19. Радиальная и поперечная скорость. Угловая скорость. Положим, что в плоскости относительно системы осей $O x y$ декартовых ортогональных координат прөисходит движение точки $P$, выражаемое уравнениями:
\[
x=x(t), \quad y=y(t) .
\]

Отнесем это движение к системе полярных кординат, имеющей полюсом начало $O$ декартовых Һоординат, а полярной осью положительную полуось $\approx$-ов; за положительную сторону обращения аномалий (полярных углов) примем ту, при которой переход от ориентированной оси $x$ к ориентированной же оси $y$ совершается путем поворота на прямой угол. Аномалии будем измерять в радианах.

В течение движения радиус-вектор $\rho$ п аномалия $\theta=x \widehat{O P}$ движущейся точки $P$ будут определенными функциями времени; уравнения
\[
\rho=\rho(t) \text { и } \quad \theta=\theta(t)
\]

можно назвать уравненияли движения в полярных координатах. Но здесь необходимо одно существенное замечание. Как известно из аналитической геометрии, чтобы обеспечить взаимно однозначную заввсимость между точками плоскости и парами значений полярных координат $\rho$ и $\theta$, необходимо на последние наложить ограничения, выражающиеся неравенствами $\rho>0$, $0 \leqslant \theta<2 \pi$. Но при этих усдовиях, если точка $P$ в своем плоском движении обойдет вокруг начала координат в положительную сторону и перейдет через положительную полуось $x$-ов (полярную ось), то аномалия $\theta$ обречена на то, чтобы при этом внезапно перескочить со значения $2 \pi$ на значение 0 . Таким образом в функцию $\theta$ в уравнении (17) вводнтся разрыв, который, однако, ни в какой мере не характеризует разрыва в самом движении; он зависит только от ограничения $\theta<2 \pi$, условия, наложенного на аномалию $\theta$. В таких случаях, чтобы уничтожить разрыв, так сказать, искусственно созданный, обыкновенно отказываются от әтого ограннчения аномалии и допускают, чтобы $\theta$, следуя непрерывному ходу движения, непрерывно же изменялось и проходя через $2 \pi$, т. е. получало бы при этих условиях значения, превышающие $2 \pi$.

Аналогично этому, если точка $P$, двигаясь непрерывно, без внезапного разрыва скорости, проходит через полюс, вышеуказаннье ограничения значений $р$ и ө приводят к тому, что аномалия и здесь претерпевает разрыв: в то время как $\rho$ при прохождении через полюс достигает наименьшего своего значения 0 и затем начинает вновь непрерывно возрастать, аномалия делает скачок от значения $\theta_{0}$ (предельное значение аномалии, когда $P$ непрерывным двчжением приближается к полюсу) $\kappa$ вначению $\theta_{0} \pm \pi$. Но и здесь искусственно нарушенная непрерывность может быть при надобности восстановлена, если отказаться от ограничения $\rho>0$ и принять, что радиус-вектор, проходя через нуль, может непрерывно переити от положительных значений к отрицательным, и обратно.

К этому приему мы прибегаем тогда, когда по существу дела важно сохранить непрерывность соответствия между точкой $P$ и ее полярными координатами $p, \theta$. При этом, однако, как нами уже было отмечено, приходится примириться с потерей однозначности (того же соотвөтствия) во всякой области, для которой начало $O$ является внутренней точкой. Декартовы координаты свободны от подобннх дефектов.

Приняв все это, припомним, что между функциями (16) и (17) существуют пзвестные соотношения:
\[
x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin 0 .
\]

Диференцируя эти уравнения, мы получим для юомпонент скорости выражения:
\[
\dot{x}=\dot{\rho} \cos \theta-\rho \theta \sin \theta, \quad y=\dot{\rho} \sin \theta+\rho \dot{\theta} \cos \theta ;
\]

комбинируя же эти соотношения с формулами преобразовапия координат, получим:
\[
x \dot{y}-y x=p^{2},
\]

а отсюда для квадрата скалярной скорости жормулу:
\[
v^{2}=\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\theta} \text {. }
\]

Это выражение приводит к разложению скорости на две ортогональные компоненты, которые целесообразно установить непосредсгвенно.

