11. Прежде чем обратиться к дальнейшим выводам общего характера, рассмотрим несколько примеров разыскания полярных траекторий заданных плоских движений. К этого рода задачам мы приходим всякий раз, когда хотим механическим приспособлением осуществить то или иное заданное плоское твердое движение. Как мы видели, это всегда возможно выполнить (помимо чисто практических трудностей, на которых мы ниже также остановимся) качением одной из двух полярних траекторий по другой. В прикладной мехаеике особы и интерес имеют так называемые эпицклические дзюжния, соответствующие тому случаю, когда обе траектории представляют собою окружность. Этими движениями мы займемсі обстоятельно в § 8. Здесь ж рассмотрим несколько примеров, в которых будем предполагать известной только последовательность положений движущейся фигуры, а не закон, которому движение следует во времени. Таким образом, по существу, речь будет итти о вопросах геометрии движения; если ми цри этом будем иногда вводить время $t$ и кинематические понятия, то будем это делать только для удлбства аргументации п словесного изложения.
12. Прямоливейный стержени, скользяий по прямолинейпы напразляющим. Представим себе прямолинейный стержень, схематически изображаемый прямолинейным отрезком $A B$, концы которого скользят по сторонам веподвижного угла $X O Y=\alpha<\pi$ (фиг. 54).

Траекториями точек $A$ и $B$, по предноложению, служат полупрямне $O X$ и $O Y$; если поэтому $A B$ есть произвольное положение стержня, то соответствующи полюсом $I$ будет служить точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из $A$ и $B$ к сторонам угла. Если рассматривать әти перпендикуляры как неограниченные прямые, то ови образуют в точке $I$ четыре угла, из которих два равны $\alpha$, а два другие дополняют а до $\pi$. В положении, изображенном на рисунке, отрезки $A I, B I$ образуют угол $A I B=\pi-\alpha$;четырехугольник $O A I B$ имеет два прямые угла при противоположных вершинах и, следовательно, вписывается в круг. Вследствие әтого отрезок в этом своем положении виден из прогивоположного полюса под постоянным углом $\beta=\pi-\alpha$. Отсюда следует, что соответствуішая веньв рулетти (геометрическое место полюсов на плоскости, неразрывно связанной ( $A B$ ) есть дуга окружености, идущая от почки 4 к точке В и имеющая угол $\beta$.

Поскольку четырех угольник может быть внисан в окружность, то последняя (c) при Јюбом положении стержня $A B$ проходит через постоянную точку $O$. Вследствие же перпендикулярности хорд $O A$ и $A I$ (равно как $O B$ и $B I$ ), точки $O$ и $I$ при любом положении отрезка $A B$ расположены на окружностп $e$ дпаметрально противоположио друг другу. Отсюда следует, что точка $I$ все время остается от $O$ на расстоянии, равном диаметру окружности с. Это значит: база рулетти ееть дуга окружности $\gamma$, имеющей чентр в точке $O$, и радиус, равный диаметри окружности $c$.

Легко видеть, как изменяются эти выводы, когда стержень $A B$ переносится так, что угол при вершине $A$ или $B$ треугольника $O A B$ становится прямым, а затем тупым. Отрезок $A B$ виден тогда из $I$ под углом $\alpha$; но геометрическое место точки на плоскссти, неразрывно связанной о отрезком $A I$, т. е. соответствующая ветвь рулетты, все-таки привадлежит окружности.

С другой стороны, для наблюдателя, остающегося неподвижным, крайние положения стержня $A B$ получатся тогда, когда он расположится либо вдоль оси $O X$, лкбо вдоль $O Y$; в первом случае точка $B$ находится в $O$, а $A$ в $A_{1}$, во втором случае точка $A$ находится в $O$, а $B$ в $B_{1}$.

Полюс $I_{1}$ или $I_{2}$, соответствующий первому или второму из этих положений, лежит на окружности в конце радиуса $O I_{1}$ или $O I_{2}$, соответственно перпендикулярного к $O Y$ или $O X$, и притом с той же стороны прямой $O X$ или соответственно $O Y$; таким образом базой твердого движения служнт как раз дуга $\overparen{I_{1} I_{2}}$ окружности $\gamma$, которой соответствует при центре угол $\pi-\alpha$, т. е. $\beta$.

