10. Из последнего замечания предыдущей рубрики следует, тто в тех случаях, когда на голономную систему, выраженную в независимых лагранжевых координатах $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, налагаетея дальнейшая голономная связь:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right)=0,
\]

это влечет за собой во всякий момент ограничение не только для ковфигураций суетемн, но и для возможных ее перемещений.

Это последнее ограничение выражается уравнением:
\[
\frac{\partial f}{\partial q_{1}} d q_{1}+\frac{\partial f}{\partial q_{2}} d q_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial q_{n}} d q_{n}+\frac{\partial f}{\partial t}, d t=0 .
\]

Разделив его па $d t$, мы придадим ему вид:
\[
\frac{\partial f}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial f}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial f}{\partial q_{3}} \dot{q}_{3}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial q_{n}} \dot{q}_{n}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Это последнее уравнепие представляет собой линейную зависимость (неоднородную, если связь зависит от времени) между производными $\dot{q}_{n}$, т. е. так называемыми скоростями системы в отношении лагранжевых координат. Вообще, можно сказать, что каждая голономная связь налагает на систему также связь подвижности. Әто ьамечанде ведет к новому обобщению, которое имеөт не только теоретическо ьначение, но и реализуется на практнке, как мы әто увидим ниже (рубр. 12). Обобщение это заключается в том, что можчо вводить также свяаи подвижіности, непосредственно выражаемые уравнениями типа:
\[
\sum_{i}^{n} a_{h} d q_{h}+b d l=0
\]

или по разделении на $d t$ :
\[
\sum_{1}^{n} a_{h} \dot{q}_{h}+b=0,
\]

где $a_{h}$ и $b$ суть функции координат $q_{h}$, а иногда и $t$; при этом предполагается, что уравнение (8) не может быть выведөно путем диференцирования уравнения вида (6).

Очевидно, всякое соотногение вида (8) само по себе [неза висимо от того, получается ли оно диференцированием из конечного уравнения (6) или нет] не налагает никаких ограниче ний на самое положение свстемы; тем более можно считать обоснованным присвоенное такому соотношению название связи подвижности.

В качестве дальнейшего обобщения можно было бы представить себе еще более сложные связи подвижностп, наиример пелинейные зависимости между производными $\dot{q}_{h}$ пли же добавочнке члены, содержащие производные от $q_{h}$ порядка более высокого, чем первый; но до сих пор неизвестны конкретно осуществимье матернальные системы такого типа ${ }^{1}$ ).

Всякая связь подвижности (8), рассматриваемая сама по себе (т. е. независимо от того, внводитея ли она путем диференцирования из конечного уравнения или нет), называется неголономкой. В форме (8) она навываетея однородной в том случае, еслі функция $b$ тождественно равна 0 , и неоднородной – п потивном слу-
1) См. по этoщy вопpocy Delassus, Leçons sur la dynamique des systèmes: matériele, Paris, Hermann, 1913.

чае. Вместе с тем всякая система, подчиненная одной пли нескольким неголономным связям, также называется неголожонной.

В общем, небесполезно будет еще раз отметить, что существенная рлзница между голономными и неголономными связями коренится в том, что последние не налагают никаких ограничений на конфигурацию системы, но устанавливакт только ограничение для возможных ее перемещений, т. е. вводят ограничения ее подвижности.

Отметим, наконец, что система назыьается совериенно неголономной или соб̈ствени неголономной, если связи вида ( $\left.8^{\prime}\right)$, которым она подчинена, таковы, что не только ни одно из уравнений ( $\left.8^{\prime}\right)$ не может быть получено диференцированием одного конечного ураннепия между параметрами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, но вообще не существует ни одного уравнения вида:
\[
F\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n} \mid t\right)=0,
\]

