9. Возвращаясь теперь к произвольной силе $\boldsymbol{F}$, представим себе, что она приложена к некоторой материальной точке $P$ массы $m$, и рассмотрим работу, выполненную силой $\boldsymbol{F}$ в течение элемента времени. В силу основного уравнения динамикв:
\[
\boldsymbol{F}=m a,
\]

әлемент работы, выполненной сплой $\boldsymbol{F}$, при смещении $d P=\boldsymbol{v} d \boldsymbol{t}$, которому подвергается точка $P$ в рассматриваемый элемент времени $d t$, можно представит’ь в внде:
\[
d L=(m a)(v d t) .
\]

Но ускорение $\boldsymbol{a}$ точки представляет собой не что иное, как производную скорости $\boldsymbol{v}$; поэтому:
\[
(m \boldsymbol{a}) \boldsymbol{v}=(m \boldsymbol{v}) \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=\frac{d}{d t} \frac{1}{2}(m \boldsymbol{v} \boldsymbol{v}) .
\]
1) Некоторое пояснение к устанавливаемому здесь предложенню читатель найдет в приложении IV о градиенте данной функции и о градиентвом векторе.

Еели мы поэтому положим:
\[
T=\frac{1}{2}(m v) v=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m v^{2},
\]

то оказывается, что работа силы $\boldsymbol{F}$ на пути эпементарного смещения материальной свободной точки выражается через
\[
d L=d T .
\]

На этом важном результате необходимо остановиться г, прежде всего, нужно выяснить значение скалярной величины $\frac{m v^{3}}{2}$, которую мы обозначили через $T$.

Это полупроизведение из массь материальной точки на кварам се скорости (скалярной) в определенный молент называется живой силой пли кияетической эксргией (т. е. энергией движения) точки в рассматриваемый момент. Прежде всего, постараемся выяснить наглядным путещ смысл этого названия. Каждый из нас ясно себе представляет, что материальные тела, обладающие определенной скоростью, приобретают способность производить работу, которою они не обладают в состоянии покоя. Так, например, молот, опускаемый рукой с определенной скоростью, сообщает столу, скажем, горизонтальному, удар, которого бы стол не испытал, если бы мы опустили на него молот, который к моменту касания со столом уже утратил бы всякую скорость; тотно так же воздух в состоянии покоя не проявляет никакого динамического эффекта; между тем, поток воздуха способен вращать юолеса ветряной мельницы, пронзводя при этом работу в экономическом значении слова; снаряды производят свои ужасные действия только в том случае, если обладают большой скоростью, и т. д.

Итак, наиболее обычные повседневные опыты показывают, что этого рода энергия, которую хатериальнье тела приобретают в зависшмости от состояния своего движения, проявляется в виде эффекта, тем более значительного, чем больше, с одной стороны, абсолютное значение их скорости, а с другой стороны – при павных скоростях, – чсм больше их масса; это приводит к заключению, что данное полупронзведению (9) название кинетической энергии вполне согласуется с нашими физическими представлениями ${ }^{1}$ ).
1) Второе название живой силы представляется на первый взгтяд ченее удачным в том отношении, что кинетическая энергия хотя и зависнт от силы, но сама по себе таковой не представляет. Но это наименование имеет нсторические причины. Лейбниц противополагал мертєую силу, или, как мы бы сказали, статическую сияу (как давление тяжелого тела, лежащего на пло(кости опоры), жсивой силе или силе двнжения. Ученики Лейбнипа нменно и вычисляли силу, дейетвующую на дзижущуюся точку при помощи кинетической әнергии, которую она сообщала материальной точке и которая проявляетея, хогда мы заставляем действовать различныө постоянныө еилы на точк., двпжущуюся по данному пути. В самом деле, возьмем постоянную сплу $F$, которая, будучи приложена к свободнсй матернальной точке массы $m$, нахо-

При этих соглашения уравнение (10) выражает следующую теорему (жнвой силы): во время движения, обусловливаемого силой, действуючей на свободную материальную точку, элемент работь силь в паждый бесконечно малий прожежуток времени равен (по величине и по знаку) приращению, которое в этот элемент времени приобрела кинетическая энергия точки.

