению точки $p$; рассмотрим движение проекции ее на один из диаметров, например, проекции $P_{x}$ точки $P$. на ось $x$. В то время как точка $P$ в своем движении делает некоторое число оборотов по окружности, точка $P_{x}$ совершает столько же колебаний от $A$ до $B$, и обратно. Прямолинейное движение точки $P_{x}$ называется гармоническим колеоанием; оно имеет очень большое значение, так как дает кинематическое отображение самого важного типа многих физических колебательных явлений (упругих, звуковых, световых), когда можно пренебречь так называемыми пассивными сопротивлениями (трением, вязкостью, сопротивлением среды и т. п.). Существуют также явления (особенно в оптике и в теории электричества, например, в теории вращающихся магнитных полей), при которнх физическое значение получают как колебательное движение точки $P_{x}$, так и равномерное вращение вектора $\overrightarrow{O P}$. Заметим, далее, qто всякое пернодическое движение может быть разложено на большее или меньшее число- иногда даже на бесконечно большое число – гармонических колебаний.
Уравнение гармонического движения име ет вид:
\[
x=r \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right)
\]
[первое пз уравнений (39) предыдущей рубрики]; его скорость и ускорение выражаются первнми из уравнений (40) и (41), именно:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=-r \omega \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right)=-\omega y, \\
\ddot{x}=-\omega^{2} x .
\end{array}
\]

Гармоническое движение имеет ту же периодичность, что и соответствующее круговое движение; это значит, через промежуток времени $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ точка $P_{x}$ всегда вновь проходит через то же положение с тою же скоростью и с тем же ускорением.

IІромежуток времени $T$ называется периодом гармонического колебания, а обратное число $\frac{1}{T}$ (т. е. число – целое, дробное или даже иррациональное – периодов, содержащихся в единице времени) называется частотой колебания; число же $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ называется цикличсской или кругвой частотой-оно совпадает с угловой скоростью соответствующего кругового движения.

Наконец, бином $\omega t+\theta_{0}$ (аномалия соответствующего положения точки $P$ ) называется фазой колебания в момент $t$, а просто название фазы сохраняется ва начальной фазой $\theta_{0}$. В соответствии с этим, если сверх движения (39) рассматривается еще другое гармоническое движение:
\[
x=r^{\prime} \cos \left(\omega t-+\theta_{0}^{\prime}\right),
\]

то говорят, что первое представляет по сравнению со вторым разность фаз $\theta_{0}$ – $\theta_{0}^{\prime}$ (разность предварения вли отставания, смотря по знаку). В качестве примера рассмотрим движение проекции тон же точки $P$, совершающей круговое движение, на ось $y$; оно происходит по закону, выражающемуся путевым уравнением [второе из уравнешин (39) предыдущей рубрики]:
\[
y=r \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right),
\]

которому можно также придать вид:
\[
y=r \cos \left(\omega t+\theta_{0}-\frac{\pi}{2}\right) ;
\]

мы можем поэтому сказать, что точка $P_{y}$, совершающая колебательное движение того же периода, что и $P_{x}$, представляет по сравнению с $P_{x}$ разность фаз – $\frac{\pi}{2}$; это есть отставание на четверть пернода, так как полный период соответствует разности физ $2 \pi$.

Из предыдущего легко сделать и обратное заключение: два гармонические движения, происходящие по двум взаимно перпендикулярным прямым около точки их пересечения с одинакозым периодом и одинаковой амплитудой, но с разницей фаз в четверть периода, складываютея в одно равномерное движе ние по окружности.
35. Из выражения (40), согласно которому скорость точки $P_{x}$ при любом ее положении пропорциональна ординате соответствующей точки $P$, следует, что в точке $A$ скорость колебания равна нулю и что она возрастает по абсолютной величине по мере того, как $P_{x}$ приближается к центру колебания $O$, достигая в ней наибольшего напряжения $\omega r$ (фаза ускорения); затем ее папряжение уменьшается (фаза замедления) и вновь обращается в нуль в точке $B$; при движении же от $B$ к $A$ движущаяся точка имеет в каждой точке отрезка $B A$ ту же скорость, что и при предыдущем прохождении через нее, только обращенную в противоположную сторону.
Так как, далее, соотношение $\left(40_{1}\right.$ ) можно написать в виде:
\[
\dot{x}=r \omega \cos \left(\omega t+\theta_{0}+\frac{\pi}{2}\right),
\]

то мы можем отсюда заключить, что скорость гармонических движений, в свою очередь, совершает гармонические же колебания с предварением на квадрант, т. е. на четверть периода по отношению к перемещению $x$.

Ускоренне ( $41_{1}$ ) всегда направлено $x$ џентру колео́аний и пропорчионально расстоянию от него точки ${ }_{2}^{\prime}$; таким образом оно достигает наибольшего своего абсолютного значения в точках $A$ и $B$ и обращается в нуль в центре. Оно также совершает гармопические колебания с предварением в полпериода по отношению к $x$.

Отметим, наконец, что (путевые) диаграммы колебательного движения точки, ее скорости п ускорения предсгавляют собою синусоиды.
36. Вследствие соотношения ( $41_{1}$ ) рубр. $3 \&$ в гаждом гармоническом двнжении с пернодом $\frac{2 \pi}{\omega}$ пли, что то ще, с циклической частотой $\omega$, ускорепие $\ddot{x}$ и абсцисса точки $x$ в каждый момент связапы уравнением:
\[
\ddot{x}+\omega 2 x=0,
\]

какова бы ни была амплитуда $r$ и начальная фаза $\theta_{0}$ расслатриваемого гармонического двнжения. Другимі словами, функция от $t$
\[
x=r \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right),
\]

какие бы ни были взяты значения постоянных $r$ п $\theta_{0}$, удовлетгоряет диферешциальному уравнению ( $\left.41^{\prime}\right)$; әто обыкновенное
диференциальное уравнение 2-го порядка, линейное и однородное, с постоянными коэфициентами.

