61. Подобно тому как это сделано для векторов, мы предположим, что при тех или иных условиях каждому значению гараметра $t$ (содержащемуся в определенном интервале) соответствует некоторая точка l’. Так, например, если $s$, как выше, означает длину дуги некоторой кривой, отсчитываемой от определенного начала, то каждому значению $s$ отвечает определенная точка $P$ кривон. В таких случаях мы будем, естественно, говорить, что почка $P$ представляет собою функцию параметра $t$ и будем ее обозначать через $P(t)$.

Предположим теперь, что речь идет 0 жепрерывной функии $\stackrel{P}{ }(t)$, т. е. что значениям $t^{\prime}$ шараметра, достаточно близгим к значению $l$, всегда соответствуют точки $P\left(t^{\prime}\right)$, сколь угодно близкие к $P(t)$. При этих условиях естественно перенести и на әти своеобразвне функции понятие о диференцировании и о производных различннх порядков.

Фиг. 27. К әтому приводят следующие соображения.

Выберем произвольно начало 0 ; тогда радиус-вектор $\overline{O P}$ точки $P$ представляет собою вместе с $P$ функцию параметра $t$. Эта функция зависит, однако, не только от $t$, но и от положения напала О. Однако произвоная радиуса-вектора $\frac{d \overline{O P}}{d t}$ от положения начала не зависит. В сахом деле, если выберем друге пачало $O^{\prime}$ (фиг. 27), то
\[
\overline{O^{\prime} P}=\overline{O^{\prime} O}+\overline{O P}
\]

так как вектор $\overline{O^{\prime} O}$ при изменевии положения точки $P$ остается постоянным, то (рубр. 68)
\[
\frac{d \overline{O^{\prime} P}}{d t}=\frac{d \overline{O P}}{d t} .
\]

Производная $\frac{\overline{d O P}}{d t}$ определяется, таким образом, внолне фуні:цией $P(t)$. Ее целесообразно рассматривать поэтому как производную точки, т. е. как производную функции $P^{\prime}(t)$; в письме:
\[
I^{\prime}=\frac{d P}{a t}=\frac{d P(t)}{d t}=\frac{d \overline{O P}}{d t}
\]

72. Если точка $P$ остается постоянной то постоянное значение сохраняет также и радиус-вектор $\overline{O P}$, а потому (рубр. 68) производная $\dot{P}$ в этом случае равна нулю.

Заметим, что при координации предыдущей рубрики независимым ор выбора начала является не только производпый вектор
$\dot{\overline{O P}}$, но и наращение, которое этот вектор получает, когда мы переходим от значения параметра $t$ к значению $t+\Delta t$.
В самом деле, это на. ращение представляе? собою вектор, идущий о’ точки $P(t)$ к точке $P^{\prime}(t+\Delta t)$ (фиг. 28), п, следовательно, сохраняет свое значение, как бы мы ни меняли начало $O$. Поэтому и это наращение мокно рассматривать как наращение функции $P(t)$, что в выражается положением:
\[
\Delta P=P(t+\Delta l)-P(t)=\overline{O P}(t+\Delta l)-\overline{O P}(t)=\overline{P Y^{\prime}},
\]

где $P^{\prime}=P(t+\Delta t)$. Можно сказагь, именно то обстоятельство, что наращение $\triangle \overline{O P}$ не завиеит от внбора начала $O$, влечет за собой независимость от начала производной $\dot{O P}$; этим и оправдюваются обозначения (37) и (37′). Существенно важно отдавать себе ясный отчет в том, что кая $\Delta P$, так и $\dot{P}$ суть векторы.

Вообще, когда $t$ пзменяется нөпрерывно, то точка $P(t)$ опісывает непрерывную кривую $l$; наращение $\Delta P$ представляет собою вектор, изображаемый хордой әтой кривой, идущей от точки $P(t)$ к точке $P(t+\Delta t)$. Поэтому предельный вектор $\dot{P}$ имеет направление касательной к кривой $l$ в точке $P(t)$. Еще точнее, если как для кривой $l$, так и для соответственных касательных примем за положительную сторону обращения ту, в которую возрастают значения параметра $t$, то производная $\dot{P}(t)$ пхеет то же направление и ту же сторону обращения, что и касательная в точке $t$.
Далее, как и в случае вектора (рубр. 66), введем поняжие диферениале переменной точки $P(t)$, полагая
\[
d P=\dot{P} d t .
\]

При этом определении сохраняется и основное свойство диференциала; именно, наращение функиии (тогки) $\Delta P(t)=P(t+\Delta t)$– $P(t)$ отличается от диференциала $d P(t)$ на бесконечно-налую порядка выие первого. В соответствии с этим диференциал $d P$ часто называют элементарным смещением точки $P$ (относптельно бесконечно малого интервала $d t$ ).

