1. Помимо твердых фигур, которые с кинематической точкп зрения представляют наиболее простой тип систем точек, ежедневный опит представляет неисчислимое количество примеров изменяемых систем, которые в условиях движения подвергаются сгибаниям, растяжениям, сжатиям и т. І. При этом иногда оказывается, что движение некоторых точек системы определяет движение всех остальных; так, это имеет место, например, для твердых систем, движение которых определяется каждый раз движением трех точек, не рєсположенных на одной прямой; о чень часто случается, что динжения некоторых точек системы ограничивают свободу движения остальных.

Мы приходим, таким образом, к изучению движения такнх систем, для которых во все время движения пмеют место некоторые определенные соотношения между кинематическими признаками их (между их положениями, скоростями, ускорениями и т. д.). В частности, особенно замечательны такте системы, в которых эти ограничения свявывают исключительно одновремендые положения различных точек. В качестве наиболее простых случаев укажем точку, движение которой связано таким образом, что она должна двигаться по данной кривой или по цанной поверхности; таково движение точки, бесчисленные положения которой зависят от одного или двух параметров:
\[
P=P(q) \text { или } P=P\left(q_{1}, q_{2}\right),
\]

где параметром $q$ может служить, например, длина дуги данной кривой, отсчитьваеная от определенной точки; параметрами $q_{1}, q_{2}$ могут служить криволинейные координать, каким-либо образом определенные ва заданной поверхности.

Если же эта кривая или поверхность- геометрическое место бесчисленного множества возможных положений точки — изменяется от момента к моменту, то вместо уравнения (1) данная точка связана уравнением вида:
\[
P=P(q \mid t) \quad \text { или } \quad P=P\left(q_{1}, q_{2} \mid t\right) .
\]

Становясь на более общую точку зрения, мы рассмотрим здесь систему произвольного числа $N$ точек $P_{i}(i=1,2,3, \ldots, N)$, готорые не могут передвигаться свободно независимо одна от другой, но связаны таким образом, что положения их определяются функциями некоторого числа $n$ произвольных параметров $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, а иногда и времени:
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{i t} \mid t\right) .
\]

Если $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ суть координаты точки $P_{i}$ относительно координатного триэдра системы, геметрические уравнения (2) развертываются в әквивалентные им $3 N$ уравнения:
\[
\begin{array}{l}
x_{j}=x_{i}\left(q_{1} ; q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \\
y_{i}=y_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2,3, \ldots, N) \text {, } \\
z_{i}=z_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \\
\end{array}
\]

правые части которых предстагляют собою $3 N$ функций от аргументов $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$, а иногда и от $t$ мы будем предполагать, что эти функции в пределах определенной области зиачений их аргумептов однозначны, конечны, пепрерывны и допускают пропзводные по кранней мере первого и второго порядка.

Связанная таким обравом система точек называется голономной ${ }^{1}$ ); если при этом в уравнениях (2) или (2′) время $t$ не фигурирует, то говорят, что связи не зависят от времени. Пронзвольные параметры $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$ называются общими или лагранжевыми координатами системы.
2. В задапный момент времени, т. е. для данного значения $l$ уравнения (2) и (2′), при изменении параметров $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ з области их значений, дают всевозможные конфигирачии системы в рассматриваемый момент, т. е. всевозможные руппы $N$ точек пространства, в которых в этот момент могут быть помещены $N$ точек системы. Подроснее: каждой системе значений $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ отвечает одна конфгурация точек системн; всевозможным комбинациям этих значенцй (в области, в которой они изменяются) соответствуют всевозможные при этих связях ғонфигурации системи. Если связи зависят от времени, то конфигурации, которые возможны в один момент $t_{1}$, вообще говоря, не совпадают с конфигурациями, возможными в другой момент $t_{2}$. Всевозможные значения $n$ параметров $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ допускают $\infty^{n}$ комбинаций; соответственно этому количество конфигураций голономной системы в определенный момент не превышает $\infty^{n}$, оно составляет именно $\infty^{n}$ в том по только в том случае, когда с любым изменением координат $q_{n}$ изменяется и соответствующая конфигурация; а для того, чтобы это имело
1) Это название, происходящее от греческих слов олос (целый), и vо’рог (закон), указывает на то обстоятельство, что такого рода евязь, как мы это лучше выясним в рубр. 4, разрепаетел в конечное чиело уравнений между координатами точен. Этот термин был введен знаменитым физиком и математиком Герпом (H. Hertz) (родился в Гамбурге в 1857 г., умер в Бонне в 1894 г.), который первый әксперичентально воспронзвел электрические волны.

