79. Сферическая индиватриса касательных. Положим, что нам дана, как в рубр. 75, некоторая дуга кривой $l$. Выберем пропзвольно начало $O$ и каждой точке $P$ этой дугп отнесем другую точку $M$, радиус-вектор которой $\overline{U M}=i$; иными словами, из точки $O$ проведем вектор, равный едипичному касательному вектору $t$ в точке $P$. Вее эти точки $M$ по самому своему построению будут расположены на сфере радиуса 1 е центром в точке $O$. В своей совокупности они образуют на сфере кривую (или дугу кривой) $\lambda$, которая называетея сферической индикатрисой касательных рассматриваемой кривой $l$.

Если кривая $l$ содержит как часть прямолинейный отрезок, то на всем его протяжении касательный вектор $t$ имеет одно и то же направление; поэтому все точки $M$, соответструющие точкам такого отрезка, совпадают; иными словами, индикатриса прямолинейного отрезка вырождается в точку. Но если $l$ есть действительная кривая, то вектор $t$ меняется непрерывно, г точка II оцисывает на сфере действительную кривую $\lambda$. Если $l$ есть плоская кривая, то таковой будет и индикатриса $\lambda$; ее плоскость параллельна плоскости кривой $l$; в самом деле, все касательные кривой $l$ в рассматриваемом случае принадлежат плоскости әтой кривой; все векторы $t$, будучи перенесени в точку $O$, будут расположены в одной и той же плоскости, параллельной плоскости кривой $l$.

Сосредоточим теперь внимание на таком участке кривой $l$, где она представляет действительно кривую, где, следовательно, вектор $t$ не остается постоянным; он представляет собой функ, цию длины дуги $s$ натей кривон; мы будем предполагать, что эта функция конечна, непрерывна и допускает требуемые нсследоганием производные.
80. Под углом смежности, соответствующим дуге $P P_{1}$ кривон, разумеют угол, составленный касательными $t$ и $t_{1}$ в точках $P$ и $P_{1}$ (предполагая, конечно, что они обращены в сторону, присвоенную самой кривой). Этот угол хорошо выявляется сферической индикатрисой. В самом деле, если $M$ и $M_{1}$ суть изображения точек $P$ и $P_{1}$ (конды векторов $t$ и $t_{1}$, перенесенных в точку $O$ ), то дуга $\chi$ большого круга, соединяющая на сфере изображения точки $M$ и $M_{1}$, очевидно, измеряет (в радианах) угол касания. Она, таким образом, характеризует отклонение кривой $l$ от прямолинейного хода на протяжении дуги $P P_{1}$. В соответствии с этим отклонение, отнесенное к единице длины дуги $P P_{1}=|\Delta s|$, т. е. отношение
\[
\frac{\chi}{|\Delta s|} \text {, }
\]

называется средней кривизной дуги $P P_{1}$. Обратное отношение называется средним радиусом кривизны той же дуги; әто, очевидно, радиус дуги круга, имеющей при длине $|\Delta s|$ угол касания, а следовательно, и угол при центре, равныи $\%$ Окружность, таким образом, принимается здесь за типичную кривую, при помощи которой придается наглядность понятиі о радиусе крививны.

Предел, к которому стремитея средняя кривизна дуги $P P_{1}$ (40), когда точка $P_{1}$ стремится к $P$, т. е. когда $\Delta s \rightarrow 0$, называется кривизной кривой $l$ в точке $P$. Легко убедиться, что өтот предел всегда существует, если только вектор $t$ имеет производную по $s$; легко также найти для него довольно простое выражені.

В самом деле, по построению
\[
\overline{O M}=t, \quad \overline{O M}=\hat{\imath}_{1},
\]

поэтому равность $\Delta t=\hat{i}_{1}-t$ выражается вектором $\overline{M M}_{1}$, а длина хорды $M M_{1}$ совпадает с длиной $|\Delta t|$ вектора $\Delta t$. С другой стороны, предел отношения дуги большого круга \% к соответствующей хорде $M M_{1}$ равен 1 . Так как при этом
\[
\frac{\%}{|\Delta s|}=\frac{|\Delta t|}{|\Delta s|} \frac{\chi}{|\Delta t|}=\left|\frac{\Delta t}{\mid \Delta s}\right| \cdot \frac{\%}{|\Delta t|},
\]

