29. Согласно определению, данному в рубр. 11, плоское движение является әпициклическим, если как рулеттой, так и базой служат окружности. Траектории, описываемне отдельными точками подвпжной фигуры, называютея в этом случае эпичиклоидами; мы займемся, прежде всего, изученнем этих кривых.

Для определенности будем предполагать, что рулетта $l$ имеет с базой $\lambda$ внешнее касапие.

Пусть $a$ и $b$ будут радиусы окружностей $l$ и $\lambda, O$ и $Q$-соответствующие центры их (фиг. 63). Пусть $P$ будет произвольная точка подвижной фигуры, с которон неразрывно связана окруяность $l$, а $p$ пусть будет расстояние точки $P$ от центра $O$ окружности $l$.

Когда окружность $l$ катится, то радиус $O P$ принимает всевозможные направления.

Остановимся на том положении рулетты, при котором две полупрямые $O P$ и $O \varrho$ представляют собой продолжения одна другой; через $I_{0}$ обозначим мгновенный центр, соответствующий этому положению; четыре тички $Q, I_{0}, O, P$ расположены на одной прямой в том порядке, кєк мы их называем. Установленный таким образом радиус базы примем за ось $Q$, и к ней присоединим в качестве второй оси перпендикулир $Q_{\eta}$.
Рассмотрим теперь произвольное другое положенне окружности $l$.
Пусть $\alpha$ будет угол, который радиус 90 в этом втором положении образует с осью абсцисс $Q \xi ;$ этот угол мы будем считать полизкительным в сторону возрастающих аномалий, т. е. от оси Q₹ $\kappa$ Q $\eta$.
Пусть, далее, $I$ будет мгновенный центр, соответствующий второму положению. Рздиус $O P$ после поворота отклонится от $O I$ в том же направлении на угол $\beta$, который легко выразить череь $\alpha$. В самом деле, $a|\beta|$ выражает длину смещенвя точки касания по окружности $l ; b|\alpha|$ выражает длину ее смещения по окружности $\lambda$. А так как одна окружность катится по другой без скольжения, то эти дуги равны между собой; их знаки, в силу наших соглашений, совпадают.
Поэтому
\[
\alpha \beta=b \alpha .
\]
30. Исходя из этого, мы непосредственно получаем выражения для координат $\xi$ и $\eta$ точки $P$ при произвольном положении рулетты, а вместе с тем и параметрические уравнения ее траекторий; для этого достаточно спроектировать на оси юоординат обе части векторного тождества
\[
\overrightarrow{\Omega P}=\overline{Q D}+\overline{O P} .
\]

Если теперь примем во внимание, что вектор $\overline{Q O}$ имеет длину (постоянную) $a+b$ и аномалию (переменную) $\alpha$, вектор же $\overline{O P}$ имеет длипу (также постояиную) $p$ йеременую аномалию
\[
\alpha+\beta=\left(1+\frac{b}{a}\right) \alpha ;
\]

то найдем непосредственно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=(a+b) \cos \alpha+p \cos k \alpha, \\
\eta=(a+b) \sin \alpha+p \sin k \alpha,
\end{array}\right\}
\]

где через $k$ для краткости обозначена ностоянная $1+\frac{b}{a}$.
Уравнения (7), очевидно, представляют собой параметрические уравнения траекторий точки $P$, оні определяют координаты менный параметр $a$, так как $a, b, p$ имеют постоянные положительные значения, первоначально совершенно произвольные, a $k=1+\frac{b}{a}$.

Обыкновенную эпицилоиду, т. е. траекторию топки, лежащей на самой катящейся окружностн, получим, если положим $p=a$. Рисунок, помещенный в следугщей рубрике, содержит изображения трех типов эпициклоиды: удлиненной, оо́ыкновенной и $у$ короченнойв.
31. Прежде всего, отметим одну особенность качественного свойства, принадлежащую эпициклоидам всех трех типов. Каждая эпицилоида составляется из ряда (вообще бесконечного) конгруентных между собой дул, моторые называются ветоями эпициклоиды. Чтобы составить себе ясное представление о такой ветви, нужно проследить катящуюся окружность с ее начального положения (соприкосновения в точке $I_{0}$ ) до того момента, когда та же точка окружности $l$ вновь приходит в соприкосновение с базой (фиг. 64). При этих условиях $\beta=2 \pi$; а так как $b \sigma=a \beta$, то мы получаем для $\alpha$ значение:
\[
2 \pi \frac{a}{b}=\frac{2 \pi}{k-1} \text {. }
\]

Это значит, что за промежуток времени, в теченне которого окружность $l$ совершает полиый оборот, каждая точка $P$, нензменно с нею связанная, поворачивается вокруг $я$ на угол
\[
\theta=\frac{2 \pi}{b-1} .
\]