В более наглядной форме можно сказать, что всякий раз, как сила $\boldsymbol{F}$ производит работу, настолько же возрастает кинетическая энергия точки; всякий же раз, как сила $\boldsymbol{F}$ поглоцает работу, кинетическая энергия настолько же уменьшается.

Рассмотрим теперь работу $L_{\text {: }}$ выполненную силой $F$ в про межуток времени от определенного момента $t_{0}$ до переменного молента $t$; с этой целью интегрируем равенство (10) в пределах от $t_{0}$ до $t$; мы получим:
\[
L=T-T_{0},
\]

где $T_{0}$ обозчачает кинетическую энергию точки в момент $t_{0}$, т. е.: изменение, которое в любой промежуток времени испытыват кинетическая энергия свободной точки, двиэучейся под действием некоторой силы, равно работе, выполненной этой силой за этот про.иежуток времени.
10. Если, как в предыдущех параграфе, будем обозначать через $L$ работу, которую выполнила сила, вызывающая движение материальной точки, и будем смотреть на нее, как на энер. гио, сообщенную, материальной точке внешними обстоятельствами, которыми обусловливается движение, то – $L$ внразит эиергию, выделенную материальной точкой во-вне. Так как равенство (11) можно написать в впде:
\[
T-L=\text { const, }
\]

то мы можем сказать, что законы механики уетанавливают для диижения материальной точки под действием силы консервативный характер состояния ее энергии в том смысле, что происхо-

длщейся первоначально в покое, сообщает ей равномерно-ускоренное прямолинейное движение (II, pyбр. 22); между силой $F^{*}$, уекорением $a$, скоростью $v$ (в скалярном значении әтих терминов) и пройденным расстоянием $s$ имеют место скалярные соотношения:
\[
F=m a, \quad s=\frac{1}{2} a t^{2}, \quad v=a t,
\]
a norosy
\[
F s=\frac{1}{2} m a^{2} t^{2}=\frac{1}{2} m v^{2} ;
\]

если поэтому сравним две постоянные силы, действующие на том же пути $s$ движущейся точки, то будем иметь:
\[
F_{1} s=\frac{1}{2} m v_{1}^{2}, \quad F_{2} s=\frac{1}{2} m r_{2^{2}}{ }^{2},
\]

и, следовательно,
\[
F_{1}: F_{2}=\frac{1}{2} m r_{1}{ }^{2}: \frac{1}{2} m r_{2}{ }^{2} .
\]

дит юомпенсация энергии $T$, которой движущаяся точка обладает в каждыи момент в кинетияеской форме, энергией – $L$, которую она, начиная от произвольного момениа $t_{0}$, выделяет наружу в виде работы: сумма той и другой энергии (полная экергия) остается постоянноӥ.
11. Этот вывод принимает осббенно выразительный характер в случае консервативных сил. Энергия $-L$ представляет собой не что иное, как потенциал $U$ с обратным знаком (по крайней мере до аддитивной постоянной, не имеющей существенного значения). Если поэтому обозначим через $E$ постоянную, то уравнение (11′) дает:
\[
T-U=E ;
\]

это – чреввычайно важное соотношение между двумя элементами $T$ и $U$ (т. е., по существу, между скоростью и положением движущейся точки), имеющее место во все время движения.

Количество – $U$ по своему значению и по тому обстолтельству, что оно зависпт только от положения двйущейся точки, называется энергией положения пли также потениильной энергией. Соотношение (11\”), готорое обыкновенно называлот уравнениель или интегра.ом живой силь, выражает поэтому прпнцип сохранения әнергии в самом узком его значении, поскольку здесь речь идет только об одной изолированной материальной точке и ее механической энергии.

Всякое состояние движения точки (характеризуемое ее скоростью и положением) можно рассматривать как одаренное двумя формами энергии – кинетической и потенциальной. Самое движение в этом свете представляется как явление преобразования кинетической энергии в потендиальную, и обратно; но общее количество $E$ энергии постоянно остается непзменным, поскольку энергия данной точки не поглощается извне и не выделяется вс-вне. Таким образом название полной энергии материальной точки, которое обыкновенно прусваивается постоянной $E$, представляется вполне оправданным. Ее называют также постоянной жибой силы, как говорили механики старого времени, когда вся физика еще не была проникнута общей идеей об энергии.