Пусть $I_{1}^{\prime}$ и $I_{2}^{\prime}$ будут точки, в которых прямые $O I_{1}$ и $O I_{2}$ вторично пересекают окружность $c$. Дуга $\widehat{I I}_{1}^{\prime}$ окружности $c$ по длине равна дуге $\overparen{I_{2}^{\prime}}$ окружности $\gamma$, имеющей вдвое больший радиус, так как углы $\widehat{I O I}_{1}^{\prime}$ и $\widehat{I O I}_{1}$, из которых один имеет вершину на окружности, а другой в центре ее, равны между собой. Отсюда следует, что дуга $\overparen{I I}_{1}^{\prime}$ окружности $c$ катится по дуге $\overparen{I I}_{1}$ окружностп $\gamma$. Соверпенно также дуга $\overparen{I I}_{2}^{\prime}$ катится по $\overparen{I I}_{2}$.

Можно еще заметить, что треугольник $O A_{1} I_{1}$ имеет прямой угол при вершине $A_{1}$, – угол $\widehat{A O I}_{1}$ по абсолютной величине равен $\pi / 2-\alpha$; вследствие этого радиус $O I_{2}$ окружности $\gamma$, а следовательно, и диаметр окружности с выражаюл с є формулой:
\[
\frac{A B}{\sin x} \text {. }
\]

Теперь проведем полупрямую $O X^{\prime}$, противоположную $O X$ и представим себе, что стержень $A B$, продолжая свое движение по диугую сторону рассиотренного уже положения $O B_{1}$, скользит своим концом $A$ по $D X^{\prime}$, а концом $B$ попрежнему по $O Y$.

Мы можем повторить предыдущее рассуждение, и в этой второй фазе движения базой и рулеттой будут служить дуги окружности; так как $\widehat{Y O X^{\prime}}=\pi-\alpha$, радиус новой базы (или диаметр новой рулетты) будет равен:
\[
\frac{A B}{\sin (\pi-\alpha)},
\]

а потому не будет отличаться от радиуса прежней базы; таким образом полярными траекториями в этой фазе движения являются дуги тех же окружностей $\gamma$ и с. Ясно также, что базой в әтой второй фазе служит дуга окружности $\gamma$, меньпая полуокружности и расположенная между $I_{2}$ и точкой $I_{3}$, диаметрально противоположной $I_{1}$.

Если возьмем, далее, продолжение $O Y$ оси $O Y$ п проследим за движением стержня $A B$ внутри углов $X^{\prime} \widehat{O Y^{\prime}}$ и $Y^{\prime} \widehat{O X}$, то придем к заключению, что все движение (с геометрической точки зјения, очевидно, периодическое) имеет полярными траекториями две окружности с и $\gamma$ рулетта с все время катится по базе $\gamma$, имеющей вдвое больший радиус. Это-движение эпиицкическое.
13. Обратно, каждое плоское твердое двнжение, которое сводится к тому, что окружность с катится по внутренней стороне окружности $\gamma$ вдвое большего радиуса, может быть многообразно осуществлено скольжением хорды подвижной окружности по двум прямым, проходящим через центр неподвижной окружности.

Предыдущая теорема будет доказана, ссли мы обнаружим, что при указанных условиях каждая почка подвижной окружности с описывает в расситриваемом движении диаметр неподвижной окруюности $\gamma$ (пеорема Кардана ${ }^{1}$ ).

