8. Общие результаты, которые мы установили в \& 1 и 2 относительно плоского твердого движения синтетическим путем, могут быть выведены аналитически. Мы здесь займемся в дополнение к изложенному возможно кратким аналитическим выводом основных формул, чтобы воспользоваться ими для установления некоторых дальнейших свойств плоского двнжения.
1) Это значит, линией действия служит траектория, которую описывает точка $M$ в плоскости, неразрывно евязєнной с касательной IT; в этом смысле авторы употребляют термины „траегория относительно ITщ или „кивая, этнесенная к IT\”. (Pед.)

Если неподвижная плоскость $\pi$ п подвижная $p$ отнесены к двум парам ортогональных сонаправленных (образующих по отношению к наблюдателю правосторонние пары) осей $Q \subsetneq$ и $O x y$, а через $\theta$ обозначим анималию ориентированной оси $о x$ относительно ориентированной же оси $Q$, то уравнения движения точки $P$ плоскости $p$ имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=\alpha+x \cos \theta-y \sin \theta, \\
\eta=\beta+x \sin \theta+y \cos \theta
\end{array}\right\}
\]

здесь $x, y$ обозначают постояннье координаты точкп $P$ в плоскости $P$, а $\alpha, \beta$ (коорданаты подвижного натала в плоскости $\tau$ ) и аномалия ө суть определенные функции времени. Эти уравнения можно вывести, либо применяя к әтому случаю формулы (2) гл. III, либо интерпретируя формулы преобразования ортогональных декартовых координат в плоскости.

Диференцируя соотношение (19) по времени $t$, мы получим компоненты скорости $v$ точки $P$ по неподеижным осям, пменяо-
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{\xi}=\dot{\alpha}-\dot{\theta}(x \sin \theta+y \cos \theta) \\
v=\dot{\beta}+\dot{1} \dot{\theta}(x \cos \theta-y \sin \theta)
\end{array}\right\}
\]

На основании тех же уравнений (19) они могут быть представлены в виде:
\[
\left.\begin{array}{c}
v_{\xi}=\dot{\alpha}-\dot{\theta}\left(\gamma_{1}-\beta\right), \\
v_{r_{i}}=\dot{\beta}+\dot{\theta}(\xi-\alpha),
\end{array}\right\}
\]

где $\dot{\alpha}, \dot{\beta}$ суть компоневты скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ подвижного начала $O$ по неподвижным осям.

Если же теперь обратимся к подвижным осям, то компоненты $r_{x},{ }_{y}$ скорости $v$ выразятся формулами:
\[
\left.\begin{array}{l}
v_{x}=r_{\xi} \cos \theta+v_{\eta_{i}} \sin \theta, \\
v_{y}=-v_{\xi} \sin \theta+v_{x_{i}} \cos \theta,
\end{array}\right\}
\]

или же, в силу соотношениӥ (20),
\[
v_{x}=\dot{\alpha} \cos \theta+\dot{\beta} \sin \theta-y^{\dot{\theta}}, v_{y}=-\dot{\alpha} \sin \theta+\dot{\beta} \cos \theta+x^{i} .
\]

С другой стороны, в силу тех же соотношений (22) выраженія
\[
\dot{\alpha} \cos \theta+\dot{\beta} \sin \theta \quad \text { и }-\dot{\alpha} \sin \theta+\dot{\beta} \cos \dot{\theta}
\]

представляют компоненты $v_{0, x}, v_{0 / y}$ скорости $v_{0}$ по подвияным осям; отсюда мы заключаем, что
\[
\left.\begin{array}{rl}
v_{: c} & =v_{0, x}-y^{\dot{\theta}}, \\
v_{y} & =v_{0 / y}+x^{\mathrm{i}} .
\end{array}\right\}
\]

Из соотношений (21) и (21′) непосредственно вытекают результаты рубр. 3. В самом деле, иә ф рмул (21) или (21′) слелует, что во всякий момент, в который угловая \”корость 6 обращается в нуль, для любой точки $P$ подвижной плоскости
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{0}
\]

т. е. все точки плоскости $p$ имеют равные скорости; состояние движения имеет поступательный характер. Напротив того, во всякий момент, в который $\dot{\theta}$ не равно нулю, существует одна и только одна точка, скорость которой равна нулю; это та точка $I$, координаты которой обращают в нуль обе компоненты вектора $\boldsymbol{~}$. Чтобы определить положение этой точки $I$ на плоскости $\pi$, т. е. ттобы разыскать ее координаты $\xi_{0}, \eta_{0}$ мы вмеем в соответствпи с соотношением (21) уравнения:
\[
\dot{\alpha}-\dot{\theta}\left(\gamma_{0}-\beta\right)=0 ; \dot{\beta}+\dot{\beta}\left(\xi_{0}-\alpha\right)=0,
\]