Но из анализ нам хорошо известно, что диференциальное уравнение 2-го порядка допускает $\infty^{2}$ решений или частных интегралов, т. е., что ооиций интеграл такого диференцпального уравнения зависит от двух произвольных постоянных. Отсюда мы заключаем, что выражение $\left(39_{1}\right.$ ) представляет собою общий пюстоянные; еще пначе, это означает, что диференциальное уравнение (41′) определяет все гармонические движения с периодо.н $\frac{2 \pi}{\omega}$ (с произвольной амплітудой и произвольной фазой), « только эти движения.
37. Затухающие колебатетьные движения. Мы уже указали выше, что гармонические движения представляют наиболее простой тип перланентных колебатсиных дзшжений, т. е. таких, в которых движущаяся точка через равные шромежутки времени (nериоды) принимает те же геометрические и кинематические признаки. Укажем теперь здесь же напбогее простой тип затуаюющи колебательных дьижений, т. е. таких, последовательвые амплитуды которых уменьшаются, стремясь к нулю. Этого рода движения, как первичные элементы более сложных явлений, имеют не меньшее значение, чем гармонические: они, действительно, встречаются систематически при анализе естественных движений, имеющих колебательвый характер, когда нужно принять во внимание пассивные влиянкл.

Мы придем к әтого рода колебательным движениям, если представим себе, что радиус-вектор точки $P$ равномерно вращается (как и при гармоническом движевіи) вокруг неподвижной точкн $O$, и при этом сокращаетея; характером әтого сокращения определяется ход затухания рассматриваемого колебания, Мы остановимся на том случае, когда при вращении радиусавектора конечная его точка $P$ описывает логарифмическу спиү, ль с асимптотической точкой в центре вращения $O$.

Займөмся прежде всего изучениөм движения свободного конца $p$ радиуса-вектора при определенном таким образом его вращении. По отношению к обычной системе полярных координат с полюсом в точке $O$ уравнение логарифмической спирали, асимптотически приближающейся к точке $O$ с возрастанием аномалий (фиг. 42), имеет вид:
\[
\rho=a e^{-b \theta},
\]

где $a$ и $b$-произвольные положнтельные чісла, $\quad$ есть основание неперовых логарифмов (2,71828…).

Если вектор $\overline{O P}$ вращается в сторону возрастающих аномалии с постоянной угловой скоростью ш, то, как обыкновенно
\[
0=\omega t+\mathrm{i}_{0} \text {, }
\]

где $\oplus_{0}$ өсть аномалия в момент $t=0$. Если положим
\[
b \omega=\hbar, \quad a e^{-b \theta_{0}}=r,
\]

то уравнения движения будут:
\[
x=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right), \quad y=r e^{-h t} \sin \left(\omega t+\epsilon_{0}\right) .
\]

Следует отметить, что положения (44) вводят вместо постоянных $a$ и $b$, имеющих чисто геометрпческие вначения, выражения $h$ и $r$, завпсящие не только от $a$ п $b$, но и от кинематических постоянных $н$ п $\theta_{0}$. Corлашение 0 замене постоянных $a$ и $b$ через $h$ и $r$ носит чисто фориальный характер, т. е. имеет в виду по возможности упростить явные выраженпя декартовых координат, как это видно из формул (45).

Возвратимся еще на момент к формуле (42). Двум значенинм $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ аномалии $\theta$, отличающимся на $\Delta \theta$, так что
\[
\theta_{2}-\theta_{0}=\Delta 0,
\]

на логарифмической спирали отвечаот радиусы-векторы $\rho_{1}, \rho_{2}$, отнощение которых
\[
q=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=e^{-b \Delta \theta} ;
\]

вследствие первого из соотношений (44) можно также написать:
\[
q=e^{-\frac{h \Delta \theta}{\omega}} .
\]

Отсюда вытекает для логарифомической спирали вывод, что значениям аноматии $\theta$, нарастающим в арифметической прогрессии с постоянной разностью $\Delta \theta$, соответствуют значения радиуса-вектора р, изменяющиеся в геометрической прогрессии, знаменатель которой связан с $\Delta$ ф соотношением (46).
Особый интерес представляют следующие частные случан:
\[
\Delta \theta=\frac{\pi}{2}, \Delta \theta=\pi, \Delta \theta=2 \pi .
\]

Мы будем исхпдить для определенности от точки $\mathrm{X}_{1}$ спирали, лежащей на положительной полуоси $O x$. Двигаясь по спирали, начиная от точки $X_{1}$, таким образом, чтобы радиусвектор поворачивался каждый раз на $90^{\circ}$, мы придем последовательно к пересечениям кривой: с положительной полуосью $O y-$ в точке $Y_{1}$, с продолжением полуоси $O x-$ в точке $\Xi_{1}$, с продолжением полуоси $O y-B$ точке $\mathrm{H}_{1}$, вновь с осью $O x-$ в точке $X_{2}$ п т. д. Радиусы-векторы этпх пересечевин убывают в геометрической прогрессии шо формуле (46) в отношении
\[
q=e^{-\frac{h \pi}{2 \omega}} \text {. }
\]

При $\Delta \theta=\pi$ мы будем иметь дело с последовательными пересечениями спирали с осью абсцисс в гочках $X_{1}, \Xi_{1}, X_{2}, \Xi_{2}, \ldots$, попеременно то с одной стороны, то с другой стороны точки $O_{\text {; }}$ знаменателем прогрессии будет служить $e^{-\frac{h r}{\omega}}$.