то предел отношения $\frac{\lambda}{|\Delta s|}$ равен длине вектора $\frac{d t}{d s}$. Если поэтому обозначим через с кривизну кривой $l$ в точкө $P$, то
\[
\left.c=\frac{\mid d t}{d s} \right\rvert\, .
\]

Так как с, как предел количества существенно положительного, по самому своему определению, $\geqslant 0$, то соотношение (41) эквивалентно равенству
\[
c^{2}=\left(\frac{d t}{d s}\right)^{2} .
\]

Мы выше уже приняли (рубр. 79), что речь идет не о пря. мой, а о действительной кривой линии; мы можем поэтому исключить предположение, что на всей рассматриваемон кривой $\frac{d t}{d s}=0$. Вместе с тем мы можем выделить точку, а с нею, в силу непрерывности векторной функции $\frac{d t}{d s}$, п окружающии эту точку интервал, в котором производная $\frac{d t}{d s}$ не обращается в нуль. В этом предположении : наверное больпе нуля, а потому в каждой точке такого интервала имеет конечное значение также радиус кривизны в точке $P$ :
\[
r=\frac{1}{c} \text {. }
\]

С другой стороны, так как $t$ есть єдиннчный вектор, то его цроизводная $\frac{d t}{d s}$ имеет направление, к нему перпөндикулярное (рубр. 62), а потону представляет собою вектор, нормальный к кривой $l$ в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ в іаправлении вектора $\frac{d t}{6^{\prime}}$ и обращенная в ту же сторону, что и вектор $\frac{d t}{d s}$, называется главной нормалью кривой $l$ в точке $P$. В случае плоской кривой главная нормаль всегда расположена в ее плоскости; в самом деле, в этом случае вектор $t$ все время остается в плоскости кривоп̆, а вместе с ним и его производная $\frac{d t}{d s}$.

Ма будем обнчно обозначать через $n$ версор вектора $\frac{d t}{d s}$, т. о. единичный вектор, которнй имеет направление и сторону обращения главной нормали. Так как длина вектора $\frac{d t}{d s}$ равна $c$, то
\[
\frac{d t}{d_{o}}=c n=\frac{1}{r} n .
\]

Полезно отметить, что при изменении стороны обращения кривой $l$ (т. е. стороны, в которую обращены дуги с положительным чпсленным значением $s$ ) $d s$ меняется на — $d s$, меняет сторону обращения вектор $t=\frac{d P}{d s}$; но вектор $n$. не пзменяется: в самом деле, он определяется вектороч $\frac{d t}{d s}$, которыйсохраняет свов вначение, ибо $t$ и $d s$ меняот знаки на обратные.
81. Сопркасающейея плоскостью кривой $l$ в точке $P$ называется плоскость, проходящ я через точку $P$ и через приложенные к ней векторы $t$ и $n$. В случае плоской кривой она совпадает с ее плоскостью, но в случае так называемых крнвых двоякон кривпзвы (см. ншже) она меняется от точки к точке В сиөжности с точкой $P$ ее соприкасающая плоскость обладает свойством наибольшего приближения к кривой, откуда п проистекае ее название. Точнее, это свойство выражается следующим образом: из всех плоскогтей $\pi$, проходящих через точк $I_{1}$ кривой $l$, соприкасаючаяся плоскость о олрестности точки $P$ наиненее удаляется от кривой.

Чтобы это доказать, возьмем произвольную точку $P_{1}$, весьма близкую к $P_{2}$, и прежде всего вычиолим ее расстояние от произвольной плоскости $\pi$, проходящей через $P$. С этой целью обовначим через $Q_{1}$ проекцию точки $P_{1}$ на плоскость $\pi$ и заметим, что отрезок $P_{1} Q_{1}$ можно рагсматривать как проекцию хорды на нормаль к плоскости $\tau$ Еели цоэтому обозначим через $v$ единичный веттор, параллельный этой нормали (обращеннын в ту или другую сторону — все равно), то
\[
P_{1} Q_{1}=\left|\overline{P P}_{1} \boldsymbol{v}\right| \text {. }
\]