За это время она описывает определенную дугу кривой с угловым отверстием $\Theta$ (относительно Q), которая и представляет собой ветвь эпициклоиды. В самом делө, следя за катящейся окружностью $l$, мы видим, что точка $P$, неизменно связанная
с этой окружностью, приходит в то же положение относительно базы после каждого полного оборота окружностп $l$; за әти промежутки она описывает дуги, которые постоянно равни первой из них и переходят одна в другую поворотол вокруг точки $\mathcal{Q}$ на угол $\Theta$.
32. Если дуга $\theta$ соизмерима с $2 \pi$, то кривая замыкается. В самом деле, коль скоро существует такая рациональная дробь $\frac{m}{n}$, что $\Theta=m \cdot \frac{2 \pi}{n}$, то $n \Theta$ есть кратное $2 \pi$. Это значит,

что точка $P$, описав $n$ ветвей, возвращается в точку исхода; продолжая движение, она будет описывать те же ветви. Напротив, совершенно ясно, что в том случае, когда угол $\Theta$ несоизмерим с $2 \pi$, ни одна из последующих ветвей не совдадает с предыдущими.

Так как $\theta=\frac{2 \pi}{h-1}$, то соизмеримость числа $\theta$ с $2 \pi$ эквнвалентна рациональности дроби $k-1=\frac{b}{a}$ или, что то же, соизмеримости радиусов $a$ п $b$ рулетты и базы.
33. Уравнения (7) отнесены к осям специального расположения. Мы легко перейдем к произвольным осям, конечно, при том же пачале $Q$, если сообразим, что здесь все сводится к смещению начала отсчета углов $\alpha$ I $\alpha+\beta=k \alpha$.

Если $\varphi$ есть угол, первопачально пронзвольный, на который повернуты оси (в положительную сторону, т. е. в сторону возрастающих аномалий), то мы получим вместо уравнения (7) формулы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=(a+b) \cos (\alpha-\varphi)+p \cos (k \alpha-\varphi) \\
\eta=(a+b) \sin (\alpha-\varphi)+p \sin (k \alpha-\varphi) .
\end{array}\right\}
\]

Если, в частности, положим здесь
\[
\varphi=\theta=\frac{2 \pi}{k-1}
\]

и в то же время заменим $\alpha$ на $\alpha^{\prime}+\theta$, что даст
\[
\alpha-\varphi=\alpha^{\prime}, k \alpha-\varphi=k \alpha^{\prime}+2 \pi,
\]

го уравнения $\left(7^{\prime}\right)$ примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\xi=(a+b) \cos \alpha^{\prime}+p \cos k \alpha^{\prime}, \\
\eta=(a+b) \sin \alpha^{\prime}+p \sin k \alpha^{\prime} .
\end{array}
\]

Эти уравнения совпадают, таким обрагом, с прежними уравнениями (7), если в последних заменить $\alpha$ на $\alpha^{\prime}$. Параметрические уравнения эпициклоиды, таким образом, вовсе не изменяютоя, если повернуть оси на угол $\Theta$. Это означает, что кривая занимает то же положениө относительно повэрнутых осей, как и относительно первоначальных, т. е. что она не меплется при повороте на угол є вокруг точки $\mathcal{Q}$. Мы имеем, таким образом, новое доказательство сопоставления, проведенного в рубр. 31.
34. Рядом с әпициклоидои, которая описана произвольной точкой $P$, неизменно свлзанной с окружностью $l$, рассмотрим другую, которую описывает точка $P^{\prime}$, симметричная с $P$ относительно $O$. Если на момент возвратимся к рубр. 29. и 30, то мы сенчас же убедимся, что параметрические выражения координат $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$ точки $P^{\prime}$, отнесенные $\kappa^{\prime}$ тем же осям $Q \xi \eta$, которые были приняты для выражения траектории точки $P$, получаются путем увеличения в выражениях координат точки $P$ угла $\beta$, а следовательно, и угла $\alpha+\beta=k \alpha$ на $\pi$. Они имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi^{\prime} & =(a+b) \cos \alpha-p \cos k \alpha, \\
\eta^{\prime} & =(a+b) \sin \alpha-p \sin k \alpha .
\end{array}\right\}
\]

Ввиду симметрии точек $P$ п $P^{\prime}$ по отношению к точке $O$, пх относительные положения (по отношению к точке соприкосновения с базой), очевидно, замещают друг друга после полуоборота окружности $l$, что составляет поворот вокруг $Q$ на угол $\frac{\theta}{2}$. Траектории, описанные точками $P$ и $P^{\prime}$, оказываются, таким образом, равными: они приводятся в совмещение поворотом на угол $\frac{\Theta}{2}$ вокруг точки $Q$.

