10. Определение. Приведенный в рубр. 2 критерий дает возможность установить важное своцство твердых движений, к которому мы приходим, распространяя на системы точек понятие о составлении или сложении движений, установленное уже для одной движущейся точки (рубр. 5 предыдущей главы). Положим, что для одной и той же системы $S$ точек установлены как возможные для нее в определенный промежуток времени движения $M_1,M_2,M_3,\dots$ (в конечном числе). Движением, составлениын из этих движений или сложенньм из них называется ттакое движение системы $S$, при котором каждая точка ее в любой момент $t$ имеет скорость, равную сумме ее скоростей (результирующей скорости), составляющих движения $M_1,M_2,M_3,\dots$

Әто определение влечет за собою следующую основную теорему. Пвижение, составленное из нескольких твердых движений, тажже представляет собою твердое движение. В самом деле, возьмем две произвольные точки системы $P^{\prime }$ и $P^{\prime \prime }$ и обозначим через ${\mathit{v}}_1^{\prime }$ п ${\mathit{v}}_1^{\prime \prime },{\mathit{v}}_2^{\prime }$ и ${\mathit{v}}_2^{\prime \prime },{\mathit{v}}^{\prime }$ и ${\mathit{v}}_3,\dots$ скорости, которые эти точки доляны иметь в произвольнєй момент $t$ в соответствующих движениях $M_1,M_2,M_3,\dots$; тогда в составленном движении эти точки, по определепию, будут иметь скорости:
$$v^{\prime }=v_1^{\prime }+v_2^{\prime }+v_3^{\prime }+\dots \text{ п }{v}^{\prime \prime }=v_1+v_2^{\prime \prime }+v_3^{\prime \prime }+\dots .$$

Так как, по твердости составляющих движений, скорости ${\mathit{v}}_1^{\prime }$ и ${\mathit{v}}_1^{\prime \prime },{\mathit{v}}_2^{\prime }$ и ${\mathit{v}}_2^{\prime \prime },{\mathit{v}}_3^{\prime }$ и ${\mathit{v}}_3^{\prime \prime }$ имеют одинаковые компоненты по пряхой $P^{\prime }{P}^{\prime \prime }$, то тем свойством будут обладать и скорости $v^{\prime }$ и $v^{\prime \prime }$ результирующего движения; поскольку же это имеет место для любон пари точек системы $S$ и в любой момент движения, мы отсюда заключаем, что составленное движение будет твердым.
11. Сложение поступательнх двияений. Если несколько поступательных движепий $M_1,M_2,\dots$ соединяютьл в одно движение, как это указано в рубр. 3, то и составленное из них (результирующее) движение будет поступательным; в самом деле, поскольку в каждом из составляющих движенин все точки имеют одну и ту же скорость, то и в составленном движении все точки в каждый момент будут нметь одну и ту же скорость, равную сумме скоростей составляющих двнжений.

И, обратно, каждоэ поступательное движение данной сгорости $v(t)$ можно считать составлечным из нескольких поступательных двпжений, или, как говорят, каждое поступательное движение можно разложить на несколько поступательных же движений; для этого достаточно каким угодно способом разложить вектор скорости $\mathit{v}(t)$ на нескодько векторов (представляющих сәбою функции времени) и принять каждый из ннх за скоростю некоторого поступательного двияения.

Нз этих бесчисленных возможных разложений мы отметим два следующих (аналогичных тем, готорые мы рассматривали B II, рубр. 5):
1) разложение на прямолинейное поступательное движение по данному направлению и на плоское поступательное движеиие, перпендикулярное к этому направлению; это разложение получается путем разложения вектора $\overline{\tau }$ на два вектора по направлению заданной прямой и перпендикулярной к ней плоскости;
2) разложение на три прямолинейных движения (например, по направлениям неподвижных осей координат); за составляющие движения нужно пүин ть те, которые имеют скоростями слагающие вектора $\overline{\tau }$ по этим направлениям.
12. Разложение вращательных движений. Слагая два вращательных движения, мы, по общей теореме рубр. 10, получим твердое движение. Исследуем здесь тот случай, когда оси двух двчжений, которые мы желаем сложить, проходят обе через одну и ту же точку $Q$, которая вследствие этого остается неподвижной в обоих движениях. Принимая эту точку ва исходную, как в формулах (10) и (12), мы будем иметь следующие выражения для скоростей произвольной точки $P$ в слагающих движениях:
$${\mathit{v}}_1=\left[\overrightarrow{{\omega }_1}\overline{\mathrm{QP}}\right],{\mathit{v}}_2=\left[\overline{{\omega }_2}\overline{\mathrm{QP}}\right],$$