С этой целью зафпксируем на окружности $c$ какую угодно точку и рассмотрим ее движение, начиная с момента, когда она находится на окружности $\gamma$, например в точке $I_{0}$ мгновенного соприкосновения обеих окружностей (фиг. 55). Покажем, что в другом положении окружпости $c$, в котором точкой ее соприкосновения с $\gamma$ служит, скажем, $I$, зафиксированная на с точка будет находиться в пересечении $J$ огружности $c$ с радиусом $O I_{0}$ окружности $\gamma$. Иначе говорл, поскольку движение, по предположению, происходит без скольжения, дуга $\overparen{J I}$ окружности $c$ имеет такую же длину, как п дуга $\widehat{I_{0} I}$ окружности $\gamma$. Действительно, легко заметить, что угол $\widehat{I_{0} O I}$ как угол при центре окружности $\gamma$ опирается на ее дугу $\overparen{I_{0} I}$, а как угол вписанвый в окружность $c$, опирается на дугу $\overparen{J I}$; следовательно, угол при центре последней дугп вдвое больше $\widehat{I_{0} O I}$, т. е. угла при центре окружности $\gamma$, соотнетствующего дуге $\overparen{I_{0} I}$. Так как, по условию, радиус дуги $\overparen{J I}$ представляет половину радиуса дуги $\widehat{I_{0} I}$, то мы отсюда непосредственно ваключаем, что обе дуги имеют одинаковую длину. Из предыдущего доказательства следует, что за опорные прямые можно выбрать пропзвольные $\qquad$
1) Дінироламо Кардано (Girolamo Cardano) родился в Павии в 1501 г., умер в Риме в 1576 г., преподавал математику в Милане, а затем медпцину в Павиғ и в Риме.

две прямые, проходящие через центр $O$; в частности, можно взять две взаимно перпендикулярные прямые; в этом последнем случае хордой рулетты, концы которой по ней скользят, служит ее диаметр.
14. Теорема Кардана может быть доказана быстрее, если прибегнем к рассуждению кинематического характера. Траектория произвольной точки $A$ окружности $c$ должна быть такова, чтобы нормаль к ней в точке $A$ в каждый момевнт проходила через мгновенный центр $I$ (рубр. 4); касательная поэтому необходимо должна проходить через диаметрально противоположную точку окружности, т. е. через нешодвижную точку $O$; но линия, все касательные которой сходятся в одной точке $O$, не можег быть не чем иным, как прямой, проходящей через точку $O$. Если это нуждаетея в доказательстве, то таковое может быть выполнено таким же рассуждением, как и в рубр. 50 гл. II; именно, радиус-вектор $\rho=O A$ п версор $u$ касательной связаны соотношением
\[
O A=q ;
\]

диюеренцируя его, получаем:
\[
\dot{\overline{O A}}=\dot{\boldsymbol{A}}=\dot{\rho} \boldsymbol{u}+\dot{\boldsymbol{u}} \text {. }
\]

Однако, по условию, производная $\dot{A}$ есть вектор, пмеюций направление версора $\boldsymbol{u}$, а вектор $\boldsymbol{u}$ либо перпендикулярен к $\boldsymbol{u}$, либо равен нулю; поэтому, умножая обе части скалярно на $\dot{u}$, иолучаем $\rho \boldsymbol{u}^{2}=0$, а следовательно, и $\boldsymbol{u}=0$, как это и требовалось доказать.
15. Эллппсограф. Движением, исследованным в предыдуцих рубриках, можно воспользоваться для построения прибора, служащего для непрерывного черчения эллищса. Конструкция этого прибора основана на том, что при этого рода движении траектория точки, не иринадлежащей рулетте, есть әллипс. Чтобы это доказать, нам достатогно рассмотреть тот случай (фактически применяемый в эллипсографах), когда обе опорные прямые взаимно перпендикулярны и, следовательно, скользящий по ним отрезок представляет собой диаметр рулетты. Выбрав опорпые прямые за оси координат и взяв на отрезке $A B$ или на одном из его продолжений произвольную точку $P$ (фиг. 56), полагаем $A P=b, P B=a$ (считая при этом, например, отрезок $A B$ орнентированным от $A$ к $B$ ). Если через о обозначім угол двух ориентированних прямых $A B$ и $O X$, то
\[
x=-a \cos \theta, \quad y=b \sin n ;
\]

ьсвлючал отсюда 6 , мы получим:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .
\]