Мы можем получить и формальное подтверждение этогс, полагая в уравнениях (7′) $\varphi=\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{k-1}$ и ваменяя в то же время $\alpha-\varphi$ через $\alpha^{\prime}$, а вместе с тем, $k \alpha-\varphi=k \alpha^{\prime}+\pi$; мы получаем тогда уравнение ( $7^{\prime \prime}$ ) при параметре $\alpha^{\prime}$ вместо $\alpha$.
35. До сих пор мы держались предположения (рубр. 29), что рулетта катится по своей базе, оставаясь вне ее. Если же, наоборот, рулетта движется внутри базы или база остаетея внутри рулетты, вообще в тех случаях, когда рулетта и база имеют внутреннее касание, все протекает геометрически соверпенно аналогично. Что же касается формул, в частности, параметрического выражения траектории, то очень легко уоедиться, что они получаютея путем замевы в полученных выше формулах числа а на – $a$; таким образом вместо уравнений (7) мц получаем следующие:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=(b-a) \cos \alpha+p \cos k \alpha, \\
\eta_{1}=(b-a) \sin \alpha+p \sin k \alpha .
\end{array}\right\}
\]

Само собой разумеется, что при замене $a$ на – $a$ значение $k$ станет равным $1-\frac{b}{a}$, остальные же буквы $a, b, p, \alpha$ сохраняют свои значения. Әти два случал, когда рулетта находится внутри базы или база внутри рулетты, отичают от рассмотревного выше нацменовванием зипииклического движения. Траектории, описываемые при этом точками двчжущейся фигуры, называютсл 2ипоииклоидами. Не останавливаясь на доказӓтельстве ${ }^{1}$ ), заметим, что при $a>b$ эти траектории также входят в число эпициклоид (образующихся при внешнем качении). Действительное отличие в характере траектории, таки образом, имеет место только в том случае, когда рулетта катится внушри базы (а не наоборот). Заметим, наконед, что гз формул (7) непосредственно вытекает теорема Кардана (рубр. 13), именно: при $b=2 a$ иипочиклоида-трактория произвольной точки рулетты -сводится $\kappa$ диаметру базы.

В самом деле, если положим $b=2 a$, т. е. $b-a=a$, то $k=1-\frac{b}{a}=-1$ и $p=a ;$ поатому второе из уравнений (8) дает $\eta=0$.

Уравнения (8) вновь приводят к факту, доказанному уже в рубр. 15, что траектория всякой точки $P$, неизменно связанной с рулеттой, но не лежащей на ней, представляет собою эллипс. В самом деле, при $b-a=a, k=-1$ и при прочзвольном $p$ уравнения (8) принимают вид:
\[
\xi=(a-p) \cos \alpha, r_{i}=(a-p) \sin \alpha .
\]

Исключая отеюда $\alpha$, мы получаем траекторию (при $p
eq a$ ):
\[
\frac{\xi^{2}}{(a+p)^{2}}+\frac{\eta^{2}}{(a-p)^{2}}=1 .
\]
36. Элемепт дуги обыкновенной эпциклоиды и длина конетной дуги. Продиференцируем уравнекия (7), рассматривая как переменную только параметр $\alpha$; это соответствует переходу от произвольной точки $(\xi, \eta$ ) кривой к весьма близкой точке $\xi+d \xi$, $\eta+d \eta$. Мы получим:
\[
\begin{array}{l}
d \xi=-\{(a+b) \sin \alpha+p k \sin k x\} d \alpha, \\
d \eta=\{(a+b) \cos \alpha+p k \cos k \alpha\} d \alpha .
\end{array}
\]
1) Это доказательство можно напти в сочинении $G$. Loria, Specielle a]gebraische und transcendente ebene Kurven“, Leipzig, Teubner, 1902; S. 482-483.

В случае обыкновеннон эпициклоиды при $p=a$ и $k=1+\frac{b}{a}$, как обнкновенно, оба коэфициента $a+b$ и $p k$ становятся равными. Если вслед затем воспользуемся тригонометрическими тождествамы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin k \alpha=2 \sin \frac{1}{2}(k+1) \alpha \cos \frac{1}{2}(k-1) \alpha, \\
\cos \alpha+\cos k \alpha=2 \cos \frac{1}{2}(k+1) \alpha \cos \frac{1}{2}(k-1) \alpha,
\end{array}\right\}
\]

и соотношением между $\alpha$ и $\beta$ (рубр. 29), т. е. напишем вместо $\beta$ $k-1) \alpha$, то диберенциалы координат примут вид:
\[
\begin{array}{l}
d \xi=-2(a+b) \sin \frac{1}{2}(k+1) \alpha \cos \frac{1}{2} \beta \cdot d \alpha, \\
d \eta=2(a+b) \cos \frac{1}{2}(k+1) \alpha \cos \frac{1}{2} \beta \cdot d \alpha .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает следующее выражение для диференциала дуги:
\[
d s=\sqrt{d \xi^{2}+d \eta^{2}}=2(a+b)\left|\cos \frac{1}{2} \beta \cdot d \alpha\right| .
\]