73. Относительно существования производной $\dot{P}(t)$ п аналитического выражения ее компонент имеют место соображения, совпадающие с теми, которые были развиты по отношению к векторам в рубр. 67. В самом деле, координаты
\[
x=x(t), y=y(t), z=z(t)
\]

точки $P(t)$ представляют собою в то же время компоненты радиуса-вектора $\overline{O P}$. Поэтому для существования производной $\dot{P}(t)$ необходимо и достаточно, чтобн существовали проивводные $\dot{x}(t), \dot{y}(t), \dot{z}(t)$, которые и представляют собой компоненты производной $\dot{P}(t)$ по осям координат.

Отсюда вытөкает, в частности, справедливость правила диференцирования сложной функции: если $P$ зависит от $t$ через посредство другого параметра $s$, который, в свою очєредь, представляет собою функцию от $t$, то
\[
\dot{P}=\frac{d P}{d s} \dot{s} .
\]

Наконеп, отметим еще, что, поскольку пропвводная $\dot{P}(1)$ переменной точки $P(t)$ представляет собою вектор, зависящий от параметра $t$, можно рассматривать производную от $\dot{P}(t)$. Этот новый вектор называется второй производной точки $P(t)$ и обозначается через $\frac{d^{2} P}{d t^{2}}$ или через $\ddot{I}$; его компонентами служат вторые производные $\ddot{x}(t), \ddot{y}(t), \ddot{z}(t)$. Таким же образом определяются производные от $P(t)$ порядка выше второго.
74. Пусть $\overparen{O P}$ будет переменный вектор, приложенный в постоянной точке $O$. Мы можем принять $O$ за начало и смотреть на $\overline{O P}$ как на радиус-вектор переменной точки $P(t)$. Тогда
\[
\dot{\overrightarrow{O P}}(t)=\dot{P}(t) \text {. }
\]
из постоянной почки $O$, есть вектор, совпадающий с производной его свободного конца. По существу, это лишь иначе формулированное определение производной переменной точки. То же относится, конечно, и $ь$ производным более высоких порядков.

Перефразировав рассуждения рубр. 69, касающиеся разложения (36) переменного вектора в строку Тәнлора, ми придем к такому же разложению переменной точки, именно:
\[
\Delta P(t)=P\left(t_{1}\right)-P(t)=\left(t_{1}-t\right) \dot{P}(t)+\frac{1}{2}\left(t_{1}-t\right)^{2}\{\ddot{P}(t)+\bar{z}\},
\]

где $\bar{\varepsilon}$ стремится к нулю вместе с разностью $t_{1}-t$; как левая, так и правая части представляют собою векторы, зависящие от $t$.
75. Особого указания заслужнвает случай, в котором параметр $t$ совпадает с длиной дуги $s$, ошисанной переменной точкой $P$. Точнее, предположим, как в рубр. то, что задана определевная кривая $l$ и на ней отсчитываются длины $s$ дуг, начиная от некоторой произвольно выбранной точки $P_{0}$; число $s$ считается положительным в одну сторону от $P_{0}$ и отрицательным в другую. Каждому значению $s$ (в интервале, зависящем от участка кривой $l$, в пределах которого производится исследование), таким образом, отвөчает определенная точка $P$ кривой.
Остановимся на производной
\[
\boldsymbol{t}=\frac{d P}{d s}
\]

әтой точки, представляющей собою функгию дуги s. Ми уже знаем (рубр. 73), что эта производная представляет собою вектор, направленный по касательной к кривой в точке $P$ п обращенный в сторону возрастающих значений криволинейной абсциссы ;.

Но в данном случае пмеет место особое обстоятельство, заключающееся в том, что длина вектора $t$ всегда равна 1. Чтобы в этом убедиться, достаточно обратиться к определению вектора $t$, представляющего собою предел отнопения наращений $\frac{\Delta l}{d s}$. Длина вектора $\frac{\Delta P}{\Delta s}$ есть отношение длины хорды (длины вектора $\Delta P$, см. рубр. 73) к длине дуги $\Delta s$. Как пзвестно, это отношепие имеет пределом 1 ; это и есть длина вектора $t$.