С другой стороны, поскольку точка $P_{1}$ весьма близка к $P$, разность $\Delta s=s_{1}-s$ криволияейных абсцисс точек $P$ и $P_{1}$ можно считать бесконечно малой. Если рассматривать точку $P$ как Функцию от $s$, т. е. положить $P=P(s)$; то $P_{1}=P(s+\Delta s)$; поөтому формула Тэйлора (46), если положить в ней
\[
t=s, \quad t_{1}=s_{1}, \quad s_{1}-s=\Delta s, \quad \dot{P}=\frac{d P}{d s}=t, \quad \ddot{i}=\frac{d t}{d s}=\frac{1}{r} n,
\]

дает:
\[
\overline{P P}_{1}=\Delta P=\Delta s t+\frac{1}{2 r} \Delta s^{2}(n+\bar{s}) ;
\]

отсюда мы получаем для расстояния $P_{1} Q_{1}$, не учитывая знака, следующее выражение:
\[
\Delta s\left(t \boldsymbol{v}+\frac{1}{2} \Delta s^{2}(n \mathfrak{v})+\frac{1}{2} \Delta s^{2}(\tilde{\varepsilon} \boldsymbol{v}) .\right.
\]

Оно состоит, как мы видим, из трех членов: первый представляет собой относительно $\Delta s$ бесконечно-малую первого порядка, если только скалярное произведение tv не обращается в нуль; второй представляет собою бесконечно-малую второго порядка, если не обращается в нуль скалярное произведение $n v$; наконөц, третий член во всяком случае представляет собою бесконечно-халую порядка выше второго, так как он содержит множителем помимо $\Delta s^{2}$ еще вектор $\vec{\varepsilon}$, который стремится к нулю вместе с $\Delta s$ (рубр. 74). Чтобы расстояние $P_{1} Q_{1}$ стало для всех точек $P_{1}$ кривой $l$, весьма близких к $P$, сколько возможно малым, нужно, очевидно, стараться уничтожить слагаемые, имеющие, так сказать, преобладающее значение, т. е. слагаемые первого и второго порядка. Для этого необходимо и достаточно, чтобы обратились в нуль скалярные произведения $t v$ и $n v$, т. е. чтобы вектор $v$ был перпендикулярен к векторам $n$ и $t$; а это означает, что плоскость $\pi$ должна проходить через векторы $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{n}$, приложенные в точке $P$, т. е. должна совпадать с плоскостью $\pi$.
82. Легко видеть, что соприкасающаяся плоскость обладает и другими свонствами, которые могут служить для ее определения. Так, например, если возьмем плоскость, проходящую через точку $P$ и содержащую как касательную $t$, так и направление касательной $t_{1}$ в точке $P_{1}$, весьма близкой к $P$, а затем станем приближать точку $P_{1}$ \& $P$, то рассматриваемая плоскость будет стремиться к соприкасающейся плоскости $\pi$. Чтобы в этом убедиться, достаточно принять во вниманпе, что плоскость, содержацая направления векторов $t$ п $t_{1}$, содержит также направление вектора $\Delta t=t_{1}-t$, я погому и направление вектора $\frac{\Delta t}{\Delta s}$. В пределе она станет поәтому параллельной векторам $t$ и $\frac{d t}{d s}$, a потому неизбежно совпадет с соприкасающейся плоскостью в точке $P$.

Аналогично можно доказать, что соприкасающаяся плоскость может быть также рассматриваема, как предельное положение плоскостей, проходящих через $t$ и смежную точку кривоп $P_{1}$ (конечно, когда $P_{1}$ стремится к $P$ ); наконец, $\pi$ есть также предельное положение плоскостей, проходящих через три точки кривой $P_{1}, P_{2}, P_{3}$, когда последние все стремятея к совпадению с $P$.
83. Главный триэдр. Перпендикуляр к соприкасающейся плоскости, ориентированный таким образом, ттобы он составил с направлениями $t$ и $n$ правосторонний триздр (трижды ортогональный), называется бинормалью кривой в точке $P$. Если соответствующий единичный вектор (версор) обозвачйм чөрез $b$, то триәдр $t \boldsymbol{n} \boldsymbol{b}$, составленный векторами $\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}$ и $\boldsymbol{b}$, внходящими из точки $P$, называется главным триэдром кривой в точке $P$. Из самого определения векторного произведения следует, что
\[
b=[i n], \quad t=[n b], \quad n=[b t] .
\]