Для большей ясности остановимся на полной ветви кривой (рубр. 31), содержащөйся между значениями – и и л угла $\beta$, т. е. между двумя последовательными (угловыми) точками эпициклоиды, принадлежащими базе. Если при этом считать дугу $s$ положительной в направлении возрастающих $\alpha$, то в формуле (9) можно опустить знак абсолютнэго значения; воспользовавшись вновь соотношением
\[
\beta=(k-1) \alpha=\frac{b}{a} \alpha,
\]

можно, очевидно, заменить $d \alpha$ через $d \beta$, что приводит к выражению:
\[
d s=4 a \frac{a+b}{b} \cos \frac{1}{2} \beta \cdot \frac{1}{2} d \beta .
\]

Интегрируя это выражение от – до произвольного значения $\left.\beta(\leqslant \pi)^{1}\right)$, мы получим для длины дуги обыкновенной әпициклоиди (считая от угловой ее точки) выраякение:
\[
s=4 a \frac{a+b}{b}\left(\sin \frac{1}{2} \beta+1\right) .
\]

Полагая здесь $\beta=\pi$, мы найдем длину полной ветки кривой, именно:
\[
8 a \frac{a+\cdot b}{a} \text {. }
\]
1) Для других зиатений $\beta$ угол, о котором идет речь, имел бы значение $\alpha+\frac{\beta_{0}}{2}$, где $\beta_{0}$ означаст приведенное значение $\beta$, т. е. угол, содержашвчся в интервале $(-\pi, \pi$ ) и отличающинся от $\beta$ на кратное $2 \pi$.

37. Радиус кривизиы. В слутае обыкновенной эпициклоиды описывающая ее точка $P$ принадлежит окружности $l$ (фиг. 65); в әтом случае из чертежа совершенно ясно, что для значений $\beta$, содержащихся между – $\pi$ и $\pi$, нормаль IP образует с осью $Q \xi$ угол $\alpha+\frac{\beta}{2}$; отсюда следует, что нормали в двух бесконечно близких точках обравуют угол
\[
d \alpha+d \frac{\beta}{2},
\]

который, очевидно, ра вен углу между соот ветствующими касательными, т. е. представляет собой так называемый угол смежности. Отношение этого угла (взятого по абсолютной величине) к длине дуги, содержащейся между теми
жө точками, представляет меру кривизны кривой; обратное отношение выражает радиус кривизны ${ }^{1}$ ).
Так как
\[
d \alpha+\frac{1}{2} d \beta=\left(1+\frac{1}{2} \frac{b}{a}\right) d \alpha=\frac{1}{2}-\frac{2 a+b}{a} d \alpha,
\]

то мы получаем из выражения (9):
\[
r=\frac{2(a+b)}{2 a+b} 2 a\left|\cos \frac{1}{2} \beta\right| .
\]

Сохраняя ограничение $-\pi \leqslant \beta \leqslant \pi$, мы видим по чертекуу (когда точка лежит на окружности, и вписанный угол в точке $P$ составляет $\frac{\pi}{2}$ ), что длина $\delta$ отрезка IP выражается формулой:
\[
\delta=2 a \cos \frac{1}{2} \beta .
\]

При укаванных пределах для угла $\beta$ ‘(т. е., собственно гово$\mathrm{pg}$, для произвольных его значений) можно вместо $\cos \frac{1}{2} \beta$
1) Радиус кривизны мы здось рассматриваем, как это обыкновенно делаетсл, в его абсолютном численном значөнин. ‘ Нногда, однако, бывает удобно присваивать ему знак; это всякий раз основывается на соглачениях, обусловливаемых характером исследования. Мы имели уже такого рода пример в предыдущем параграфе: при соглашения относнтельно знака радиуса кривизны, установленных в рубр. 26, формула Савари получила выражение, ири годное во всех случаях; бөз этого при определении абсолютного знатения радиуса кривизны было бы необходимо принимать во внимание различные олучаи, которые здесь могут предетағиться.

написать $\left|\cos \frac{1}{2} \beta\right|$; сопоставляя это с предыдущим выражением радиуса кривизны $r$, получим:
\[
y=\frac{2(a+b)}{2 a+b} \text { i. }
\]

Мы видим, таким образом, что радиус кривизны в произвольной точке обыкновенной эпициклоиды пропорционален расстоянию этой точки от мгновенного чентра 1.
35. Нриложения построения Савари. К этому же результату мы приходим и более простым путем, основываясь на геометрической теореме Савари (рубр. 25). С этой целью начнем с определения точек, которые в ташем случае должны заменить $C_{l}, \Gamma_{\lambda}, C$ и Г, фигурирующие в общем выражении теоремы.