место, необходимо и достаточно, чтобы уравнения (2) разрешались относительно параметров $q_{n}$, т. е., как известно из анализа, чтобы якобиева матрица
\[
\left\|\frac{\partial x_{1}}{\partial q_{h}}, \frac{\partial y_{1}}{\partial q_{h}}, \frac{\partial z_{1}}{\partial q_{h}}, \ldots, \frac{\partial x_{N}}{\partial q_{h}}, \frac{\partial y_{N}}{\partial q_{h}}, \frac{\partial z_{N}}{\partial q_{h}}\right\|(h=1,2,3, \ldots, n)
\]

имела ранг $n$.
Когда это последнее обстоятельство имеет место, то говорят, что $n$ есть число степсней свободы системы или что система имеет $n$ степеней свободы. Таким образом м жно сказать, что число степеней свободы голономной системы есть число существенных или независимых параметров, от которых в момент общего харак. тера ${ }^{1}$ ) зависят ее конфигурадии.

Обккновенно, когда говорят о лагранжевых координатах голономной системы, то предполагают, что әти координаты все существенны, т. е., что число их равно числу степеней свободы системы. Здесь следует отметить, что в выборе лангранжевых координат остается большой произвол: вместо определенных $n$ координат, можно взять $n$ других, свлзанных с первоначальными какими угодно $n$ уравнениями:
\[
q_{k}^{\prime}=q_{k}^{\prime}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}\right) \quad(k=1,2,3, \ldots, n),
\]

при том, однако, условии, чтобы функциональный определитель
\[
\left\|\frac{\partial q_{k}^{\prime}}{\partial q_{h}}\right\| \quad(h, k=1,2,3, \ldots, n)
\]

не обращался тождественно в нуль в области значений параметров.
3. В течение всякого своего движения голономная система постепенно проходит через конфигурации, соолветствующие последовательным момептам; поэтому движение будет определено, если лагранжевы координаты системы будут ваданы в функции времени. Уравнения
\[
q_{h}=q_{h}(t) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

которыми это выражаөтся, называются путевими уравненияни двпиения в лагранжееых координатах.

Для выражения состояния системы, т. е. скоростей $\boldsymbol{v}_{i}$ отдельных ее точек $P_{i}$, нужно продиференцировать уравнение (2), принимая во внимание, что параметры представляют собой функции времени
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\frac{d P_{i}}{d t}=\frac{\partial P_{i}}{\partial t}+\sum_{i}^{\boldsymbol{u}} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \dot{q}_{h} \quad(i=1,2,3, \ldots, N) .
\]
1) Авторы часто употребляют термин „istante generico\», ,обццй момент*, „момент общего характера“, разумея под этим такой момент, в который не создается каких-либо исключительных условий или положений. Так, нацример, в примененни к данному случаю это ознатает следующее: ранг матрицы $\left(2^{\prime \prime}\right)$ вообще равен $n$; но в отдельных точках вследетвие уничтожения определителей $n$-го порядка он может сникаться; момент ,общего характера“это такой момент, в который такое сниженте не имеет места. (Ped.)

Следует остановиться на важном частном случае голономных систем с одной степенью свободы и со связями, не зависящими от времени; в системах этого рода конфигурации зависят от одного единственного лагранжева параметра (не зависят от $t$ ):
\[
P_{i}=P_{i}(q) \quad(i=1,2,3, \ldots, N) .
\]

Для такой системы, как говорят „с полной системой связєй“, траектории всех ее точек известны а priori, определению подлежит единственное путевое уравнение:
\[
q=q(t),
\]
т. е. закон двнжения во времени, по которому топки системы пробегают свои траектории.
4. Если матрица (2\») имеет ранг $n$, то, исключив $n$ лагранжевых координат из $3 N$ скалярных уравнений ( $2^{\prime}$ ), получим ровно $3 N-n$ независимых уравнений относительно $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ :
\[
f_{k}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}, y_{N} ; z_{N} \mid t\right)=0 \quad(k=1,2, \ldots, 3 N-n),
\]

которые могут содержать время $t$, но могут его и не содержать; эти уравнения выражают аналитически те соотношения, которые связывают одновременные положения системы; они называются уравнениями связей, а короче, просто связями. Их число выражается разностью $3 N-n$ между числом декартовых координат точек системы и числом лагранжевых координат (т. е. числом степеней свободы).