Из трех граней этого триәдра, одна $(t, n)$ представляет собой соприкасающуюся плоскость; цругую $(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{b})$ образует нормальная плоскость к кривой в точке 1 ; наконец, третья ( $\boldsymbol{b}, \boldsymbol{t}$ ), т. е. плоскость, определяемая касательной и бинормалью к кривой, называется спрямляющей плоскостью. Основанием для такого названия служит то обстоятельство, что в ближайтей окрестности точки $P$ проекцией кривой на эту плоскость является прямая, по крайней мере, если пренебречь бесконечно-малыми порядка выше второго; этой проекцией служит сама касательная $t$. Мы легко дадим себе в этом отчет, припомнив (рубр. 81), что кривая $l$ вблизи точки $P$ лежит в соприкасающейся плоскости $(t, n)$, если не считать бесконечно малых отклонений порядка выше второго. Поэтому ее проекция на перпендикулярную плоскость $(b, t)$ совпадает о линией пересечения обеих плоскостей, т. е. с касательной $t$ в точке $P$.

Отметим еще, что в ближайшей окрестности точки $P$ кривая целиком расположена с той стороны спрямляющей плоскости $(b, t)$, в которую обращена главная нормаль $n$; иными словами, привая повернута своей вогнутостью в сторону главной нормали. Чтобы это доказать, очевидно, достаточно констатировать, что для точки $P_{1}$, весьма близкой к. $P$, вектор $\overline{P P}_{1}$ образует с версором главной нормали $n$ острый угол, т. е. что скалярное произведение $\overline{P P}_{1} \boldsymbol{n}$ имеет положительное значение. Но из соотношения (44) мы видим, что
\[
\overline{I P}_{1} n=\Delta s \cdot \boldsymbol{t} \boldsymbol{n}+\frac{1}{2 r} \Delta s^{2}\left(\boldsymbol{n}^{2}+\vec{s} \boldsymbol{n}\right)=\frac{1}{2 r} \Delta s^{2}(1+\bar{\varepsilon} \boldsymbol{n}) .
\]

Так как вєктор $\bar{\varepsilon}$ бесконечно мал (при бесконетно малом $\Delta s$ ), то для достаточно малых значений $\Delta s$ единица в правой части превысит скалярное произведение $\bar{\varepsilon} n$, а потому все выражепие получит положительное значение.
84. Производная вектора $b$. Этот единичный вектор, по определению, перпендикулярен к $\boldsymbol{t}$ п $n$; поэтому для плоской кривой, соприкасающаяся плоскость которой во всех точках совпаным. Но вообще вектор $b$ меняется от точкп $к$ точке, т. е. он представляет собою функцию от $s$, как и векторы $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{n}$. Однако го всяком случае
\[
b^{2}=1, \quad b t=0 .
\]

Диференцируя эти равенства, получаем:
\[
\boldsymbol{b} \frac{d \boldsymbol{b}}{d s}=0 . \quad \frac{d \boldsymbol{b}}{d s} \boldsymbol{t}+\boldsymbol{b} \frac{d \boldsymbol{t}}{d s}=0 .
\]

Іервое из этих равенств обнаруживает, что вектор $\frac{d b}{d s}$ перпендикулярен к $\boldsymbol{b}$ (как это уже было показано для всякого едипичного вектора, рубр. 68); во втором же равенстве, ввиду соотношения (43), второе слагаемое левой части равно нулю; поотому обращается в нуль также скалярное произведение $\frac{d b}{d s} t$,

т. е. вектор $\frac{d b}{d s}$ перпендикулярен $\kappa t$. Иными словами, вектор $\frac{d b}{d s}$ одновременно перпендикулярен г векторам $b$ и $\boldsymbol{t}$, т. е. оғ параллелен вектору и. Таким образом мы во всех случаях можем положить:
\[
\frac{d b}{d s}=\tau n,
\]

где $\tau$ есть чпсло положительное, отрицательное или нуль.
85. Вторая кривизна или кручение крнвой. Это число т назквается второй кривизной или кручениел кривой в рассматриваемой точке $P$.