Точками $C_{l}$ и $\Gamma_{\lambda}$ служат центры $O$ и $Q$ окружностей $\lambda$ и $l$ (фиг. 66). С другой стороны, поскольку мы здесь пмесм дело с обыкновенной эпициклоидой, описываемой точкой $P$ окружности $l$ (так что профиль $c$ сводится к одной только точке $P$ ), $C$ совпадает с са. иой точкой $P$; точка же $\Gamma$, собственно, и составляет центр кривизны, о котором идет речь в общем предложении.

Отметим еще следующее соображение: если $l^{\prime \prime}$ есть точка окружности $l$, диаметрально противоположная $P$, то прямая $I P^{\prime}$ оказывается перпендикулярной к $I P$ и совпадает с параллелью ₹: касательной $I T^{\prime \prime}$, фигурирующей в общей теореме; следовательно, прямые $I P^{\prime}$ и $P O$ пересекаются в точке $P^{\prime}$. Свойство, которое нам нужно использовать, заключается в том, что через определяется центр кривизны $\Gamma$, кап пересечение прямых $Q P^{\prime}$ и IP.

Продолжим прямую 80 до вторичного пересечения с окружностью $l$ в точкө $I^{\prime}$ и проведем отрезок $P^{\prime} I^{\prime}$; он невзбежно будет равен и параллелен отрезку $I P$.

Отсюда следует, что два треугольника $Q \Gamma I$ и $Q P^{\prime} I^{\prime}$ подобны между собой; поэтому
\[
\frac{\Gamma I}{\Gamma^{\prime} I^{\prime}}=\frac{\Omega I}{\Omega I^{\prime}}=\frac{b}{2 a+b} .
\]

Написав $I P$ вместо $P^{\prime} I^{\prime}$ и прибавив по единице к первому и третьему членам этого равенства, получим:
\[
\frac{\Gamma I+I P}{I P}=\frac{2(a+b)}{2 a+b},
\]

что как раз совпадает с соотношением (10), так как $I P=\delta$ и $\Gamma I+I P=\Gamma P=r$.

39. Эволюта. Подобне треугольников $Q \Gamma I$ и $Q P^{\prime} I^{\prime}$ влечет за собой еще пропорции:
\[
\frac{\varrho \Gamma}{\Omega P^{\prime}}=\frac{\Omega 1}{\Omega I^{i}}=\frac{b}{2 a+b} ;
\]

отсюда ясно, что точки $\Gamma$ и $P^{\prime}$, расположенные на одной прямой с $\Omega$, описывают (с изхенением $P$ ) гомотетические кривые (т. е. подобные в подобным образом расположенные) относительно $Q$.

С другой стороны, мы знаем (рубр. 34), что траектория точки $P^{\prime}$ представляет собой эпициклоиду, конгруентную с траекторией точки $P$, ибо она с ней совмещается поворотом на угол $\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{k-1}$ вокруг $ᄋ$. Отсюда вытекает следующая теорема: эволютой өбыкновеннй эпициллоиды (т. е. геометрическим местом ее центров кривизны Г) служит подобная ей эпициллода; но она не расположена подобно данной эпициклоиде относптельно центра базы $Q$, а повернута на угол $\pi(k-1)$.

Врядд ли нужно указывать, что к определению эволюты можно притти также чис о аналитически; для этого достаточно выразить координати $\xi^{*}$ и $r_{i}^{*}$ точки $\Gamma$, основываясь на векториальном тождестве
\[
\overline{\mathrm{Q \Gamma}}=\overline{\Gamma \Gamma}+\overline{\Omega P} .
\]

Формулы, получавиеся для $\xi^{*}$ и $\eta^{*}$, непосредственно дают параметрические выражения эволюты; сопоставляя их с уравнением ( $\left.7^{\prime}\right)$, мы придем к формулированному уже выше выводу.
40. Сопраженные эпциклические и гипоциклическпе профили. Как для всех видов твердых плоских движенин, так и для эпициклических имеют особое значение сопряженные профили. Мы остановияіся здесь на одной категории их, к которой при. водит общий метод, иэложенный в рубр. 19; речь здесь идет 0 типичном примере этого метода, от которого, собственно, ведет свое начало и его название (эпициклический метод).

В качестве профиля $c$, неразрывно связанного с движущейся фигурой, а следовательно, с окружностью $l$, возьмем дугу эпиЦиклоиды, имеющей окружонсть $l$ своей базой, а рулеттой произвольную окружнисть $k$. Мы можем непосредспвенно утверждать (рубр. 35), что сопряженный профиль $\gamma$ в этом случае представляет собой дугу гиподиклоиды, которая имеет своей базой окружность $\lambda$ и рулеттой ту же окружность $k$, если только остановимся на предположении, что окружности $l$ и $\lambda$ имеют внешнее касание. Действительно, достаточно себе представить эти три кривые, соприкасающиеся в точке $I$, чтобы стало ясно, что окружность $k$ касается внешне окружности $l$, если она имеет с $\lambda$ внутреннее касание, п обратно. Отсюда следует, что с есть дуга гипоциклоиды, $\gamma$ – дуга эпициклоиды.