Наконец, при $\Delta \theta=2 \pi$ речь. идет о последовательных пересеченпях кривой с положительной полуосью $O x$ в точках $X_{1}, X_{2}$, $X_{3}, \ldots$, причем знаменателем прогрессии, в которой будет убывать радиус-вектор, служит:
\[
q=e^{-\frac{2 h \pi}{\omega}} \text {. }
\]

Заметим, далее, что так как в движении по спирали, которое мы рассматриваем, изменение 6 , ввиду (43), является равномерным, то постоянным промежуткам времени $\Delta t$ соответствуют для $\theta$ интервалы $\Delta \theta=\omega \Delta t$, также постоянные. Если мы поәтому будем рассматривать моменты, отделенные друг от друга постоянным промежутком времени продолжительности $\Delta t$, то аномалии последовательных положений точки, движущейся по спирали, будут по формуле (48) убывать в постоянном отношении
\[
q=e^{-h \Delta t} \text {. }
\]
38. Диференцируя эти уравнения по $t$, мы отсюда получим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=r e^{-h t}\left[-h \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right)-\omega \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right)\right], \\
\dot{y}=r e^{-h t}\left[-h \sin \left(\omega t+\theta_{0}\right)+\omega \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right)\right],
\end{array}
\]

и, следовательно:
\[
\dot{x}=-h x-\omega y, \quad \dot{y}=-h y+\omega x .
\]

После вторичного диференцирования получим:
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{x}=-h \dot{x}-\omega \dot{y}=\left(h^{2}-\omega^{2}\right) x+2 h \omega y, \\
\ddot{y}=-h \dot{y}+\omega \dot{x}=\left(h^{2}-\omega\right) y-2 h \omega x .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда получаем для квадратов (скалярной) скорости и скалярного ускорения значения:
\[
\begin{array}{l}
v^{2}=\left(h^{2}+\omega^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(h^{2}+\omega^{2}\right) \rho^{2}, \\
a^{2}=\left(h+\omega^{2}\right)^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(h^{2}+\omega^{2}\right)^{2} \rho^{2} .
\end{array}
\]

Мы видим отсюда, что скорость и ускорение точки $P$ убывают таким же образом, как и радиус-вектор $\rho=O P ;$ в частности, когда t неограниченно возрастает, они стрелятся к нулю, как $p=e^{-h t}$; әто выражение для р вытекает из соотношений (42), (43) и (44).

Так как, далее,
\[
\frac{x}{\rho}, \frac{y}{\rho}
\]

суть направляющие косинусы радиуса-вектора $\overline{O P}$, а вследствие предыдущего выражения для $v$
\[
\frac{\dot{x}}{v}=\frac{\dot{x}}{\rho \sqrt{h^{2}+\omega^{2}}}, \quad \frac{\dot{y}}{v}=\frac{\dot{y}}{\rho \sqrt{h^{2}-\omega^{2}}}
\]

суть направляющие косинусы скорости точки $P$ (касательной к траектории в точке $P$ ), то угол $\alpha$ между этими направлениями дается выракением:
\[
\cos \alpha=\frac{x \dot{x} \frac{1}{2} \dot{y}}{\rho^{2} \sqrt{h^{2}+\omega^{2}}},
\]

пли вследствне соотношения (47):
\[
\cos \alpha=-\frac{h}{\sqrt{h^{2}-\omega^{2}}},
\]

илі же, еще проще,
\[
\left.\operatorname{tg} \alpha=-\frac{\omega}{h}^{1}\right) .
\]

Так как угол $\alpha$ оказывается постояжныи (т. е. не зависящим от времени), то мы әтим путем получаем хорошо известное свойство логарифмической спирали, что она встречает под однизі и тем же углом прямые, выходяиие из асилптотической точки $O$.

Через точку $O$ проведем во втором и четвертом квадрантах осевого креста прямую $O A_{0}$, образующую с осью $x$ угол $\alpha-\frac{\pi}{2}$; в каждой почке пересечения $A_{0}$ эпой прямой со спиралью касательная коследней будет перпендикулярна $\kappa$ оси $x$ (см. предыдущий рисунок), и других точек, обладающих этим свойством, очевидно, не будет. Для определенности предположим, что точка $A_{0}$ лежит в четвертом квацранте, и обозначим через $A_{1}, A_{2}, \ldots$ последовательные пересечения спирали с отрезком $O A_{0}$, считая от $A_{0}$ в сторону $O^{2}$ ); через $B_{0}, B_{1}, B_{2}, \ldots$ обозначим пересечения тех же завитков с лучом, обращеннкм в противоположную сторону.

Из соображений, изложенных в рубр. 37, следует, что отрезки $O A_{0}, O B_{0}, O A_{1}, O B_{1}, \ldots$ образуют убывающю гео-
1) Нужно иметь в виду, что при принятом нами предположении спираль стрелитея к пентру $O$ в сторону возрастающих аномалий; поэтому угол $\alpha$ всегда тушой.
2) Продолжение отрезка $O A_{0}$ пересечет спираль в еще бесчисленном множестве другіх точек, которые можно было бъ обозначить через $A_{-1}, A_{-2}, \ldots$; им соответствуют пересечения с теми же завитками точки $B_{-1}, B_{-2}, \ldots$ Но для определенности мы здесь рассматриваем движение точки $P$, начиная с момента. когда она ихходител в $A_{0}$.