Случай $z=0$ имеет место для плоских кривых, ибо для них вектор $b$, как уже было указано в предыдущей рубрике, сохраняөт постоянное значение, а потому его производная равна нулю на всем протяжении кривой. Если же г отлично от нуля, то его абсолютное значенне дает наглядную меру отклонения кривой в рассматриваемой еө точке от плоского расположения. Чтобы это обнаружить, рассмотрим две произвольные точки $P$ кости при переходе от точки $P$ к $P_{1}$ характеризуется углом 9 этих двух плоскостей пли, что то же, углом между нормалямх к пим, т. е. между бинормалями кривой в точках $P$ и $P_{1}$, или, наконец, между векторами $\boldsymbol{b}$ и $\boldsymbol{b}_{1}$. Однако, чтобы характерпзовать скорость, с которой изменяется соприкасающаяся плоскость вдоль кривой, нужно принять во внимание не только угол $\theta$, но и длину $|\Delta s|$ дуги, содержащенся между точками, которце дают место этому угловому отклонению. Но отношение
\[
\frac{\theta}{|\Delta s|},
\]

приводящее это отклонение к единице профденной дуги, делает сравнимым ход этого отклонения в различных точках кривой.

В непосредственной блпзссти к точке $P$, с этой точки врения, численной характеристикой изменения положения соприкасающейся плоскости служит шредел отношения $\frac{\theta}{|\Delta s|}$, когда $\Delta s$ стремится к нулю. Если представим себе сферитескую индикатрису, которую чертит вектор $b$ подобно индикатрисе касательных, рассмотренных в рубр. 79, то совершенно аналогичное рассуждение приведет нас к заключению, тто предел приведенного отношения равен длине вектора $\frac{d b}{d s}$ или, ввиду соотношения (45), абсолютному значению числа $\tau$.

Но в знак числа $\tau$, естественно, соответствует некоторой геометрической особенности в ходе кривой вблиэи точки $P$. Мч дадим себе в этом ниже отчет помощью очень простого рассуждения. Здесь же заметим, что в соответствии с понятием о радиусе кривизны $r$ кривой в данвой ее точке $P$, представлающем

величину, обратную кривизне $c$, вводят также понятие о радиусе второй кривизны $T$, полагая
\[
T=\frac{1}{\tau} \text {. }
\]

Но в отличие от радиуса первой кривизны, который всегда имеег положительное значение, радиус второй кривизны может от случая к случаю иметь то положительное, то отрицательное аначение. Вводя в формулу (45) $T$ вместо $;$ мы можем последнюю написать в виде:
\[
\frac{d \boldsymbol{b}}{d s}=\frac{1}{T} \boldsymbol{n} .
\]
86. Фориул Френе ${ }^{1}$ ). Во многих вопросах, относящихся к исследованию кривых, имеют очень важное значение проивводные трех векторов $\boldsymbol{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}$, образующих основной триэдр. Для нервого и третьего векторов мы уже получили весьма простые выражения (43) и (45) их производных, которые помимо самих векторов содержат еще только первую и вторую кривизну. Әти формулы легко дополнить аналогичным выражением для пропзводной $\frac{d n}{d s}$. Достаточно взять вектор $n$ в форме [bt] (рубр. 83) и это выражение непосредственно диференцировать. Мы получим:
\[
\frac{d \boldsymbol{n}}{d s}=\left[b_{d s}^{d t}\right]+\left[\frac{d \boldsymbol{b}}{d s} t\right] .
\]

Заменяя здесь проивводные $\frac{d \boldsymbol{t}}{d s}$ и $\frac{d \boldsymbol{b}}{d s}$ их выражениями (43) и (45) и имея, далее, в виду, что (рубр. 83)
\[
[b n]=-t \text { и }\left[n_{t}\right]=-b,
\]

получим:
\[
\frac{d n}{d s}=-c t-\tau \boldsymbol{b} .
\]

Сопоставляя их с выражениями производных от $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{b}$, мы получим формулы Френе:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d t}{d s}=c \boldsymbol{n}, \\
\frac{d \boldsymbol{n}}{d s}=-c t-\tau \boldsymbol{b}, \\
\frac{d \boldsymbol{b}}{d s}=\tau n .
\end{array}\right\}
\]

Они были даны Френе, но не в векторных обозначениях, которые получили широкое распространение только в последние десятилетия.
1) Жал Френе (Jean Frédéric Frenet), франдузский геометр, родился в г. Перигё (Perigeux Dordogne) в 1816 г. умер там же в 1900 г., был профессором Јионского университета. Формулы, носящие его имя, были им установлены в 1847 г. и опубликованы в 1852 г. в журнале ,Journal de mathémat iques pures et appliquées\».

