1. Первая постановка – с помощью осей, заложенных в твердой системе. Изучив в предыдущей главе движения одной точки, мы перейдем теперь к кинематике фигуры, или системы точек; составляющие систему точки могут при этом входить в ее состав в ограниченном или неограниченном числе; в последнем случае они обыкновенно расположены по линии, поверхности или в сплошных частях пространства.

Прежде всего мы ваймемся движением твердой систель, т. е. фигуры, которая в продолжение движения сохраняет без изменения взаимные расстолния своих точек, попарно взятых. Такими мы представляем себе фигуры в элементарной геометрии, когда мысленно передвигаем их в пространстве.с целью установить, налагается ли одна на другую или нет.

И здесь, как и в случае одной точки, мы отнесем движение данной твердой системы $S$ к триэдру декартовых осей $Q \xi \eta \zeta$, который для удобства обозначения будем называть жеподвижным триэдром, отнюдь не теряя при этом, однако, из виду относительного характера понятия о движении.

Чтобы учесть твердость системы $S$, рассмотрим второй триэдр Охуz, правосторонний, как п $Q \xi \eta$, но неизменно связанный с системой $S$; этот последний триэдр мы будем называть подвижным (поскольку он движется вместе с системой $S$ ) или телесным как связанный с твердым телом. Из того факта, что триәдр $O x y z$ образует вместе с $S$ новую твердую систему, следует, что каждая точка $P$ системы $S$ (или даже просто связанная с $S$ твердой связью), двигаясь относнтельно триэдра Q६пц, сохраняет во все время этого движения неизменные координаты $x, y, z$ относительно подвижной системы.

Вследствие этого движение любой точки $P$ системы $S$ относительно $Q \xi \eta \zeta$ будет вполне охарактеризовано, если, с одной стороны, положение точки $P$ в системе $S$ будет определено өе координатами $x, y, z$ относительно осей $О$ хуz, а с другой стороны, для каждого момента будег задано положение подвижного цели будет достаточно выразить в зависимости от времени положение начала подвижного трzэдра $O$ и его основные версорн $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, относя их движение к триәдру Qкю. В самом деле, движение произвольной точки $P$ систелы $S$ может быть выражено при помощи геометрического тождества:
\[
\overline{Q P}=\overline{Q O}+\overline{O P} .
\]

Здесь вектор $\overline{Q O}$ определяет положение точки $O$ относительно неподвижного триэдра, а вектор $\overline{O P}$ определяет положение точки $P$. Если оба вектора $\overline{Q O}$ и $\overline{O P}$ будут заданы в функции времени, то в каждый момент будет известен и радиус-вектор $\overline{Q P}$ точки $P$, а следовательно, и ее положение относительно неподвижного триэдра. Но, согхасно тождеству (14) гл. I:
\[
\overline{O P}=x i+y j+z k .
\]

Поатому
\[
\overline{Q P}=\overline{Q O}+x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
\]

Здесь координаты $x, y$, z сохраняют во все время движения постоянные значения, а векторы $\overline{\mathrm{QO}}, \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ представляют собою функции времени; если эти функции будут заданы, то уравнение (1) выразит (геометрически) движение точки $P$.

Если введем координаты $\xi, \eta, \zeta$ точки $P$ и $\alpha, \beta, \gamma$ точки $O$, а также компоненты $\alpha_{h}, \beta_{h}, \gamma_{h}(h=1,2,3$ ) версоров $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ (совпадающие с их направляющими косинусами), то векторное уравнение (1) проектированием на неподвижные оси ваменится тремя скалярными уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=\alpha+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta=\beta+\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta=\gamma+\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z .
\end{array}\right\}
\]

Это-общие уравнения движения твердой системь, так как они непосредственно выражалот в функции времени координаты произвольной точки $P$ системы $S$ относптельно неподвижного триэдра, коль скоро ее положение в системе $S$ определено координатами $x, y, z$. В них входят, помимо постоянных координат $x, y, z, 12$ функций времени, именно $\alpha, \beta, \gamma$, и девять направляющих косинусов $\alpha_{h}, \beta_{h}, \gamma_{h}(h=1,2,3)$; так как последние отвечают трем попарно ортогональным версорам, то они связаны (I, рубр. 10) соотношениями :
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{h}^{2}+\beta_{h}^{2}+\gamma_{h}^{2}=1 \quad(h=1,2,3) ; \\
\alpha_{h} \alpha_{k}+\beta_{h} \beta_{k}+\gamma_{h} \gamma_{k}=0 \quad(h
eq k=1,2,3) .
\end{array}
\]