Обратно, если на систему $N$ точек $P_{t}$ налагается условие, чтобы координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ этих точек удовлетворяли определенному числу $l$ уравнений вида (4), то это система голономная. В самом деле, разрешая уравнепия (4), которые мы предшолагаем независимыми, относительно $l$ из числа $3 N$ коордпнат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, и принимая остальные $3 N-l$ координат за лагранжевы параметры, мы получим как раз спстему уравнений вида (2′). Отметим, что число степеней свободы $n=3 N-l$, т. е. равно разпости между числом $3 N$ декартовнх координат точек әтой системы и числом связей.
5. Іримеры голономғы систем. Число степеней свободы голономной системы, по олределению, равно числу соответствующих (независимых) лагранжевых координат. На практике, когда внимание фиксируется на системе данной материальной стругтуры, всегда нетрудно непосредственно выяснить, представляет ли она собою голономную систему; для атого достаточно исследовать, определяются ли ее конфигурации в произвольно взятый момент определенным конечным числом независимых параметров. Если это имеет место, то такое число недосредственно определяет число степеней свободы системы. Этот критерий мы применим к некоторым особенно простым тигам голономных систем.

Твердая система, движущаяся в плоскости, есть голономная сиетема с 3 степенямй свободы: для ее определения достаточно задать 2 параметра, устанавлизающие полояение одной пз ее точек $M$, и еще 1 параметр, определяющий ориентацию системн относительно $M$.

Система, состоящая из двух твердых стержней, сочлененных шарниром, имеет в плоскости 4 степени свободы, ибо для опредления положения шарнира требуется 2 параметра, a 2 других определяют ориентации стержней. По таким же соображениям сочленеиный плоский четырехсторонник также имеет 4 степени свободы.
6. Стержень, движущийс в пространстве, имеет 5 степеней свободы. В самом деле, чтобы установить конфигурацию такой системы, достаточно знать положение одной из ее точек $P$ и направление стержня; с пругой стороны, известно, что нужно 3 параметра для определения положения точки и 2 параметра для определения направления прямой. Отсюда следует также, что число степеней свободы стержня сводится к 2 , если точка $P$ остается неподвижной.

Для произвольного твердого тела число степеней свободы такое же, как и для триэдра, т. е. равно 6; ; параметра нужны для определения начала, а 3 других — для ориентации осей (эйлеровы углы).

Если система имеет при этом неподвижную точку, то число параметров, а следовательно, число степеней свободы, очеввдно, сводится к 3. Из предыдущей рубрики следует также, что твердое тело имеет 3 степени свободы и в том случае, если оно должно двигаться параллельно плоскости.

Твердое тело, которое прикреплено к крюку, скользящему по проволоке, имеет 4 степени евободы: 1 для определения положения крюка и 3 для ориєнтации твердого тела относи. тельно него.

Тело с осью, скользящей по себе самой, имеет только 2 степени свободы: одну для установления смещения оси, определяя таковое расстоянием некоторой подвижной ее точки от нешодвижной, а другую-для орнентации твердого тела вокруг самой оси.

Наконец, твердое тело $C$, которое должно постоянно соприкасаться в одной точке с другим твердым телом $C_{1}$, имеет 5 степеней свободы. В самом деле, 2 параметра необходимы для определения точки соприкосновения на поверхности тела $C$ и 2 — для определения ее положения на поверхности тела $C_{1} ;$ с другой стороны, если исключим случай, когда соприкосновение пропсходит в особенной точке поверхности, то нужен еще только. 1 параметр для орпентации одного тела относительно другого вокруг общей их нормали.

Закончим, наконец, определением числа степеней свободы велосипеда, стояцего на плоскости дороги ${ }^{1}$ ). Для определения
1) При этом мы оставляем в стороне связи ие голоножние, которые, как увидим в следующем параграфе, нужно было бы учесть, если бы колеса должиы были (по крайней мере в нормальных условиях) катиться без скольжения.