метрическую прогрессию со знаменателем $e^{-\frac{h \text { s }}{\omega}}<1$ и потому стремятея к нулю.
39. Установив все это, будем теперь совместно с движением почки $P$ по логарифмической спирали, которое мы изучали до сих пор, рассматривать также движение ее проекции $P_{x}$ на ось $x$. Точка $P_{x}$, очевидно, совершает колебания; если будем рассматривать движение точки $P$, начиная с положения $\boldsymbol{A}_{0}$, то крайними точками последовательных колебаний, или местами остановки точки $P_{x}$, будут проекции $A_{f^{\prime}}, B_{0}{ }^{\prime}, A_{1}^{\prime}, B_{1}^{\prime}, \ldots$ точек $A_{0}, B_{0}, A_{1}, B_{1}, \ldots$ спирали на ось $x$, пбо в этих точках скорость точки $P$ всегда перпендикулярна к оси $x$, а потому скорость проекции равна нулю. Отрезви $O A_{0}{ }^{\prime}, O B_{0}{ }^{\prime}, O A_{1}{ }^{\prime}, O B_{1}{ }^{\prime}, \ldots$ (амплитуды последовательных полуколебаний), совпадающие с абсциссами последовательных пересечений $A_{0}, B_{0}, A_{1}, B_{1}, \ldots$ спирали с той же прямой, проходящей через начало, образуют, как мы видели в предыдущей рубрике, геометрическую прогрессию со знаменателем $e^{-\frac{h \pi}{\omega}}$, а поэтому стремятся к нулю; этим оправдывается название затухающего колебательного движения, которое присваивается движенио точки $P_{x}$.

Уравнением ватухаюего колебательного движения будет служить первое из уравнений (45), именно:
\[
x=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right) .
\]

Так как вектор $\overline{O P}$ вращается равномерно, то совершенно лсно, что между двумя последовательными прохождениями точки $P_{x}$ через полюс $O$ протекает промежуток времени постоянной иродолжительности $\frac{\pi}{\omega}$ (необходимой для того, чтобы увеличить на $\pi$ аномалню $\omega t+\theta_{0}$ точки $P$ ) и что $\frac{\pi}{\omega}$ представляет спбою постоянную продолжительность каждого простого колебания, протекающего между последовательными положениями $A_{0}$ и $B_{0}, B_{0}$ и $A_{1}$ и т. д. ${ }^{1}$ ). Поэгому будет также постоянной и равной $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ и продолжительность каждого полного колебания (от $A_{0}{ }^{\prime}$ до $A_{1}{ }^{\prime}$, от $B_{0}{ }^{\prime}$ до $B_{1}{ }^{\prime}$, от $A_{1}{ }^{\prime}$ до $A_{2}{ }^{\prime}$ и т. д.). Эта постоянная продолжительность полных колебаний называется
1) Нужно заметить, между прочим, что интервал простого колебания, скажем, например, $A_{i}^{\prime} B_{i}^{\prime}$, не делитея моментом прохождения точки через полюс $O$ пополам. Это становитея оғевидным, если заметим, что при равномерном вращенип вектора $\overrightarrow{O P}$ аномалии, соответствующие положениям $A_{i}{ }^{\prime}$ и $B_{i}{ }^{\prime}$, сравнимы по модулю $2 \pi$ соответственно с $\alpha-\frac{\pi}{2}$ и с $\alpha+\frac{\pi}{2}$, тогда как аномалип в точке $O$ всегда сравнимы с $\frac{\pi}{4}$ перидом затухающих колебаний, хотя совершенно ясно, что это движение не носит периодического характера (помимо постоянства продолжительности колебания).

Чтобы точнее выразить кинематические взменения, которые пропсходят в движенип точки $P_{x}$ за период $T=\frac{2 \pi}{\omega}$, обратимся вновь к точке $\ell$; припомним, что за промежуток $\frac{\pi}{\omega}$, т. е. за полупериод $\frac{T}{2}$, как координаты точки $P$, так и компоненты ее скорости и ускорения меняют знак, абсолютное же их аначение $e^{-\frac{h \tau}{\omega}} \cdot$ Если примем во вниубывает пропорционально в отнощении $e^{-\frac{\omega}{\omega}}$. Если примем во вни- мание, что $P_{x}$ есть проекция точки $P$ на ось абсцисс п что ее скоростью и ускорением служат проекции на ту же ось скорости и ускорения точки $P$, и объединим эффект, происходящий в течение двух последовательных полупериодов, т. е. в течение полного периода $T=\frac{2 \pi}{\omega}$, то мы придем к заключению, что ва промежуток времени $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ расстояние точки $P_{x}$ от полюса, а также соответствующие скорость и ускорение пропорионально снижаются (без изленения зяака) в отношении $e^{-\frac{2 h i}{\omega}}$ по сравнению с первоначальным их значением.

Таким образом каждый промежуток времени $T$ приносит с собою, так сказать, сокращение (затухание) всех характерных элементов движения в отношении $e^{-\frac{2 h \pi}{\omega}}$.