ін, таким образом,
\[
\xi_{0}=\alpha-\frac{\dot{\beta}}{\dot{\theta}}, \quad r_{0}=\beta+\frac{\dot{\alpha}}{\dot{\phi}} .
\]

Іринимая во внимание твердость системы, мы отсюда непосредственно заключаем, что состояние движения в этот момеит есть вращение вокруг точки $I$, т. е. $I$ есть мгновенный центр движения. Координаты $x_{0}, y_{0}$ точки $I$ на подвижной плоскости определяются аналогичным образом уравнениями ( $21^{\prime}$ ), если в них положим $v_{x}==v_{y}=0$; это дает:
\[
x_{0}=-\frac{v_{0} y_{2}}{\dot{\theta}}, y_{0}=-\frac{r_{0} x}{\dot{\theta}} .
\]

Между вначениями $\xi_{0}$, х $_{0}$, опредейлемыми формулами (23), і $x_{0}, i \%_{0}$, вқражаемыми формулами (23′), пмеют место соотношения (19;; в этом можно убедиться, если принять во внимание выражение компонент $v_{0}, v_{0 / y}$.

В те промежутки времени, в которые $\dot{\theta}$ остается отличным от нуля, уравнения (23) п (23′) представляют собой параметрические выражения базы $\lambda$ п рулетты $l$. Более того, поскольку параметром служит время, на них можно смотреть, как на урівнение движения полюса по этим крпвым. Из әтих уравнений можно было бы легко вывести результаты рубр. 23; но мы не будем адесь в это входить, а обратимся к полученным формулам, чтобы вывести из них некоторые дальнейшие свойства второго порядка.
59. Ускорение. Іеитр ускорений. Диференцируя уравнёние (21), мы получим следующие выражения для компонент $a_{\xi,} a_{\text {п }}$ но неподвижным осям ускоренєя $a$ произвольной точки $P$ псдхщжной плоскости:
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{\xi}=\ddot{\alpha}-\ddot{\theta}(\eta-\beta)-\dot{\theta}\left(v_{\eta}-\dot{\beta}\right), \\
a_{x_{i}}=\ddot{\beta}+\ddot{\theta}(\xi-\alpha)+\dot{\theta}\left(v_{\xi}-\dot{\alpha}\right) ;
\end{array}\right\}
\]

подставляя же сюда вместо $v_{\xi}-\dot{\alpha}, v_{r_{i}}-\dot{\beta}$ их выраженія из уравнений (21), найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{\xi}=\ddot{\alpha}-\ddot{\theta}(\eta-\beta)-\dot{\theta}^{2}(\xi-\alpha), \\
a_{i}=\ddot{\beta}-\ddot{\theta}(\xi-\gamma)-i_{j}\left(\gamma_{1}-\beta\right) .
\end{array}\right\}
\]

Приравнивая правые части нулю, мы полуяим систему линейных уравнений относительно,$\eta$, определитель которой равен $\ddot{\theta}-\dot{н}_{4}$; если $\dot{\theta}$ отлично от нуля, этот определитель также не равен нулю. Мы отсюда заключам, что во всякий момент, в копорый состояние двжения носит яращательжый характер, существует одна и только одна точка, в которой ускорение обращается \& иуль: она называется центрол ускорежий движущейся плоскости в рассматриваемый момент.
60. Чтобы вывести некоторые дальнейшие свойства распределения ускорений в произвольный момент $t$, в который $\dot{b}
eq 0$, нужно целесообразно выбрать оси координат.

Положим, что в рассматриваемый момент $t$ обе начальные точки $Q$ и $O$ совпадают с мгновенным центром $I$, 一 более того, оюь $Q \div$ совпадает с общей касательной к двум полярным траекториям $\lambda$ и $l$ в точке $I$. При втих условиях в этот момент $l$, вследствие совпадения точек $O$ п $Q, \alpha=\beta=0$; вследствие же совпаденпя точки $Q$ с $I \xi_{0}=\eta_{1}=0$; поэтому уравнения (23) дают: $\dot{\alpha}=\dot{\beta}=0$.

Воспользумся теперь тем, что ось $Q \xi$ совпадает с общей касательной к кривым $\lambda$ и $l$ в точке $I$; в этих условиях при элементарнөм движении от этого момента $t$ до бесконечно близкого момента $t f d t$ полюс $I$ смещается вдоль этой вменно оси; поэтому в этот момент должно обращаться также в нуль элементарное наращение $d r_{i 0}$ координаты $\eta_{0}$, а вместе с тем в момент $t$ должна обращаться в нуль и проиввдная $\dot{\gamma}_{i 0}$. Еели теперь продиферендируем второе из уравнений (23) по времени и отнесем его к тому же момевту 1 , то убедимся, что в әтот момент также $\ddot{x}=0$. Нз всего этого следует, что во всякий монент, в который скорость врашения отлична оп нуля, ускорение полоса направлено по общей норнали к поларныи траетториям.