где ${\overline{\omega }}_1$ и ${\overline{\omega }}_2$ — угловые скорости заданных вращательных движений; скорость же результирующего двнжения:
$$\mathit{v}=\left[({\overline{\omega }}_1+{\overline{\omega }}_2)\overline{QP}\right]:$$

Это выражение скорости составленного движения формально аналогично выражению скорости вращательного движения, приведенному в рубр. 6; но оно, вообще, не удовлетворяет двум существенным условиям, указанным в этой рубрике. И в самом деле, хотя $Q$ п в этом случае представляет собою неподвижную точку, но вектор ${\overline{\omega }}_1+{\overline{\omega }}_2$, которнй должен был бы играть здесь рөль угловой скорости, вообще не сохраняет постолнного направления в пространстве; это обусловливается тем, что слагающие векторы ${\overline{\omega }}_1$ и ${\overline{\omega }}_2$, сохраняя каждый постоянное направление в пространстве, имеют, однако, переменнне длины; вследствие этого сумма их сохраняет постоянное направление только в исключительных случаях. Поэтөму результирующее движение не будет вращательным за исключением того случая, когда сулма ${\overline{\omega }}_1+{\overline{\omega }}_2$ сохранит, кап $u$ слагающие вектори ${\overline{\omega }}_{1}u{\overline{\omega }}_2$, постоянное направление.

Отметим, что последнее обсголтельство пмеет место, когда оба вектора ${\overline{\omega }}_1$ и ${\overline{\omega }}_2$ остаются постоянными, т. е. когда оба слагающие движения равномерны, а также когда векторы ${\overline{\omega }}_1$ п ${\overline{\omega }}_3$ имеют общее направление, т. е. когда осп обоих вращательных движений соппдаю. Так ка: вге это можЕо говторить и в случае, когда слагается несколько вращательных движений, оси которых сходятся в общей неподвнжной точке $\mathrm{\Omega }$, то мы приходим к следующим заключениям.

Несколько равножерных движений, оси которых сходятся в обией точке $Q$, слагаютсл в одно равномерное движение, ось которого проходит через mу же точку $\mathbf{Q}$.

Несколько вращательных движений (хотя бы п неравномерных), происходящих вокруг общей оси, слагаются во вращательное движежие вокруг той же оси.

В обоих случаях угловая скорость результирующего движения представляет собою сумму угловых скоростей (векторных) обоих составляющих движений.
13. Разложение вращательных движении. Обратно, всякое вращательное движение можно бесчисленным множеством способов разложить на несколько вращательных движений. Для этого данного движения, на несколько слагающих, имеющих каждал постоянное направление; эти слагающие нужно принять за угловые скорости слагающих движений, осп которых проходят через общую точку $\mathrm{\Omega }$ на оск данного движөния. В частности, выбрав точку $Q$, можно разложить вектор $\overline{\omega }$ на две слагающк, из которых одна будет лежать на произвольной прямой, проходящей через точку $\mathcal{Q}$, а другая в плоскости, перпендикулярной этой оси; вращательное двнжение будет разложсно на два составляющих вращательных движения со ваипмо перпендикулярнымп осями. Аналогично вращательное движение можно разложпть на три \»попарно ортогональных вращательных движения, т. е. на три движения, оси которых пошарно перпендикулярны друг к другу; для этого достаточно выбрать на оси данного движения точку $Q$ и разложить угловую скорость $\omega$ на три слагающих по трем данным направлениям; если эти слагающие ${\overline{\omega }}_1$, ${\overline{\omega }}_2,{\overline{\omega }}_3$ мы примем за угловые скорости вращательных движений вокруг соответствующих осей, то их сумма, составляющая вегтор ш постоянного направления, воспроизведет заданное вращательное движение.