диференцируя поторое мы получили бы соотношение между диференциалами, удовлетворяющееся тождественно в силу уравнений (8), т’ е. представяяющее собой линейную комбинацию их ${ }^{1}$ ).
11. Соображения предыдущей рубрики, естественно, могут найти себе приложения и в том случае, когда система отнесена к дегарговым координатам. Как уже было отмечено в рубр. 9, всякая головомная связь вида (4) устанавливает зависимость между компонентами $d x_{i}, d y_{i}, d z_{i}$ элементарных смещений $d P_{i}$ отдельных точек системы; это соотношение имеет вид ( $\left.4^{\prime}\right)$, т. е. имеет пинейную, в напболев обпем случае неоднородную, форму. Тот же линейный характер в болеө общей форме имеет и всякая неголономная связь, которая поэтому может быть нашисана в форме:
\[
\sum_{1}^{N}\left(a_{i}^{\prime} d x_{i}+a_{i}^{\prime \prime} d y_{i}+a_{i}^{\prime \prime \prime} d z_{i}\right)=b d t,
\]

где $a_{1}^{\prime}, a_{1}^{\prime \prime}, a_{1}^{\prime \prime}$, суть данные функции координат, а иногда п времени. Поэтому, если введем $N$ векторов $a_{i}$ с компонентами $a_{1}^{\prime}, a_{1}^{\prime \prime}, a_{1}^{\prime \prime}$, то предыдущему соотношению можно прудать вид:
\[
\sum_{i}^{N} a_{i} d P_{i}=b d t,
\]

или, в более сжатой форме:
\[
B(d P)=b d t .
\]
(1) Припомним, qто голономная сиетема, по определению, может в любой момент принимать любую доступную ель в этот момент конфигурацию; поэтому конечное соотнопенне, способное заменить одно из уравнений ( $\left(^{\prime}\right)$, непременно должно содержать произвольные постоянные, располагая которыми можно удовлетворить уравнению в любой чомент, при любюй конфигурақии.

Здесь $B$ представляет собой линейный оператор относительно элементарных смещений $d P$. Разделяя обе части өтого равегства на $d t$, получим:
\[
B(v)=l ;
\]

это, очевидно, есть декартова форма любого соотнопения (8′).
12. Iример соверпенно неголовомной ситтемы. Таковой является, как мы уже упомянули в рубр. 7, твердая сфера $S$, поставленная в такие условия, что ова должна катиться по неподвижной плоскости без скольжения.

Чтобы это доказать, дадим этой связи формальное выражение. За плоскость, по готорой сфера катится, примем плоскость $\zeta=0$ координатного триәдра и направим ось $\zeta$ в ту сторону, в которой лежит сфера $S$; третья координата центра $O$ сферы будет поэтому постояно равна ее радиусу $R$. Чтобы определить положение сферы, будет, очевндно, достаточно, вопервых, установить первые 2 координаты $\alpha$ и $\beta$ центра $O$, или,-что то же,-точки соприкосновения $C$ сферы $S$ с плоскостью $\zeta=0$, а во-вторых, установить ориентацию некоторого триэдра, неразрывно связанного со сферой, относительно неподвижного триәдра; за начало подвижного триэдра примем центр $O$; если $\theta$, $\varphi$ и $\psi$ суть эйлеровы углы (II, рубр. 29-31), ориентирующие подвижную сферу, то лагранжевыми координатами нашей системы будут слущить 5 параметров:
\[
\alpha, \beta, \theta, \varphi, \psi \text {. }
\]

Каждой системе значений этих параметров отвечает вполне определенное положение сферы в ее соприкосновении с плоскостью (конфигурация системн); если же 5 координат положить равными произвольно взятым функциям времени и сверх того припомпить, что $\gamma=R$, то мы получим конечные уравнения движения сферы $S$, постоянно касающейся плоскости $\zeta=0$. Но это движение, вообще говоря, не будет чистим качением; напротив того, оно будет сопровождаться некоторым скольженшем сферы по плоскости.

