22. Возвращаясь к соображениям общего характера, мы займемся здесь изучением закона, по которому в плоском твердом движении полюс движется по базе и по рулетте.

Для этой цели будет полезно рассмотреть, прежде всего, специальную категорию плоских твердых движений. Пусть будет дана плоская кривая $\lambda$ (фиг. 60); рассмотрим плоское твердое движение, которое определяетоя прямым углом T $\widehat{P N}$, реализуемым при помощи наугольника; вершина этого угла $P$ движется по кривой $\lambda$ по какому угодно временному закону, а сторона $P T$ все время направлена по касательной к криьой; таким образом прямая $P N$ всегда будет нормальна к кривой. Так как $\lambda$ есть траектория точки $P$, принадлежащен к подвижной системе, то полюс в каждый момент лежит на прямой $P N$ (рубр. 4). Более того, так как он представляет собой предельное положение пересечения прямой $I^{\prime}$ с бесконечно близкой нормалью, то он совпадает с центром кривизны $\Gamma_{\lambda}$ кривой $\lambda$ в точке $P$. Такия образом мы заключаем, что в рассматриваемом движении рулеттой служит нормаль $P N$, а базой-әболюта кривой $\lambda$ (т. е. геометрическое место ее центров кривизны).

Обратно, если будем рассматривать взаимное движение, т. е. такое, которое совершает неизменяемая плоская кривая $\lambda$, двигающаяся в своей плоскости таким образом, что она постоянно проходит через неподвижную точку $P$ и гасается в әтой точке неподвижной прямой $P T$, то рулеттой будет служить әво»юта кривой $\lambda$, а базой перпендикуляр $P \vee$ к неподвижной прямой в точке $P$.
23. Установив все әто, вернемся к іроизводьному плоскому движению; рассмотрим движение прямого угла, составленного гасательной $I T$ и нормалью $I N \mathrm{k}$ базе $\lambda$ в миновенном полюсе (фиг. 61); при этом надо установить соглапение относительно стороны обращения каждой из этих двух прямых. рассматривать с двух точек зрения: а) непосредственно и b) как образованное данным твердым движением кривой $l$ по $\lambda$ в качестве переносвого движения и скольжешием касательной IT вдоль $l$ в качестве относительного движения.

С точки зрения а) вспомогательное движение, вследствіе соображений предыдущей рубрики, имеет полюсом центр крі:визны $\Gamma_{\lambda}$ кривой $\lambda$ и определенную угловую скорость; если обозначим через $\boldsymbol{u}$ единичный вектор, перпендикулярный к двум ориентированиым прямым IT и $I N^{\prime}$ и обращенный относвтельно них в правую сторону, то угловую скорость можно будет представить в виде $\omega_{\lambda} \boldsymbol{u}$, где $\omega_{\lambda}$ есть скаляр определенного знака. C точки зрения b) вспомогательное движение можно считать составленным из двух движений: именно 1) из данного твердого движения, с мгновенным полюсом в точке $I$ и некоторой угловой скоростью относктельно неподвижной плоскости $\pi$ (эту угловую скорость поэтому мож:но представить в виде ( $t l$ ) и 2) из движения прямой $I T$ по кривой $l$, для которого мгновенным центрох служнт центр кривизны $C_{l}$ кривой $l$, а угловая скорость вновь пмеет вид $\omega_{l} \boldsymbol{u}$.

Отсюда мы заключаем (III, рубр. 27), что совокупность двух параллельных векторов аи и ш $_{l} \boldsymbol{u}$, приложенных соответственно в точках $I$ и $C_{l}$, әквивалентна одному вектору $\omega_{2}, u$, приложснному в точке $\Gamma_{\lambda}$; сравнивая эти результаты, получаем:
\[
\omega_{\lambda}=\omega_{l}+\omega ;
\]

приравнивая результирующие моменты относительно точки $I$ и замечая, что расстояния $\Gamma_{\lambda} I$ п $C_{l} I$ представляют собою не что иное, как радиусы кривнзны $\rho_{\lambda}$ и $r_{l}$ кривых $\lambda$ и $l$ (вэятые с надлежащими знаками), найдем:
\[
P_{\lambda} \omega_{\lambda}=r_{l} \omega_{l} .
\]

Общее значение этих двух проивведенвй представляет собою не что иное, как (скалярную) скорость $v_{\dot{I}}$ полюса $I$ как по кривой $\lambda$, так и по $l$ (взятую со ьнаком, соответствующим принятой на IT положительной стороне обращения), мы получим, таким образом:
\[
\omega_{\lambda}=\frac{v_{I}}{r_{\lambda}}, \quad \omega_{l}=\frac{r_{I}}{r_{l}} ;
\]

подставлял же этп выражения в равенство (3), найдем окончательно:
\[
\omega=v_{I}\left(\frac{1}{\rho_{\lambda}}-\frac{1}{r_{l}}\right) .
\]

Эта формула дает возможность вычислить скалярное значение скорости движения мгновенного центра по полярным траекториям по данной угловой скорости, и обратно.

Если через ө обозначим угол, ориентирующий подвижную плоскость, т. е. аномалию, которую прямая, связанная с движущейся плоспостью, образует с некоторой прямой, на неподвиянной плоскости, то естественно
\[
\omega=\frac{d \theta}{d t} ;
\]

с другой стороны, если через $d \lambda$ обозначим әлемент базы, прп-

сваивая ему в надлежащую сторону положительныї знак, ти можем положить:
\[
v_{I}=\frac{d \lambda}{d t} ;
\]

откуда
\[
\frac{\omega}{v_{I}}=\frac{d \theta}{d \lambda} ;
\]

вместе с төм соотношение (4) принимает вид:
\[
\frac{d \theta}{d r}=\frac{1}{\rho_{i}}-\frac{1}{r_{l}}
\]

это – формула чисто геометрическая: элементы кинематические вовсе исчезли.