Веледствие этого чертящая точка, зағрепленная на стержне $A B$ или на одном из его продолжений, будет при движении стержня описывать на плоскости эллипс.
16. Движение, взаимное с тем, которое изучено в предыдущих рубриках, реализуется при помощи твердого угла (в частности наугольника), который движется в плоскости таким образом, что стороны его постоянно проходят через две неподвижные точки $A$ и $B$. Тогда рулеттой служит окружность, которая катится по окружности половинного радиуса, остающейся внутри ее.
17. Сочлененный антинаралтелогрни. Под антипараллелограмом разумеют четьрехугольник $A B C D$ с пересекающимия сторонами $A C$ и $B D$ (фиг. 57), в котором противоположнџе стороны равны $(A B=C D$ п $A C=B D)$. Такой параллелограм мы будем представлять сьбе сочленелным, т. е. составленным из твердых стержней, скрепленных в вершинах шарнирами.

Если мы закрепим два щарнира, например $A$ и $B$ (концы стороны, которая не пересекается противоположной стороной $C D$ ), и будем вращать подвижные стержни (в их плоскостп), то аптипараллелограм будет деформироваться, сохраняя, однако, шеизменной длину каждой сторовы.

Будем, в частности, рассматривать отрелк (‘) как движупуюся фигуру. Траекториями точек $C^{\prime}$ и $D$ служат окружности, имеющие цегтры в $A$ и $b$; следовательно (рубр. 4), мгноненным центром $I$ служит точка пересечения прямых $A C$ и $B D$.

С другой стороны, трсугольники $I A B$ и $I D C$ равны, так как, по самому определению антипараллелограма, равиы стороны $A B$ и $C D$, углы при общей вершине $I$, а также углы при вершинах $B$ и $C$ (cр. треугольники $A B D$ и $A C D$ ). Отсюда следует, что $I A=I D$ и $I B=I C$, а потому
\[
I A+I B=I C+I D,
\]

так кию эти две суммы имеют постоянную длину (т. е. не завпсящую от положения отрезка $C D$ ), равную общей длине стержнен $A C$ и $B D$. Отсюда мы можем заключить: поля рные траектории $\lambda$ и $l$ суть равные әллипсы, имеющие фокусы в неподвижных вершинах $A$ и $B$ и в подвижных вершинах $C$ и $D$.

Если мы закрепим такие вершины, как $A$ и $C$ (концы стороны, которая внутренне пересекается с противоположной стороной $B D$ ), то при помощи совершенно аналогичного рассуждения убедимся, что полярными траектриями служат ветви гиперболы, также равные между собой.

18. Дана окружность $c$ п неподвижная прямая $f$, касающаяся огружности в точке $T$ (фиг. 58). Прямолинейный профиль $r$ движется, огибая окружность стаким образом, что векоторая его точка $P$ скользит по прямой. Обозначим через $M$ точку касаняя окружности $c$ и прямой $r$. Мы можэм немедленно разыскать мгновенный центр $I$, как точку пересечения перпендикуляра к прямой в точке $P$ (рубр. 4) с радиусом $O H$. Если проведем прлмую $O P$, то она разделит угол $\overparen{P P M}$ пополам, и ясно, что треугольник OIP имеет при вершинах $O$ и $P$ равные углы. В самом деле, угол при вершине $P$ представляет собою дополнение угла $\widehat{O P T}$ до прямого, а угол при вершине $O$ (прннадлежащей тагже прямоугольному треугольнику $O M P$ ) дополняет до прямого угол ОРМ, который равен $\widehat{O P T}$. Отсюда следует, что точка $I$ одинаково удалена ог точки $O$ и от $P$ или, если угодно, от неподвижной тотки $O$ и неподвижной прямой $f$. Это свойство точки (незавпсимо от частного толожения подвижного профиля) характеризует описываемое ею геометрическое место (т. е. базу), как параболу, имеющую фокусом точку $O$ п директриссой прлмую $f$.

С такой же легкостью мн обнаружпм, что рулетта $l$ также предетавляет собой параболу, равную своей базе, но имеющую фокусом точку $P$, директриссой прямую $d$, проходящую через центр $O$, параллельно $r$; әто вытекает из того, что точка $I$ равпоудалена от точек $P$ и $O$ или, что то же, от точки $P$ и прямой $d$.