19. Определение сопряженных профилей (рубр. 7) может быть непосредственно использовано для их действительного вычерчивания; пз него можно вывести практическпе правила панесения точек одного из двух профилей, когда дан другой и известны полярные траектории $l$ и $\lambda$. Мы, однако, не будем здесь на әтом останавливаться, но вместо этого укажем симметрический прием, который по данным траекториям $l$ и $\lambda$ воспроизводит, так сказать, автоматически пары сопряженных крофилей.

Этот прием называется эпиниллческии, потому что он специально употребляетея в том случае, когда обе траектории $l$ и $\lambda$ суть окружности (рубр. 11).
Положим, что на плоскости зафиксирована произвольная крџвая $k$, готорая при данном положении полярных траекторий касается обеих в точке их соприкосновения $I_{0}$ (мгновенный центр вращения). Исходя из этого положения, будем катать $k$, как твердую кривую один раз по рулетте $l$, другой раз по базе $\lambda$.

IІроизвольная почка $M$, жеразрывно связанная $c k$, описьвает при первом качении дугу кривой є, при втором – дугу сопряженной кривой $\gamma$; при этом друг другу соответствуют те точки $M_{c}$ и $M_{\gamma}$, которые предтавляют положения точки $M$ на подвижной фигуре I в плоскости движения, пігле того как кривая $k$ прокатится по $l$ и по $\lambda$ на одинаковое расстояние, считая с положения $I_{0}$. Докавательство, можно сказать, непосредственно напрашивается.

В самом деле, пусть $I$ и $I^{\prime}$ (фиг. 59) будут точки соприкосновения кривой $k$ соответственно с $\lambda$ п $l$ в атих двух ее положенпях (ня фигуре и на неподвижной плоскости). По теореме Ша:я (рубр. 4) прямые $I^{\prime} M_{c}$ и $J M_{\gamma}$ нормальны к траекториям точки $M$, т. е. к кривым $c$ п $\gamma$. $\mathrm{C}$ другой стороны, когда кривая $l$ находится в сопригосновении с $\lambda$ в точке $I$, вследствие равенства дуг $\overparen{I_{0} I^{\prime}}$ и $\overparen{I_{0} I}$ точка $I^{\prime}$ необходимо должна попасть в $I$. Вместе с тем, кривая $k$, соприкасаясь в точке $l^{\prime}$ с $l$, непременно приходит в совмещение с конгруентной кривой $k$, касающенся $\lambda$ в точке $I$. Вследствие этого, в частности, совпадают точки $M_{e}$ и $I_{\gamma}$, а вместе с тем и нормали $I^{\prime} M_{c}$ и $I M_{\gamma}$. Таки образом кривые $c$ и $\gamma$ постоянно имеют в общей точке общую нормаль, а потому и общую касательную. Этич свойством характеризуютел два сопряженные профиля.
20. Рассмотрение сопряженных профилей имеет особенно важное значение с точки зрения приложений. В самом деле, когда нужно осуществить данное плоское движение, то способ образования его, который теоретически представляется напболее простым (при помощи полярных траекторий), далеко не всегда соответствует практическим требованиям. Часто существует специальный профиль $c$ подвижной фигуры, который эулесообразнее всего поддерживать в соприкосновении с неподвижным профилем $\gamma$. Мы имеем, таким образом, дело с двумя сопряженными профилями. Однако, чтобы вполне определить геометрический ход движения, в этом случае недостаточно, как при полярных траекториях, указать два шрофиля. Чтобы выяснить әтот еущественный пункт, припомним, что мгновенное движение кривой $с$ всегда представляет собон вращение вокруг полюса $I$; однако этот полюс вообще не совпадает с точкой соприкосновения $M$. Вследствие этого сопригосновение не происходит, так сказать, равными шагами, т. е. точка соприкосновения не описывает равных дуг на кривых $c$ и $\gamma$, как өто имеет место при чистом качении; здесь происходит некоторое дополнительное смещение $d s$ профиля $c$ по $\gamma$, которсе называется скольжением одного профиля по другому.

Қак мы видели в рубр. 8, относя смещение к элементу времени $d t$, будем пметь:
\[
d c=\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{r}} d t, d \gamma=\boldsymbol{v}_{a} d t \text { и } d \sigma=\boldsymbol{v}_{\tau} d l,
\]

где $d c$ есть смещение точки $M$ по кривой $c, d \gamma$-смещение той же точки по кривой $\gamma$, а $\boldsymbol{v}_{\tau}-$ скрость переноса.
Векторное соотношение $\boldsymbol{v}_{a}=\boldsymbol{v}_{r}+\boldsymbol{v}_{\text {т }}$ дает:
\[
d \gamma=d c \pm d J,
\]

причем тот или другой знак нужно взять в зависимости от того, в какую сторону обращено скольжение. Как видим, когда заданы профили $c$ и $\gamma$, нужно, прежде всего, определить смещение профиля $c$, которое производится качением его по $\gamma$; но этого недостаточно, чтобы установить последовательные положения кривой $c$; нужно еще определить, в каком размере и в какую сторону происходит скольжение точки соприкосновения.

Можно еще отметить, что при надлежащих соглащениях относительно сторон обращения и знаков приведенному выше диференциальному соотношению можно придать общую форму для эюбого соприкосновения профилей в точке $M$ и при любом относительном положении мгновенного центра.
21. В заклочение приведем еще соображение механического характера относительно материального осуществления плоского движения при помощи двух сопряженных профилей $c$ и $\gamma$.

Помимо большей теоретической простоты осуществление движения при помощи потярных траекторий имеет еще то препмушество, что этим путем устраняется пассивное влияние, обусловливаемое трением скольжения, которое играет тем большую роль (т. е. требует тем большей работы для преодоления сопротивленип), чем значительнее скольжение профилей. Мелду тем, когда эти кривые совпадают с полярными траекториями, то имеет место только трение качения, действие которого гораздо слабее (гл. XIII). С другой стороны, скольжение $d \sigma$ пропорционально расстоянию точки соприкосновения от полюса (рубр. 4); если поэтому те или иные практические соображения ваставляют отказаться от того, чтобы кривые $c$ II $\gamma$ совпадали с полярными траекториями, то во всяком случае нужно стараться выбрать их в возмөжно меньшем удаленип от последних.