положения рамы необходимы 4 параметра: 2 для определения положения какой-нпбудь точки следа на плоскости дороги, 1 для определения направления этого следа и 1 для определения наклона рамы; 2 дальнейших параметра необходимы для определения положения переднего колеса; положения заднего колеса, цепи и руля вависят только от 1 параметра. Наконец, 2 параметра необходимы для определения положения педалей; таким образом число степеней свободы достигает 9.
7. Все голономные системы, рассмотренные в рубр. 5 и 6, представляют собою твердые тела или твердые части, различпым образом сгрепленные между собою. Другие типы систем, с которнми нам приходится встречаться в ежедневной практике, неголономны, как, например, соверненно гибкая нить, которую можно изогнуть по любон кривой. Совершенно ясно, что мы не можем локализировать все точки такой нити при помощи конечного числа параметров.

С другой стороны, даже спсеемы твердые или составленные пз твердых частей часто могут быть неголономными, если они подчинены связям, зависящим не только от взаимного положения точек, но и от соответствующих скоростей. В таких условиях, как мы увидим в рубр. 12, находится твердый шар, который должен катиться по плоскости без скольжения.
8. Избыточные тагранжевы координаты. Если голономная система $S$, определяемая независимыми лагранжевыми координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и имеюпая поэтому $n$ степеней свободы, подвергается действию новых голономных связей, то это получает выражение в том, что параметры $q_{n}$ свявываотся одним пли несколькими уравненнями:
\[
f_{k}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n} \mid(t)=0 \quad\left(k=1,2,3, \ldots, l^{\prime}\right),\right.
\]

которые мы можем предполагать независимыми друг от друга; время $t$ может входить в эти уравнения, может и не входить. Новая система $S^{\prime}$, которую мы, таким образом, получаем, все еще будет голономной. Число стененей ее свободы сводится к $n-l$; это становится ясным, если заметим, что из уравнения (4′) можно выразить $l^{\prime}$ параметров $q_{n}$ через остальные $n-l^{\prime}$, п эти последние или $n-l^{\prime}$ независимых функций от них можно принять за лагранжевы координаты системы $S^{\prime}$.

Но в такого рода случаях, особенно когда первопачальные параметры $q_{n}$ имеют и для системы $S^{\prime}$ отчетливое геометрическое вначение, часто бывает все же целесообразно сохранить те же координаты $q_{n}$ также для системы $S^{\prime}$; конечно, они теперь уже не будут независимыми, а будут постоянно связаны уравненпями ( $\left.4^{\prime}\right)$. В этом случае параметры $q_{n}$ называются избыточными лагранжевыми координатами.

В частности, для всякой голономной системы, состоящей пз $N$ точек, можно принять их декартовы координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}(i=1$, $2,3, \ldots, N$ ) за $3 N$ избыточннд жоординат; если число стеденей есть $n$, то эти координаты связаны между собой (а иногда и с временем) $l=3 N-n$ уравнениями (ср. рубр. 4) вида:
\[
f_{k}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}, y_{N}, z_{N} \mid t\right)=0 \quad(k=1,2, \ldots, l) .
\]
9. Возможны неремещения голонопной системы. Свободная точка $P$ может в каждый определенный момент $t$ подвергнуться совершенно произвольному (элементарному или бесконечномалому) перемещению $d P=v d t$ от своего начального положения.

В самом деле, каков бы ни был заданный вектор $\boldsymbol{v}$, мы всегда можем представить собе равномерное прямолинейное движение
\[
\overline{P_{0} P}=v\left(t-t_{0}\right)
\]

или любое другое движение, уравнение которого получается прибавлением ко второй части слагаемого вида $\left(t-t_{0}\right)^{2} \boldsymbol{c}$, где $\boldsymbol{c}$ еоть произвольный вектор (хотя бы даже зависящин от времени). При этом двнжении точка $P$ получит аа бесконечно малый промежуток времени вышеуказанное элементарное смещение.

Но совершенно ясно, что связанная точка или связанная система точек лишена такой абсолютной свободы перемещения. Если движущаяся голономная система в момент $t$ приняла определенную копфигурацию (одну из возможных для нее в этот момент), то в следующий элемент времени $t+d t$ она может перейти только в тагую другую конфигурацию, которая для нее допустима в момент $t+d t$. Всякое бесконечно малое смещение голономной системы, которое переводит ее из какой-либо конфнгурации $C$, возможной для нее в момент $t$, в конфигурацию ‘ $C$ ‘, возможную для этой системы в момент $t+d t$, называется возможним перелещением этой спстемы от исходной конфигурации $O$ в момент $t$.