87. Знак второй кривизны. Мы видели выше (рубр. 81), что кривая в окрестности какой-нибудь точкп $P$ удаляется от соприкасающейся плоскости втолке $P$ на расстояния, представляющие собою бесконечно-халые порядка внше второго. Чтобн поэтому сделать оценку этого удаления, не следует ограничиваться бесконечно-малыми второго порядка; необходимо принять в расчет еще непосредственно следуюший член. Возвратимся поэтому к разложению Тэйлора, которым мы уже пользовались в рубр. \$1, п выразим $P_{1}=P(s+\Delta s)$ через $P(s)$ и производные зтой функции до третьего порядка включительно. Мм получпм:
\[
\Delta P=\overline{P P_{1}}=\Delta s \dot{P}+\frac{1}{2} \Delta s^{2} \ddot{P}+\frac{1}{6} \Delta s^{3}\{\ddot{P}+\bar{\varepsilon}\},
\]

где вектор $\ddot{\varepsilon}$ имеет, как обычно, бесконечно малое значенне. Как и в рубр. 81 , сделаем подстановки:
\[
\vec{I}=t, \quad \ddot{P}=\frac{d t}{d s}=\frac{1}{r} n,
\]

а вместе с тем, следовательно,
\[
\ddot{P}=\frac{d}{d s}(c n) .
\]

Выполияя здесь диференцированге и пользуясь последней формулой Френе [т. е. вторым нз соотношений (47)], найдем:
\[
\ddot{P}=\frac{d e}{d s} n-b(a t+z b),
\]

откуда
\[
\ddot{P} b=-c \dot{\tau} .
\]

Имея это в виду, умножим вектор $\bar{P} \bar{P}_{1}$, скалярно на $b$; мы получнм:
\[
\bar{\Gamma}_{1} \boldsymbol{b}=-\frac{1}{6} d^{3}\left(c \tau-\bar{\varepsilon}_{\varepsilon} \boldsymbol{b}\right) .
\]

Мь, конетно, можем оставить в стороне плоскне гривые и соответственно этому считать не только первую кривизну $C$, но и вторую т отличными от нуля. При әтих условкях член $c=$ для достаточно малых значений вектора $\bar{\varepsilon}$, несомненно, превысит (конечно, по абсолютной величине) скалярное произведение $\bar{\Xi} b$; вместе с тем знак скалярного произвөдения $\overline{P_{1}} \boldsymbol{b}$ сов падет со знаком произведения
\[
\left.-\frac{1}{6}\right\rfloor s^{3} c i,
\]

который, в свою очередь, совпадает со знаком произведения — $1 s \tau$ (так как $\frac{1}{6} \Delta s^{2} c$ есть число существенно положительнос).

С другой стороны, знак скалярного произведения $\bar{P} P_{1}$ b определяет, находится ли точка $P_{1}$ с положительной стороны соприкасающейся плоскости или с отрицательной, если считать положнтельной ту, в которую обращен вектор $b$. Но знак этот, как потазывает найдевнсе выражение, изменяется вместе со знаком $\Delta$ s. Отсюда первый вывод: крпіая в точке $P$ nересекает соприкасающуюся плоскость. Но в какую сторону? Чтобы это выяснить, проследим за ходом кривой вблизи $P$, пробегая ее в положительную ее сторону; тогда $\Delta s$ до $P$ будет иметь отрицательное значение, обратится в нуль в точке $P$ п затем прнмет положительное значение.

Теперь ясно, что при $\tau>0$ кривая переходит с положительной сторонь соприкасающейс плоскости на отрицательную (так как — $\Delta s \tau$ в этом случае имеет знак, противоположный $\Delta s$ ), а при $\tau<0$ она направлена в оорратную сторону.