Как абсциссы, так и скорости и ускорения точки $P_{x}$, вычисленные для последовательных моментов, следующих друг за другом через промежутки в период или полупериод, образуют убовващие геометрические прогрессии, соответственно со знаменателями $e^{-\frac{2 h \pi}{\omega}}$ или $e^{-\frac{h \pi}{\omega}} ;$ натуральные логарифмы их обравуют арифметические прогрессии с разностью соответственно- $\frac{2 h \pi}{\omega}$ и- $\frac{h \pi}{\omega}$. Поэтому число $\frac{h \pi}{\omega}$ назнвается логарифмическим декрементом этого колебательного движения (относительно полупериода). Чем меньше декремент, тем менее заметно затухание, так как тем ближе становятся к единице коэфициенты сокращения $e^{-\frac{2 h \pi}{\omega}}$ и $e^{-\frac{h \pi}{\omega}}$. Если $\frac{h \pi}{\omega}=0$, т. е. если $h=0$, то затухающөе колебательное движение обращается в гармоническое колебание, как это непосредственно усматривается из уравнения (45). Заметим, наконец, что логарифмический декремент микво также представить в виде:
\[
\frac{h \pi}{\omega}=\frac{h T}{2},
\]

откуда следует также, что
\[
e^{-\frac{2 h r}{\omega}}=e^{-h T} .
\]
40. Если фиксируем некоторый момент $t=t_{1}$, то движение, определяемое уравнением
\[
x=r e^{-h t_{l}} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right),
\]

называется по отношению к загухающему движению (44) такгенциальным гаржоническим дбижением ${ }^{1}$, , соответствующим моменту $t_{1}$.

Ясно, что такое движение проекции $P_{x}$ точки $P$ на ось абсцисс имело бы место, если бы точка $P^{x}$ с момента $t_{1}$ стала двигаться не по спирали, а по окружности, и притом равномерно с угловой скоростью ш. Этим тангенциальным гармоническим движением особенно удобно пользоваться, когда $h$ очень мало, так как в течение нескольких периодов показательная функция $e^{-h t}$ сохраняет приблизптельно постоянное значение, которое можно считать равным $e^{-h t_{1}}$. Когда это имеет место, в показателе можно пренебречь произведөнием $h T$, даже умножендым на целое число $n$, соответствующее нескольким оборотам. В интервале от $t_{1}-n T$ до $t_{1}+n T$ всякий момент $t$ можно представить в виде $t=t_{1}-\alpha n T$, где $\alpha$-правпльная дробь (положптельная или отрицательная); вместе с тем
\[
r e^{-h t}=r e^{-h t_{1}-\alpha n h t},
\]

а так как числом – anit можно пренебречь, то
\[
r e^{-h t}=r e^{-h t_{1}}=\text { const. }
\]

Поскольку $e^{-h t}$ можно на протяжении нескольких колебаний заменить через $e^{-h t_{1}}$, постольку затухающее движение можно в течение этого промежутка времени счнтать совпадающим с соответствующим тангенциальным его приближением; как велик промежуток, на котором такую замену можно делать с достаточным приближением, об этом можно судить только в каждом отдельном случае.

В выражении амплитуды $r e^{-h t}$ тангенциального гармонического движения, соответствующего произвольно взятому моменту $t$, шоказатель – ht выявляет затухание; поэтому число $h$ назы-
1) Подобно тому как касательная (тангендиальная прлмая) есть прямая, пеющая с кривой в данной точке тэ же направление, так тангөндиальное двнение есть такое зармоническое двнениө, состояние которого в расематриваемый момент совцадает с состояннем действительного движения. (Ред.)

вается постоянжой затухания. Из предыдущего следует, что затухание нужно считать малым, когда оказывается незначительным (т. е. меньше обратного значения $\frac{1}{n}$ достаточно большого целого числа $n$ ) произвөдение $h T$. Обратное звачение $\frac{1}{h}$ числа $h$ называется временем падения колебания; оно выражает врөмя, в течение которого амплитуда соответетвующего тангенциальногө гармонического движения уменьшается в отношении 1 к $\frac{1}{e}$; в самом деле
\[
r e^{-h\left(t+\frac{1}{h}\right)}=\frac{1}{e} r e^{-i t} .
\]
41. Теоретически затухающие колебания не угасают никогда. Но на практике, если возьмем такое положительное число $\tau$, при котором произведением $h$ т уже можно пренебречь ${ }^{1}$ ), то достаточно будет взять $t>\frac{1}{\tau}$, чтобы можно было пренебречь расстоянием движущейся точки от полюса $O$. Таким образом, на практике с момента $t=\frac{1}{\tau}$ точку $P$ можно будет считать уже неподвижной (относительно осей координации).
42. Возвратимся к последним уравнениям (47) рубр. 37.
\[
\dot{x}=-h x-\omega y, \dot{y}=-h y+\omega x .
\]

Исключая отсюда $y$, получим:
\[
\omega \dot{y}=h \dot{x}+\left(h^{2}+\omega^{2}\right) x .
\]

Если теперь продиференцируем первое из уравнений (47) п в полученное уравнение
\[
\ddot{x}=-h \dot{x}-\omega \dot{y}
\]

подставим найденное сейчас внражение для $\omega \dot{y}$, то получим уравнение:
\[
\ddot{x}+2 h \dot{x}+\left(h^{2}+\omega^{2}\right) x=0,
\]

которое связывает абсциссу, скорость и ускорение обычного нашего затухашщего колебательного движения:
\[
x=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right) .
\]

Эта функция времени удовлетворяет диференциальному уравнению (49); а так как это уравнение 2 -го порядка, то выражение $\left(4 \check{5}_{1}\right)$ представляет собою его общий интеграл с произволь-
1) В том смысле, что оно дает неразличимые гри помоци наших инструментов резчтьтаты. (Рсд.)

нъми постоянныли $r$ и $\theta_{0}$. Иными словами, линейное однородное диференциальное уравнение 2-го порядка:
\[
\ddot{x}+2 h \dot{x}+\left(h^{2}+\omega^{2}\right) x=0,
\]

где $h и$ а суть два данных положительных числа, определяет.все затухающие колеоательные движения с периодом $\frac{2 \pi}{\omega}$ и постоянной затухания $h$.