Положим, что голономная снстема $N$ точек определена параметрическимі уравнениями:
\[
P_{t}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n} \mid l\right) \quad(i=1,2,3, \ldots, N) .
\]

В произвольный момент она может занимать любое положение $C$, соответствуюцее пропзвольно выбранным значениям параметров $q_{h}$. Любая конфигурация $C^{\prime}$, сколь угодно близкая к $C$, в последующий момент $t+d^{\prime}$ может быть получена, если мы дадим координатам $q_{h}$ и времени $t$ пропзвольные, друг от друга независящие наращения $d q_{h}$ и $d t$. Выражая явно перемещения отдельных точек $d P_{i}$, будем иметь:
\[
P_{i}+d P_{i}=P_{i}\left(q_{1}+d q_{1}, q_{2}+d q_{2}, \ldots, q_{n}-d q_{n} \mid t+d t\right) .
\]

Развертывая правые части в ряды, почленно вычитая соответствующие уравнения (2) и отбрасывая члены порядка выше первого, получим:
\[
d P_{i}=\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{1}} d q_{1}+\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{2}} d q_{2}+\cdots+\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{n}} d q_{n}+\frac{\partial P_{i}}{\partial t} d t .
\]

Это и есть аналитическое выражевие наиболее общего возможного перемещения системы в момент $t$ (исходящего от конфигурации с координатами $q_{h}$ ); бесконечно малые наращения $d q_{h}$ и $d t$ рассматриваем как соверпенно независимые друг от друга.

Теперь рассмотрим случай голономной системы, отнесенной к избыточным лагранжевым координатам. Положения ее точек попрежнему внражаются уравнениями (2); но координаты этом случае связаны $l^{\prime}$ независимыми уравнениями (4); эти последние в момент $t+d t$ будуг иметь вид:
\[
f_{k}\left(q_{1}+d q_{1} ; q_{2}+d q_{2}+\ldots+q_{n}+d q_{n} \mid t+d t\right)=0\left(k=1,2, \ldots, l^{\prime}\right) ;
\]

развертывая левне части в ртын, вычигая почленно соотретствующие уравнения ( $\left.4^{\prime}\right)$ и опуская члены порядка выше первого, получим:
\[
\frac{\partial f}{\partial q_{1}} d q_{1}+\frac{\partial f}{\partial q_{2}} d q_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial I_{n}} d q_{n}+\frac{\partial f}{\partial t} d t=0\left(k=1,2, \ldots, l^{\prime}\right) .
\]

Мы заключаем отсюда, что в этом случае избыточных координат напболее общее перемещение системы в мочепт $t$ выражается также уравнениями (5), но бесконечно малье наращения $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}$ и $d t$ в этом случае уже не являются независимыми,- напротив, они связаны $l^{\prime}$ уравнениями (6). Отсюда вытекает, что при данных значениях $t$ и всех $q_{h}$ (т. е. в данный момент, при данной псходной конфигурации) и при данном $d t$ независимыми остаютея тольюо $n-l^{\prime}$ »аращений $d q_{h}$ (т. е. столько, сколько в этом случае есть степечей свободы); остальные же наращения $d q_{h}$ уже определяются в зависимости от них уравнениями (6).

В частности, если за пзбыточные коордннаты спстемы примем дөкартовы коордиваты ее точек, а уравнения связи имеют вид
\[
f_{k}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{N}, y_{N}, z_{N} \mid l\right)=0 \quad(k=1,2, \ldots, l),
\]

то комповенты $d x_{i}, d y_{i}, d z_{i}$ по осям перемещения каждой отдельной точки $P_{i}$ при любом возможном перемещении системы характеризуются уравнениями:
\[
\sum_{1}^{N}\left(\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{i}} d x_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial y_{i}} d y_{i}+\frac{\partial f_{k}}{\partial z_{i}} d z_{i}\right)+\frac{\partial f_{k}}{\partial t} d t=0 \quad(k=1,2, \ldots, l) .
\]