Если 6 окружности $l$ и $\lambda$ имели внутреннее касание, то вспомогательная окружность $k$, катясь по $l$, дала бы сопряжепные профили одного и того же типа, т. ө. оба профиля были бы эпициклическими или гипоциклическими.

К интересному частному случаю приводит предположение, что радиус окружности $k$ представляет половину радиуса окружности $l$ и что точка, образующая профили $c$ и $\gamma$ (которая в общем случае просто нензменно связана с $k$ ) лежит на самой окружносчи $k$. В этом случае (рубр. 11), эпициклоида $c$ вырождается в диаметр окружности $l$; это приводит к следующему Выводу: профиль, сопряженный с диаметром рулетты $l$, состоиі из ветвсй оо́ыкновенной эпициклоиы; эта эпициклоида образуется качением по той же о́азе $\lambda$ окруюности, имеющей вдвое меньший радиус, незсели окружность $l$.
41. Сопряженные профил эвольвент окуљвностей, концентрических с рулеттой. Мы уже внше (рубр. 39) занимались эволютой эпициклоиды, которая определялась как геометрическое место цептров кривизны. Однако, как извеотно из анализа и как это, в сущности, непосредственно вытекает из определения центра кривизны, эволюту любой плоской кривой с можно еще определить, как огибающую $c^{\prime}$ нормалей кривой с. Иными словами, эволюта кривой $c$ есть таная кривая $c^{\prime}$, касательными которой служат нормали исходной кривой $c$.

Припомими также, что под эвольвентой (или разверзающей) кривой $c$ разумегт любую из бесчисленного множества кривих $C$, которые нмеют эволютой кривую $c$, нормалями которых поэтому служат касательние кривой $c$. Если кривая $c$ задана, то ее эвольвенту, как известно, можно построить следующим образом: на кривой $c$ мы выбираем произвольно точку $P_{0}$ и сторону обращения самой кривой или соответствующих касательных. Затем к каждой точке кривой $P$ мы относим ту точку $Q$ на соответствующей касательной, для которой отрезок $I^{\prime} Q$ по длине и стороне обращения равен дуге $\overparen{P_{0} P}$. Геометрическое место этих точек $Q$ и есть эвольвента кривой $c$. Как мы видим, их вообще имеется бесчисленное множество в зависпмости от выбора точки $P_{0}$. Нсходя из этого, мы докажем слөдующее: эвольвенты окружностей, концентрических с рулеттой и расположенных внутри нее, имеют в качестве сопряженных профилей кривые того же типа, а именно- эвольвенты окружностей, концентричных с базой и расположенных внутри последней.

В частности, предположим, чго $c$ есть окружность, концентрическая с $l$ и расположенная внутри нее (фиг. 67). Пусть IM и IN будут две касательнне, проведенные из точки $I$ к огружности $c$; они служат нормалями каждой эвольвенты $C$ этой окружности $c$.

Легко убедиться, что огибающая $\gamma$ какой-либо из этих кривых $C$, в свою очередь, представляет эвольвенту некоторой окружности $\Gamma$, концентрнческой с $\lambda$. В самом деле, в любом положении рассматриваемой фигуры нормали $I M$ и $I N$ к кривоћ $C$, проходя через точку $I$, служат также нормалями (рубр.8) к сопряженному профилю $\gamma$. С другой стороны, они касаются в точках $M^{\prime}$ и $N^{\prime}$ некоторой окружности $\Gamma$, концентрической с $\lambda$; и эта окружность $\Gamma$ всегда остается той же, каково бы ни было положение рулетты, ибо радиус $Q M^{\prime}$ окружности $\mathrm{I}$ неизменно связан с радиусом $O M$ окружности с; это вытекает непосредственно из подобия треугольнигов $Q I I^{\prime}$ п $O I M$, которое дает:
\[
\frac{Q M^{\prime}}{O M}=\frac{2 I}{\partial I}=\frac{b}{a} .
\]

Это обнаруживает, что кривая $\gamma$ подобна $C$ при отношении подобия $\frac{a}{b}$.
42. Iредельные слутаи. Здесь целесообразно рассмотреть два пнтересных предельных случая эпициклического движения. Мы придем к ним, если будем беспредельно ограничивать радиус $b$ базы или радиус а рулетты, так что та или иная из двух кривых выродится в прямую. Если в прямую обращается база, то движение называется чиклоидальным. Как известно, чиклоидами называются траектории, описываемые в этих условиях точками рулетты; траектории же, описываемне точками, неизменно связанными с рулеттой, называются трохоидами; их называют также удлиненныли кли укороченными циклопдами, смотря по тому, лежит ли образующая точка вне рулетты или внутри нее.

Если же, напротив, в прямую обращается рулетта, то траектории ее точек образуют (аредыдущая рубрика) эвольвенты базы; траектории точек, неразрывно связанные с рулеттой, также обыкновенно именуются удлиненными или укороченными в зависимости от того, находится ли образующая точка с той же стороны прямолинейной рулетты, что и база, или с противоположной.