Следует отметить, что этот вывод имеет, внутренний характер, так как он не зависит от стороны, в которую направление кривой считается положитегьным. В самом деле, если сторона обращения кривой меняется на противоположную, то вектор $n$, как мы уже видели, по самому своему определению остается неизменным, вектор же $\boldsymbol{b}$ меняет сторопу обращения на противоположную вместе с $t$, так как триэдр tnb должен оставаться правосторонним. Мы имеем теперь возможность нагляднее выразить полученный резльтат. Представим себе наблюдателя, стоящего в точке $P$ по направлениш $t$ и обращенного лицом к вектору $\boldsymbol{n}$; (b, следовательно, остается слева от наблюдателя); по отношению к нему кривая в положительном своем направлении (первопачально произвольном), совпадапощем со стороной обращения вектора $t$, поднимается и в то же время проходит слева направо (сторона, противоположная обращению вектора $b$ ), если г имеет положительное значение; в противоположном случае она идет справа налево. Можно, таким обравом, сказать, что знак второй кривизны вскрывает, имест ли кривая в этой точке левосторонний ход ( $\tau>0$ ) или правосторонний $(<0)$.
88. Круглые винты. Под этим названием разумеют, как известно, кривые, проходящие на поверхности круглого цилиндра таким образом, что пересекают все образующие под постоянным углом. Если развернуть цилиндрическую поверхность на плоскость, то каждая винтовая линия, в силу вышеприведенного ее свойства, непременно расположится по прямой линии. Вследствие өтого винтовые линии имеют и другое характеризующее их свойство, заключающееся в том, что дуга винта представляет на цилиндрической поверхности кратчавпее расстояние между двумя ее точками (геодезическая линия поверхности); в самом дөле, при развертывании цилиндрической поверхности длины кривых не изменяются; вследствие этого высказанное утверждение вытекает из того факта, что винтовая линия развертывается по прямой.

Пусіь теперь $l$ будет винт, начерченный на круглом цилиндре радиуса $R$. На образующих цилиндра установим общую сторону их обращения и обозначим через $\boldsymbol{k}$ соответствующий версор (единичный вектор). Предположим далее, что мы имеем дело с невыродившимся винтом, т. е. что (наименьший) угол 甘, который кривая на всем своем протяжении образует с вектором $\boldsymbol{k}$, не равен ни нулю (в каковом случае винт вырождается в прямую), ни $\frac{\pi}{2}$ (в каковом случае вннт вырождается в окружность в нормальное сечение цилиндра). В соответствии с этим мы можем выбрать за сторову возрастающих длин $s$ (за сторону положптельного обращения кривой) ту, которая дает названный угол $\forall\left(0<0<\frac{\pi}{2}\right)$.

Положительная сторона винта определяет также сторону вращения вокруг оси цилиндра. Это вращение относительно вектора $\boldsymbol{k}$, приложенного на оси цилиндра, представится правосторонним или левосторонним. В соответствии с этим отличают правосторонние и левосторонние (короче, правые и левые) винты.

Вряд ли необходимо указнғать, что подразделение винтов носит внутренний характер, т. е. что оно не зависит от стороны, которую мы принимае за положительную на оси цилиндра. В самом деле, если мы обратим вектор $k$, то вместе с этим обратится в противоположную стсрону кривая $l$, а потому правосторонний или левосторонний характер кривой останется неизмененным.
89. Векторы $t$ п $n$ круглого винта и его кривизна. Согласно предыдущей рубрике, компоневта $t k$ вектора $t$ в направлении $k$ равна $\cos \vartheta$. Разность
\[
t-\cos \vartheta k
\]

представляет поэтому компоненту вектора $t$ на плоскости, перпендикулярной к $k$. Этому можно придать более наглядности, если представить сөбе пересечение этой плоскости с дилиндрической поверхностью; обозначим через $l$ окружность сечения. На плоскость сечения винтовая линия $l$ проектируется образующими цилиндрической поверхности; проекция совпадает поэтому с окружностью $l^{*}$. Векторы $t$ дают проекции, касательные к окружности $l *$, но длина проекции равна не 1 , a sin (так как острый угол между вектором $t$ и плоскостью сечення равен $\frac{\pi}{2}-\vartheta$ ). Отсюда следует, что можно вектор
\[
\boldsymbol{t}=\frac{t-\cos \vartheta k}{\sin \vartheta}
\]

рассматривать как единичный касательный вектор к окружности $l^{*}$ в точке $P^{*}$, представляющей проекцию точки $P$ кривой $l$.