Как и в случае движения точки (II, рубр. 4), мы примем, что все функции $\alpha, \beta, \gamma, \alpha_{h}, \beta_{h}, \gamma_{h}$ однозначны, конечны и непрерквны, а также, что они имеют производные, по крайней мере, первого и второго порядка во всем промежутке времени, в котором определено движение.

Здесь, наконец, будет еще полезно отметить, что уравнение (1′) и әквивалентные ему уравнения (2) остаются в силе не только по отношению к каждой точке движущейся твердой системы $S$, но и для любой другой точкн, хотя бы и не принадлежащей системе $S$, но неразрывно (твердой связью) с нею связанной ${ }^{1}$ ). Таким образом движением системы $S$ фактически определяется движение целого сплошного пространства точек, связанных с $S$ твердой связью. Мы приходим, таким образом, к представлению, что на неподвижное пространство, связанное с триәдром $\Omega \xi \eta$ (или на неподвижную неизменяемую среду), в каждый момент налагается Ееизменяемая среда (\”подвижное пространство\”), связанная с системон $S$ и движущаяся вместе с нею относительно среды $Q \xi \eta$. Поэтому часто говорят просто o твердом движении в смысле движения целого сплошного пространства (или сплошной неизменяемой среды), не упоминая при этом о той частной системе, которой эта среда, собственно, определяется.
2. Вторая постановка, непосредственно проистекающая из неизеняемости взаимных расстояний. В движущейся твердой системе расстояние между произвольными двумя точками $P_{1}$ и $P_{2}$ остается постоянным; вследствие этого в продолжение всего движения имеет место тождество:
\[
\left(\overline{P_{1} P_{2}}\right)^{2}=r^{2},
\]

где $r$ есть скаляр, не завнсящий от времени. Диференцируя это соотношение по времени, получим:
\[
\overline{P_{1} P_{2}} \cdot \overline{P_{1} P_{2}}=0 .
\]

Если $O$ есть постоянная точка движущейся системы, то (I, рубр. 71):
\[
\overline{P_{1} P_{2}}=\overline{O P_{2}}-\dot{\overline{O P_{1}}} ; \dot{P_{1} P_{2}}=\dot{\overline{O P_{2}}}-\dot{\overline{O P_{1}}}=\frac{d P_{2}}{d t}-\frac{d P_{1}}{d t} .
\]

Поэтому предыдущее тождество можно написать в таком виде:
\[
\overline{P_{1} P_{2}} \frac{d P_{2}}{d t}=\overline{P_{1} P_{2}} \frac{d P_{1}}{d t} .
\]

Если разделим в этом равенстве с обеих сторон вектор $\overline{P_{1} P_{2}}$ на $r$, то оно выразит, что компоненты скоростей $\dot{P}_{1}$ и $\dot{P}_{2}$ по прямой $P_{1} P_{2}$ равны между собою.

Но и, обратно, интегрирование приводит от уравнения (4) к соотношению (3) с постоянным значением скаляра $r$. Отсюда мы заключаем, что твєрдые движения системи точек характеризуются тен оо́стоятельствок, что в каждый момент скорости любых двух ее точек имеют одинаковые компоненты по прямой, соединяющей эти точки.
1) То-есть сохравяющей постоянные расстояния от всех точек системы $S$. (Peд.)

Другимп словами, разность (геометрическая) скоростей двух точек перпендикулярна к прямон, соединяющей эти точки; әто и выражатот равенством (5), если написать его в виде:
\[
\overline{P_{1} P_{2}}\left(\frac{d P_{2}}{d t}-\frac{d P_{1}}{d t}\right)=0 .
\]

Поэтому, если, в частности, скорость какой-либо точк в нетоторый момент равна нулю, то сюорость всякой другой точки $P_{2}$ в тот же момент перпендпкулярпа к прямой $P_{1} P_{2}$ (или также равна нулю).