Параметрические формулы эпициклического движения вообще непригодны для непосредственного перехода к пределу, соответствующему бесконечному звачению $a$ или $b$; но такой переход можно выполнить в формулах Савари (как уже было замечено в рубр. 27). Так, например, при $l=\infty$ уравнение (10’) дает $r=2 \hat{\delta}$, хорошо известное выражение радиуса кривизны обыкновенной циклоиды.
43. Некоторые свойства обыкновенной диклоиды. В предыдущей рубрике мы рассмотрели циклоидальное движение как предельный случай эпициклического. Основываясь на этом, можно исследовать самую циклоиду, пользуясь теми же соображениями и вводя лишь незначительные изменения, когда простой предельный переход оказывается недостаточным. Для краткости мы здесь ограничимся только тем, что установим некоторые предложения об обыкновенной циклоиде, которые находят себе полезные применения в динамике.
a) Параметрические уравнения. За базу примем прямую $\varrho$; пусть $A$ и $B$ будут две последовательные вершины циклоиды, т. е. два последовательные полюжения, в которых образующая точка $P$ катяцейся окружности $l$ находится на базе (фиг. 68).

За начало осей координат возьмем середину о отрезка $A B$; ось $Q \xi$, совпадающую с базой, обратим в сторону точки $B$, а ось $Q_{\eta}$-к верхней точке $V$ рулетты. Радиус последней обозначим, как выше, через $\alpha$.

Зафиксируем какое-либо положение рулетты, а следовательно, и точки $P$, и, как обыкновенно, обозначим через $I$ соответствующую точку соприкосновения (мгновенный центр вращения), через $O$-центр окружности.

Пуеть $W$ будет точка, диаметрально противоположная $I$, а $Q$-проекция точки $P$ на базу. Дуга окружности $\overparen{W P}$ равна, гследствие качения, отрезку $Q I$.

Теперь совершенно ясно, что абсцисса точки $I$ равняется $a \theta$, где $\theta$ есть угол $W O P$, взлтый с надлежащим знаком; можно сказать, что $\theta$ выбирается так, чтобы абсцисса точки I была равна $a \theta$; переменная $\theta$ принимается за новый параметр и, таким образом, заменяет собой параметр $\beta$, фигурировавший в предыдущих параграфах. Теперь ясно, что координаты $\xi, \eta$ точки $P$ во всех случаях выражаются формулами:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi=Q I+I Q & =a(\theta+\sin \theta), \\
\eta=P Q & =a(1+\cos \theta) .
\end{array}\right\}
\]

Іолная дуга циклоиды получается, когда $\theta$ проходит через все значения от $-\pi$ до $+\pi$.
b) Длина дуги. Так как
\[
d \xi=a(\mathrm{i}+\cos \theta) \cdot d \theta, d \eta=-a \sin \theta \cdot d \theta,
\]

то длина $d s$ элемента дуги, отсчитнваемой в сторону возрастающих $\theta$, выражается формулой:
\[
d s=\sqrt{d \xi^{2}+d r_{i}^{2}}=a \sqrt{2(1+\cos \theta)} d \theta=2 a\left|\cos \frac{\theta}{2}\right| d \theta .
\]

Для вначений $\theta$, содержащихся между $-\pi$ и $\pi, \cos \frac{\theta}{2}$ пмеет положительное значение; интегрируя поэтому от $\theta=0$, что соответствует верхней точке параболы $V$, до произвольного значения $\theta$, получим для $s=\overparen{V P}$ внражение:
\[
s=4 a \sin \frac{\theta}{2} \text {. }
\]

В частности, при $\theta=\pi$ голучим длину половины ветви параболы $\overparen{V B}=4 a$; длина полной ветви равна $8 a$. Разность
\[
y=2 a-\eta,
\]

очевидно, виражает расстояпие $P H$ точки $P$ от касательной к циклоиде в точке $V$. Вместе о тем, второе из уравнений (12) дает:
\[
y=a(1-\cos \theta)=2 a \sin ^{2} \frac{\theta}{2} ;
\]

сопоставляя это с выражением (13), получаем зауечательное соотношение:
\[
s^{2}=8 a y,
\]

между длиной дуги и ординатой, к которому нам часто придется возвращаться.
c) Построение чентра кривизны. Мы воспользуемся для этого теоремой Савари, сохраняя необходимые соглашения относительно обозначений, как мы уже это делали в рубр. 38. Так как мы рассматриваем здесь циклоиду, описываемую точкой $I$, женный профиль именно и представляет собой циклоиду.

Вследствие этого $P O$ изображает здесь прямую $C C_{l}$, а прямая $I T^{\prime \prime}$ представлена перпепдикуляром к $I P$ из точки $I$; их пересечением ( $J$ в общем выражении теоремы в рубр. 2б), таким образом, служит точка $P^{\prime}$, диаметрально противоположная $P$ на окружности $l$.