С этой целью рассмотрим вместе с осью $O P$ перпендикулярную к ней прямую в точке $P$ и ориентируем эту прямую таким образом, чтобы она была расположена относительно $O P$ так же, как ось $y$ ориентирована относительно оси $x$ (фиг. 34). Так как направляющие косинусы оси $O P$ и ориентированного перпендикуляра к ней суть $\cos \theta, \sin \theta$ и состветственно
\[
\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \theta, \quad \sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \theta,
\]

то проекции $v_{\rho}$ и $v_{\vartheta}$ скорости $v$ на эти новые две оси будут иметь скалярные вначения:
\[
v_{\mathrm{p}}=\dot{x} \cos \theta+\dot{y} \sin \theta, \quad v_{\theta}=-x \sin \theta+\dot{y} \cos \theta .
\]

Подставляя сюда вместо $\dot{x}$ и $\dot{y}$ их значения (18), получим:
\[
\dot{v_{\rho}}=\rho, \quad v_{i}=\rho \dot{\theta} .
\]

Это суть компоненты векторной скорости $v$ по построенным двум новым осям; возвышая эти компоненты в квадрат и складывая их, мы получим вновь соотношение (19).
Компонента $v_{\rho}$ называется радиальной скоростью, так как
\[
v_{p}=\frac{d \rho}{d t}
\]

представляет собою отношение элементарного наращения расстолния точки от начала (полюса) $O$ к соответствующему элементу времени $d t$, поэтому $v_{\rho}$ называют также скоростью удаления точки (от полюса).
Слагающая $v_{\theta}$ называется поперечной или поворотной (по отношению к радиусувектору) скоростью точки; наконец, пронзводная
\[
\dot{\theta}=\frac{d \theta}{d t}
\]

называется угловой скоростью точки, так как она внражает скорость изменения Фиг. 35. аномалии $\theta$. Поворотная скорость $v_{\theta}$ представляет собою произведение радиусавектора $\rho$ на угловую скорость точки. Если мы әто запишем в виде:
\[
v_{\theta}=\frac{\rho d \theta}{d t},
\]

то числитель этой дроби выразит длину дуги поворота $P P^{\prime \prime}$, которую описала бы вокруг полюса точка $P$ (фиг. 35), если бы радиус-вектор, переходя из положения $O P$ в $O P^{\prime}$, не менял своей длины (так что $P P^{\prime \prime}$ была бы дуга окружности). Поәтому компоненту $v_{\text {в }}$ называют поворотной скэростью точки.
20. Секториальная скорость. При движении точки $P$ радиусвектор $O P$ описывает некоторую площадь. Ее измеряют, отсчитывая ее от некоторого начального положения $O P_{0}$ радиусавектора (фиг. 38) и считая ее положительной, когда она обрацена в сторону возрастающих аномалий, и отрицательной в противоположном случае; будем обозначать через $\boldsymbol{A}$ значение, которое она принимает в произвольный момент $t$, когда движущаяся точка занимает положение $P$. Пусть $P^{\prime}$ будет бесконечно близкое положение точки, занимаемое ею в момент $t+d t$. За элемент вгемевт, потекаюий от момента $t$ до молента $t+d t$, точка?

описывает элемент площади $P O P^{\prime}$, который (по крайней мере, до бесконечно малых высшего порядка) равен площади кругового сектора радиуса $\rho$ с центральным углом (растворением), равним d0. Побтому
\[
|d A|=\frac{1}{2} \rho^{2}|d \theta| ;
\]

а так как, по нашему соглашению, $d A$ и $d \theta$ имеют тот же знак, T0
\[
d A=\frac{1}{2} \rho^{2} d \theta,
\]
a вместе с тем
\[
\dot{A}=\frac{1}{2} \rho^{2} \dot{0} .
\]

IIо соображениям, которые после всего изложенного совершенно ясны, производную $\dot{A}$ называют секториальной скоростью Фиг. 36. точки $P$ относительно центра $O$.