Как этого и следовало ожидать, при $h=0$ уравнение (49) обращается в диференциальное уравнение (41′) гармонического движения (рубр. 36 ).
43. Движения, определяемые одиородным линейным диферепциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэфицЕентами. Следуя указанию, к которому, естественно, приводят предыдущие результаты, поставим себе теперь обратную задачу – исследовать вообще всө те движения, при которых между абсциссой (криволинейной, если движение не прямолинейное), скоростью (скалярной) и ускорением (касательным) существует соотношение, выражаемое линєйным однородным диференциальным уравнением с постоянными коәфициентами:
\[
\ddot{x}+2 h \dot{x}+k x=0 \text {. }
\]

Этого рода движения постоянно встречаются в различного рода вопросах механики и физики.

Начнем с того, что возобновим в памяти некоторые основние теоремы анализа, относящиеся к этого рода уравнениям. Диференциальное уравнение 2-го порядка, линейное и однородное относительно неизвестной функции $x$ от независимой переменной $t$, всегда допускает два репения: $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$, линейно независимне, т. е. такие, отношение которых не сводится к постоянному чисту; общий интеграл уравнения выражается в этом случае суммой:
\[
c_{1} x_{1}(t)+c_{2} x_{2}(t) .
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$ суть произвольные постоянные.
Если такое уравнение имеет постоянные коэфициенты, как в случае (50), мы ищем решение впда $e^{\varepsilon t}$, где $\varepsilon$ означает постоянную; если это выраженпе подставим в уравнение (50), то оно принимает вид:
\[
e^{\varepsilon t}\left(\varepsilon^{2}+2 h \varepsilon+k\right)=0 ;
\]

откуда следует, что постоянная в должна удовлетворять алгебраическому уравнению 2-й степени:
\[
\varepsilon^{2}+2 h \varepsilon+k=0 .
\]

Если это уравнение имеет два различные корня $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{3}$, т. е. если $h^{2}
eq k$, то мы, таким образом, получаем два частных решения $e^{\varepsilon_{1} t}$ и $e^{\varepsilon_{2} t}$, так что общий интеграл выражается сумой
\[
c_{1} e^{\varepsilon_{1} t}+c_{2} e^{\varepsilon_{2} t} \text {. }
\]

Если же, напротив $h^{2}=k$, так что уравнение (51) имеет двойной корень- $h$, то этим путем мы находим только одно частное решение $e^{-h t}$; но мы очень легко обнаруживаем непосредственной подстановкой, что в этом случае уравнение удовлетворяет также выражению $t e^{-h t}$ так что общии интеграл в этом случае имеет внд:
\[
\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{-h t}
\]
44. Установив все это, займемся исследованием движений, определяемых уравнением (50); и прежде всего разберем случай $h=0$, который очень часто встречается, как мы в этом убедимся впоследствии, особенно при исследовании наиболее әлементарных проблем устойчивости движения.

Если не только $h$, но и $k$ обращается в нуль, то уравнение (50) принимает вид $\ddot{x}=0$ и выражает совокупность $\infty^{2}$ равномерных движений. Если $k>0$, то мы можем положить $k=\omega^{2}$ и вновь приходим к уравнению:
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0,
\]

характеривующему гармонические движения (рубр. 36).
Остается случай $k<0$; полагая тогда $k=-\omega^{2}$, мы приведем уравнение (49) к виду:
\[
\ddot{x}-\omega^{2} s=0 ;
\]

соответствующее характеристическое уравнение $\varepsilon^{2}-\omega^{2}=0$ допускает в этом случае два противоположные корня $\pm \omega$; общий интеграл диференциального уравнения принимает поэтому вид :
\[
x=c_{1} e^{\omega t}+c_{2} e^{-\omega t} .
\]

Для движения, определяемого путевым уравнением этого впда, скорость выражается формулой:
\[
\dot{x}=\omega\left(c_{1} e^{\omega t}-c_{2} e^{-\omega t}\right)=\omega e^{-\omega t}\left(c_{1} e^{2 \omega t}-c_{2}\right) .
\]

В этом выражении пропввдной $\dot{x}$ множитель $e^{-\omega t}$ при всяком конечном $t$ имеет положительное значение, отличное от нуля; внражение же, стоящее в скобках, производная которого $2 c_{1} \omega e^{2 \omega t}$ с изменением $t$ никогда не неняет своего знака, постоянно возрастает или постоянно убывает; поэтому оно может обратиться в нуль не более одного раза. Это имеет место при условии $c_{1}
eq 0$ и $c_{2} / c_{1}>0$ для значения
\[
t=\frac{1}{2 \omega} \ln \frac{c_{2}}{c_{1}}
\]

В рассматриваемом случае скорость в этот момент обращается в нуль и меняет знак, т. е. сторона, в которую обращено движение, изменяется: точка после остановки движется в обратную сторону.

Формула (52) показывает, что при $t \rightarrow \infty x$ етремнтся к бесконечности того же знака, что и $c_{1}$, если $c_{1}
eq 0$, и к нулю, если $c_{1}=0$; при $t \rightarrow-\infty c_{1}$ стремится к бесконечности знака $c_{2}$, если $c_{2}
eq 0$, и к нулю, если $c_{2}=0$. Таким образом в общем случае (т. е. при $c_{1} c_{2}
eq 0$ ) движущаяся точка идет из бесконечности іл вновь удаляется в бесконечность, либо меняя при этом сторону, в которую движение обращено, либо не меняя ее. В частных же случалх при $c_{1}=0$ или $c_{2}=0$ точка прнходит с бесконечно удаленного расстояния п неограниченно приближаөтся к началу (асимптотическое запухание); или же выходит из окрестности, непосредственно примыкающей к началу, и уходит на неограниченно большое расстояние; в том и другом случае сторона, в которую движение обращено, при әтом не меняется.