В самом деле, представим себе произвольное элөментарное перемещение сферы от момента $t$ до момента $t$ – $-d t$. Как мы знаем (III, ру’бр. 32), если мы за центр приведения примем точку (мгновенного) соприкосновения $C$ сферы с плоскостью, то это движение слагается из бесконечно малого вращения вокруг прямой, выходящей ғз $C$, п некоторого әлементарного поступательного смещения; поскольку соприкосновение сферы с плоскостью поддерживается во все время движения, это поступательное смещение непременно доляно произойти параллельно этой плоскости. Чтобы имело место чистое вращение, необходимо и достаточно, чтобн это поступательное смещение было равно нулю во все время движения; это означает, что во есе время движения должна быть равна нулю скорость $v_{C}$ точки соприкосновения $C$, которая ғообе меняет свое положение как на неподвнжной плоскости, так и на сфере.
Самое разложенпе выражается формулої:
\[
v_{C}=v_{0}-[\stackrel{\rightharpoonup}{\omega} \overline{O C}]=0,
\]

где $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\bar{\omega}$ суть характеристические векторы движения сферы относительно центра $O$.

Чтобы придать этому векториальному уравнению декартову форму, заметим, что оба вектора $v_{0}$ и $[\bar{\omega} \overline{O C}]$ параллельны неподвижной плоскости $\zeta=0$ : первый потому, что он представляет скорость центра $O$, который движется параллельно этой плоскости, второн же, по определению, перпендикулярен к вектору $\overline{O C}$, который, в свою очередь, перпендикулярен к той же плоскости.

Поэтому предыдущее векторное уравнение, будучи спроектировано на неподвижные оси, приводит только к двум скалярним уравнениям, соответстующим неподвижным осям в п $\eta$. Заметим теперь, что компоненты вектора $v_{0}$ по неподвижным осям суть $\dot{\alpha}, \dot{\beta}, 0$; если поэтому обозначим через $\pi, \%$, компоненты угловой скорости $\bar{\omega}$ по неподвижным осям, то эти два уравнения примут вид:
\[
\dot{\alpha}-R \%=0, \quad \beta+R \pi=0 .
\]
‘ековы уравнения связи чистого качения. Чтобы придать пм раскрытую форму, при помним (III, рубр. 32), что
\[
\left.\begin{array}{l}
\pi=\dot{\theta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \theta \sin \psi \\
\%=\dot{\theta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \theta \cos \psi ;
\end{array}\right\}
\]

эти выраления нужно было бы подставить в уравнения (10), чтобы получить связь качения в явной форме. Но чтобы обнаружить, что эта связь совершенно неголономная, достаточно принять во внимание, что из уравнений (11) следует:
\[
\frac{\partial \tau}{\partial \dot{\omega}}=-\%, \quad \frac{\partial \chi}{\partial \dot{\omega}}=\pi .
\]

В самом деле, вужно обнаружить, что ве может существовать никакое конечное соотношение вида (7) между лагранжевыми координатами $\alpha, \beta, \theta$, п $\psi$ и временем, диференцируя которое по времени мы могли бы получить результат, удовлетворяющийся тождественно в сплу уравнений (10). Однако, если бы такоө соотношение существовало, то оно нензбежно должно было бы содержать $\alpha$ или $\beta$; самом делө, в противном случае, диференцируя его относптельно $t$, мы получили бы линейную зависимость (иногда неоднородную) между производными $\dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$; между тем, дзже пра налачии уравнения (10) әти производине не зависят друг от друга. Мы можем поэтому ограничиться исследованием, возможно ли тагое соотнопение, которое явным образом содержит $\beta$, а потому может быть представлено в виде:
\[
\beta=f(x, i, \varphi, \phi \mid t) \text {. }
\]

Диференцируя это уравнение по $t$, получаем:
\[
\dot{\beta}=\frac{\partial f}{\partial x} \dot{\alpha}+\frac{\partial f}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial f}{\partial \dot{\varphi}} \dot{\varphi}+\frac{\partial f}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi}+\frac{\partial f}{\partial t} ;
\]

