1. Продолжительность колебания простого маятиика. Проделать вновь вычнеления рубр. 19 гл. IX, пользуясь методом нулевых размеров.
2. Соиротивление шрямоугольной иластины. Прямоугольная пластина, настолько тонкая, что ее толщиной мсжно совершенно пренебречь, движется в среде, оказывающей ей сопротивление. Нужно определить, в каком виде может быть выражено әто сопротивление, которое представляет собою результат давления, оказываемого жидкой средой на каждый элемент пластины.

Прежде всего непосредственно ясно, что мера $r$ этого сопротивления должна зависеть, помимо размеров $a, b$ прямоугольной пластины и ее наклона $\theta$ к направлению движення, еще от ее скорости $v$, а также от давления $p$ и плотности $p$ среды. Кроме того, опыты, систематически проводившиеся в последние годы для нужд воздугоплавания, обнаружили, что $r$ существенно зависит также от өязкости жидкости; более того, основательные иселедования Peйлольдса (Reynolds) показали, что в пределах обыкновенных скоростей (т. е. не достигающиर скоростей снарядов или вообще скоростей, сравнимых со скоростью звука) именно әто сопротивление вязкости имеет преобладающее значение.

Для вычислепия єлзкости представим себе внутри жидкости два смежных папаллельных поверуностных әлемента. Если $d x$ есть расстояние мелду ними, $d v$ – разность их скоростей (нли относительная скорость одной площадки по отношению к другой), то опыт обнаруживает, что между двумя элементами проявляется отталкивательная сила, !ипряжение которой, отнесенное к единице плоцади, пропорционально падени скорости $\frac{d v}{d x}$; таким образом
\[
\tau=u \frac{d v}{d x},
\]

где $\mu$ есть так называемый кодфииени вязкости. Учитывая вее әто, мы приходим к предпожожению, что
\[
r=f(a, b, \theta, v, p, \rho, \mu) .
\]

Заменяя переменные $a$ и $b$ двумя другими $k, \sigma$, связанными с ними соотношениями
\[
k=\frac{a}{b}, \quad \sigma=a b,
\]
т. е. представляющими так называемую удлиненность пластины и ее плотность, а также выделяя переменные $k$ и $\theta$, выражаемые чпетыми числами, предетавим предыдущую зависимость в виде:
\[
r=f_{1}^{*}(\sigma, v, p, \rho, \mu \mid k, \theta) .
\]

Гак каж, с другой стороны,
\[
[\sigma]=l 2, \quad[v]=l t^{-1}, \quad[\rho]=l^{-3} m,
\]

то совершенно яено, что $\sigma$, v, $\rho$ по по своим размерам незавиеимы. Чтобы в этом убедитьея, достаточно вычислить определитель размерностей нли же просто пүннять во внимание, что $\sigma$ и $v$ равнонезависимы, а $\rho$ завнсит от массы, которая в выражение этих двух другик величин не входит.

Через эти три перемениые можно выразить давление $p$. Так как $p$ есть давление, оказываемое средой на единицу площади, то оно представляет собою отношение силы к плоцади, а цотому
\[
[q]=l^{-1} t^{-2} m .
\]

Поэтому $\mu$ (отношение давления на единицу площади к падению скорости) нмеет размерность:
\[
[\mu]=l^{-1} t^{-1} m .
\]

Поступая, как выше, при установленин соотношения (Б), найдем:

Поэтому два отношения
\[
[p]=v^{2} \rho, \quad[\mu]=\sigma^{\frac{1}{2}} v \rho,
\]
\[
u^{2}=\frac{v^{2} \rho}{p}, \quad R=\frac{\sigma^{\frac{1}{2}} v \rho}{\mu}
\]

представляют собою чистые числа. Знєчение пөрвого выясняется, когда пиннимаем во внимание, что $\frac{p}{\rho}$ как раз представляет квадрат скорости звука в этой жидкости. Что касаетея $R$, то әто есть так называемое число Pеимольдса.
Соотношение, выражаюее $r$, можно поэтому представить в виде:
\[
r=F(\sigma, v, \rho \mid k, \theta, w, R) .
\]

С другой стороны, $r$ есть сила, а потому $[r]=l t^{-2} m$; вмссте с тем вычисление, приводящее к общему соотношению (5), дает:
\[
[r]=\sigma \rho v^{2} .
\]

Таким образом окончательное выражение величины $r$ будет нметь вид:
\[
r=\sigma \rho v^{2} \Phi(k, \theta, w, R),
\]