Таким образом, при $k<0$ мы всегда имеем дело с жепериодическим движениен.
45. Исчерпав, таким обравом, случай $h=0$, обратимса к общему случаю, когда $h
eq 0$. Прежде всего, остановимся на тех движениях, которые соответствуют отрицательным значениям $h$. Если положим $h=-h_{1}$, то уравнение примет вид:
\[
\ddot{x}-2 h_{1} \dot{x}+h x=0 \text {. }
\]

Теперь пропзведем преобразование независимой переменной, полагая
\[
t_{1}=-t .
\]

Так как пра этом
\[
\dot{x}=-\frac{d x}{d t_{1}} \quad \text { п } \quad \ddot{x}=\frac{d^{2} x}{d t_{1}{ }^{2}},
\]

то преобразованное уравнение примет вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d t_{1}}+2 h_{1} \frac{d x}{d t_{1}}+k x=0,
\]

в котором коәфициент при $\frac{d x}{d t_{1}}$ пмеет положительное звачение. Общий интеграл уравнения ( $50^{\prime}$ ) получим, заменив в интеграле уравнения ( $\left.50^{\prime \prime}\right) t_{1}$ через $-t$; интерпретируя это кинематически, можно сказать, что каждое движение, определяемое уравнением (50′), получается, если в некотором движении, определяемом уравнением ( $\left.50^{\prime \prime}\right)$, обратим естественную пооледовательность іоментов времени (обращенное движение). Вследствие этого, в конечном счете, желая исследовать все возможные движения вида (50), достаточно будет подвергнуть непосредственному нзучению случай $h>0$, а затем для каждого полученного таким путем движения необходимо будет рассмотреть также соответствующее обращенное движение.

46. Однако, и в этом исследовании нам придется рассмотреть отдельно три случая в зависимости от того, будет ли $h^{2}<k$, $h^{2}>k$ пли $h^{2}=k$.
А) $h^{2}<k$ (что предполагает $k>0$ ).
Если в этих предположениях положим
\[
k-h^{2}=\omega^{2},
\]

то уравнение (50) примет вид:
\[
\ddot{x}+2 h \dot{x}+\left(h^{2}+\omega^{2}\right) x=0 .
\]

Мы уже знаем (рубр. 42), что это диференциальное уравнение характеризует при $h>0$ затухающие колебательные движения с постолнной затухания $h$ и периодом $\frac{2 \pi}{\omega}$. Случай $h<0$, который здесь является новым, соответствует обращенным движениям ватухающих колебаний, которые можно назвать развертывающимися колебаниями.

Впрочем нетрудно непосредственно получить путевне урав нения этих различных движений, исходя из общих положений, приведенных в рубр. 43. При условии $h^{2}<k$ оба корня $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ уравнения (51) будут комплексными (при любом $h$ ) и именно
\[
\varepsilon_{1}=-h+\omega i, \varepsilon_{2}=-h-\omega i,
\]

где $i$, по обнкновению, означает мнимую единицу. Поэтому оказываю’ся сопряженно комплексными и два частные решения:
\[
e^{\varepsilon_{1} t}=e^{-h t} e^{i \omega t} \text { и } e^{\varepsilon_{2} t}=e^{-h t} e^{-i \omega t},
\]

линеиная комбинация которых с произвольными постоянными коәфициентами дает общий интеграл диференциального уравнения рассматриваемых движений. Но так как путевые уравнения движения непременно должны быть вещественными, то әтими коэфициентами нужно распорядитъся таким образом, чтобы упомянутая линейная комбинация была вещественной. Для этой цели им достаточно приписать сопряженные комплексные значения, т. е. положить:
\[
c_{1}=\frac{1}{2} r e^{i \theta_{0}}, \quad c_{2}=\frac{1}{2} r e^{-i \theta_{0}},
\]

где $r$ и $\theta_{0}$ суть произвольные веществениые числа. Тогда общий интеграл примет вид:
\[
x=\frac{1}{2} r e^{-h t}\left\{e^{i\left(\omega t+\theta_{0}\right)}+e^{-i\left(\omega t+\theta_{0}\right)}\right\},
\]
т. е. по иввестной формуле Эйлера ${ }^{1}$ ):
\[
x=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right) ;
\]
1) Леонард Эйлер (Leonard Euler) родплея в Базеле в 1707 г., умер в Петербурге в 1783 г., был директором сначала Берлинской, а затем Петербургской академии наук. Әиллер был одним из самых нлодотворных математиvnз вcex вуемё не только в облаети чистого анализа, но и в его приложениях в математике. механиве и к весьма разнообразным вопросам техники.

это путевое уравнение, совпадающее при $h>0$ с уравнениями затухающих колебаний, дает при $h<0$ путевое уравнение развертывающихся колебаний.
B) $h^{2}>k$.