это уравнение должно было бы удовлетворяться тождественно дия всех возможных вначений а, $\beta, \theta, \varphi, \psi, \dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ п $t$ в области, в которой пмеет место соотношение (13), коль скоро мы подставили бы вместо $\dot{\alpha}$ и $\dot{\beta}$ их внражения (10). Иными словами, доласно было бы иметь место пождество:
\[
-R \pi=\frac{\partial f}{\partial \alpha} k \%+\frac{\partial f}{\partial \theta} \dot{\theta}+\frac{\partial f}{\partial \varphi} \dot{\varphi}+\frac{\partial f}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi}+\frac{\partial f}{\partial t} .
\]
прншли бы к тождеству:
\[
\frac{\partial f}{\partial \psi}=0,
\]

так как ни одна из функций $\pi, \chi$ п $f$ не зависит от этой переменной. Отсюда следует, что $f$ не может зависеть от $\psi$. Диференцируя теперь уравнение (14) по џ пчитывая соотношение (12), мы пришли бы к тождеству:
\[
R \%=R \frac{\partial f}{\partial x} \pi .
\]

Заменяя здесь $\chi$ п $\pi$ их выраженилми (11), мы расщепили бы в силу независимости $\dot{\theta}$ и $\dot{\varphi}$ это уравненис на два других:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \sin \psi-\cos \psi=0, \quad \sin \psi+\frac{\partial f}{\partial x} \cos \psi=0,
\]

которые во всяком случае друг другу противоречат.
Таким образом установлено, что связь, требующая чистого качения сферы по плоскости, неголономна в собственном смисле слова.
13. Подставляя в уравнение (10) вместо $\pi$ и их выраженил (11), мы получаем два линейных однородных уравнения, связнвающих пронзводные $\dot{\alpha}, \dot{\beta}, \dot{\theta}, \dot{\gamma}$ лагранжевых координат; мы можем поэтому сказать, что случай, рассмотренный в предыдущей рубрике, представляет собою пример однородной неголономной связи.

Но отсюда легко перейти, слегка изменяя условия, к примеру неоднородной свяаи, также неголономной.

Возьмем снова твердую сферу $S$ предндущей рубрики, но предположим, что твердая плоскость, по которой сфера должна катиться без скольжения, также движется в пространстве; для простоты мы ограничимся случаем, когда это движение плоскости являетс поступательным и имеет скорость $\overline{\text { с }}$ компонентами $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}$ относительно обычных осей $\xi, \eta$, ५. Оставаясь при обозначениях предыдущей рубрики, мы получим, что центр сферы $O$, который должен оставаться на расстоянии $R$ от опорной плоскости, уже не сохраняет постоянной координату $\gamma$; напротив того, она выражается формулой:
\[
\gamma=R+\int_{t_{0}}^{t} \tau_{3} d t .
\]

Если попрежнему обозначим через $C$ точку соприкосновения сферы с опорной плоскостью, то условия чистого качения сферы можно будет выразить тем, что скорость точки $C$ на сфере:
\[
\boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{v}_{0}+[\bar{\omega} \overline{O C}]
\]

должна совпадать со скоростью $\tau$ той же точки на плоскости, так что
\[
\boldsymbol{v}_{0}+[\bar{\omega} \overline{O C}]=\bar{\tau} .
\]

С другой стороны, так как первые две компоненты левой части выражаются, как в предыдущей рубрике, через $\dot{\alpha}-R \%, \dot{\beta}+R \pi$, а третья $\dot{\gamma}=\tau_{3}$, то это векторное уравнение, будучи сіроектировано на оси координат, даст одно тождество и два уравнения:
\[
\dot{\alpha}-R \chi=\tau_{1}, \dot{\beta}+R \pi=\tau_{2} .
\]

В силу соотношений (11) эти два линейные уравнения неоднородны относительно $\dot{\alpha}, \dot{\beta}, \dot{\theta}, \dot{\varphi}$; отсюда мы заключаем, что типичный пример неголономной и неоднородной связи представляет качение одного твердого тела по другому, движущемуся по определенному предуказанному закону.