где Ф есть функция одних только указанных аргументов.
Мы, таким образом, обнаружнли, что сопротивление, которое встречает пластина, ппопопцонально шроизведению из ее плопади на плотность спеды и на квадрат скорости двнения; коэ фицнент же пропорциональности представлят собой фәнкқию некоторых чистых чисөл, значение которых мы выте выяснили. Ньютон дал для $r$ выраженне $c$ ор ${ }^{2}$, где с есть постоянная. Как уже сказано, это допущенне ппедставляет собой только грубое приближение; наш аналн: обнаруживает, от каких әлементов еще зависит коэфициент $c$.
14. Мир в миниатере 1). В теопни относнтельности скорость света при отсутетвии возмущающих влияний представляет собой универсальную постоянгую, в шипоких пределах нө завнсящрю от передвижения наблюдателя. Совпеменные взляды на состав әлектричества (электронная теория) ведут к тому, что электический заряд не предетавляет собой чего-лнбо сплошного, а есть дискретная совокунность әлементарных запядов, которые называютея әлектронами. С әтой точки зрения, мерой әлектрического запяда можно ஜчитать число әлектронов, из котопых он состоит; әлектрон рассматривается, таким образом, как единица меры. Какова бы ни была принятая система мер число электронов в заряде всегда должно оставаться одно и то же.

Если мы желаем построить модель вселенной, в которой сохранялась бы, как и в действительной вселенной, скопость света и для котопой огтавалея бы в силе этектронный крнтерий измерення әлектрических зарядов, мы должны будем выбрать такие единицы длины, времени и массы, при которых коэйциенты приведения для измерения сксростей и әлектрических зарядов будут
1) Cp. R. Tolman, The principle of Similitode, \”Physical Review“, Vol. 3, 1914, стр. 244-255.

равты еднице. Мы будем называть, как обыкновенно, $\lambda, \tau$, к коэфициентами приведения основных единиц. Так как $\lambda \tau^{-1}$ п (см. упражнение II) $\lambda^{\frac{3}{3}} \tau^{-1} 1_{1}^{\frac{1}{2}}$ суть коэфидиенты приведения скорости и электрического заряда, то должны пметь место равенств:
\[
\lambda \tau^{-1}=1, \quad \lambda^{\frac{3}{2}} \tau^{-1} \mu^{\frac{1}{2}}=1 .
\]

Разрешая эти уравнения относительно $r$ п $\mu$, получим:
\[
r=\lambda, \mu=\lambda^{-1} \text {. }
\]

Найдя, такпм образом, коэфитиенты приведения для времен и масс в модели, цоторию требуетея постронть, мы уже найдем легко коэфицент приведения всякой величины $Q$, разхеры которого суть $n_{1}, n_{2}, n_{3}$; он равен:
\[
\lambda^{n_{1}} \tau^{n_{0}} \mu^{n_{3}}=\lambda^{n_{1}+n_{4}-n_{3}} .
\]

Тапи образом мепа $q^{\prime}$ величины $Q$, определяемая в действительном мире, будет связана с мерой $q$, обнаруживаемой на модели, которую мы могли бы назвать мирож в минитюре, соотношением:
\[
q^{\prime}=\lambda^{n_{1}+n_{3}-n_{3}} q .
\]

Пример. Так как для силы $n_{1}=1, n_{2}=-2, n_{3}=1$, то
\[
f^{\prime}=\lambda^{-2} f ;
\]
д.тя мощности $n_{1}=2, n_{2}=-3, n_{3}=1$, а потому
\[
\pi^{\prime}=\lambda^{-2} \pi \text {. }
\]
15. Припомним, что при установлелип-механического подобия мы ввели в качестве необходимых предпосылок следуюшие две: гомологичныө части сделаны из одного и того же матернала, так что $\mu=\lambda^{3}$; ускорениө силы тяжести остается неизменным; поэтому $\lambda r^{-1}=1$. Эти допущения, в общем, ппиняты для реализуемости подобия на поверхности земли. Но если вопрос расематринается с теоретической точки зрения, то нет основания для такого пода предположений, касающился веса и состояния вещества. По указанным причипам вместо допущения, что не меняется ускорение силы тяжести, пиинимается постоянство скорости света, а вместо гипотезы материального подобия – электронная топка зрения, согласно которой тела природы состоят пз атомов, а эти последние из электронов. С этой точки зрения можно считать оправданным релятивистское атоистическое построение Тольмана: здесь оно, во всяком случае, приведено лишь в качестве пимера глубоких соображеңий, которые могут быть построены на основе теории подобия.