Центр кривизны $\Gamma_{\lambda}$ базы теперь находится в бесконечности, в направлении, перпендикулярном к самой базе; поэтому прямая $J \Gamma_{\lambda}$ теперь перпендикуллрна к базе в точке $l^{\prime}$. В силу геометрической теоремы Савари она пересекает прямую IP в искомом центре кривизны $\Gamma$.

Из этого построения следует, что треугольник $P P^{\prime}$ Г подобен треугольнику $P O I$; но отрезки $O P$ и $O P^{\prime}$ равны между собою; вследствие этого равны также отрезки $I P$ и $I$ Г, определяемые на базе высотой этого треугольника $P^{\prime} I$; поэтому $\Gamma$ есть точка, противоположная $P$ относительно $I$; отсюда следует, что
\[
P \Gamma=2 P I,
\]

как мы это уже нашли выше из формулы Савари при помощи шерехода к пределу.

Как непосредственно из чертежа, так и из определения параметра $\theta$ следует, что $\widehat{P I O}=\frac{0}{2}$ и, следовательно,
\[
P I=2 a \cos \frac{\theta}{2}
\]

вместе с тем мы полугаем для радиуса кривизны диклодды выражение:
\[
r=4 a \cos \frac{0}{2},
\]

которое, впрочем, можно было бы получить п формально неносредственно из параметрических уравнений (12).
d) Эволюта чижлоиды. Чтобы определить геометрическое место центров кривизны $\Gamma$, удобно рассматривать помимо рулетты $l$ также окружность $l_{1}$, симметричную с $l$ относительно точки $l$, a потому также касающуюся базы в точке $I$. Центр кривизны $\Gamma$ лежит на этой последней окружности.

Обозначим через $\lambda_{1}$ прямую, параллельную базе и отстоящую от нее на расстоянии $2 a$, а потсму касающуюя окружности $l_{1}$; наконец, через $A_{1}, Q_{1}, I_{1}, B_{1}$ обозначим проекции точек $A, Q, I, \ddot{B}$ на пряму ко $\lambda_{1}$.

Дуга $\widehat{I_{1} \Gamma}$ окружности $l_{1}$, очевидно, равна дуге $\overparen{W P}$ окружности $l$, которая, в свою очередь, равна отрезку $I \Omega$, а потому также отрезку $I_{1} \Omega_{1}$.

Равенство дуги $\overparen{I_{1} \Gamma}$ и отрезка $I_{1} Q_{1}$ показывает, что положепие точки $\Gamma$, соответствующей произвольной точке $P$, а следовательно, и произвольному положению окружности $l$, есть та именно точка, которуго мы получили бы, если бы $Г$ была неразрывно связана с окружностью $l_{1}$, а эта последняя катилась бы без скольжения по прямой $\lambda_{1}$ : при әтом точка $\Gamma$ находилась бы в $Q_{1}$, когда соприкосновение имело бы место в этой точке.

Отсюда следует, что эволютой ұилоиды служит равная ей циклоида, база которой параллельна базе исходной чиклоиды, но снижена на расстояние $2 a$ (т. е. расположена не с той стороны первоначальной базы, с которой леякит исходная кривая, а с противоположной).

Далее, точка, описывающая вторую циклопду, попадает на базе в точку $\Omega_{1}$ (см. выше); она находится в $A$ и соответственно в $B$, когда соприкосновение с прямой $\lambda_{1}$ имеет место в $A_{1}$ и $B_{1}$.

Отсюда ясно, что циклоида, служащая эволютой, сдвинута по отнопению к исходной на половину волны: ее угловые точки, как мы видим на рисунке, например $Q_{1}$, соответствуют верхним точкам на гребне исходнон кривой; напротив, верхние ее точки совпадают с угловыми точками $(A, B)$ исходной циклоиды.
e) Установив все эти своїства эвогюты, мы имеем возможность вновь получить на этот раз уже чисто геометрически соотношение (14). Для этого достаточно припомнить основное свойство әвольвенты (рубр. 41), согласно которому при любом положении точки $\Gamma$ дуга $\overparen{B \Gamma}$ всегда равна отрезку $\Gamma P$ касательной в точке $\Gamma$, содержащємуся между точкой $\Gamma$ и самой эвольвентой. Равенство
\[
\overparen{B \Gamma}=\Gamma P=2 \overparen{\Gamma I}
\]

огнесенное к произвольной дуге $s=\widehat{V P}$ исходной циклоиди, показывает, что длина $s$ превышает вдвое хорду $P W$. Отсюда, вследствие хорошо известной теоремы алементарной геометрии
\[
\overline{P W}^{2}=I W \cdot P H=2 a y
\]

непосредственно вытекает соотношение (14).