Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В рубр. 23 гл. IV авторы вводят гауссовы координаты точки на сфере. В знаменитом своем мемуаре \”Disquisitiones generales circa superficies curvas“ (1827) Гаусс задает поверхность аналитически, выражая декартовы координаты точки этой поверхности в функции от двух независимых параметров:
\[
x=x(u, v), \quad y=y(u, v), \quad z=z(u, v) ;
\]
исключая параметры $u$ п $v$ этих уравнений, получим декартово уравнение поверхности:
\[
f(x, y, z)=0 .
\]
Гаусс, однако, стал на путь исследования поверхности при параметрическом ее задании и тем положил начало современной диференциальной геометрии. Каждая пара значений параметров $v$ и $v$ таким образом определяет точки на поверхности: в этом смысле параметры $u$ и $v$ можно рассматривать как своеобразные координаты точки поверхности: это и есть „гауссовы координаты“. Если возьмем плоскость в трехмерном пространстве п в ней установим систему декартовых координат, то таковне, конечно, можно будет рассматривать как гауссовы координаты этой плоскости. Координатными линиями при әтом будут служить параллельные прямые. Но вообще координаты линии (т. е. линии, на которых тот или иной параметр сохранит постоянное значение) будут кривыми; гауссовы координаты суть криволинейные координаты на поверхности.
На каждой поверхности гауссовы координаты могут быть, конечно, выбраны чрезвычайно разнообразно. На сфере за гауссовы координаты чаще всего принимают долготу и широту точки. Но әто далеко не всегда наиболее целесообразно; в карто-
графии в большом ходу также стереографические координаты и бельтрамиевы координаты сферы. Очень замечательная система гауссовых координат определяет положение точки на сфере двумя сопряженными комплексными числами. Этими именно гауссовыми координатами на љфере авторы пользуются в тексте; их аналитическое определение содержится в формулах (22). Координаты $\lambda$ и $\mu$ определяются координатами $u_{x}, u_{y}, u_{z}$ радиуса-вектора точки; из этих уравнений и уравнения поверхности (21) по данним $\lambda$ и $\mu$, в свою очередь, определяются вначения $u_{x}, u_{y}, u_{z}$, т. е. определяется точка на поверхности пара. $\qquad$