При этом предположении алгебрапческое уравнение (51) имеет два различные вещественные корня:
\[
\varepsilon_{1}=-h+\sqrt{h^{2}-k}, \quad \varepsilon_{2}=-h-\sqrt{h^{2}-k},
\]

а следовательно, общий интеграл диференциального уравнения дается непосредственно в вещественном виде линейной қомбинацией:
\[
x=c_{1} e^{s_{1} t}+c_{2} e^{e^{\mathrm{s}_{2} t}}
\]

с вещественными коэфициентами $c_{1}$ и $c_{2}$. Соображения, совершенно аналогичные тем, которые сделаны в рубр. 44, обнаруживают, что всякое движение, определяемое путевым уравнением әтого типа, необ́ходимо являетсі апериодическия. Сторона, в которую движение обращено, при этом меняется не более одного раза; это происходит в момент
\[
t=\frac{1}{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}} \ln \left(-\frac{c_{2} \varepsilon_{2}}{c_{1} \varepsilon_{1}}\right)
\]

при условиях $c_{1} \varepsilon_{1}
eq 0, c_{2} \varepsilon_{2} / c_{1} \varepsilon_{1}<0$.
Чтобы с большею точностью представить ход этого дзижения , $_{t}$ целесообразно различать здесь ряд отдельных случаев. ІІрини. мая, как мы әто установили в предыдущей рубрике, $h>0$, заметим, что с этим положением (в связи с исходным $h^{2}>k$ ) совместимы трп случая: $k>0, k<0$ и $k=0$.

Если $h^{2}>k, h>0, k>0$ это случан, наиболее интересный по своим физическим приложениям, -то оба корня уравнения (51) будут отрицательными, и при этом $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$. При этих условчях, представив выражение (52) в виде:
\[
x=\left(c_{1} e^{\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) t}+c_{2}\right) e^{\varepsilon_{2} t},
\]

легко убеждаемся, что при $t \rightarrow-\infty x$ стремится к бесконечности (имеющей знак числа $c_{2}$, если $c_{2}
eq 0$, и знак числа $c_{1}$, если $c_{2}=0$ ). Таким образом в әтом случае двнжущаясл точка всегда приходит из бесконечности (меняя сторону, в которую обращено двпжение, или не меняя ее) и стремится к определенному положению на конечном расстоянии (асияптотическое затухание движения).

Если $h^{2}>k, h>0$, а $k<0$, то корни $\varepsilon_{1}$ п $\varepsilon_{2}$ имеют противоположные знаки, п именно $s_{1}>0$, $\varepsilon_{2}<0$. В этом случае выражение (52) непосредственно обнаруживает, что при $t \rightarrow+\infty$ $x$ стремится к бесконечности знака числа $c_{1}$, если $c_{1}
eq 0$, и к нулю, если $c_{1}=0$. При $t \rightarrow-\infty x$ стремится к бесконечности знака $c_{2}$, если $c_{2}
eq 0$, и к нулю, если $c_{2}=0$. Таким образом в рассматрнваемых условиях точка вообще (т. е. при $c_{1} c_{2}
eq 0$ ) приходит из бесконечности и уходит в бесконечность в ту же сторону, откуда припла, или же в обратную сторону (т. е. меняя на пути сторону движения или не меняя ее); в частности, однако, при $c_{1}=0$ или $c_{2}=0$ двкжение либо приводит точку из бесконечности и асимптотически затухает у некоторой определенной точки траектории, либо же из непосредственной близости к некоторой определенной точке уводит ее в бесконечность.

Наконец, если $h>0$, а $k=0$ (требование $h^{2}>k$ при этог удовлетворяется само собой), то
\[
\varepsilon_{1}=0, s_{2}=-2 h ;
\]

общий интеграл имеет вид:
\[
x=c_{1}+c_{2} e^{-2 k t},
\]

и мы видим непосредственно, что (за исключением случая $c_{2}=0$, приводящего к покою) движущаяся точка приходит из бесконечности знака $c_{2}$ и аснмптотически приближается к положению, соответствующему абсциссе $c_{1}$.

При $h<0$ (и, конечно, $h^{2}>k$ м мы получаем обратные движения рассмотренных сейчас типов, и возвращаться к ним бесполезно.
C) $h^{2}=k$, что уже влечет за собою $k>0$, за исключением исчерпанного уже случая $h=k=0$.

Это положение можно расематривать как предельный случай положения $B$, уже рассмотренного выше; и отсюда уже можно предусмотреть, что мы имеем здесь дело с непериодическими движениями. Чтобы уетановить это непосредственно, заметим, что путевое уравнение в этом случае имеет вид (рубр. 42):
\[
x=\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{-h t}
\]

повтому скорость выражается формулой:
\[
\dot{x}=\left(c_{2}-h c_{1}-h c_{2} t\right) e^{-h t},
\]

нз которой видно, что при $c_{2}=0$ (или, конечно, при $h=0$ ) она вовсе не обращается в нуль, а при $c_{2}
eq 0$ и $h
eq 0$ она обращается в нуль только один раз при
\[
t=\frac{c_{2}-h c_{1}}{h c_{2}} .
\]

Что касается хода движения в далеком прошлом или в отдаленном будущем, то при $h>0$, как видно из формулы (53), при $t \rightarrow-\infty x$ стремится к бескоғечности со знаком числа – $c_{2}$, если $c_{2}
eq 0$, и со знаком $c_{1}$, если $c_{2}=0$; применяя же к выражению (53) правило де-Лопиталя ${ }^{1}$ ), находим, что во всяком случае
\[
\lim _{\rightarrow \infty} x=-\lim _{t \rightarrow \infty} h c_{2} e^{-h t}=0 .
\]
1) Вильгельм Франциск де-Лопиталь (G. F. de l’Hopital, часто пипут нôpital) родилея в Париже в 1661 г. I там же умер в 1704 г. Вџмолодости он был кавалерииским офидером, но затем отдался вседело научным занятиям и до-

Таким образом, мы при этих условиях всегда имеем аперисдическое движение, причем движущаяся точка приходит из бесконечности и асимптотически приближается к началу, изменив не более одного раза сторону, в которую движение обращено.

При $h<0$ получавтся движения, обращенные по сравнению с теми, которые только что были рассмотрены.