Далее, әлемент длины $d s^{*}$ окружности $l^{*}$ можно также рассматривать как проекцию әлемента $d s$ дуги винта $l$; поэтому
\[
d s^{*}=d s \sin \text { १. }
\]

Диференцируя поәтому предыдущее равенство и имея в виду, что $\vartheta$ и $k$ суть постоянные, получаем:
\[
\frac{d t^{*}}{d s^{*}}=\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{d t}{d s}
\]

Эта формула устанавливает кағ главную нормаль $\mathbf{k}$ винтовой линии, так и ее первую кривизну. В самом деле, обозначим через $N$ единичный вектор нормали к цилиндру, направленной к оси. Если припомним, что крививна окружности радиуса $R$ равна $\frac{1}{R}$, мы тотчас получим по первой из формул Френе (47):
\[
\frac{d t^{*}}{d s^{*}}=\frac{1}{R} N .
\]

Вместе с тем предыдущее соотношение принимает вид:
\[
\frac{d t}{d s}=\frac{\sin ^{2} \theta}{R} N .
\]

Сопоставляя это соотношение с первой формулой Френе, ми приходим к следующему выражению:
\[
\frac{1}{r} \boldsymbol{n}=\frac{\sin ^{3} \vartheta}{R} N .
\]

Итак:
1) Главная нормаль $к$ винтовой линии в люоой ее точке совпсдает с норлалью к иилиндрической поверхности и обращена $к$ осн цилиндра.
2) ІІервая кривизна имеет во всех точках кривой одно и то же значение $\frac{\sin ^{2} g}{R}$, а потому соотвепствующий радиус кривизны равен $\frac{T}{\sin ^{2} \mathrm{v}}$.
90. Вектор $b$ в вторая кривизна. Пlo эпределению:
\[
b=[t n] .
\]

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае вектор $b$ перпендикулярен к $N$, т. е. лежит в касательной плоскости к циливдрическоӥ поверхности в точке $P$, а в ней он направлен перпепдикулярно к $t$. Остается установить сторону его обращения; желательно привести это в связь с направлепием образующей цилиндра в точке $P$ (которая целиком расположена в касательной цлоскости в точке $P$ ), а еще лучше с единичным вектором $\boldsymbol{k}$. Наша задзча заключается, таким образом, в том, чтобы выяснить, образует ли вектор $\boldsymbol{b}$ с $\boldsymbol{k}$ острый или тупой угол: этим устанавливается сторона обращения вектора $b$; на фиг 29 вектор $\boldsymbol{b}$ обращен в сторону $b_{1}$, если $\widehat{b k}<\frac{\pi}{2}$,
в сторону $\boldsymbol{b}_{2}$, если $\widehat{b} \boldsymbol{k}>\frac{\pi}{2}$. При этом легко видеть, что угол $\widehat{b k}$ будет острым или тупым, смотря по тому, имеем ли мы дело с правосторонним или левосторонним винтом.

Так как $k t=\cos \theta$ (см. предыдущую рубрику), то вследствне перпендикулярности векторов $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{b}$
\[
\boldsymbol{k b}= \pm \sin \vartheta \text {. }
\]

Соответственно тому, что было сейчас указано, верхний знак имеет место в случае правостороннего, а нижний в случае левостороннего винта. Диференцируя по $s$ оба соотношения:
\[
k t=\cos \theta, \quad k b= \pm \sin \theta
\]

и пользуясь формулами Френе, получим:
\[
k n=0, \quad k(\epsilon t+\tau \boldsymbol{b})=0 .
\]

Последнее же в силу тех же соотношений (48) дает:
\[
c \cos \theta \pm \tau \sin \theta=0 .
\]

Подставляя сюда вместо $c$ его значение $\frac{\sin ^{2} \vartheta}{\bar{R}}$ и определяя $\tau$, получим:
\[
\tau=\mp \frac{\sin \vartheta \cos \vartheta}{R} \text {. }
\]

Таково выражение для второй кривизны, в котором должен быть взят верхний знак для правостороннего, а нижний для левостороннего винта. Ясно, что она имеет постоянное значение во всех точках винта. Отсюда, в частности, следует, что установленные знаки второй кривизны вполне соответствуют правилу, данному в рубр. 87 для определения знака второй кривизны на любой кривой.