Соотношение (18а) приводит к выражению секториальной скорости в декартовых координатах:
\[
\dot{A}=\frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x}) .
\]
21. Понятие о сектордальной скорости легко распространяется также на точку, совершающую совершенно произвольное движение в пространстве. Чтобы притти $\mathrm{k}$ этому обобщению, возвратимся сначала $к$ случаю плоского движения и именно к выражению (20) угловой скорости относительно начала $O$. В точке $O$ восставим к плоскости движения перпендикуляр и направим по нему ось $z$, ориентируя ее таким образом, чтобы получить правосторовний триэдр Охуz. На этой оси ванесем вектор $v$, длина которого равна абсолютной величине секториальной скорости (20) и который обращен в положительную или отрицательную сторону этой оси, смотря по тому, имеет ли секториальная скорость точки положительное или отрицательное значение; можно сказать, что вектор $\boldsymbol{0}$ отображает векториальную скорость как по величине, так и по знаку. Всматриваясь в выражение (20) ближе, мы видим, что построенный такпм образом вектор $\boldsymbol{v}$ представляет собою половину векторного произведения двух векторов, имеющих компоненты:
\[
x, y, 0 \text { н } \dot{x}, \dot{y}, 0 \text {, }
\]
т. е. векторов $\overline{O P}$ и $\boldsymbol{v}$ Таким образом
\[
v=\frac{1}{2}[\overline{O P} v]
\]

т. е. вектор $\boldsymbol{v}$ представляет собою половину момента векторной скорости движущейся точки относительно (неподвижного) центра 0.

Этому вектору $v$, модуль которого дает секторпальную скорость точки, как она выше определена в скалярном своем значении, и который в каждый момент определяет сторону движения, как правостороннего относительно него, присваивается название векторной секториальной скорости данжой двиљущейся почки относительно чентра 0 .

Это новое определение имеєт по сравнению с предідущим то преимущество, что оно сообщает секториальной скорости значение внутреннего характера, следовательно, не зависящее от координатного триэдра даже при изменении начала координат, лишь бы только оставался неподвшжным центр $O$, относительно которого секториальная скорость точки определяется.

И именно вследствие этого внутреннего (инвариантного) своего характера новое определение неносредствевно применяется также к любому движению точки в пространстве; именно, при любом движении секториальная скорость движущейся точки $P$ относительно центра $O$ определяется как векторное произведение
\[
\frac{1}{2}[\overline{O P} v] ;
\]

это есть вектор, который в каждый момент движения перпендикулярен к плоскости (вообще говоря, переменной), проходящей в этот момент через центр $O$ и через скорость движущейся точки $\vartheta$; он обращен таким образом, что движение в этот момент представляется относительно него правосторонним; его модуль представляет собою отношение әлемента площади, которую радиус-вектор описывает в указанной сейчас плоскости в элемент времени к продолжительности этого әлемента времени $d t$.

Если движение точки $P$ отнесено к ортогональным декарговым кооринатам, начало когорых совпадает с центром $O$, то компоненты секториальной скорости имеют значения (I, pубр. 27):
\[
\frac{1}{2}(y \dot{z}-z \dot{y}), \quad \frac{1}{2}(z \dot{x}-x \dot{z}), \quad \frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x}) ;
\]

мы видим, что это суть скалярные секториальные скорости ортогональных проекций точки $P$ на плоскости $y z, z x, x y$.

Отметим, наконед, что секторпальная скорость, как это видно из соотношения (22), может в некоторый момент обратиться в нуль только в том случае, если наступает одно из следуюцих обстоятельств (I, рубр. 21): либо точка $P$ проходит в этот момент через центр $O$; либо сбращаетея в нуль скорость $\boldsymbol{v}$; либо скорость направлена радиально, т. е. по прямой $O P$.