Резюмируя, приходим к выводу, что при соглашениях, сделанных относительно выбора координат, в рассматриваемый момент $t$ $\alpha=\beta=\ddot{x}=0$. Веледствие этого в этот момент выражения (25) координат ускорения точки $I$, занимающей на пеподвижной плоскости пропзвольное положенпе $\xi, r_{i}$, принимают вид:
\[
a_{\xi}=-\ddot{\theta}_{r_{1}}-i j 2, \quad a_{1}=\ddot{\beta}+i j \xi-i j 2 \eta .
\]

Но если точка $P$ не совпадает с мгновенным полюсом, т. е. с точкой $\mathscr{0} \equiv 0$, то прлмая $\varrho P$ в момент $t$ оказываетея нормальной к своей траектории (рубр. 4); поэтому, чтобы получить нормальное и касательное ускорения в этот момент, достаточно будет определить компонент уекорения $\boldsymbol{a}$ по направленюю $\Omega 1$ и направлению, перпендпкулярному к $\varrho l$; таким образом, если через р обозначим радиус-вектор $\Omega \ddot{P}$ и попрежнему’ ограничимся тем же ломентом $t$, то получим:

или же, на основании уравнений (25) и соотношения $\xi^{2}+\eta^{2}=q^{2}$ :
\[
a_{n}=\frac{\ddot{\beta}_{n}}{\rho}-\ddot{\theta}_{\rho}, \quad a_{t}=\frac{\ddot{\beta} \xi}{p} \div \ddot{\theta}_{\rho}
\]

Поэтому геометрическое место точек, в которых в момент $t$ обращается в нуль нормальное или касательное ускорение на неподвижной плоскости, выражается соответственно первым или вторнм из уравнений:
\[
\dot{\theta}^{2} \rho^{2}-\ddot{\beta} r_{1}=0 ; \ddot{\theta} \rho^{2}+\ddot{\beta} \xi=0,
\]

которые выражают две окружнссти.
Первая из этих кривых (геометрическое место точек нулевого нормального ускорения) называется окружностью перегибов, так как она представляет собой также геометрическое место точек, в которых в этот момент соответствующая кривая имеет перегиб. В самом деле, мы знаем, что (II, рубр. 26) $a_{n}=v^{2} / r$, где $r$ есть радиус кривизны траектории точки $P$; так как при этом $v
eq 0$, ибо точка $P$, по предположенио, не совпадает с полюсом $I$, то условие перегиба $\frac{1}{r}=0$ может быть заменено положением $a_{n}=0$.

Что касается второй окружности (26), т. е. геометрического места нулевого касательного ускорения, то ее можно назвать окружностью стационарности; она характеризуется тем обстоятельством, что производная напряжения скорости в каждой из ее точек обращается в нуль, а потому имеет стационарное значение в частности навбольшее или наименьшее).

Как окружность перегибов, так и окружность стационарности проходят через мгновенный, центр $\Omega$ [это вытекает непосредственно из уравнения (26)], а также через центр ускорений (поскольку в нем обращается в Еуль ускорение, а следовательно, и обе его компоненты). Из уравнения (26) следует еще, что окружность перегибов в точке $\Omega$ касается оси $\xi$, т. е. касаетея в мгновенном полюсе двух полярных траекторий; окружность же стационарности в точке $\varrho$ касается оси $\gamma_{\text {, }}$, т. е. в полюсе пересекает ортогонально обе полярные траектории.
61. При предыдущих рассуждениях мы предположили, что точка $P$ отлична от полюса.

Скажем теперь несколько слов о поведении по отношению к своей траектории той точки подвижной плоскости, которая в данный момент является полюсом вращения.

Для простоты предположим, что в этот момент окружность перегибов не сводится к одной точке; при таком ограничении легко убедиться, что полюс представляет собой угловую точку соответствующей траектории и что касательная в этой угловой точке совпадает с нормалью к базе $\lambda$.

Сохраним для этого сделанное уже предположение относительно осей $Q \xi \eta$ и развернем в ряд Тэйлора коюдинаты $\xi$ и $\eta$ цоложения в момент $t+d t$ той точк, которая в момент $t$ служила полюсом.

Очевидно, мы получим:
\[
\xi=u, \eta_{i}=\frac{d t^{2}}{2} \beta+
u,
\]

где $\mu$ и суть выражения третьего порядка относительно at.
Но здесь не может быть $\ddot{\beta}=0$, ибо при $\ddot{\beta}=0$ окружность перегибов свелась бы к точке, что противно нашему предположению.

Так как, следовательно, $\ddot{\beta}
eq 0$, то из предыдущих соотношений вытекает, что траектория точки $I$ имеет в этой точке касательной прямую $\Omega_{\gamma}$; если мы поэтому дадим $d t$ значения различных знаков, достаточно близкие $к$ нулю, то ордината $\eta$ не меняет знака; это и означает, что прямая $\Omega_{\eta}$ есть касательная в угловой точке.